Dimensions of random affine code tree fractals
Esa Järvenpää, Maarit Järvenpää, Antti Käenmäki, Henna Koivusalo, Örjan Stenflo, Ville Suomala
本文计算了一类随机仿射平面码树分形的几乎处处Hausdorff维数。描述随机性的概率测度集包括随机$V$-变量和齐次马尔可夫结构中的自然测度。
We calculate the almost sure Hausdorff dimension for a general class of random affine planar code tree fractals. The set of probability measures describing the randomness includes natural measures in random $V$-variable and homogeneous Markov constructions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Recurrence to shrinking targets on typical self-affine fractals
我们探讨的问题，找到豪斯多夫维数的一组点，返回到收缩目标的自仿射分形。更确切地说，我们研究了一个相关的符号递归集的维数。在许多情况下，这个集合等价于分形上的循环集合。
Fractal Homeomorphism for Bi-affine Iterated Function Systems
研究了两个双仿射迭代函数系统吸引子之间的分形同胚。在对双仿射函数进行一般性讨论后，给出了双仿射迭代函数系是压缩的，从而保证吸引子的条件。在对分形同胚进行一般性讨论后，对一类特殊的双仿射迭代函数系统构造了分形同胚。
Random affine code tree fractals: Hausdorff and affinity dimensions and pressure
证明了随机仿射码树分形的仿射维数几乎必然等于压力函数的唯一零点。因此，我们表明，Hausdorff，包装和盒计数尺寸等系统是等于零的压力。特别是，我们不假定Falconer-Sloan条件或任何其他附加假设的有效性，这些假设在所有先前已知的结果中是必不可少的。
Random affine code tree fractals and Falconer-Sloan condition
在$\mathbb R^d$中计算了一类随机仿射码树分形的几乎必然维数。结果是基于概率版本的Falconer-Sloan条件$C(s)$中引入的\cite{FS}。我们验证，在一般情况下，系统具有少量的地图不满足条件$C(s)$。然而，存在一个自然数$n$，使得对于典型的系统，所有迭代到级别$n$的族满足条件$C(s)$。
Non-affine fractal hypersurfaces: construction and dimensions
本文提出在$\mathbb{R}^n$的$n$-单纯形上构造非仿射超曲面的方法，并估计了非仿射多元实值分形函数图像的分形维数及其不变概率测度的Hausdorff维数上界。
Hausdorff dimension of certain random self--affine fractals
在这项工作中，我们感兴趣的自仿射分形研究的Gatzouras和Lalley和作者推广了著名的一般Sierpinski地毯研究的贝德福德和McMullen。我们给出了一个公式的豪斯多夫维数的集合是随机产生的使用有限数量的自仿射变换每一个产生一个分形集如前所述，与一些技术假设。变换的选择根据伯努利测度是随机的。该公式是根据维数的变分原理给出的。
Badly approximable systems of affine forms, fractals, and Schmidt games
一个仿射形式的差逼近系统由一个矩阵和一个向量决定。我们表明Kleinbock的猜想的仿射形式的严重逼近系统：对于任何固定的向量，一组严重逼近系统的仿射形式是获胜（在施密特游戏的意义上），即使限制到一个分形（从某个大类的分形）。此外，我们考虑固定矩阵而不是向量，其中模拟语句成立。
Projections of self-affine fractals
该研究扩展Falconer关于自仿射分形维度的结果到投影维度，通过开发的技术构建新现象例子，包括自仿射分形上非精确维投影的平衡测度例子，以及强不可约自仿射集且和集小无算术共振。
Pointwise regularity of parameterized affine zipper fractal curves
研究了由仿射映射生成的拉链分形曲线的点态正则性。在指数-1支配分裂的假设下，计算了谱的一个子区间上点态Hölder指数水平集的豪斯多夫维数.给出了几乎所有点的Lebesgue正则点态Hölder指数存在性的一个等价刻画.在这种情况下，我们将多重分形分析扩展到全谱。特别是，我们的结果适用于德拉姆曲线。
Fractal Dimension of Self-Affine Signals: Four Methods of Estimation
本文作为2016年6月6日至10日在希腊科孚岛举行的第三十六届欧洲动力学日上展示的海报的补充材料。利用分形复杂性分析的四种方法对两类自仿射信号的分形维数（$D$）进行了估计。这些方法包括计算分形维数的Higuchi方法、谱衰减估计（$β$）、广义Hurst指数（$H$）和去趋势波动分析。对于自仿射过程，分形维数、赫斯特指数和谱衰减之间的下一个关系是有效的：$D=2-H=\frac{5-β}{2}$。因此，分形维数可以从任何列出的特征得到。这项研究的目的是找出这四种方法中哪一种是最可靠的。为此，生成了两种具有精确给定分形维数的测试数据（$D = 1.2, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8$）：自仿射Weierstrass函数图和统计自仿射分数布朗运动。这四种方法在两种类型的时间序列上进行了测试。此外，还研究了噪声对数据的影响以及数据长度对数据的影响。通过谱方法获得了最偏倚的结果。Higuchi方法和广义Hurst指数是最成功的。
Box dimension of generalized affine fractal interpolation functions (II)
