On the dimension of planar self-affine sets with non-invertible maps
本文研究了生成迭代函数系统包含不可逆仿射映射的平面自仿集的维数，证明了在特定分离条件下其维数通常等于亲和维数，但在某些参数选择下严格小于亲和维数。
2023-07-31 math.DS
The dimension of projections of planar diagonal self-affine measures
本文证明在无理性条件下，平面对角自仿射测度在任意非主正交投影下的豪斯多夫维数等于1与其自身维数的最小值。
2025-02-05 math.DS
Hausdorff measure of dominated planar self-affine sets with large dimension
HUN-REN–BME Stochastics Research Group（匈牙利研究与创新网络-布达佩斯理工大学随机过程研究组）
研究平面受控自仿射集在其仿射维数下的豪斯多夫测度，证明其豪斯多夫测度正且有限等价于凯埃迈基测度是质量分布，在开有界邻域条件下给出相关等价条件及示例。
2026-07-07 math.DS
Hausdorff dimension of planar self-affine sets and measures
设$X=\bigcupφ_{i}X$是$\mathbb{R}^2$中的强分离自仿射集（或满足强开集条件的自仿射集）.在对$φ_{i}$的矩阵部分作轻度非紧性和不可约性假设的情况下，证明了$\dim X$等于仿射维数，自仿射测度和李雅普诺夫维数也是如此.证明是通过分析的措施的正交投影的维数，并依赖于加法组合数学方法。
2017-12-20 math.DS math.MG
Periodicity of certain piecewise affine planar maps
确定了欧氏平面上某些分段仿射映射的周期点和非周期点。利用这些映射，我们证明了对于$λ\in\{\frac{\pm1\pm\sqrt5}2,\pm\sqrt2,\pm\sqrt3\}$，所有满足$0\le a_{k-1}+λa_k+a_{k+1}<1$的整数序列$(a_k)_{k\in\mathbb Z}$都是周期的.
2008-09-16 cs.DM math.DS math.NT
On the connectedness of planar self-affine sets
本文研究了由具有特征多项式$f(x)=x^2+bx+c$的整数展开矩阵$A$和一个数字集$\mathcal{D}=\{0,1,\dots, m\}v$所产生的平面自仿射集$T(A,\mathcal{D})$的连通性。给出了仅依赖于$b,c,m$的$T(A,\mathcal{D})$连通的充要条件。此外，我们还考虑了${\mathcal D}$是非连续共线的情况。
2014-04-25 math.DS math.GN math.GT
Growth of heights in piecewise-affine planar maps
我们考虑增长的高度点的轨道（分段）仿射映射的平面，合理的参数。我们分析了全局和局部（$p$ -adic）高度的渐近增长率，用于划分参数的素数$p$。我们证明了几乎所有的点在一个区域的线性（如一个椭圆岛的面积保持映射）有相同的指数增长性率。我们还表明，收敛的$p$ -adic高度可能是不均匀的，任意大的波动发生任意接近任何点。我们探讨数值的行为高度在混乱的地区，在面积保持和耗散系统。
2014-08-19 math.DS
Hausdorff Dimension of Planar Self-Affine Sets and Measures with Overlaps
证明了如果$μ$是平面上的自仿射测度，其定义IFS完全不可约地作用在$\mathbb{RP}^1$上，且满足指数分离条件，则其维数等于其Lyapunov维数.我们还讨论了一类可约系统。这将我们以前与巴拉尼的研究扩展到了重叠的情况。
2019-05-03 math.DS math.MG
On the $L^q$-spectrum of planar self-affine measures
研究了一类平面自仿射多重分形测度的维数论。这些测度是作者引入的支撑在盒状自仿射集上的Bernoulli测度，它们是由单位正方形到边平行于轴的矩形的收缩仿射映射构成的迭代函数系统的吸引子。这个类包含了Feng和Wang最近考虑的自仿射测度以及许多其他测度。特别是，我们允许定义的地图有非平凡的旋转和反射组件。在矩形开集条件下，利用$q$ -修正的奇异值函数计算了$L^q$ -谱.我们的结果的一个关键应用是一个\emph{closed form expression}的$L^q$ -频谱的情况下，没有映射切换坐标轴。这是有用的计算目的，也使我们能够证明可微的$L^q$ -频谱在$q=1$在更困难的“非乘法”的情况。这有关于豪斯多夫，包装和熵尺寸的措施，以及豪斯多夫和包装维的支持的应用。由于可能包含轴反转映射，我们将Peres和Solomyak关于自相似测度的$L^q$ -谱的存在性的一些结果推广到图定向情形.
