Finding and using expanders in locally sparse graphs
我们证明了每个局部稀疏图都包含一个线性扩展子图。对于常数$c_1>c_2>1$，$0<α<1$，一个在$n$顶点上的图$G$称为$(c_1,c_2,α)$ -图，如果它至少有$c_1n$条边，但每个大小为$|W|\le αn$的顶点子集$W\subset V(G)$的跨度小于$c_2|W|$条边.证明了每一个度有界的$(c_1,c_2,α)$ -图在线性多个顶点上都包含一个诱导扩张子.这个证明可以用算法来证明。然后，我们讨论了几个应用程序，我们的主要结果随机图，嵌入图未成年人的问题，和位置游戏。
2017-05-03 math.CO
A Cut-Matching Game for Constant-Hop Expanders
本文推广割-匹配博弈并提出新割策略，以构造保证任意需求可沿常数跳路径无感知路由的扩张器，为长度受限扩张器及流算法、动态距离预言机等突破提供基础。
2024-10-28 cs.DC cs.DS math.CO
Embedding induced trees in sparse expanding graphs
本文提出抢占式贪心算法，将Friedman-Pippenger结果推广到诱导情形，证明稀疏随机图包含线性阶有界度树及诱导Ramsey数的线性界，并给出可数扩展图中诱导森林的近乎紧结果。
2024-06-06 math.CO
Sampling from the antiferromagnetic Ising model on bipartite, regular expander graphs
Institute of Discrete Mathematics, Graz University of Technology（格拉茨工业大学离散数学研究所）
本文研究了在双部正则扩张图上反铁磁伊辛模型的采样问题，发现Glauber动力学混合缓慢，但提出高效算法和配分函数近似方法。
2026-03-02 math.CO
Beyond the Expanders
扩展图在通信问题和纠错码的构造中有着广泛的应用。在这样的图表中，信息传递得非常快。通常情况下，对于社会网络或生物网络，这是不正确的，尽管我们可能会发现顶点的划分，使得它们上的诱导子图和它们中任何一对之间的二部子图在子集内或子集之间表现出规则的信息流行为。谱和正则性之间的影响进行了讨论。
2011-03-03 math.CO stat.AP
High Dimensional Expanders
在过去的50年里，膨胀图一直是纯粹数学和计算机科学之间最富有成效的互动的主题，其影响和应用是双向的（参见图1）。[Lub94]、[HLW06]、[Lub12]和其中的参考文献）。在过去的十年中，一个“高维膨胀子”的理论已经开始出现。本文的目的是描述这一新研究领域的一些路径。
2017-12-07 math.CO math.GR math.GT
Rolling backwards can move you forward: on embedding problems in sparse expanders
我们开发了一个通用的嵌入方法的基础上的Friedman-Pippenger树嵌入技术（1987年）和它的算法版本，基本上是由于Aggarwal等人。（1996年），增强了回滚的想法，允许顺序回溯先前执行的嵌入步骤。我们用这种方法得到了以下结果。- 我们证明了有界度图的几何上长的子图的大小-Ramsey数与其顶点数是线性的，解决了Pak（2002）的一个猜想。- 我们给出了一个确定性的，多项式时间的在线算法，用于在扩展图中的给定顶点对之间找到指定长度的顶点不相交路径。我们的结果回答了Alon和Capalbo（2007）的一个问题。我们证明了$d$ -正则图的谱比上的相对弱的界迫使$K_t$的拓扑子式的存在，其中$t=(1-o(1))d$。我们还展示了一个结构，这表明，理论上的最大$t=d+1$不能达到，即使$λ=O(\sqrt{d})$。这回答了Fountoulakis，Kühn和Osthus（2009）的问题。
2021-03-19 math.CO
Bipartite unique-neighbour expanders via Ramanujan graphs
