Measuring Singularities with Frobenius: The Basics
考虑一个定义在域$k$上的多项式$f$，重数也许是$f$奇异性的最简单的度量。本文介绍了第一步了解一个更微妙的措施，自然产生的奇点在三个不同的背景下-分析，代数几何，最后，代数。神奇的是，所有三种方法都导致了本质上相同的奇异性测量：对数正则阈值（特征零）和密切相关的$F$ -纯阈值（特征$p$）。在本文中，我们提出的第一步，在理解这些不变量，重点是主要的特征设置。
2013-09-18 math.AG
tt* geometry, Frobenius manifolds, their connections, and the construction for singularities
超曲面奇点的半泛开折的底空间具有丰富的几何性质。通过K的工作。Saito和M. Saito可以配备Frobenius流形的结构。根据Cecotti和Vafa的工作，如果奇点是拟齐次的，则它可以具有tt* 几何. tt* 几何推广了Hodge结构的变分概念。在本文的第二部分（第6-8章）中，我们利用本质振荡积分，对任意超曲面奇点构造了Frobenius流形和tt* 几何，并研究了极化混合Hodge结构与这种tt* 几何之间的密切关系。第一部分（第2-5章）对tt* 几何和Frobenius流形及其关系作了一般性的研究。对他们两个平面连接与极点相关联，具有独特的共同和不同的属性。给出了一个同时施工的框架。
2002-03-20 math.AG
Singularities with Symmetries, orbifold Frobenius algebras and Mirror Symmetry
在此之前，我们介绍了Euler $G$ -Frobenius代数的对偶变换。利用这个变换，我们证明了互素幂的简单$A,D,E$奇点和Pham奇点是镜像自对偶的，其中镜像对偶是通过关于分次算子生成的对称群的轨道折叠和对偶化实现的.此外，我们还计算了与其他$G$-Frobenius代数的轨道折叠和奇异性相关的其他$G$-Frobenius代数.特别地，利用轨道折叠和对偶变换，我们为简单边界奇点$B_n$和$F_4$提供了一个镜像对。最后，我们将我们的结构与$r$自旋曲线，经典奇点理论和Dynkin图的折叠联系起来。
2003-12-30 math.AG math.QA
Quasi-canonical lifting of projective varieties in positive characteristic
本文通过证明 Frobenius 可提升性的下降性质，给出了特征 $p>0$ 下允许在 Witt 向量上平坦提升并附带对数结构与 Frobenius 态射的光滑射影簇新类，并建立了 Mehta-Srinivas 典范提升存在性结果的精细形式。
2026-10-27 math.AC math.AG
The Frobenius--stable version of the Grauert--Riemenschneider vanishing theorem fails
École Polytechnique Fédérale de Lausanne（洛桑联邦理工学院）；SAPIENZA Università di Roma（罗马大学）；University of Tokyo（东京大学）
本文证明Grauert–Riemenschneider消失定理的Frobenius稳定版本在任意正特征的三fold以及特征p∈{2,3,5}的terminal 3-fold上失效，并引入F_p-理性概念，证明至多4维的klt奇点是F_p-理性的，进而应用于K-平凡3-fold上的Kawamata–Viehweg消失定理的Frobenius稳定版本。
2026-05-24 math.AG
Frobenius splitting of valuation rings and $F$-singularities of centers
利用Knaf和Kuhlmann的一个局部单值化结果，证明了素特征完备基域上函数域的Abhyankar赋值的赋值环是Frobenius分裂的.我们证明，行为足够良好的中心的弗罗贝纽斯分裂提升为赋值环的弗罗贝纽斯分裂。我们还研究了以任意的素特征的诺特域为中心的估值的性质。与[arXiv：1507.06009]不同，本文强调了中心在控制素特征赋值环的Frobenius性质中的作用.
