AI 中文总结
本文引入有理曲面奇点部分解消上的特殊 Cohen--Macaulay 层范畴，证明其具有 Frobenius 结构，并建立与特殊 Cohen--Macaulay 模的精确等价及稳定范畴的三角等价，给出几何证明和 Buchweitz 型等价。
AI 中文摘要
我们引入了有理曲面奇点 $\Spec R$ 的最小部分解消 $f\colon X \to \Spec R$ 上的自反层范畴 $\CM(X)$ 和 $\SCM(X)$。本文的主要结果确立了 $\SCM(X)$ 具有自然的 Frobenius 结构，作为 Iyama--Wemyss 和 Iyama--Kalck--Wemyss--Yang 引入的特殊 Cohen--Macaulay $R$-模上的代数 Frobenius 结构的几何对应物。利用这一几何框架，我们建立了 $\SCM(X)$ 与配备特定正合结构的特殊 Cohen--Macaulay $R$-模范畴之间的精确等价，该等价诱导了其稳定范畴之间的三角等价。因此，这提供了 Iyama--Kalck--Wemyss--Yang 等式的直接几何证明，并导出了 Buchweitz 型等价 $\underline{\SCM}(X) \simeq D_{\sg}(X)$。
英文摘要
We introduce the categories $\CM(X)$ and $\SCM(X)$ of reflexive sheaves on a minimal partial resolution $f\colon X \to \Spec R$ of a rational surface singularity $\Spec R$. The main result of this paper establishes that $\SCM(X)$ possesses a natural Frobenius structure, serving as a geometric counterpart to the algebraic Frobenius structure on special Cohen--Macaulay $R$-modules, introduced by Iyama--Wemyss and Iyama--Kalck--Wemyss--Yang. Utilizing this geometric framework, we establish an exact equivalence between $\SCM(X)$ and the category of special Cohen--Macaulay $R$-modules equipped with a specific exact structure, which induces a triangle equivalence between their stable categories. Consequently, this provides a direct, geometric proof of the Iyama--Kalck--Wemyss--Yang equivalence and yields a Buchweitz-type equivalence $\underline{\SCM}(X) \simeq D_{\sg}(X)$.