我们构造了一个具有任意不平衡边的有界度二部唯一邻扩张图的无限族。虽然弱于Capalbo等人构造的无损扩展器，我们的构造更简单，并且由于更小的常数而更接近于在实践中可实现。我们构造这些图组成的二分拉马努金图与一个固定大小的小工具的方式，推广了阿隆和Capalbo的独特的邻居扩张器的建设。为了分析我们的构造，我们证明了二部Ramanujan图的小诱导子图的平均度的一个强上界。我们的界推广了Kahale的平均度界到二部Ramanujan图，并可能是独立的兴趣。令人惊讶的是，我们的界限强烈依赖于确切的拉马努金性质的图，并不知道举行近拉马努金图。
2023-01-08 cs.IT math.CO math.IT
New bounds on even cycle creating Hamiltonian paths using expander graphs
本文利用扩展图理论，缩小了创建 $C_4$ 的哈密顿路径最大数量 $H_n(C_4)$ 上下界之间的超指数差距，改进了 $H_n(C_{2k})$ 的上界及两两反转排列的下界。
2019-12-26 math.CO math.NT
Asymptotics in percolation on high-girth expanders
我们考虑一类高围长$d$正则展开子上的超临界键渗流。Alon、Benjamini和Stacey（2004）确定了线性尺寸（“巨型”）组件出现的临界概率是$p_c=1/(d-1)$。我们的主要结果恢复了在任何$p>p_c$的巨星和它的2-核心的顶点的大小和度分布的尖锐渐近性。在[ABS 04]中进一步表明，对于某些$ω<1$，在任何$0<p<1$处，第二大分量的大小最多为$n^ω$。我们发现，与经典的Erdens-Rényi随机图中的情况不同，即使具有任意大的围长，在常规膨胀剂上的键渗流中的第二大组分可以具有任意接近$1$的尺寸$n^{ω'}$（对于$ω'$）。此外，作为该构造的副产品，我们否定地回答了Benjamini（2013）关于扩张子上渗流中分量的直径与巨分量存在性之间的关系的问题。最后，我们建立了巨分支的其他典型特征，例如，一条直线路径的存在
2020-01-08 math.CO math.PR
Rigidity of expanders and pseudorandom graphs
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；Technion Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；University of Oxford（牛津大学）
本文研究伪随机图的刚性性质，证明满足一定条件的C-扩张图和满足λ≤c₁r的(n,r,λ)-图分别具有指定阶数的刚性，结果在涉及的通用常数范围内是最优的，改进并拓展了此前相关研究。
2026-08-24 math.CO
Expander Graph Propagation
Mila（米拉人工智能研究所）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；University of Oxford（牛津大学）；DeepMind（深度思维）
众所周知，在全图分类或回归任务上部署图神经网络（GNN）是一项挑战：它通常需要计算节点特征，这些特征既要考虑其邻域中的局部交互，又要考虑图结构的全局上下文。在这个空间中导航的GNN架构需要避免病态行为，例如瓶颈和过度挤压，同时理想地具有线性时间和空间复杂度要求。在这项工作中，我们提出了一个优雅的方法的基础上传播信息的扩展图。我们利用一个有效的方法来构建一个给定大小的扩展图，并使用这种见解，提出EGP模型。我们表明，EGP能够解决所有上述问题，同时需要最少的努力来建立，并提供证据证明其在Open Graph Benchmark中的相关图分类数据集和基线上的经验效用。重要的是，使用扩展图作为消息传递的模板必然会产生负曲率。虽然这似乎是违反直觉的最近的相关工作oversquashing，我们从理论上证明，负弯曲的边缘可能需要获得可扩展的消息传递没有瓶颈。据我们所知，这是在图表示学习的背景下以前未研究过的结果，我们相信我们的分析为一类新的可扩展方法铺平了道路，以对抗GNN中的过度挤压。
2022-12-21 cs.AI cs.LG math.CO
Random walks which prefer unvisited edges. Exploring high girth even degree expanders in linear time