2020-03-02 math.AC math.AG
Noncommutative resolution of toric singularities: An application of Frobenius morphism of noncommutative blowup
利用非交换爆破的弗罗贝尼乌斯态射，我们证明了每个正规环面奇点都有一个标准的非交换分解。
2010-09-28 math.AG math.RA
Frobenius categories, Gorenstein algebras and rational surface singularities
给出了Frobenius范畴等价于Iwanaga-Gorenstein环上Gorenstein投射模范畴的充分条件。然后，我们将这一结果应用到Frobenius范畴的特殊Cohen-Macaulay模在一个合理的表面奇异性，在那里我们表明，相关的稳定范畴是三角形等价于一个特定的差异部分决议的奇异性范畴的给定的理性奇点。特别是，这产生了无数个有限GP型的Iwanaga-Gorenstein环。我们也将我们的方法应用于表示论，得到Auslander-Solberg和Kong型结果。
2014-06-13 math.AC math.AG math.RT
Frobenius powers
本文扩展了理想的Frobenius幂在素特征中的概念，允许任意非负实指数。这些广义Frobenius幂与素特征的测试理想和特征为零的域上的乘子理想密切相关。例如，像这些著名的理想族一样，弗罗贝纽斯幂也会产生跳跃指数，我们称之为临界弗罗贝纽斯指数。事实上，一个主理想的弗罗贝纽斯幂与它的测试理想一致，但似乎是一个更精确的奇异性度量。在此，我们发展了正则域上的Frobenius幂理论，并将其应用于奇异性，特别是一般超曲面的奇异性的研究。这些应用程序说明了一种方式，其中乘数理想的行为更像弗罗贝纽斯权力比像测试理想。
2019-06-29 math.AC math.AG
Frobenius stable pluricanonical systems on threefolds of general type in positive characteristic
本文研究了正特征的多正则系统对一般型簇的有效性问题。在实践中，我们将考虑由某些Frobenius稳定截面生成的次线性系$|S^0_{-}(X, K_X + nK_X)| \subseteq |H^0(X, K_X +nK_X)|$，并证明对于具有$q(X)>0$或Gorenstein奇点的一般型极小终端三重$X$，如果$n\geq 28$则$|S^0_{-}(X, K_X + nK_X)| \neq \emptyset$ ;如果$n\geq 42$则线性系$|S^0_{-}(X, K_X + nK_X)|$定义双有理映射.
2020-10-18 math.AG
A cusp surface singularity is Frobenius liftable
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）；Department of Mathematics, Faculty of Science, Saitama University（埼玉大学理学部数学系）
该研究证明尖点曲面奇点Frobenius可提升，进而确定所有Frobenius可提升的曲面奇点
2026-08-04 math.AC math.AG
Nilpotence of Frobenius action and the Hodge filtration on local cohomology
一个$F$ -幂零局部环是一个局部环$(R, \mathfrak{m})$，它的素特征由Frobenius作用在它的局部上同调模$H^i_{\mathfrak{m}}(R)$上的幂零性定义。如果特征零的奇异性的模$p$约化是$F$-对于几乎所有的$p$都是幂零的，则称其为$F$-幂零类型。本文给出了三维$F$ -幂零型正规孤立奇点的Hodge理论解释。在分次的情况下，这产生了这些奇异性的表征方面的除子类群和布劳尔群。
2015-04-10 math.AC math.AG
Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study
本文研究了三类Frobenius流形：量子上同调（拓扑σ模型）、奇点开折空间（K。Saito的理论，Landau-Ginzburg模型），以及最近的Barannikov-Kontsevich构造，从Calabi-Yau流形的Dolbeault复形开始，并最终产生任意维的镜像猜想的B-侧。每一个已知的构造都为相关的弗罗贝纽斯流形提供了一个额外的结构，可以被认为是“非线性上同调”的一个版本。这些结构的比较揭示了一般的镜像问题：建立不同类的Frobenius流形之间的同构。另一个主题是研究Frobenius流形的张量积，分别对应于量子上同调中的Künneth公式，齐藤理论中的奇点直和，以及可能的微分Gerstenhaber-Batalin-Vilkovisky代数的张量积。我们将最初的盖普纳的镜像构造推广到弗罗贝纽斯流形上，并提出了相关的数学猜想。