本文研究了带垂直缩放函数的广义仿射分形插值函数，证明了垂直缩放矩阵谱半径的单调性与不可约性，并据此通过矩阵谱半径极限与和函数估计其图像盒维数，同时应用于广义Weierstrass型函数。
Let $0< λ< μ<1$ and $λ+μ>1$. In this note we prove that for the vast majority of such parameters the top of the attractor $A_{λ,μ}$ of the IFS $\{(λx,μy), (μx+1-μ, λy+1-λ)\}$ is the graph of a continuous, strictly increasing function. Despite this, for most parameters, $A_{λ, μ}$ has a box dimension strictly greater than 1, showing that the upper boundary is not representative of the complexity of the fractal. Finally, we prove that if $λμ\ge 2^{-1/6}$, then $A_{λ,μ}$ has a non-empty interior.
Suppose that the set ${\mathcal{T}}= \{T_1, T_2,...,T_q \} $ of real $n\times n$ matrices has joint spectral radius less than $1$. Then for any digit set $ D= \{d_1, \cdots, d_q\} \subset {\Bbb R}^n$, there exists a unique nonempty compact set $F=F({\mathcal{T}},D)$ satisfying $ F = \bigcup _{j =1}^q T_j(F + d_j)$, which is called a self-affine fractal. We consider an existing criterion for the convex hull of $F$ to be a polytope, which is due to Kirat and Kocyigit. In this note, we strengthen our criterion for the case $T_1=T_2=\cdots =T_q $. More specifically, we give an upper bound for the …
Variational principles for Hausdorff and packing dimensions of fractal percolation on self-affine sponges
本文建立了一类统计自仿海绵（包括Barański和Gatzouras-Lalley地毯与海绵的分形渗透集）的Hausdorff维数与packing维数的变分原理，通过计算非齐次Mandelbrot测度的维数并利用局部化数字频率构建有效覆盖，获得了维数的精确上界。
Assouad type dimensions of generalized affine fractal interpolation functions and their applications
本文研究广义仿射分形函数图像的Assouad谱与维数，建立上下界并给出显式表达式，应用于Weierstrass和Takagi函数，解决了Fraser提出的开放问题。
Differentiability of fractal curves
虽然自相似集在任何一点上都没有切线，但自仿射曲线可以是光滑的。本文研究了平面无二重点的两段自仿射曲线。存在参数空间的开子集，对于该开子集，曲线在除可数集之外的所有点处都是可微的。对于余维数为1的参数集，曲线是连续可微的。然而，除了抛物弧之外，平面上不存在二次可微的自仿射曲线。
Tree substitutions and Rauzy fractals
我们的工作与吸引子移位所产生的替代，这也是不可约的parageometric自同构的自由群。对于这样一个动力系统，我们构造了一个树替换来近似自同构的排斥实树。我们产生的图像，这棵树内的Rauzy分形时，替代是不可约的皮索。我们描述了这棵树的轮廓，并计算了一个区间交换变换的圆覆盖原来的替代。
Improved dimension theory of sofic self-affine fractals
该研究建立了任意欧氏空间中自仿射分形Hausdorff维数的组合表达式，推广了平面sofic集相关研究，给出高维sofic集精确维数及平面两类维数相等的条件，同时补充了相关先行研究说明与后续工作进展。
Ghost measures of regular sequences---the unbounded analogue of automatic sequences---are generalisations of standard fractal mass distributions. They were introduced to determine fractal (or self-similar) properties of regular sequences similar to those related to automatic sequences. The existence and continuity of ghost measures for a large class of regular sequences was recently given by Coons, Evans and Mañibo. In this paper, we provide an explicit connection between fractals and regular sequences by showing that the graphs of ghost distributions---the distribution functions of ghost meas…