我们考虑修改后的随机游走，尽可能使用未访问的边缘，否则，使一个简单的随机游走。我们称这样的行走为边缘过程。我们假设有一个规则A，它告诉遍历在有选择时使用哪个未访问的边。在最简单的情况下，A是对与当前行走位置关联的未访问边缘的均匀随机选择。然而，我们并不排除规则A的任意选择。例如，规则可以由对手在线确定，或者可以从顶点到顶点变化。对于最大度有界的偶度扩张图，我们有如下结果。设G是一个n点偶度扩张图，G的每个顶点至少在一个长度为L的点诱导圈中。G上的任何边过程都有覆盖时间（n+（nlogn）/L）。这个结果是独立的规则A用于选择未访问的边缘，这可以选择在线的对手的顺序。作为一个例子，在高概率下，随机r-正则图（r至少为4，偶数）是L = Omega（log n）的扩展器。因此，对于几乎所有这样的图，边过程的顶点覆盖时间是Theta（n）。与任何加权随机游走的Omega（n log n）覆盖时间相比，这将此类图的顶点覆盖时间提高了log n倍。
2012-05-27 cs.DC cs.DS math.CO
Optimal induced universal graphs for bounded-degree graphs
证明了对任意常数$Δ\ge 2$，存在一个顶点数为$O(n^{Δ/ 2})$的图$G$，它包含所有度最大的$n$ -顶点图$Δ$作为诱导子图.对于奇数$Δ$，这显著地改进了Esperet等人的最著名的早期界，并且在常数因子下是最优的，因为已知任何这样的图必须至少有$Ω(n^{Δ/2})$顶点。我们的证明建立在Alon和Capalbo（SODA 2008）的方法以及几个其他成分的基础上。$G$的建设是明确的，是基于适当定义的组成高围长扩展图。证明还提供了一个有效的确定性过程，对于任何给定的输入图$H$的$n$顶点与最大程度的$Δ$，诱导子图的$G$同构$H$。
2016-07-12 math.CO
Optimal path and cycle decompositions of dense quasirandom graphs
受图的路径和圈分解的长期理论的启发，我们证明了随机图的最优分解结果。设$0<p<1$为常数，设$G\sim G_{n,p}$。令$odd(G)$为$G$中奇数度顶点的数目。那就尽快以下成立：（i）$G$可以被分解成$\lfloorΔ(G)/2\rfloor$循环和大小匹配$odd(G)/2$。(ii)$G$可以分解为$\max\{odd(G)/2,\lceilΔ(G)/2\rceil\}$路径。(iii)$G$可以分解为$\lceilΔ(G)/2\rceil$线性森林。这些边界中的每一个都是最佳可能的。我们实际上是从我们结果的“拟随机”版本导出（i）-（iii）。在这种情况下，我们还确定了边色数的一个给定的稠密拟随机图的偶数阶。对于所有这些结果，我们的主要工具是由Kühn和Osthus的鲁棒扩张的Hamilton分解的结果。
2016-06-20 math.CO
Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs
当$k|n$时，树$\mathrm{Comb}_{n,k}$由一条包含$n/k$顶点的路组成，每个顶点都有一个从它开始的不相交路长$k-1$.我们证明了，对于任何$k=k(n)$和$ε>0$，二项式随机图$\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$几乎必然包含$\mathrm{Comb}_{n,k}$作为子图.这改进了Kahn，Lubetzky和Wormald最近的一个结果.我们证明了一个类似的声明，更一般的一类树包含这些梳和所有有界度生成树，至少有$εn/ \log^9n$不相交的裸路径长度$\lceil\log^9 n\rceil$。我们还给出了一个在二项随机图中寻找大扩张子图的有效方法。这使我们能够改善Balogh，Csaba，Pei和Samotij关于几乎生成树的结果。
2014-05-26 math.CO
Long cycles in percolated expanders
本文研究渗流扩张子中的长路径与长环存在性问题，通过图的扩张性条件证明了特定概率下随机子图不含指定长度路径和环的概率为指数小，并给出其在最大密度$K_{s,t}$-自由图中的应用。
2024-07-16 math.CO math.PR
Finding an induced path that is not a shortest path
我们给出了一个多项式时间算法，该算法以图$G$和$G$的两个顶点$u,v$为输入，判定是否存在一条比最短$uv$-路长的诱导$uv$-路.