2013-10-15 math.DS
The box dimensions of exceptional self-affine sets in $\mathbb{R}^3$
研究了由有限个广义置换矩阵构成的$\mathbb{R}^3$中自仿射集的盒维数。我们得到的尺寸，非常小的假设，并在许多情况下产生尖锐的结果。在将完善的平面理论扩展到$\mathbb{R}^3$中存在许多问题，包括主平面投影是具有重叠的自仿射集（而不是自相似集）（的仿射失真），并且自然修改的奇异值函数通常不能是次乘法的。我们介绍了几种新的技术来处理这些问题，并希望提供一些深入了解的挑战，进一步扩展理论。
2019-07-17 math.CA math.DS math.MG
Finer geometry of planar self-affine sets
Budapest University of Technology and Economics（布达佩斯理工大学）；University of Eastern Finland（东芬兰大学）；Chongqing University（重庆大学）
本文研究平面自仿集在强分离条件下更精细的几何性质，探讨了豪斯多夫维数、仿射维数和阿赫尔弗斯正则性的关系，并提供了相关维度的示例和理论推导。
2026-03-04 math.DS
Topology of planar self-affine tiles with collinear digit set
我们考虑具有如下定义的共线数字集的自仿射瓦片。设$A,B\in\mathbb{Z}$满足$|A|\leq B\geq 2$，且$M\in\mathbb{Z}^{2\times2}$是具有特征多项式$x^2+Ax+B$的整数矩阵.此外，令$\mathcal{D}=\{0,v,2v,\ldots,(B-1)v\}$对于某些$v\in\mathbb{Z}^2$，使得$v,M v$线性无关。我们感兴趣的是由$M\mathcal{T}=\bigcup_{d\in\mathcal{D}}(\mathcal{T}+d)$定义的自仿射瓦片$\mathcal{T}$的拓扑性质。Lau和Leung证明了$\mathcal{T}$同胚于闭圆盘的充要条件是$2|A|\leq B+2$ .特别是，$\mathcal{T}$没有临界点。本文证明了$\mathcal{T}$有割点当且仅当$2|A|\geq B+5$。对于$2|A|-B\in \{3,4\}$，$\mathcal{T}$的内部是不连通的，并且$\mathcal{T}$内部的每个连通分量的闭包同胚于闭圆盘。
2018-01-09 math.DS math.GN
Dimensions of random affine code tree fractals
本文计算了一类随机仿射平面码树分形的几乎处处Hausdorff维数。描述随机性的概率测度集包括随机$V$-变量和齐次马尔可夫结构中的自然测度。
2012-02-01 math.CA math.DS math.PR
Analyticity of the affinity dimension for planar iterated function systems with matrices which preserve a cone
K. K提出了仿射迭代函数系统（IFS）的次可加压力函数$P(s)$和仿射维数，定义为$s_0$到$P(s_0)=1$的唯一解。Falconer在他1988年关于自仿射分形的开创性论文中。仿射维数规定了自仿射集的豪斯多夫维数的值，已知该值在一般情况下和越来越多的显式情况下是正确的。Feng和Shmerkin在2014年证明了亲和度维度持续依赖于IFS。本文证明了当定义IFS的仿射函数的线性部分是严格保持公共锥的$2 \times 2$矩阵时，次可加压力是局部实解析的，是仿射函数线性部分的矩阵系数的函数.在这种情况下，我们还表明，次加性压力是分段实解析的$s$，这意味着亲和维数是局部解析的矩阵系数。结合这与最近的结果Bárány，Hochman和Rapaport，我们得到的结果有关的解析性的豪斯多夫维数的某些家庭的平面自仿射集。
2019-04-16 math.DS
Fast approximation of the affinity dimension for dominated affine iterated function systems
