R^d中的伪自仿射镶嵌

迭代函数系的典范自仿射镶嵌

Canonical self-affine tilings by iterated function systems

由压缩相似映射构成的迭代函数系统$Φ$具有唯一的吸引子$F \subseteq \mathbb{R}^d$，该吸引子在系统的作用下是不变的，如Hutchinson [Hut]所证明的.本文展示了函数系统的作用如何自然地产生吸引子的凸包的平铺$\mathcal{T}$。更准确地说，它在其凸包内平铺吸引子的补集。这些图块形成集合，其几何形状通常比$F$的几何形状简单得多，但保留了关于$F$和$Φ$的关键信息。具体地，瓦片对$Φ$的所有缩放数据进行编码。我们给出的建设，以及一些例子和应用。平铺$\mathcal{T}$是\emph{complex dimensions}理论的高维扩展的基础，\emph{complex dimensions}理论是为Michel L.拉皮德斯和马希尔·范·弗兰肯胡森。

Tilings of convex polyhedral cones and topological properties of self-affine tiles

Let $\textbf{a}_1,\dots, \textbf{a}_r$ be vectors in a half-space of $\mathbb{R}^n$. We call $$C=\textbf{a}_1\mathbb{R}^++\cdots+\textbf{a}_r \mathbb{R}^+$$ a convex polyhedral cone, and call $\{\textbf{a}_1,\dots, \textbf{a}_r\}$ a generator set of $C$. A generator set with the minimal cardinality is called a frame. We investigate the translation tilings of convex polyhedral cones. Let $T\subset \mathbb{R}^n$ be a compact set such that $T$ is the closure of its interior, and $\mathcal{J}\subset \mathbb{R}^n$ be a discrete set. We say $(T,\mathcal{J})$ is a translation tiling of $C$ if $T+\mat…

由模式定义的规范投影镶嵌

Canonical projection tilings defined by patterns

本文给出了仿射子空间可由有限禁止模式刻画的充分必要条件，并将其与规范投影镶嵌的局部规则和有限型子移位联系起来，证明只有代数子空间具有此性质。

正则自相似镶嵌的几何

Geometry of canonical self-similar tilings

我们给出了几种不同的几何特征的情况下，自相似集$F$的平行集$F_ε$可以描述的内部$ε$ -平行集$T_{-ε}$的相关规范平铺$\mathcal T$，在\cite{SST}的意义。例如，$F_ε=T_{-ε} \cup C_ε$当且仅当$F$的凸包$C$的边界是$F$的子集，或者如果$E$的边界，$F$的补的无界部分，是凸集的边界。在所表征的情况下，平铺允许获得$F$的管公式，即，作为$ε$的函数的$F_ε$的体积的表达式。在此基础上，我们进一步阐明了正则镶嵌的一些几何性质。出于寻找管公式，我们给出了一个推广的平铺结构，适用于所有自仿射集$F$具有空的内部和满足开集条件。我们还刻画了$F$的平行集与这些平铺之间的关系。

有理自仿射瓦片

Rational self-affine tiles

积分自仿射瓦片是集合方程$\mathbf{A} \mathcal{T} = \bigcup_{d \in \mathcal{D}} (\mathcal{T} + d)$的解，其中$\mathbf{A}$是$n \times n$整数矩阵，并且$\mathcal{D}$是$\mathbb{Z}^n$的有限子集。近几十年来，人们对这些天体及其诱导镶嵌进行了系统的研究。我们将这个理论推广到矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{Q}^{n \times n}$。我们将有理自仿射瓦片定义为adéle环$\mathbb{A}_K$的开子环$\mathbb{R}^n\times \prod_\mathfrak{p} K_\mathfrak{p}$的紧子集，其中（有限）积的因子是根据$\mathbf{A}$的特征多项式定义的数域$K$的某些$\mathfrak{p}$ -进补。利用经典代数数论、数域中的傅立叶分析和转移算子零集的结果，我们为这些瓦片建立了一个一般的瓦片定理。我们还将第二种瓦片与有理矩阵相关联。这些图块被定义为有理自仿射图块（的平移）与$\mathbb{R}^n \times \prod_\mathfrak{p} \{0\} \simeq \mathbb{R}^n$的交集。虽然这些交叉瓦片具有复杂的结构并且不再是自仿射的，但是我们也能够证明这些瓦片的瓦片定理。对于数字集…