2020-05-26 math.CO
Enumerating simple paths from connected induced subgraphs
本文给出了图的任意两点间简单路的普通生成列的一个精确公式。我们的公式包含了连通诱导子图的邻接矩阵，并且在加权图和有向图上都是有效的。作为一种特殊情况，我们得到了图的Hamilton路和圈与其控制连通集之间的关系。
2017-12-05 math.CO
A Note on Induced Path Decomposition of Graphs
设$G$是阶为$n$的图. $G$的路径分解是一组不相交的路径，比如说$\mathcal{P}$，它们覆盖了$G$的所有顶点。如果所有路径都是$G$中的诱导路径，则我们说$\mathcal{P}$是$G$的诱导路径分解。此外，如果每条路径的阶数至少为2，则我们说$G$有IPD。本文证明了每一个连通的$r$ -正则图，如果它不是奇阶完全图，则它允许一个IPD.我们还证明了每一个$n$阶连通二部三次图都有一个最大为$\frac{n}{3}$的IPD.我们对所有允许IPD的连通无爪图进行了分类。
2019-12-01 math.CO
Induced path factors of regular graphs
图$G$的诱导路径因子是$G$中的一组诱导路径，其性质是$G$的每个顶点恰好位于其中一条路径中。$G$的诱导路径数$ρ(G)$是$G$的诱导路径因子中的最小路径数。证明了如果$G$是$n>6$顶点上的连通三次图，则$ρ(G)\le(n-1)/3$ .修复整数$k\ge3$。对于每个$n$，将$\mathcal{M}_n$定义为$ρ(G)$在所有连接的$k$ -正则图$G$上的最大值。当$n\rightarrow\infty$与$nk$相等时，我们证明了$c_k=\lim(\mathcal{M}_n/n)$的存在。我们证明了$5/18\le c_3\le1/3$和$3/7\le c_4\le1/2$以及$c_k=\frac12-O(k^{-1})$对于$k\rightarrow\infty$ .
2020-11-01 math.CO
Induced subgraphs and path decompositions
图$H$是图$G$的诱导子图，如果通过删除顶点可以从图$G$得到与图$H$同构的图.最近，人们对理解大树宽图的不可避免的诱导子图产生了极大的兴趣。受这项工作的启发，我们考虑了类似的问题的路径宽度：什么是不可避免的诱导子图的大路径宽度的图？虽然解决这个问题的一般设置看起来具有挑战性，我们证明了稀疏图的各种结果。特别地，我们证明了每个具有有界最大度和足够大的路宽的图包含一个大的完全二叉树的一个剖分或一个大的完全二叉树的一个剖分的线图作为一个诱导子图。同样地，我们证明了每个图除了一个固定的子图，并具有足够大的路径宽度包含一个大的完全二叉树的一个细分或一个大的完全二叉树的一个细分的线图作为一个诱导子图。最后，我们给出了由有限集禁止诱导子图定义的遗传类具有有界路宽的一个刻画。
2022-06-30 math.CO
Hyper-regular graphs and high dimensional expanders
该研究定义了n维超正则图（HRG）与新型图乘积，构造出团联合邻域连通的无限族n维HRG，还依托已有成果得到具有良好膨胀性质的任意大n的无限族HRG，解答了Dinur的相关存在性问题。
2023-08-25 math.CO math.GR
Long induced paths in graphs
证明了$n$顶点上的每个3连通可平面图都含有$Ω(\log n)$顶点上的一条诱导路，这是最佳可能的，并通过一个乘法因子$\log \log n$改进了已知的最佳下界.我们推导出，任何可平面图（或更一般地说，任何图嵌入在一个固定的表面上）的路径上的$n$顶点，也包含一个诱导路径上的$Ω(\sqrt{\log n})$顶点。我们猜想，对于任何$k$，存在一个常数$c(k)$使得任何在$n$顶点上有一条路的$k$ -退化图在$Ω((\log n)^{c(k)})$顶点上也包含一条诱导路.我们提供的例子表明，这数量级将是最好的可能（已经弦图），并证明了猜想的情况下，区间图。
2016-12-01 math.CO
Note on induced paths in sparse random graphs
我们证明了，对于$d\ge d_0(ε)$，以高概率，随机图$G(n,d/n)$包含长度为$(3/2-ε)\frac{n}{d}\log d$的诱导路径。这改进了Luczak和Suen在90年代初独立获得的结果，并回答了Fernandez de la Vega的一个问题。在此过程中，我们推广了Cooley，Draganić，Kang和Sudakov最近的一个结果，他们研究了诱导匹配的类似问题。
