Note on the Diameter of Path-Pairable Graphs
一个在$2k$顶点上的图是路可配对的，如果对于任意一对顶点，这对顶点可以用边不相交的路连接。目前已知的路可配对图族的长度直径不超过3。本文给出了一类直径为$d(G)=O(\sqrt{n})$的路可配对图，其中$n$表示图的顶点数.我们证明了我们的例子是极值的常数因子。
2014-07-27 math.CO
A Note on Powers of Paths in Tournaments
本文证明了$n$顶点上的每个竞赛图都包含长度为$n/2^{6k+7}$的有向路的$k$次幂，改进了$n/2^{2^{3k}}$的Scott和Korándi的最近界.通过这样做，我们得到了对$k$的逆指数依赖性，这是最好的可能性，因为Yuster最近证明了$kn/{2^{k/2}}$的上界。
2020-10-15 math.CO
Notes on Riordan arrays and lattice paths
本文探讨Riordan数组与格路径的联系，分析其推广形式及与不同步集格路径的关联，指出A-矩阵刻画在对应Riordan数组分析中的关键作用。
2025-04-13 math.CO
A note on 2-distant noncrossing partitions and weighted Motzkin paths
我们证明了Drake和Kim的一个猜想：$\{1,2,...,n\}$的$2$ -远距离非交叉划分的个数等于长度为$n$的Motzkin路的权之和，其中Motzkin路的权是包含斐波那契数的某些分数的乘积.我们给出了猜想的两种证明：一种是利用连分数，另一种是组合证明。
2010-11-02 math.CO
Note on islands in path-length sequences of binary trees
拓扑有序（字典）路径长度序列的二叉树的早期表征重新制定在一个完整性条件的缩放卡夫和某些连续性（全段，或岛屿）。缩放的Kraft和被看作是计算一组拓扑连续的叶子在一定水平上的祖先集合是一棵二叉树。
2014-09-12 math.CO
A note on the minimum skew rank of powers of paths
一个单图G的实最小斜秩是所有实斜对称矩阵中可能的最小秩，当{i，j}是G的边时，它的（i，j）-元（i不等于j）不为零，否则为零.本文研究了路的幂和严格幂的实最小斜秩问题。
2011-07-13 math.CO
A note on the rank of a sparse random matrix
设$\mathbf{A}_{n,m;k}$是随机$n \times m$矩阵，其元素来自某个字段$\mathbb{F}$，其中每列中恰好有$k$非零元素，其位置从所有${n \choose k}$可能性的集合中独立且均匀地随机选择。在以前的论文（arXiv：1806.04988）中，我们考虑了该模型中的随机矩阵的秩时，字段是$\mathbb{F}=GF(2)$。在本文中，我们指出，通过最小的修改，该论文的论点实际上允许类似的结果时，字段$\mathbb{F}$是任意的。特别地，对于任何字段$\mathbb{F}$和任何固定的$k\geq 3$，我们根据$c,n,k$确定$\mathbf{A}_{n,m;k}$的秩的渐近正确估计，其中$m=cn/k$和$c$是常数。即使非零元素的值是相反选择的，这个公式也有效。当$\mathbb{F}$是一个有限域时，我们还确定了当随机选择非零元素的值时，具有满行秩的阈值。
2020-02-18 math.CO
A Note on Large Degenerate Induced Subgraphs in Sparse Graphs
Department of Mathematics, Simon Fraser University（西蒙菲莎大学数学系）
本文研究图的最大d-退化诱导子图阶数问题，证明了k-退化图上的改进下界，还推导了有界亏格图的对应下界，推广了平面图退化子图的相关结论。
2025-11-18 math.CO
First order limits of sparse graphs: Plane trees and path-width
Nesetril和Ossona de Mendez引入了一阶收敛的概念，试图统一稀疏图和稠密图的收敛概念。已知存在图的一阶收敛序列而不需要极限建模（极限的解析表示）。在积极的一面，每一个一阶收敛序列的树或图没有长的路径（图有界树深度）有一个极限建模。我们加强这些结果表明，每一个一阶收敛序列的平面树（树嵌入在平面）和每一个一阶收敛序列的图有界路径宽度有一个极限建模。
2016-03-31 math.CO
A Note on Induced Path Decomposition of Graphs
设$G$是阶为$n$的图. $G$的路径分解是一组不相交的路径，比如说$\mathcal{P}$，它们覆盖了$G$的所有顶点。如果所有路径都是$G$中的诱导路径，则我们说$\mathcal{P}$是$G$的诱导路径分解。此外，如果每条路径的阶数至少为2，则我们说$G$有IPD。本文证明了每一个连通的$r$ -正则图，如果它不是奇阶完全图，则它允许一个IPD.我们还证明了每一个$n$阶连通二部三次图都有一个最大为$\frac{n}{3}$的IPD.我们对所有允许IPD的连通无爪图进行了分类。
2019-12-01 math.CO
A note on observables for counting trails and paths in graphs