1998-01-02 math.AG math.QA
Higher F-injective singularities
该研究引入高阶$F$-内射性概念，证明特征零域孤立奇点的$k$-$F$-内射性与$k$-Du Bois性质的素约化关联及普通性猜想下的逆命题，并应用于Frobenius可提升超曲面研究。
2024-12-12 math.AG
Thresholds of singularities in characteristic zero
University of Utah（犹他大学）
该研究在特征零情形下构造了Frobenius阈值的两个类似物Hironaka阈值与Koszul-Hironaka阈值，证明其对参数理想一致且为有理数，揭示了其与乘子理想跳跃数、模p约化Frobenius阈值极限的关联。
2026-09-01 math.AC math.AG
Simple singularities and integrable hierarchies
数学AG/0108100给出了半单Frobenius流形的全下降势的一种构造方法。在数学AG/0209205中，证明了K. A_{n-1} -奇异性的极小变形的参数空间上的Saito Frobenius结构满足KP-族的模n约化。本文确定了A，D，E型单奇点的全下降势所满足的族。我们的描述的层次结构是平行的顶点运营商建设的卡茨- Wakimoto除了，我们给一些一般的积分公式和明确的数值为某些系数，在卡茨- Wakimoto理论研究的情况下，由个案的基础上，保持，一般来说，未知的。
2003-07-14 math.AG math.RT
Open Saito theory for $A$ and $D$ singularities
一个著名的B。Dubrovin和K.斋藤赋予参数空间的一个普遍的展开一个简单的奇异性与Frobenius流形结构。在我们的论文中，我们提出了一个推广的这种结构的奇异性类型$A$和$D$，它给出了一个解决方案的开放WDVV方程。对于$A$ -奇异性，所得解描述了$r$ -自旋圆盘模空间上的交数，这是第二作者E. Clader和R.特斯勒本文的第二部分描述了有限不可约Coxeter群的Frobenius流形上的开WDVV方程的齐次多项式解的空间。
2019-09-02 math-ph math.AG math.MP
Gromov-Witten theory of elliptic orbifold P^1 and quasi-modular forms
本文证明了权为（3，3，3），（4，4，2），（6，3，2）的椭圆轨道线的GW不变量是拟模形式.我们的方法是基于Givental的更高的属重建形式主义适用于设置斋藤的Frobenius结构简单的椭圆奇点。我们的结果是一个更大的项目的一部分，其目标是证明简单的椭圆奇点的朗道-金兹伯格/卡拉比-丘对应。对应关系描述了Gromov-Witten理论（某个超曲面）和Fan-Jarvis-Ruan-Witten理论（某个Landau-Ginzburg势）之间的关系。粗略地说，主要的陈述是，简单椭圆奇点的斋藤的弗罗贝纽斯流形有一些特殊的点，使得在这些点附近的弗罗贝纽斯结构控制着两个理论之一。对应关系的局部部分在M. Krawitz和Y.沈，我们在这里描述的是全球的情况。
2011-06-12 math.AG math.CV
Effective bounds on singular surfaces in positive characteristic
利用Frobenius奇点理论，我们证明了在特征p>5的代数闭域上定义的Gorenstein指数为m的Kawamata对数终止面X上，13mK_X + 45mA对于充足的Cartier因子A是非常充足的.
2016-10-27 math.AG
A New Triangulated Category for Rational Surface Singularities
在这篇简短的论文中，我们介绍了一个新的三角范畴的理性表面奇异性，在非Gorenstein的情况下，作为一个替代的稳定类别的矩阵分解。该范畴被构造为一个特殊CM模范畴的Frobenius商，我们对相对投射-内射对象进行了分类，从而刻画了该商的AR模。相应的重建代数的连接进行了讨论。
2011-07-07 math.AG math.RT
Inseparable maps on $W_n$-valued local cohomology groups of non-taut rational double point singularities and the height of K3 surfaces
本文研究非平凡有理双重点奇点，计算Frobenius等不可分映射在$W_n$值局部上同调群上的作用，并证明K3曲面的高度与其RDP同构类相关。
2022-06-08 math.AC math.AG
Excellence, F-singularities, and solidity