1988年K. Falconer介绍了一个公式，预测值的豪斯多夫维数的吸引子的仿射迭代函数系统。由这个公式给出的值--有时被称为亲和维数--被认为与豪斯多夫维数在一般情况下和越来越多的显式情况下都是一致的。然而，它是一个非平凡的问题，估计特定的迭代函数系统的亲和维数的数值。本文推广了M. Pollicott和P. Vytnova关于亲和维数的计算。波利科特和Vytnova的工作适用于平面可逆仿射收缩与积极的线性部分在几个额外的条件下，其中除其他事项外，约束的亲和维数为0和1之间。我们通过从平面自仿射集到任意维度的自仿射集，放松正性假设到支配条件，并去除所有其他约束，包括对亲和度的值域的约束，来扩展这一结果。我们提供了一些明确的例子，二维和三维仿射迭代函数系统的亲和维数可以计算到30个以上的小数位。
2021-11-29 math.DS math.MG
Assouad type dimensions for self-affine sponges
我们研究了自仿射海绵的Assouad和较低维度;贝德福德和麦克马伦的平面自仿射地毯的高维类似物。我们的技术涉及弱切线的麦凯和泰森以及正则性的加倍措施的背景下，研究了Bylund和Gudayol。
2016-06-06 math.CA math.DS math.MG
On the dimension of triangular self-affine sets
作为同一作者最近工作（arXiv：1504.07138）的继续，本文研究了对角齐次三角平面自仿射IFS的维数论理论.
2016-10-27 math.DS
On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps
在本文中，我们考虑对角仿射，平面IFS $Φ=\left\{S_i(x,y)=(α_ix+t_{i,1},β_iy+t_{i,2})\right\}_{i=1}^m$。结合Hochman和Feng，Hu的技巧，我们计算了自仿射吸引子和测度的豪斯多夫维数，并给出了参数例外集维数的上界.
2015-12-23 math.DS
Triangular Gatzouras-Lalley-type planar carpets with overlaps
我们构造了一个家庭的平面自仿射地毯重叠使用下三角形矩阵的方式，推广了原来的Gatzouras-Lalley地毯定义的对角矩阵。假设矩形开集条件下，Baraenski证明了这种结构的典型参数，可以明确检查，豪斯多夫之间的不等式，框和亲和维数的吸引子是严格的。我们将这一结果推广到重叠的结构，在那里我们允许完整的列沿水平轴移动或允许平行四边形在列内以横向方式重叠。我们的主要结果是显示充分条件下，这些重叠不会导致下降的尺寸的吸引子。几个例子来说明的结果，包括自仿射笑脸，一个家庭的自仿射连续曲线，重叠的例子和我们的结果应用到一些三维系统。
2019-01-01 math.DS math.MG
Fibre stability for dominated self-affine sets
该研究在平面自仿集的弱支配条件下，无需分离或不可约假设，证明了后向Furstenberg方向的纤维维数公式，核心创新是用鸽巢论证得到弱切切片的放大结果，强分离条件下还可得到对应于原集合的等式。
2024-12-09 math.CA math.DS math.MG
A variational principle relating self-affine measures to self-affine sets
本文将 Morris–Shmerkin 变分原理推广至 R^d 仿射迭代函数系统，并借助关于 Zariski 稠密 Schottky 半群的代数结果，把 Rapaport 的三维自仿射测度维数定理扩展为自仿射集维数刻画。
2023-04-27 math.DS
On equality of Hausdorff and affinity dimensions, via self-affine measures on positive subsystems
在较弱的条件下，我们证明了平面自仿射集的仿射维度等于原集的自仿射真子集上支持的自仿射测度的李雅普诺夫维度的上确界。这些自仿射子集可以被选择为具有更强的分离特性，并且以这样的方式使得它们的仿射的线性部分是正矩阵。结合最近在自仿射测度及其相关Furstenberg测度研究中的一些突破，我们得到了自仿射集的豪斯多夫维数等于其仿射维数的新判据.例如，应用Barány，Hochman-Solomyak和Rapaport的最新结果，我们提供了新的显式自仿射集的例子，其豪斯多夫维数等于其亲和维数，并且其线性部分不满足任何控制假设。
2017-03-29 math.CA math.DS
The Assouad dimension of self-affine carpets with no grid structure