我们指出，在一个简单的无向图的两个顶点之间，迹的总数和给定长度的路径的总数是作为特定工程量子力学观测量的期望值而得到的.这样的观测值与一些背景独立的引力理论和涌现几何学是有关联的。因此，我们指出了另一种情况，在这种情况下，物理理论的数学形式主义有一些涉及棘手问题的计算方面。
2009-05-29 math.CO
A Note on Graph Burning of Path Forests
本文研究路径森林的图燃烧数猜想，探讨使猜想成立的最小路径长度条件，并将其与不可燃尽路径森林及整数和集划分问题联系起来。
2024-07-16 math.CO
Note on the multicolour size-Ramsey number for paths
图$F$的大小拉姆齐数$\hat{R}(F,r)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，并且具有以下性质：$G$的边的任何着色都具有$r$颜色，产生$F$的单色副本。本文给出了Krivelevich最近结果的另一种证明，即$\hat{R}(P_n,r) = O((\log r)r^2 n)$ .这个上界几乎是最优的，因为也已知$\hat{R}(P_n,r) = Ω(r^2 n)$。
2018-06-23 math.CO
A note on the width of sparse random graphs
本文用直接证明重证超临界随机图秩宽与树宽结果，避免黑箱引用扩张定理并给出 ε 的显式界，还确定弱超临界区域中宽度的常数因子渐近。
2024-01-26 math.CO
Short note on the number of 1-ascents in dispersed dyck paths
长度为n的色散戴克路径（DDP）是$N\times N$上从（0，0）到（n，0）的晶格路径，其中允许以下步骤：“上”（x，y）$\to$（x+1，y+1）;“下”（x，y）$\to$（x+1，y-1）;以及“右”（x，0）$\to$（x+1，0）。DDP中的上升是连续上升步骤的包含方式最大序列。1-ascend是一个上升的步骤组成的正好1。本文给出了Sloane OEIS中所有长度为n的离散Dyck路A191386的1-上升总数的一个闭公式。以前，只有隐式生成函数关系和渐近性是已知的。
2016-03-04 math.CO
Strongly minimal Steiner Systems III: Path graphs and sparse configurations
我们介绍了一个统一的方法证明以下结果。对于{ \em each}以下条件，存在满足该条件的Steiner系统的$2^{\aleph_0}$族：i）定理2.2.4：（扩展\cite{Chicoetal}）每个Steiner三元系是$\infty$ -稀疏的，并且具有均匀但不完美的路图; ii）（定理5.4.2：（扩展\cite{CameronWebb}）每个Steiner $k$系统（对于$k=p^n$）是$2$ -传递的，并且具有一致路径图（仅限无限圈）; iii）定理2.1.5：（推广\cite{Fujiwaramitre}，每一个都是反Pasch（anti-mitre））; iv）定理3.6有一个显式的拟群结构。在每种情况下，所有的家庭成员满足相同的完整的强极小理论，它有$\aleph_0$可数模型和一个模型的每个不可数基数。
2022-01-27 math.CO
A note on the number of triangles in graphs without the suspension of a path on four vertices
路径$P_4$的悬挂由一个$P_4$和连接到四个顶点中的每一个的附加顶点组成，并且由$\hat{P_4}$表示。无$\hat{P_4}$的$n$顶点图中三角形的最大数目用$ex(n,K_3,\hat{P_4})$表示. Mubayi和Mukherjee在2020年的研究表明，$ ex(n,K_3,\hat{P_4})= n^2/8+O(n)$。我们表明，对于足够大的$n$，$ex(n,K_3,\hat{P_4})=\lfloor n^2/8\rfloor$。
2022-03-23 math.CO
Note on Path-Connectivity of Complete Bipartite Graphs
对于一个图$G=(V,E)$和一个大小至少为$2$的集合$S\subseteq V(G)$，$G$中的一条路被称为$S$ -路，如果它连接$S$的所有顶点。如果$E(P_1)\cap E(P_2)=\emptyset$和$V(P_1)\cap V(P_2)=S$是两个$S$ -路径，则称$P_1$和$P_2$是内部不相交的。令$π_G (S)$表示$G$中内部不相交的$S$ -路径的最大数目。然后将$G$的$k$ -路径连通性$π_k(G)$定义为最小值$π_G (S)$，其中$S$的范围覆盖$V(G)$的所有$k$ -子集。在[M. Hager，Path-connectivity in graphs，Discrete Math.59（1986），53- 59]，计算了完全二部图$K_{a,b}$的$k$ -路连通度，其中$k\geq 2$ .但是，从他的证明来看，只考虑了$2\leq k\leq min\{a,b\}$的情况。本文对$min\{a,b\}+1\leq k\leq a+b$的情况进行了计算，并对结果进行了补充.