基数表示、自仿射瓦片和多变量小波

Radix Representations, Self-Affine Tiles, and Multivariable Wavelets

我们研究Z^n的基表示与R^n的自仿射镶嵌之间的联系。我们应用我们的结果表明，Haar样多变量小波存在的所有伸缩矩阵，

Open set condition and pseudo Hausdorff measure of self-affine IFSs

Let $A$ be an $n\times n$ real expanding matrix and $\mathcal{D}$ be a finite subset of $\mathbb{R}^n$ with $0\in\mathcal{D}$. The family of maps $\{f_d(x)=A^{-1}(x+d)\}_{d\in\mathcal{D}}$ is called a self-affine iterated function system (self-affine IFS). The self-affine set $K=K(A,\mathcal{D})$ is the unique compact set determined by $(A, {\mathcal D})$ satisfying the set-valued equation $K=\displaystyle\bigcup_{d\in\mathcal{D}}f_d(K)$. The number $s=n\,\ln(\# \mathcal{D})/\ln(q)$ with $q=|\det(A)|$, is the so-called pseudo similarity dimension of $K$. As shown by He and Lau, one can associa…

On dense intermingling of exact overlaps and the open set condition

We prove that certain families of homogenous affine iterated function systems in $\mathbb{R}^d$ have the property that the open set condition and the existence of exact overlaps both occur densely in the space of translation parameters. These examples demonstrate that in the theorems of Falconer and Jordan-Pollicott-Simon on the almost sure dimensions of self-affine sets and measures, the set of exceptional translation parameters can be a dense set. The proof combines results from the literature on self-affine tilings of $\mathbb{R}^d$ with an adaptation of a classic argument of Erdős on the s…

自相似镶嵌的管公式和复维数

Tube formulas and complex dimensions of self-similar tilings

利用第二作者在“Canonical self-affine tilings by iterated function systems”中构造的自相似tilings，定义了欧几里得空间中自相似集几何的生成函数.这个管状zeta函数编码与分形集的补相关的缩放和曲率特性，以及相关的映射系统。这使得人们可以获得自相似镶嵌的复杂尺寸作为管状zeta函数的极点，从而开发出自相似镶嵌的管公式，其中\$ \mathbb{R}^d $. The resulting power series in $ ε $ is a fractal extension of Steiner's classical tube formula for convex bodies $ K \ci \bRd $. Our sum has coefficients related to the curvatures of the tiling, and contains terms for each integer $ i= 0，1，.，D-1美元，就像斯坦纳的一样。然而，我们的公式还包含每个复杂维度的项。这为“复杂层面”一词提供了进一步的理由。它还将分形弦理论的几个方面扩展到更高维度，并为第一作者和Machiel van Frankenhuijsen在“分形几何与复维度”中获得的分形弦管公式提供了新的见解。

自仿射Delone集与偏差现象

Self affine Delone sets and deviation phenomena

本文研究自仿射Delone集上平移作用的遍历积分增长，证明其增长率由重整化映射在模式空间上同调上的诱导作用控制，并探讨了对衍射的影响及相关例子。

伪仿射自共形测度的傅里叶衰减与非衰减

Fourier decay and non-decay for pseudo-affine self-conformal measures

研究直线上自共形测度多项式傅里叶衰减充分条件的尖锐性，通过伪仿射迭代函数系统框架，构造非\(C^1\)共轭的迭代函数系统及特定微分同胚，得到相关测度的傅里叶衰减情况。

具有格点性质II的无限曲面：伪Anosovs动力学

An infinite surface with the lattice property II: Dynamics of pseudo-Anosovs

我们研究的双曲仿射自同构的平移曲面，这是无限的面积和属，是作为一个极限的表面建立从正多边形的Veech研究。我们发现，双曲仿射自同构是不经常性的，但他们的行动限制到气缸满足混合型多项式衰减公式。然后，我们考虑在何种程度上这些双曲仿射自同构满足瑟斯顿的定义的伪Anosov同胚的行动。特别是我们研究的行动，这些自同构的简单闭曲线和同源类。这些物体被膨胀和收缩的叶理指数吸引，但表现出多项式衰减。由于代数相交数的特殊积分公式与曲面的几何形状及其变形相协调，我们能够计算出这些极限量的精确渐近性。