2021-02-18 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions XVIII. Obstructions to bounded pathwidth
本文给出了路径宽度大的图中不可避免的诱导子图的完整分类，解决了该领域的一个关键问题。
2026-09-23 math.CO
Overlap properties of geometric expanders
有限$(d+1)$ -均匀超图$H$的{ \em重叠数}定义为最大常数$c(H)\in (0,1]$，使得无论如何将$H$的顶点映射到$\R^d$，都存在一个点被至少一个由其超边的像所诱导的单形的$c(H)$ -分数所覆盖.在~ \cite{Gro2}中，为了寻找高维单纯复形的图扩张的类似概念，有人问是否存在一个任意大的$(d+1)$ -有界度一致超图的序列$\{H_n\}_{n=1}^\infty$，其中$\inf_{n\ge 1} c(H_n)>0$。使用随机的方法和明确的建设，我们回答这个问题，积极通过构建无限家庭的$(d+1)$ -一致超图有界度，使他们的重叠数是有界的正常数$c=c(d)$从下面。我们还表明，对于每个$d$，常数$c=c(d)$的最佳值，可以实现这样的建设是渐近等于极限的完全$(d+1)$ -一致超图的$n$顶点的重叠数，作为$n\rightarrow\infty$。为了证明后一种说法，我们建立了以下独立感兴趣的几何划分结果。对于任何$d$和任何$ε>0$，存在满足以下条件的$K=K(ε,d)\ge d+1$。对于任何$k\ge K$，对于任何点$q \in \mathbb{R}^d$和对于$\mathbb{R}^d$上的任何有限Borel测度$μ$，关于其每个超平面具有测度$0$，将$\mathbb{R}^d=A_1 \cup \ldots \cup A…
2010-05-09 cs.CG math.CO
Induced paths and cycles in factor graphs of split graphs
Instituto de Matemática Aplicada San Luis - CONICET, UNSL（圣路易斯应用数学研究所 - 阿根廷国家科学和技术研究委员会）；Departamento de Matemática, Universidad Nacional de San Luis（圣路易斯国立大学数学系）
本文研究了因子图中诱导路径和环的结构特性，证明诱导环长度不超过4，并给出了因子图直径的上界。
2026-04-06 math.CO
Short proofs for long induced paths
我们提出了一个修改的深度优先搜索算法，适合寻找长诱导路径。我们用它来给出以下结果的简单证明。我们表明，诱导的大小Ramsey数的路径满足$\hat{R}_{\mathrm{ind}}(P_n)\leq 5\cdot 10^7n$，从而给出了一个明确的常数的线性范围内，改善了以前的范围与一个大的常数从一个正则性引理参数由Haxell，Kohayakawa和Chauczak。我们还提供了一个绑定的$k$彩色版本，显示$\hat{R}_{\mathrm{ind}}^k(P_n)=O(k^3\log^4k)n$ .最后，我们提出了一个新的短证明的事实，即二项式随机图在超临界政权，$G(n,\frac{1+\varepsilon}{n})$，通常包含一个诱导路径的长度$Θ(\varepsilon^2) n$。
2022-03-01 math.CO
On Induced Colourful Paths in Triangle-free Graphs
给定一个图$G=(V,E)$，其顶点已被适当着色，我们说$G$中的一条路是“彩色的”，如果没有两个顶点在路径具有相同的颜色。它是Gallai-Roy-Vitaver定理的一个推论，即每一个适当着色的图在$χ(G)$顶点上都含有一条着色路。本文提出了一个猜想，即每一个适当着色的无三角形图$G$在其$χ(G)$顶点上都含有一条诱导色路，并证明了当$G$的围长至少为$χ(G)$时，这个猜想是正确的. Gyárfás和Sárközy以及Scott和Seymour最近对这个猜想的研究表明存在一个函数$f$，使得如果$χ(G)\geq f(k)$，则在$k$顶点上的诱导彩色路保证存在于任何正确着色的无三角形图$G$中。
2019-01-18 math.CO