Exact Hausdorff dimension of some sofic self-affine fractals
本文针对 sofic 仿射不变集 Hausdorff 维数极限难以计算的问题，提出受 Kenyon 与 Peres 启发的新技术，在 R^3 若干情形中将精确维数表为显式系数无限次方程的解及线性算子谱半径。
In this paper, we study the dimension theory of a class of piecewise affine systems in euclidean spaces suggested by Michael Barnsley, with some applications to the fractal image compression. It is a more general version of the class considered in the work of Keane, Simon and Solomyak [The dimension of graph directed attractors with overlaps on the line, with an application to a problem in fractal image recognition. {\it Fund. Math.}, {\bf 180}(3):279-292, 2003] and can be considered as the continuation of the works [On the dimension of self-affine sets and measures with overlaps. {\it Proc. A…
Fractal trees for irreducible automorphisms of free groups
本原代换的吸引子移位的自相似结构被推广到自由群的不可约外自同构的外空间边界上的排斥树的极限集上.因此，这个排斥树是自相似的（在图定向构造的意义上）。计算了它的豪斯多夫维数。这揭示了自由群的不可约外自同构在外空间边界上的吸引树的分形性质。
Homeomorphisms generated from overlapping affine iterated function systems
我们发展了由重叠仿射迭代函数系统对生成的分形同胚理论。
Combinatorial topology of three-dimensional self-affine tiles
我们开发工具来研究三维及更高维度的自仿射分形的拓扑结构和几何结构。我们使用自仿射结构，并获得相当详细的信息，内部和边界集的连通性，以及边界集的尺寸和交叉点。作为应用，我们用代数方法描述了六条分形三维孪生龙的多面体结构。其中只有两个可以同胚的一个球，但即使这些有面不同胚的一个磁盘。
Box dimension of fractal functions on attractors
本文在一般吸引子定义域上统一研究分形插值函数，在插值点非等距、尺度向量可变且映射非仿射的广义条件下给出盒维数上下界，并求得m维立方体与谢尔宾斯基地毯上非仿射分形函数的精确盒维数。
Affine systems: asymptotics at infinity for fractal measures
研究了符号动力学中一类无穷递归迭代所诱导的$\mathbb{R}^d$上的测度。从一个有限集的数据，我们分析规定的递归迭代系统，每个涉及细分。该构造包括由具有和不具有重叠的仿射和压缩迭代函数系统（IFS）产生的测量，即，极限测度$μ$由$\mathbb{R}^d$中的有限族仿射映射导出（本文的重点），以及复动力学中的平衡测度。通过系统分析的傅里叶变换的措施$μ$在手（频域），我们确定渐近法，频谱类型，二分法，和混沌法律。特别是，我们表明，当$μ$是奇异的情况下进行分级，从康托样分形措施的措施表现出混乱，即，初始数据的微小变化会导致结果或迭代极限（在这种情况下是测量值）的大幅波动。我们的方法依赖于渐近估计的傅里叶变换的$μ$路径在无穷远$\mathbb{R}^d$。我们展示了$μ$的性质如何依赖于初始数据的扰动，例如，在$\mathbb{R}^d$中仿射映射的规定有限集中、在一个复变数中的有理函数的参数（Julia集合和平衡测度）中、或在给定的无限正定矩阵的条目中的变化。
Generalized $q$-dimensions of measures on nonautonomous fractals
本文研究非自治吸引子（经典Moran集和迭代函数系统吸引子的推广）支撑测度的广义$q$维，给出了相似吸引子的维数公式、仿射集的上界及仿射集变体$q\neq1$时的维数公式。
Spectral Asymptotics for $V$-variable Sierpinski Gaskets
$V$ -变量分形的家庭提供了一种手段，以前在文献中考虑的两个家庭的随机分形之间的插值;规模不规则分形（$V=1$）和随机递归分形（$V=\infty$）。考虑一类基于Sierpinski垫片的$V$ -变量仿射嵌套分形，其测度为一般测度.我们计算的谱指数的一般措施，并找到这些分形的谱维数。我们发现，$V$ -变量分形的光谱特性和对角热核估计更接近那些规模不规则分形，因为它是规模的波动，确定其行为，但也有影响的空间变异性。
Smooth Fractal Trees: Analytic Generators and Discrete Equivalence
本文提出一种基于解析生成器的光滑分形树构造方法，通过平滑向量场实现分支与缩放，证明了其与经典离散模型的等价性，并保持了分形的有限结构与渐近几何。
In 1984 Bedford and McMullen independently introduced a family of self-affine sets now known as \emph{Bedford-McMullen carpets}. Their work stimulated a lot of research in the areas of fractal geometry and non-conformal dynamics. In this survey article we discuss some aspects of Bedford-McMullen carpets, focusing mostly on dimension theory.
