自仿射海绵的Assouad型维数

Dimension drop of connected part Of slicing self-affine Sponges

The connected part of a metric space $E$ is defined to be the union of non-trivial connected components of $E$. We proved that for a class of self-affine sets called slicing self-affine sponges, the connected part of $E$ either coincides with $E$, or is essentially contained in the attractor of a proper sub-IFS of an iteration of the original IFS.This generalize an early result of Huang and Rao [L. Y. Huang, H. Rao. \emph{A dimension drop phenomenon of fractal cubes}, J. Math. Anal. Appl. \textbf{497} (2021), no. 2] on a class of self-similar sets called fractal cubes. Moreover, we show that t…

测度的下Assouad维数与正则性

Lower Assouad Dimension of Measures and Regularity

在类比与低Assouad维数的一组，我们研究了低Assouad维数的措施。与上Assouad维度一样，测度的下Assouad维度提供了测度的极端局部行为的信息。我们研究了与其他维度和正则性的关系。特别是，准低Assouad维是由下确界的措施的较低的本地尺寸。虽然严格不等式在一般情况下是可能的，但对于有限型的自相似测度类，等式也成立。这个类包括所有的自相似，equicontractive措施满足开集条件，以及某些“重叠”的自相似措施，如伯努利卷积与收缩因子是逆的皮索数。给出了Moran构造测度的Assouad维数下界，证明了自仿射测度是一致完美的且具有正的Assouad维数，证明了测度的Assouad谱收敛于其拟Assouad维数，并证明了测度的Assouad维数的上下重合并不意味着测度是$s$ -正则的.

当Lalley-Gatzouras型自仿射海绵的共形维数为零时

When the conformal dimension of a self-affine sponge of Lalley-Gatzouras type is zero

该研究刻画了Lalley-Gatzouras型自仿射海绵的一致不连通性，进而证明这类自仿射海绵共形维数为零的充要条件是它为一致不连通的，完善了相关分形几何性质的结论。

Dimensions of random statistically self-affine Sierpinski sponges in $\mathbb R^k$

We compute the Hausdorff dimension of any random statistically self-affine Sierpinski sponge $K\subset \mathbb{R}^k$ ($k\ge 2$) obtained by using some percolation process in $[0,1]^k$. To do so, we first exhibit a Ledrappier-Young type formula for the Hausdorff dimensions of statistically self-affine measures supported on $K$. This formula presents a new feature compared to its deterministic or random dynamical version. Then, we establish a variational principle expressing $\dim_H K$ as the supremum of the Hausdorff dimensions of statistically self-affine measures supported on $K$, and show th…

平面集合投影的Assouad维数

The Assouad dimensions of projections of planar sets

我们考虑Assouad维度的正交投影平面集到线上。我们的研究涵盖了一般和自相似集。对于一般集合，主要结果如下：如果平面上的集合有Assouad维数$s \in [0,2]$，那么投影几乎必然至少有$\min\{1,s\}$的Assouad维数.与豪斯多夫维数的著名类似物--即\emph{Marstrand's Projection Theorem} --相比，一个显著的区别是“至少”这个词不能省略：事实上，对于许多平面自相似维数集$s < 1$，我们证明了投影的Assouad维数对于一组正测度方向可以同时达到值$s$和$1$。对于自相似集，我们的研究自然分为两种情况：当旋转群是离散的，当它是稠密的。在“离散旋转”的情况下，我们证明了以下二分法为任何给定的投影：要么Hausdorff措施是积极的豪斯多夫维数，在这种情况下，豪斯多夫和Assouad维数重合;或豪斯多夫措施是零的豪斯多夫维数，在这种情况下，Assouad维数等于1。在“稠密旋转”的情况下，我们证明了每个投影的Assouad维数等于1，假设平面集不是一个单例。作为我们结果的另一个应用，我们证明了Assouad维数不存在\emph{Falconer's Theorem}.更确切地说，Assouad维度的自相似（或自仿射）集是不是在一般几乎肯定恒定时，随机的平移向量。