一个$R$ -代数$S$是$R$ -实的，如果存在一个非零的$R$ -线性映射$S \rightarrow R$ .在特征$p$中，对$F$ -奇点的研究，如Frobenius分裂，隐含地依赖于$R^{1/p}$的$R$ -实性。继前两位作者关于某些优良$F$ -纯环的Frobenius非分裂性的最新结果之后，本文利用实性的概念系统地研究了优良环的概念，重点研究了$F$ -奇性.我们证明了对于特征$p$的完全局部环上的本质有限型环$R$，约化性蕴含$R^{1/p}$的$R$ -实性，$F$ -纯性蕴含Frobenius分裂，$F$ -纯正则性蕴含分裂$F$ -正则性.我们证明了Henselizations和完成是不坚实的，提供了障碍的$R$ -坚实性的$R^{1/p}$的任意优秀环。这对大Cohen-Macaulay代数的实性也有负面影响，其中一个重要的例子是具有素特征的优秀局部环的绝对整闭包。建立了绝对整闭包的实性与日本环的概念之间的密切关系。分析日本的性质表明，Dedekind域$R$的$R^{1/p}$是$R$ -固体是优秀的，尽管我们最近的例子，优秀的欧几里得整环没有非零$p^{-1}$ -线性映射。此外，我们表明，虽然完美的封闭往往是坚实的代数几何的情况下，存在局部优秀的领域与固体完美的封闭，其绝对的整闭包是不坚实的。在附录中，凯伦·E. Smith利用绝对整闭包的实性来…
2020-07-20 math.AC math.AG
A characteristic p analogue of plt singularities and adjoint ideals
我们引入了一个新的紧闭包的变种，并通过这个紧闭包给出了伴随理想的一个解释。作为推论，我们证明了对数对$(X,Δ)$是plt的当且仅当$(X,Δ)$的模$p$约化对所有大的$p \gg 0$是整除F-正则的.这里，可分F-正则对是Hara和Watanabe根据Frobenius分裂引入的一类正特征奇点。
2007-05-17 math.AC math.AG
On the Generalized Arithmetic Picard--Lefschetz Formula
研究为对角型孤立奇点建立算术皮卡 - 莱夫谢茨公式，通过构造特征基等得出相关公式，建立迹公式，还将理论用于艾里层对称幂算术，确定局部伽罗瓦表示，给出伽罗瓦模分解等。
2026-07-08 math.AG
Frobenius splitting of cotangent bundles of flag varieties and geometry of nilpotent cones
我们利用Steinberg模上的G-不变非退化形式，以良好的素特征线对旗簇的余切丛进行Frobenius分裂。这是以前只知道的一般线性群。应用是线丛拉回到余切丛的一个消灭定理（Andersen和Jantzen对典型群和G_2证明，B. Broer（对所有群）），次正则幂零簇的正规性和有理奇点，以及线丛拉回到余切丛的整体瓣的良好滤子，这又意味着诱导表示的上同调的良好滤子.
1998-09-08 math.AG math.RT
A Frobenius Version of Tians Alpha-Invariant
本文在正特征射影簇上引入Tian α不变量的类比α_F，利用全局F-正则性刻画其性质，证明其正性、Fano情形上界1/2，并与复情形一致。
2025-08-06 math.AC math.AG
F-adjunction
本文研究由Frobenius作用定义的特征$p > 0$中的奇点。我们证明了类似于沿对数正则中心的附加反演的结果。例如，我们证明，如果$X$是一个Gorenstein正常品种，然后到每一个正常中心的尖锐$F$ -纯度$W \subseteq X$，使$X$是$F$ -纯在通用点的$W$，存在一个规范定义的$\bQ$ -除数$Δ_{W}$ $W$满足$(K_X)|_W \sim_{\bQ} K_{W} + Δ_{W}$。此外，$X$在$W$附近的奇点与$(W, Δ_{W})$的奇点“相同”。作为一个应用，我们表明，有许多子计划的拟射影簇，兼容分裂由一个给定的Frobenius分裂。我们还重新解释了Fedder的标准，在这种情况下，这有一些令人惊讶的影响。
2009-10-15 math.AC math.AG
Pure subrings of regular local rings, endomorphism rings and Frobenius morphisms
本文研究正则局部环纯子环的自同态环，证明其在极大Cohen-Macaulay条件下为非交换crepant消解，并利用Frobenius态射构造Morita等价的另一消解，同时探讨非交换Frobenius态射与整体维数有限性的关系，并应用于wild商奇点的强F-正则性判定。
2011-08-30 math.AC math.AG math.RA
Semi-log canonical vs $F$-pure singularities
如果$X$是弗罗贝纽斯分裂，那么它的规范化，我们探讨的条件，这意味着相反的。为此，我们回想一下，给定一个$\mathcal{O}_X$ -线性映射$ϕ: F_* \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X$，它总是在$X$的归一化上扩展到一个映射$\barϕ$.本文研究了$\barϕ$的满射性何时蕴涵$ϕ$的满射性。虽然这通常不会发生，但我们表明，如果归一化映射满足某些驯服条件，它总是会发生。我们的结果有几何后果，包括$F$ -纯奇异性和半对数正则奇异性之间的连接，和一个更熟悉的版本的（$F$ -）反演的附加公式。