Induced paths in strongly regular graphs
本文研究强正则图中的导出路，证明了包含导出子图 $P_4$ 当且仅当图是本原的，并考察了多个著名图族中存在 $P_5$ 或其补图作为导出子图的条件。
2023-07-26 math.CO
Induced subgraphs of graphs with large chromatic number. IX. Rainbow paths
证明了对所有非负整数k，s，存在具有下列性质的c。设G是团数至多为k且色数大于c的图.则对G的每个点着色（不一定是最优的），G的某个诱导子图是s-点路，且它的所有点都有不同的颜色.这扩展了Gyarfas和Sarkozy最近的一个结果，他们证明了相同的结果（当k=2时），对于围长至少为5的图G。
2017-07-03 math.CO
Classification of Reconfiguration Graphs of Shortest Path Graphs With No Induced $4$-cycles
对于任何具有$a,b\in V(G)$的图$G$，可以形成关于$a$和$b$的最短路径重构图;我们将这样的图表示为$S(G,a,b)$。$S(G,a,b)$的顶点集是$G$中从$a$到$b$的所有最短路径的集合，而$V(S(G,a,b))$中的两个顶点$U,W$是相邻的，当且仅当表示$U$和$W$的路径的顶点集恰好有一个顶点不同。在最近的一篇论文[Asplund等人，\textit{Reconfiguration graphs of shortest paths}，离散数学\textbf{341}（2018），第10期，2938- 2948]，表明围长为5或更大的最短路径图是偶数圈和路径的完全不相交的并集。在本文中，我们通过分类所有最短路径图，没有诱导$4$ -圈，扩展了这一结果。
2018-08-28 math.CO
A sharp Ore-type condition for a connected graph with no induced star to have a Hamiltonian path
我们说一个图$G$有一条哈密尔顿路，如果它有一条包含$G$的所有顶点的路。对于图$G$，令$σ_2(G)$表示$G$的两个不相邻顶点的最小度和;对$σ_2(G)$的限制被称为Ore型条件。给定一个整数$t\geq 5$，证明了如果$n$顶点上的连通图$G$满足$σ_2(G)>{t-3\over t-2}n$，则$G$有一条与$K_{1, t}$同构的Hamilton路或诱导子图.此外，我们还刻画了所有的$n$ -顶点图$G$，其中$σ_2(G)={t-3\over t-2}n$和$G$既没有Hamilton路，也没有与$K_{1, t}$同构的诱导子图。这是Momège最近的一个类似结果，他在研究$t=4$时就研究了该病例。
2020-01-05 math.CO
Optimal Trickle-Down Theorems for Path Complexes via C-Lorentzian Polynomials with Applications to Sampling and Log-Concave Sequences
University of Waterloo（滑铁卢大学）；University of Washington（华盛顿大学）
通过C-洛伦兹多项式，研究路径复形的最优滴落定理，推导出顶链接谱扩张器的快速混合结果和对数凹性，并重新证明Heron-Rota-Welsh猜想及Stanley定理的推广。
2025-12-08 cs.CC cs.DS math.CO
On induced saturation for paths
对于图$H$，如果$G$不包含$H$的诱导拷贝，但是从$G$移除边或向$G$添加非边创建了$H$的诱导拷贝，则图$G$是$H$诱导饱和的。根据图$H$，不一定存在$H$诱导饱和图。事实上，Martin和Smith（2012）证明了不存在$P_4$诱导饱和图，其中$P_k$表示$k$顶点上的路径。Axenovich和Csikós（2019）询问了$k \ge 5$的$P_k$诱导饱和图的存在性;当$k\in\{2, 3\}$时，很容易构造这样的图。最近，Räty构造了一个图，它是$P_6$-诱导饱和的。本文证明了对于$k$的无穷多个值，存在一个$P_{k}$-诱导饱和图.更精确地说，我们找到了一个$P_{3n}$-诱导饱和图的每一个正整数$n$。因此，对于每个正整数$n$，我们构造了无穷多个$P_{3n}$-诱导饱和图。我们还证明了Kneser图$K(n,2)$对每个$n\ge 5$都是$P_6$诱导饱和的.