以前的研究Assouad维度的平面自仿射集在很大程度上依赖于基本的IFS有一个“网格结构”，从而允许使用近似平方。我们研究了一类没有相关网格结构的自仿射地毯的Assouad维数。我们发现Assouad维数与自仿射集在第一个坐标上的（自相似）投影的盒维数和Assouad维数以及自然Bernoulli测度在第一个坐标上的投影的局部维数有关。在一个特殊的情况下，我们与Assouad维数的Przytycki-Urbausski集的低局部维数的伯努利卷积。
2016-12-22 math.CA math.DS math.NT
Pointwise regularity of parameterized affine zipper fractal curves
研究了由仿射映射生成的拉链分形曲线的点态正则性。在指数-1支配分裂的假设下，计算了谱的一个子区间上点态Hölder指数水平集的豪斯多夫维数.给出了几乎所有点的Lebesgue正则点态Hölder指数存在性的一个等价刻画.在这种情况下，我们将多重分形分析扩展到全谱。特别是，我们的结果适用于德拉姆曲线。
2017-07-12 math.DS
Dimension maximizing measures for self-affine systems
本文研究了线性部分满足控制分裂和强分离条件的平面自仿射集的维数论。本文的主要结果是维数最大化Gibbs测度（Käenmäki测度）的存在性.为了证明这一现象，我们证明了Ledrappier-Young公式对Gibbs测度成立，并在射影空间上引入了强稳定方向的横截型条件。
2016-04-26 math.DS
Graphs of continuous but non-affine functions are never self-similar
本文证明了连续函数的图像自相似当且仅当该图像为直线（即底层函数为仿射函数），推广了关于光滑平面曲线自相似性的结论。
2024-10-16 math.DS
$L^q$-spectra of self-affine measures: closed forms, counterexamples, and split binomial sums
我们研究了对角系统生成的平面自仿射测度的$L^q$ -谱，重点是提供闭合形式的表达式。我们回答了Fraser在2016年提出的一个否定的问题，证明了某个自然的封闭形式表达式通常不会给出$L^q$ -谱，并使用类似的方法，找到了2007年Falconer-Miao的一个陈述和2008年Miao关于一般自仿射测度的广义维数的封闭形式表达式的一个猜想的反例。在积极的方向上，我们提供了新的非平凡的封闭形式的界限，在上述两种设置，在某些情况下产生尖锐的结果。我们还提供了自仿射措施的例子，其$L^q$ -频谱表现出新类型的相变。我们的例子依赖于一个组合估计的指数增长性某些分裂二项式和。
2018-11-08 math.CA math.DS math.MG
Dimension of planar non-conformal attractors with triangular derivative matrices
该研究针对非共形非仿射映射构成的参数化迭代函数系统，引入横截性条件并结合弱Ledrappier-Young公式，证明几乎所有参数下吸引子和拟Bernoulli测度的维数分别对应次可加压的根与Lyapunov维数，还给出了满足条件的具体实例。
2024-08-15 math.DS
Local structure of self-affine sets
具有开集条件的自相似集在放大条件下结构不变。对于自仿射集，情况完全不同。我们考虑贝德福德、麦克马伦、加佐拉斯和拉利研究的平面自仿射康托集E，它在水平轴上的投影是一个区间。我们证明了在E中几乎每个点x的正方形邻域内，对于地址空间上的许多积测度，E可以由一个区间和一个康托尔集的积集很好地逼近。即使E是全不连通的，其极限集也具有区间纤维的乘积结构，类似于混沌可微动力系统的吸引子.
2012-04-17 math.DS
On the Ledrappier-Young formula for self-affine measures
Ledrappier和Young在紧致流形上引入了熵、李雅普诺夫指数和非线性同态的不变测度的维数之间的关系。本文证明了平面上的自仿射测度满足Ledrappier-Young公式，如果对应的迭代函数系（IFS）满足强分离条件，线性部分满足控制分裂条件.我们得到了充分条件，Ledrappier和Falconer和Kempton的启发，这样的自仿射测度的维数等于李雅普诺夫维数。给出了Hueter-Lalley定理的另一种证明，并讨论了下三角形矩阵生成的自仿射测度和集.