2020-08-10 math.CO
A note on the Gyárfás-Sumner conjecture
Gyárfás-Sumner猜想说，对于每一棵树$T$和每一个整数$t\ge 1$，如果$G$是一个没有$t$大小的团且色数足够大的图，则$G$包含一个同构于$T$的诱导子图。这仍然是开放的，但我们证明，在相同的假设下，$G$包含一个子图$H$同构于$T$是"路径诱导“，也就是说，对于一些著名的顶点~ $r$，每一条路径的$H$与一端$r$是诱导路径的$G$。
2023-02-17 math.CO
Note on the thickness of the Cartesian product of a complete graph and a path
Tokyo University of Science（东京科学大学）
研究确定了完全图与路径的笛卡尔积的厚度，包括K_{6p+4}□P_2和K_8□P_m的结构特性。
2026-10-14 math.CO
Notes on Nonrepetitive Graph Colouring
一个图的顶点着色是\emph{nonrepetitive on paths}，如果不存在路径$v_1,v_2,...,v_{2t}$使得v_i和v_{t+i}对于所有i = 1，2，.接收相同的颜色，t.我们确定的最大密度的一个图，承认一个k-着色是nonrepeating的路径。我们证明了每一个图有一个细分，承认4-着色是不重复的道路。最好的上一个边界是5。我们还研究着色是nonrepeating散步，并提供了一个猜想，这将意味着，每一个最大程度的$Δ$图有一个$f(Δ)$-着色是nonrepeating散步。我们证明了每一个图的树宽k和最大程度$Δ$有$O(kΔ)$-着色是不重复的路径，和$O(kΔ^3)$-着色是不重复的散步。
2007-07-18 math.CO
Hamilton completion and the path cover number of sparse random graphs
本文证明稀疏随机图 $G(n,c/n)$ 在 $c$ 足够大时，高概率可用至多 $(1+\varepsilon)\cdot \frac{1}{2}ce^{-c} \cdot n$ 条顶点不相交路径覆盖，等价于添加同样数量的边可使其成为哈密顿图，且结果紧。
2023-12-25 math.CO
A note on rainbow saturation number of paths
对于固定图$F$和整数图$t$，$F$的\dfn{rainbow saturation number}，记为$sat_t(n,\mathfrak{R}(F))$，定义为$t$边着色图中不包含$F$的\dfn{rainbow copy}的$n$顶点上的最小边数，即，$F$的副本，其所有边都接收不同的颜色，但添加$[t]$中任何颜色的任何缺失边都会创建这样的彩虹副本。Barrus，Ferrara，Vardenbussche和Wenger证明了$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\ge n-1$对于$\ell\ge 4$和$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell-1} \rceil \cdot \binom{\ell-1}{2}$对于$t\ge \binom{\ell-1}{2}$，其中$P_\ell$是一条有$\ell$边的路。在这个简短的说明中，我们提高了上界，并表明，$sat_t(n,\mathfrak{R}(P_\ell))\le \lceil \frac{n}{\ell} \rceil \cdot \left({{\ell-2}\choose {2}}+4\right)$的$\ell\ge 5$和$t\ge 2\ell-5$。
2020-01-17 math.CO
Note on Terminal-Pairability in Complete Grid Graphs
我们肯定地回答和推广了Kubicka，Kubicki和Lehel关于高维完全格图的路对问题.作为一个有趣的副产品，我们的结果，我们显着提高估计的必要最大程度的路径配对图，一个问题最初提出和研究的Faudree，Gyárfás，和Lehel。
2016-06-22 math.CO
A Note on Norine's Antipodal-Colouring Conjecture