2019-07-12 math.CO
The path minimises the average size of a connected induced subgraph
本文证明在所有n阶图中，路径唯一最小化连通导出子图的平均阶数，证实了Kroeker-Mol-Oellermann猜想，推广了Jamison的树结果，并提供了更短的新证明。
2024-02-05 math.CO
Graphs containing finite induced paths of unbounded length
本文定义了包含无界长度有限诱导路径的 path-minimal 图，并基于一致递归序列和标记图的字典序和，构造了 $2^{\aleph_0}$ 个 age 两两不可比且良拟序的此类图。
2022-02-21 math.CO
Closing paths to cycles in symmetric graphs
本文研究对称图中路径闭合为环的问题，完全解决了顶点传递图、边传递图及非星形边传递图中路径长度阈值，并给出反例族。
2025-10-06 math.CO
On the Maximum Order of Induced Paths and Induced Forests in Regular Graphs
设$G$是一个图，$a(G)$，LIF $(G)$分别表示$G$的诱导森林和诱导线性森林的最大阶数.如果$G$是$n$阶的$r$ -正则图，则$a(G) \geq \frac{2}{r+1}n$ .在本文中，我们推广了这一结果，表明LIF $(G) \geq \frac{2}{r+1}n$。证明了对每个图$G$，$a(G) \geq \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{d_i+1}$，其中$d_1, \ldots, d_n$是$G$的度序列.在这里，我们猜想，对于每一个图$G$与$δ(G) \geq 2$，LIF $(G) \geq \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{d_i+1}$。
2019-11-06 math.CO
Tree-independence number and forbidden induced subgraphs: excluding a $6$-vertex path and a $(2,t)$-biclique
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Primorska（前斯拉夫尼亚大学）
研究排除6顶点路径和(2,t)-双 clique的图的树独立数上限，推进Dallard等人猜想的进展。
2026-04-02 math.CO
Treedepth and 2-treedepth in graphs with no long induced paths
Jagiellonian University（雅盖隆大学）；University College London（伦敦大学学院）
该研究聚焦无长诱导路径图中树深度与2-树深度的关联，证明2-树深度有界且无指定长度诱导路径的图树深度有界，还给出相关问题的渐近紧界，回应了已有学术疑问。
2026-07-30 math.CO
The (theta, wheel)-free graphs Part IV: induced paths and cycles
本文研究不含theta图和wheel图作为导出子图的图类，利用第二部分证明的基于团割集和2-连接的分解定理，解决了该图类中寻找导出路和环的相关问题。
2019-12-01 math.CO
Induced subgraph density. VII. The five-vertex path
Princeton University（普林斯顿大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文证明了关于五顶点路径$P_5$的Erdős-Hajnal猜想，表明无诱导$P_5$的图中存在大规模的 clique 或 stable set。
2026-02-23 math.CO
Metric properties of incomparability graphs with an emphasis on paths
我们描述了一些度量性质的不可比图。研究偏序集的不可比图中诱导或等距无限路的存在性问题。证明了如果偏序集的不可比图是连通的且具有无穷直径，则它包含无穷诱导路，并且如果度至少为$3$的顶点集的直径是无穷的，则该图包含一个诱导子图作为一个梳形图或一个风筝图.
2022-02-18 math.CO
Ramsey-goodness -- and otherwise
Chvátal，Rödl，Szemerédi和Trotter的一个著名结果（稍微弱化的形式）指出，对于每个自然数$Δ$，存在一个常数$r_Δ$，使得对于任何连通的$n$ -顶点图$G$，如果$n$足够大，则Ramsey数$R(G,G)$至多为$r_Δn$。1987年，Burr提出了一个强有力的猜想，暗示人们可以采取$r_Δ= Δ$。然而，Graham、Rödl和Rucienski通过将$G$作为一个合适的扩展图，证明了对于某个常数$c>0$，必然存在$r_Δ> 2^{cΔ}$。我们表明，使用扩展器是必不可少的：如果我们施加额外的限制，即$G$的带宽至多是某个函数$β(n) = o(n)$，则$R(G,G) \le (2χ(G)+4)n\leq (2Δ+6)n$，即，$r_Δ= 2Δ+6$就足够了。另一方面，我们表明，伯尔的猜想本身失败，甚至$P_n^k$，$k$次幂的路径$P_n$。Brandt证明了对于任何$c$，如果$Δ$足够大，则存在连通的$n$ -顶点图$G$与$Δ(G)\leqΔ$但与$R(G,K_3)>cn$ .我们表明，给定$Δ$和$H$，有$β>0$和$n_0$，使得如果$G$是一个连通图的$n\ge n_0$顶点与最大程度的$Δ$和带宽在最$βn$，那么我们有$R(G,H)=(χ(H)-1)(n-1)+σ(H)$，其中$σ(H)$是最小的大小的任何部分在任何$χ(…