Assouad型维数与分形的均匀性

Assouad type dimensions and homogeneity of fractals

我们调查了几个方面的Assouad维度和较低的维度，它们一起形成一个自然的“维度对”。特别是，我们计算这些尺寸为某些类的自仿射集和准自相似集，并研究它们与其他概念的尺寸，如豪斯多夫维数的关系。我们还调查了这些方面的一些基本性质，包括他们的行为工会和产品和他们的集合论的复杂性。

某些随机结构的Assouad谱阈值

Assouad spectrum thresholds for some random constructions

度量空间的Assouad维数决定了它的极值标度性质。衍生的概念的Assouad频谱固定相对尺度的缩放函数，以获得准Assouad和盒计数尺寸之间的插值行为。虽然准Assouad和Assouad维度经常一致，但它们通常在随机结构中不同。在本文中，我们考虑一个广义Assouad频谱之间的准Assouad的Assouad维插值。对于常见的随机分形集的模型，我们得到一个二分法的行为，通过找到一个门限函数准Assouad行为过渡到Assouad维。这个阈值可以被认为是一个相变，我们计算的高尔顿-沃森树和一个变量的随机自相似和自仿射结构的Gromov边界的阈值。我们描述了如何随机自相似模型可以从高尔顿-沃森树的结果。

Assouad维数与分形几何

Assouad dimension and fractal geometry

这是一本将于2020年由剑桥大学出版社出版的书（数学丛书）。它集中于欧几里得空间中集合和测度的Assouad维数，以及Assouad维数的许多变体，包括低维和Assouad谱。它认为这些概念的设置分形几何和主题包括：弱切线，自相似集，自仿射集，Mandelbrot渗流，极限集的Kleinian群，正交投影，距离集，和Kakeya集。它还考虑了这些思想在其他领域的应用，包括：嵌入理论，数论，概率论和泛函分析。它以一系列悬而未决的问题结束。

随机生成分形的Assouad维数

The Assouad dimension of randomly generated fractals

我们考虑了几种不同的模型产生随机分形，包括随机自相似集，随机自仿射地毯，分形渗流。在每个设置中，我们计算\emph{almost sure}或\emph{Baire typical} Assouad维度，并考虑一些说明性示例。我们的结果揭示了一个共同的现象，在我们所有的模型：Assouad维数的随机生成的分形一般是尽可能大，不依赖于测量理论或拓扑结构的样本空间。这与其他常用的维数概念形成鲜明对比，如Hausdorff维数或包装维数。

Calculating box dimension with the method of types

This paper presents a general procedure based on using the method of types to calculate the box dimension of sets. The approach unifies and simplifies multiple box counting arguments. In particular, we use it to generalize the formula for the box dimension of self-affine carpets of Gatzouras-Lalley and of Barański type to their higher dimensional sponge analogues. In addition to a closed form, we also obtain a variational formula which resembles the Ledrappier-Young formula for Hausdorff dimension.

分形维数的序列性质

The sequence property for fractal dimensions

该研究证明，对有限稳定的分形维数定义，度量空间紧子集内存在与自身维数相同的收敛点序列，部分情况下该序列可同时对应多种维数定义。

关于测度的上正则维数

On the upper regularity dimensions of measures

我们研究了\emph{upper regularity dimension}，它描述了测度的极端局部标度行为，并有效地量化了\emph{doubling}的概念。我们对上正则维数进行了深入的研究，包括它与Assouad维数、上局部维数、$L^q$ -谱和弱切测度等概念的关系.我们还计算上的正则维数明确在一些重要的情况下，包括自相似措施，自仿射措施，和措施的序列。

Hölder parameterization of iterated function systems and a self-affine phenomenon

We investigate the Hölder geometry of curves generated by iterated function systems (IFS) in a complete metric space. A theorem of Hata from 1985 asserts that every connected attractor of an IFS is locally connected and path-connected. We give a quantitative strengthening of Hata's theorem. First we prove that every connected attractor of an IFS is $(1/s)$-Hölder path-connected, where $s$ is the similarity dimension of the IFS. Then we show that every connected attractor of an IFS is parameterized by a $(1/α)$-Hölder curve for all $α>s$. At the endpoint, $α=s$, a theorem of Remes from 1998 alr…