The Dimension of Integral Self-Affine Sets via Fractal Perturbations: The Box and the Hausdorff Dimensions, Ergodic Measures
本文通过分形扰动方法研究积分自仿集的维度问题，推导出其维数公式，并证明了其盒维数的存在性，同时展示了全维的测度存在性。
Local dimension spectrum for dominated planar self-affine sets
本文研究主导平面自仿集的局部维数谱，通过精确维数分析扩展了该谱的应用范围，超越了传统几乎必然设置。
Hausdorff dimension of shrinking targets on Przytycki-Urbański fractals
本研究针对仿射迭代函数系统，计算点反复进入几何球收缩目标集的豪斯多夫维数，通过分析 Przytycki-Urbański 系统并扩展伯努利卷积理论，克服了仿射映射带来的几何-动力复杂性。
An explicit formula for the pressure of box-like affine iterated function systems
在这篇文章中，我们研究了与D.冯杰，Y. Wang和J.M.弗雷泽结合V. Yu的先前结果。Protasov，A. Käenmäki和作者，我们获得了一个明确的公式的压力函数，使它直接计算的亲和维数盒状自仿射集。我们还证明了这个公式的一个变体，它允许计算由J.M.弗雷泽我们给出了一些明确的例子，其中盒状自仿射分形的Hausdorff维数和填充维数可以很容易地计算。
Absolutely Continuous Convolutions and Projections of Fractal Measures
本文提出基于L¹范数尺度协变性的判据，证明三类分形测度在维数条件下卷积或直线投影的绝对连续性。
Analytic patch trees: branch interface inheritance and fractal dimension fields
将解析分形曲线树扩展为解析面片树，引入界面曲线继承父面片完整解析状态，并建立自相似性条件、共形限制及自然叶状结构，从而导出光滑维数场。
Badly approximable points on self-affine sponges and the lower Assouad dimension
我们强调之间的连接丢番图逼近和较低的Assouad维使用有关后者的信息表明，豪斯多夫维数的一组严重逼近的点，位于某些非共形分形，称为自仿射海绵，是有界的动力学尺寸以下这些分形。特别地，对于具有相等的Hausdorff维数和动力维数的自仿射海绵，在海绵中的不良可逼近点的集合具有完全的豪斯多夫维数。我们的研究结果，这是第一个超越共形设置，包括Sierpienski海绵/地毯（也称为贝德福德-麦克马伦海绵/地毯）和Baraenski地毯的情况下。我们使用的事实，即较低的Assouad维的超平面扩散集构成了一个下界的豪斯多夫维数的一组严重逼近点在该集合。
Exceptional projections of self-affine sets: an introduction
本文介绍自仿射分形线性投影维数的近期结果，重点给出投影图像维数的一个上界，并通过显式例子展示格拉斯曼流形中可包含于Marstrand定理例外集的光滑子流形。
The Assouad dimension of randomly generated fractals
我们考虑了几种不同的模型产生随机分形，包括随机自相似集，随机自仿射地毯，分形渗流。在每个设置中，我们计算\emph{almost sure}或\emph{Baire typical} Assouad维度，并考虑一些说明性示例。我们的结果揭示了一个共同的现象，在我们所有的模型：Assouad维数的随机生成的分形一般是尽可能大，不依赖于测量理论或拓扑结构的样本空间。这与其他常用的维数概念形成鲜明对比，如Hausdorff维数或包装维数。
The box dimension of random box-like self-affine sets
在本文中，我们研究了两个随机模拟的盒状自仿射吸引子介绍了弗雷泽，本身的Sierpienski地毯的扩展。确定了齐次随机情形（$1$ -变量随机情形）的几乎处处盒维数，并给出了几乎必然盒维数是确定性吸引子盒维数的期望的充分条件.此外，我们发现几乎必然盒计数维数的随机递归模型（$\infty$ -变量），其中包括仿射分形渗流。
The connected part of a metric space $E$ is defined to be the union of non-trivial connected components of $E$. We proved that for a class of self-affine sets called slicing self-affine sponges, the connected part of $E$ either coincides with $E$, or is essentially contained in the attractor of a proper sub-IFS of an iteration of the original IFS.This generalize an early result of Huang and Rao [L. Y. Huang, H. Rao. \emph{A dimension drop phenomenon of fractal cubes}, J. Math. Anal. Appl. \textbf{497} (2021), no. 2] on a class of self-similar sets called fractal cubes. Moreover, we show that t…