2010-10-25 math.CO
Induced subgraph density. V. All paths approach Erdos-Hajnal
本文证明 Erdős-Hajnal 猜想对所有路径几乎成立：任意无路径 $H$ 的 $n$ 顶点图都含有规模至少为 $2^{(\log n)^{1-o(1)}}$ 的团或稳定集，将此前仅覆盖至多五顶点路径的结果推广到所有路径。
2024-10-21 math.CO
Reductions of Binary Trees and Lattice Paths induced by the Register Function
二叉树的寄存器函数（或Horton-Strahler数）是一个众所周知的组合参数。我们研究了一个减少过程的二叉树，它提供了一个新的解释寄存器功能的最大数量的减少，可以应用到一个给定的树。特别是，精确的渐近行为的某些子结构（“分支”），发生时，减少一棵树反复确定。以同样的方式，我们介绍了一个简单的二维格路径，从它的复杂性措施类似的寄存器功能可以得出减少。我们分析这个数量，以及（累积）的大小（迭代）减少晶格路径渐近。
2016-12-21 math.CO
Long induced paths in $K_{s, s}$-free graphs
本文用简短自洽的证明将含 $n$ 顶点路径的无 $K_{s,s}$ 图中诱导路径长度下界改进为 $(\log\log n)^{1-o(1)}$，与已有上界结合基本解决该长期问题。
2025-09-02 math.CO
Degree conditions restricted to induced paths for hamiltonicity of claw-heavy graphs
Broersma和Veldman证明了2-连通无爪无$P_6$图是Hamilton图。Chen等人通过证明每个2-连通重爪且无$P_6$的图都是Hamilton图来推广这一结果。另一方面，Li等人构造了一类2-连通图，它们是爪重图和$P_6$ - \emph{o} -重图，但不是Hamilton图.本文进一步给出了限制2-连通重爪图的诱导$P_6$的Ore型度条件，这些条件能保证图是Hamilton图。这改进了以前的一些相关结果。
2015-06-18 math.CO
Positroids Induced by Rational Dyck Paths
$(m,d)$类型的有理戴克路径是从$(0,0)$到$(m,d) \in \mathbb{Z}^2$的递增单位步长晶格路径，其从不超过对角线$y = (d/m)x$。另一方面，在基集$[d+m]$上秩为$d$的正拟阵是一种特殊类型的拟阵，它来自于完全非负的格拉斯曼拟阵。在本文中，我们描述了如何自然地分配一个秩$d$正拟阵的地面集$[d+m]$，我们称之为合理的Dyck正拟阵，每一个合理的Dyck道路类型$(m,d)$。我们表明，这样的分配是一对一。有几个家庭的组合对象在一对一的对应关系的一套positroids。在这里，我们的一些家庭的特征，我们生产的正，即格拉斯曼项链，装饰排列，乐图，移动等价类的plabic图。最后，我们描述了一个给定的有理Dyck正拟阵的拟阵多面体。
2017-06-29 math.CO
An Induced $A$-Path Theorem
Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）
该研究推广了Gallai定理到诱导图设置，证明了在移除特定顶点集合后，图中存在一定数量的反完备诱导$\mathcal{A}$-路径，并优化了相关参数的上限。
2026-09-02 math.CO
Induced subgraphs and tree decompositions III. Three-path-configurations and logarithmic treewidth
一个θ是一个图，它由两个不相邻的邻顶点和三条内部不相交的路径组成，每条路径的长度至少为2。对于图族$\mathcal{H}$，如果$G$的诱导子图中没有一个同构于$\mathcal{H}$的成员，则称图$G$是$\mathcal{H}$ -free的.本文证明了Sintiari和Trotignon的一个猜想：存在一个绝对常数$c$，使得每一个（theta，triangle）-free图$G$至多有树宽$c\log (|V(G)|)$ . Sintiari和Trotignon的一个构造表明，这个界是渐近最好的，并且（theta，triangle）-free图包括第一个已知的具有任意大但对数树宽的遗传类图。我们的主要结果实际上是上述猜想的推广，即对于除所谓的三路构型以及固定完全图之外的每个图$G$，树宽在$|V(G)|$中至多是对数的。因此，稳定集、顶点覆盖、控制集和着色等NP难问题都可以在不含三路构型和固定完全图的图中使用多项式时间算法求解。
2022-09-07 math.CO
Invariant random matchings in Cayley graphs
我们证明了任何不顺从的Cayley图都存在IID完美匹配因子。我们还证明了任何连通的d-正则顶点传递图都允许完美匹配。这两个结果意味着每个Cayley图都有不变的随机完美匹配。证明中的一个关键步骤是关于图形的结果，该结果也适用于有限图形。有限版本说，对于有限正则图的任何部分匹配，这是一个很好的扩展器，总是可以找到一个增广路径的长度是在一个不匹配的顶点的比率的多对数。
2012-11-11 math.CO math.DS math.PR