2015-06-02 math.DS
Pseudo-self-affine tilings in R^d
证明了R^d中的每一个伪自仿射镶嵌都与一个自仿射镶嵌相互局部可导。伪自相似镶嵌的衍生Voronoi镶嵌的表征是一个推论。以前，这些结果是在平面的情况下，与普里贝弗兰克。新方法是基于Lagarias和Wang提出的图定向迭代函数系统和置换Delone集理论。
2005-10-02 math.DS math.MG
Improved dimension theory of sofic self-affine fractals
该研究建立了任意欧氏空间中自仿射分形Hausdorff维数的组合表达式，推广了平面sofic集相关研究，给出高维sofic集精确维数及平面两类维数相等的条件，同时补充了相关先行研究说明与后续工作进展。
2024-12-16 math.DS
Digit frequencies and self-affine sets with non-empty interior
本文研究了非整数基上的展开式和具有非空内部的自仿射集的数字频率。在非整数基的扩展，我们表明，如果$β\in(1,1.787\ldots)$，那么每一个$x\in(0,\frac{1}{β-1})$有一个简单的正常的$β$ -扩展。我们还证明，如果$β\in(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})$，那么每个$x\in(0,\frac{1}{β-1})$有一个$β$ -扩展的数字频率不存在，和一个$β$ -扩展的限制频率为零$p$，其中$p$是任何实数充分接近$1/2$。对于一类平面自仿射集，证明了如果水平收缩位于某个参数空间中，而垂直收缩充分接近于$1,$，则每个非平凡垂直纤维都包含一个区间.我们的方法有助于明确的计算，并产生新的例子与非空内部的自仿射集。我们的方法的一个特别优点是，它允许在垂直方向上的不同收缩率。
2017-01-24 math.CA math.DS math.NT
On self-affine measures associated to strongly irreducible and proximal systems
设$μ$是与仿射IFS $Φ$和正概率向量$p$相关联的$\mathbb{R}^{d}$上的自仿射测度。假设$Φ$中的映射没有公共不动点，并且它们的线性部分满足标准的不可约性和邻近性假设。证明了当$d=3$和$Φ$满足强分离条件（或较弱的强开集条件）时，$\dimμ$等于Lyapunov维数$\dim_{L}(Φ,p)$.这是从确保$\dimμ=\min\{d,\dim_{L}(Φ,p)\}$的一般标准得出的，平面情况下的早期结果也是从该标准得出的。此外，我们证明了$\dimμ=d$时$Φ$丢番图（例如，当$Φ$是由代数参数定义）和由$Φ$和$p$产生的随机游走的熵至少是$(χ_{1}-χ_{d})\frac{(d-1)(d-2)}{2}-\sum_{k=1}^{d}χ_{k}$，其中$0>χ_{1}\ge...\geχ_{d}$是李雅普诺夫指数。我们还得到了关于$μ$的正交投影的维数的结果。
2022-12-14 math.DS
Tangents and slices of self-affine carpets
本文研究平面自仿地毯的精细标度性质，给出Gatzouras–Lalley地毯最大切线Hausdorff维数的精确公式，证明临界指数下大切线点集具完全Hausdorff测度，并构造Barański地毯使最大切线点集维数严格小于原地毯。
2026-08-27 math.DS
Assouad-type Dimensions of Overlapping Self-affine Sets
本文研究平面内投影满足分离条件但允许任意重叠的受支配矩形自仿射集，通过符号非自治迭代函数系统与符号切片建立 Assouad 及拟 Assouad 维数公式，并证明强分离下二者也可不同。
2023-12-03 math.DS math.MG
On the coincidence of the Hausdorff and box dimensions for some affine-invariant sets
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
研究了某些仿射不变集的豪斯多夫维数和盒维数相等性，证明了在s≤2时三者等价，且在s≥3时发现新的现象，通过概率方法建立了贝福德-麦克穆伦海绵体的等价性。
2024-05-06 math.DS