Michael Barnsley introduced a family of fractals sets which are repellers of piecewise affine systems. The study of these fractals was motivated by certain problems that arose in fractal image compression but the results we obtained can be applied for the computation of the Hausdorff dimension of the graph of some functions, like generalized Takagi functions and fractal interpolation functions. In this paper we introduce this class of fractals and present the tools in the one-dimensional dynamics and nonconformal fractal theory that are needed to investigate them. This is the first part in a s…
Fractal spectral triples on Kellendonk's $C^*$-algebra of a substitution tiling
本文在Kellendonk的$C^*$ -代数上引入了一类新的非交换谱三元组，它与非周期替换镶嵌有关.这些光谱三元组是从瓦片上的分形树构造的，其定义了瓦片中任何两个瓦片之间的测地线距离。由于分形通常具有无限的欧几里得长度，测地线距离使用Perron-Frobenius理论定义，并且是自相似的，比例因子由Perron-Frobenius特征值给出。我们发现，每个谱三元组是$θ$ -可和的，并尊重层次的替代系统。为了阐明我们的研究结果，我们构建了一个分形树的彭罗斯瓷砖，并明确显示它如何产生一个集合的光谱三元组。
Disintegration results for fractal measures and applications to Diophantine approximation
本文研究了分形测度的分解结果，并应用于迪奥菲内逼近，证明了自相似测度和仿射不可约自相似测度在特定条件下的性质。
Self-affine sets and the continuity of subadditive pressure
仿射维数是与仿射映射的迭代函数系统相关联的一个数，它是研究自仿射集的分形维数的基础。冯德军和作者最近解决了一个民俗学公开问题，证明了亲和维数是定义映射的一个连续函数。证明也产生连续性的拓扑压力中所产生的随机矩阵产品的研究。本文综述了仿射维数及其相关的SVF拓扑压的定义、动机和主要性质，并在环境维数为2的特殊情况下证明了它们的连续性。
Dimension bounds for singular affine forms
该研究在单度量设定下推导了平均奇异与ω-奇异仿射形式集合的维数上界，部分解答了领域内公开问题，并将结果拓展至广义加权情形及分形交集场景。
Hausdorff dimension of boundaries of self-affine tiles in R^n
提出了一种计算一类分形的豪斯多夫维数的新方法：自仿射瓦片边界。其中有趣的方面是，即使迭代函数系统的仿射收缩不共轭的相似性，我们得到的豪斯多夫维数的上限和下限。事实上，如果基础仿射压缩的特征值的模都相等（这包括Jordan块），我们就得到了维数的精确值。我们讨论的瓦片在小波理论中起着重要的作用。我们计算了一些例子的维数。
This work shows that fractals can be obtained from Mechanical Laws without being forced by any algorithm, closing the gap between the Platonic world of Mathematics and Nature. Fractal tree crown directly emerges when applying elasticity theory to branching stresses in a binary tree. Vertical displacements of nodes are given by the Takagi curve, while the horizontal ones are given by a linear combination of inverses of $β$-Cantor functions. In addition, both fractal dimensions are related, which suggests a deeper connection between the Takagi Curve and the $β$-Cantor function.
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