Norine的对映体着色猜想，在一个形式给出的Feder和Subi，断言，每当边缘的离散立方体是2色必须存在一个路径之间的两个相对的顶点，沿最多有一个颜色的变化。到目前为止，最好的界限是必须存在这样一条路径，其中最多有$n/2$颜色变化。本文的目的是将这个上界改进为$(\frac{3}{8}+o(1))n$。
2019-12-16 math.CO
A Note on Distinguishing Trees with the Chromatic Symmetric Function
对于树$T$，考虑它的最小子树$T^{\circ}$包含度至少为$3$的所有顶点。然后，$T$的剩余边位于不相交的路径上，每个路径的一个端点在$T^{\circ}$上。我们证明了$T$的色对称函数决定了$T^{\circ}$的大小，以及这些入射路径的长度的多集。特别是，这概括了马丁，莫林和瓦格纳的证明，色对称功能区分蜘蛛。
2021-06-08 math.CO
A quasi-optimal upper bound for induced paths in sparse graphs
Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；ENS de Lyon（里昂高等师范学院）；Université Claude Bernard Lyon 1（里昂第一大学）
本文研究稀疏图中诱导路径的上界，提出2退化图中存在长路径且诱导路径的上界为O((log log n)^{1+o(1)})。
2026-02-12 cs.DM math.CO
Sparse graphs without long induced paths
本研究证伪了Esperet等人关于有界退化图长路径对应诱导路径界的猜想，构造出含n阶路径但诱导路径仅O((log log n)^2)阶的2-退化图，并证明其着色数线性有界。
2023-12-20 cs.DM math.CO
Notes on Tree- and Path-chromatic Number
树-色数是树宽的一个色版本，其中树分解中袋的成本由其色数而不是其大小来度量。路-色数的定义类似.这些参数由Seymour（JCTB 2016）引入。本文综述了树色数和路色数的所有已知结果，并给出了一些新的结果和定理。特别地，我们提出了树-色数的Hadwiger猜想。为了证明我们的猜想可能比Hadwiger猜想更容易处理，我们给出了一个简短的证明：每个$K_5$ -minor free图最多有树色数$4$，避免了四色定理.我们也给出了计算树和路的色数的一些困难结果和图解.
2020-07-09 cs.DM math.CO
Paths between colourings of sparse graphs
图~ $G$的$k$ -着色的重构图$R_k(G)$具有$G$的所有可能的$k$ -着色的集合作为顶点集，并且如果两个着色在一个顶点上不同，则两个着色是相邻的。我们给出了Bousquet和Perarnau（\emph{European Journal of Combinatorics}，2016）的以下定理的简短证明。令$d$和$k$为正整数，$k \geq d + 1$。对于每个$ε> 0$和每个具有$n$顶点和最大平均度$d - ε$的图$G$，存在一个常数$c = c(d, ε)$使得$R_k(G)$具有直径$O(n^c)$ .我们的证明可以转化为一个简单的多项式时间算法，找到一个路径之间的一对给定的着色$R_k(G)$。
2020-12-12 cs.DM math.CO
A note on increasing paths in countable hypergraphs
Müller和Rödl的一个旧的结果指出，一个可数图$G$有一个子图，其顶点都有无限度当且仅当对$G$的任意顶点用正整数标号，都能找到一条无限增路。最近，Arman，Elliott和Rödl将这个问题扩展到线性$k$ -一致超图$H$，并推广了顶点标号的原始等价性。他们问是否Reiterman的结果边缘标签可以类似地扩展。对于$H$只允许1/2个Berge圈的情形，我们证实了这一点.
2022-12-03 cs.DM math.CO
Sparse Graphical Designs via Linear Programming
本文提出一种基于线性规划的方法，通过设计目标函数在图上函数采样与数值积分中实现稀疏图设计，并最大化其准确性，最后用纽约市黄色出租车数据验证了该方法。
2023-09-15 math.CO math.OC