2011-10-06 math.AC math.AG
On the Birational Nature of Lifting
设$X$和$Y$是真双有理簇，即在正特征的完满域$k$上只有有理二重点。如果$X$提升到$W_n(k)$，那么$Y$是否具有相同的提升性质？这是真实的光滑表面，但我们通过例子表明，这是错误的光滑簇在更高的维度，并为表面与规范奇异性。我们还回答了这个问题的堆叠类似物：给定一个典型的表面$X$与最小分辨率$Y$和堆叠分辨率$\mathcal{X}$，我们的特点时，$Y$的升降性是相当于$\mathcal{X}$。我们的结果的主要输入是一个典型的表面奇异性的变形函子如何比较其最小分辨率的变形函子的研究。这将伯恩斯和瓦尔的工作扩展到积极的特征。作为一个副产品，我们表明，Tjurina的消失结果失败的每一个典型的表面奇异性，在每一个积极的特点。
2013-11-21 math.AG math.NT
Tate algebras and Frobenius non-splitting of excellent regular rings
本文利用刚性几何构造了特征p的优欧几里得整环，证明优F-纯环一般不是Frobenius分裂的，从而解决了F-奇点理论中长期悬而未决的问题，并首次区分了F-纯性与Frobenius分裂性。
2021-10-26 math.AC math.AG math.FA
Non-invertible quasihomogeneous singularities and their Landau-Ginzburg orbifolds
本文刻画非可逆拟齐次奇点中附加多项式 f_add 的全部可能形式，并构造与其 Landau-Ginzburg 轨道流形等价的平凡群模型及相应 Frobenius 代数同构。
2025-07-18 math.AG
Proof of a Conjecture on the Genus Two Free Energy Associated to the A_n Singularity
在最近的一篇文章[8]中，证明了任意半单Frobenius流形的亏格2自由能可以表示为亏格2的某些稳定代数曲线的对偶图的贡献之和加上所谓的亏格2 G-函数，并证明了对于某类Frobenius流形，相关的亏格2 G-函数为零。本文对与A型单奇点相联系的Frobenius流形证明了这个猜想。
2013-05-05 math-ph math.AG math.MP
On the geometry of strongly flat semigroups and their generalizations
我们的目标是使读者相信复法曲面奇点理论可以成为研究数值半群的一个有力工具，同时也是有趣的仿射和数值半群的一个非常丰富的来源。更精确地说，我们证明了满足Diophantine Frobenius问题极大性性质的强平坦半群，正是通过一般$S^1$ -轨道的可能“权”与负定Seifert同调球面相关联的数值半群.此外，我们考虑他们的推广的塞弗特有理同调球的情况下，并证明了一个明确的（最多的劳弗计算序列）公式，他们的Frobenius数。后面的奇异性是加权齐次的，其几个拓扑和分析性质被利用。
2018-09-17 math.AG math.CO math.GT
$F$-injectivity and Frobenius closure of ideals in Noetherian rings of characteristic $p>0$
本文的主要目的是研究正特征诺特环中参数理想的Frobenius闭包与$F$ -内射奇点之间的关系。该文件包括以下主题，包括许多其他主题。证明了若素特征$p>0$的Noether局部环的每个参数理想都是Frobenius闭的，则它是$p>0$-内射的。证明了$H^i_{\fm}(R)$上的Frobenius作用对所有$i \le f_{\fm}(R)$都是内射的充要条件，其中$f_{\fm}(R)$是$R$的有限维数.作为应用，我们证明了以下结果。(a)若环是$F$ -内射的，则由滤子正则序列生成的长度等于环的有限维数的理想是Frobenius闭的。它是Ma最近的一个结果的推广，并且是对广义Cohen-Macaulay局部环的。(b)设$(R,\fm,k)$是特征为$p>0$的广义Cohen-Macaulay环.如果Frobenius作用在局部上同调$H_{\fm}^i(R)$上对所有$i < \dim R$都是单射的，则$R$是Buchsbaum。这就回答了高木的一个问题。研究了Noether $\mathbb{F}_p$ -格式的两个$F$ -内射闭子格式的并是$F$ -内射的问题.利用这一思想，我们构造了一个$F$ -内射局部环$R$，使得$R$有一个参数理想不是Frobenius闭的。这一结果为$F$ -奇点家族增加了一个新成员。我们给出了$F$ -内射性的Frobenius…
2017-04-16 math.AC math.AG
Special Cohen--Macaulay sheaves on partial resolutions of rational surfaces singularities
本文引入有理曲面奇点部分解消上的特殊 Cohen--Macaulay 层范畴，证明其具有 Frobenius 结构，并建立与特殊 Cohen--Macaulay 模的精确等价及稳定范畴的三角等价，给出几何证明和 Buchweitz 型等价。
2026-09-28 math.AC math.AG math.RT
F-regular and F-pure rings vs. log terminal and log canonical singularities
本文研究了F-正则性（分别为F-正则性和F-正则性）之间的关系。F-pure）环和对数终端（分别对数正则）奇点。此外，我们还将F-正则性和F-纯性的概念推广到“偶的F-奇异性”。特征$p>0$中的F-正则环和F-纯环的概念通过Frobenius映射的分裂来表征，并定义了一些具有“温和”奇点的环类。另一方面，有对数终端和对数正则奇点的概念，通过在特征零的奇点的决议定义。这些也被定义为对正规簇和$\Bbb Q$ -因子$Δ$上，并发挥了重要作用，在双有理代数几何。作为这些奇异性的对在特征零，我们定义了“F-奇异性的对”的概念，即强F-正则性，除数F-正则性和F-纯度的一对$(A,Δ)$的正规环$A$的特征$p > 0$和有效的$\Bbb Q$ -除数$Δ$ $Y = Spec A$。本文的主要定理断言，如果$K_Y + Δ$是$\Bbb Q$ -Cartier，则对的F-奇异性的上述三个变体分别蕴含KLT、PLT和LC性质。我们还证明了偶的F-奇点的一些结果，它们类似于偶在特征零点的奇点。
2000-02-08 math.AC math.AG
Log canonical thresholds, F-pure thresholds, and non-standard extensions
我们提出了一个新的奇异性之间的不变量的特征零（对数正则阈值）和不变量的奇异性定义通过弗罗贝尼乌斯态射的正特征（F-纯阈值）。证明了（cp）型序列的极限点集与n维光滑簇的对数正则阈值集重合，其中cp是n维光滑簇上特征p的理想的F-纯阈值.我们证明了这一点，结合原和吉田的结果与非标准的建设。
2011-06-01 math.AC math.AG
Determinacy and Modality in Positive Characteristic
本文通过三种互补构造研究正特征中的有限决定性与模态，建立了矩阵芽决定性与余维数的等价，并利用 Frobenius 代数与临界覆盖证明真模态与右模态一致，给出决定性界与有限参数化。
2026-10-07 math.AC math.AG
Purity in the tame cohomology
Leibniz Universität Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
在特征p基概形上，假设奇点消解成立，证明了正则对(X,Z)的驯顺上同调中，对数de Rham-Witt层ν_m(n)的纯性，即自然同构Ri^!ν_{X,m}(n)≅ν_{Z,m}(n-r)[-r]的存在性。
2026-06-25 math.AG
Extended $r$-spin theory and the mirror symmetry for the $A_{r-1}$-singularity
利用K. Saito，$A_{r-1}$ -奇点的极小变形的参数空间具有Frobenius流形结构。朗道-金斯堡镜像对称说，在平面坐标中，这个弗罗贝纽斯流形的势等于$r$ -自旋曲线模空间上某些积分的生成级数。在本文中，我们表明，作为平面坐标的函数的微小形变的参数，也有一个简单的几何解释，使用扩展的$r$自旋理论，首先考虑T。J. Jarvis，T. Kimura和A. Vaintrob的研究，并在E.克拉德河J. Tessler和作者。我们对奇点$D_4$证明了类似的结果，并给出了奇点$E_6$和$E_8$的表达式.
2020-07-14 math-ph math.AG math.MP
On F-pure thresholds
利用Frobenius映射，对环$R$和理想$\a \subset R$的$(R,\a)$对引入了一个新的不变量，称之为$\a$的F-纯门限$\mathrm{c}(\a)$，并研究了它的性质.我们看到F-纯阈值刻画了几个环论性质。根据Hara和Yoshida的结果，在特征零点处的F纯阈值$\mathrm{c}(\a)$对应于双有理几何中的一个重要不变量对数正则阈值$\mathrm{lc}(\a)$.利用F-纯阈值，我们证明了特征为零的三维终端奇点的一些环论性质。同时，在固定素特征下，给出了F-纯阈值与对数正则阈值相似的几个性质，并给出了简单的证明。
2004-11-01 math.AC math.AG
Evolving Ranking Functions for Canonical Blow-Ups in Positive Characteristic
Aarhus University（奥胡斯大学）
本文通过进化搜索方法发现正特征下标准吹胀过程的候选排名函数，并提出两个猜想作为主要贡献。
2026-02-06 cs.LG math.AG
