确定自仿射分块的纯尖性的算法

迭代函数系的典范自仿射镶嵌

Canonical self-affine tilings by iterated function systems

由压缩相似映射构成的迭代函数系统$Φ$具有唯一的吸引子$F \subseteq \mathbb{R}^d$，该吸引子在系统的作用下是不变的，如Hutchinson [Hut]所证明的.本文展示了函数系统的作用如何自然地产生吸引子的凸包的平铺$\mathcal{T}$。更准确地说，它在其凸包内平铺吸引子的补集。这些图块形成集合，其几何形状通常比$F$的几何形状简单得多，但保留了关于$F$和$Φ$的关键信息。具体地，瓦片对$Φ$的所有缩放数据进行编码。我们给出的建设，以及一些例子和应用。平铺$\mathcal{T}$是\emph{complex dimensions}理论的高维扩展的基础，\emph{complex dimensions}理论是为Michel L.拉皮德斯和马希尔·范·弗兰肯胡森。

自仿射瓷砖的邻居和拉乌兹分形

Neighbors of self-affine tiles and Rauzy Fractals

本文提出了一种从接触图构造邻居图的算法，适用于自仿射瓷砖和拉乌兹分形，提高了效率。

由模式定义的规范投影镶嵌

Canonical projection tilings defined by patterns

本文给出了仿射子空间可由有限禁止模式刻画的充分必要条件，并将其与规范投影镶嵌的局部规则和有限型子移位联系起来，证明只有代数子空间具有此性质。

正则自相似镶嵌的几何

Geometry of canonical self-similar tilings

我们给出了几种不同的几何特征的情况下，自相似集$F$的平行集$F_ε$可以描述的内部$ε$ -平行集$T_{-ε}$的相关规范平铺$\mathcal T$，在\cite{SST}的意义。例如，$F_ε=T_{-ε} \cup C_ε$当且仅当$F$的凸包$C$的边界是$F$的子集，或者如果$E$的边界，$F$的补的无界部分，是凸集的边界。在所表征的情况下，平铺允许获得$F$的管公式，即，作为$ε$的函数的$F_ε$的体积的表达式。在此基础上，我们进一步阐明了正则镶嵌的一些几何性质。出于寻找管公式，我们给出了一个推广的平铺结构，适用于所有自仿射集$F$具有空的内部和满足开集条件。我们还刻画了$F$的平行集与这些平铺之间的关系。

置换镶嵌动力学中的重叠重合到强重合

Overlap coincidence to strong coincidence in substitution tiling dynamics

重叠重合是自仿射镶嵌动力学的纯离散谱的等价判据。在一维情况下，Dekking（1978）和Arnoux and Ito（2001）引入了m字母不可约置换的强重合，这意味着系统度量共轭到域交换。然而，作为一个域交换并不意味着平铺动力学的纯离散谱的属性。两个巧合之间的关系尚未完全确立。本文将强重合推广到高维空间，并在相应的高度群为平凡的情况下，给出了从重叠重合到新的强重合的意义。此外，我们还引入了一个新的同时符合判据，并指出了从重叠符合到同时符合的含义。高度群的平凡性在Barge和Kwapisz（2006）和Sing（2006）中针对一维不可约Pisot替换给出。

On dense intermingling of exact overlaps and the open set condition

We prove that certain families of homogenous affine iterated function systems in $\mathbb{R}^d$ have the property that the open set condition and the existence of exact overlaps both occur densely in the space of translation parameters. These examples demonstrate that in the theorems of Falconer and Jordan-Pollicott-Simon on the almost sure dimensions of self-affine sets and measures, the set of exceptional translation parameters can be a dense set. The proof combines results from the literature on self-affine tilings of $\mathbb{R}^d$ with an adaptation of a classic argument of Erdős on the s…

多组代换系统纯点衍射谱的推论

Consequences of Pure Point Diffraction Spectra for Multiset Substitution Systems

在离散点集和平铺系统理论中，有越来越多的结果给出了这样的系统是纯点衍射的条件。在这里，我们看看相反的方向：我们可以推断什么离散点集或平铺，通过一个原始的替代系统定义，如果它是纯点衍射？我们的基本对象是Delone多重集和镶嵌，它们在具有公共可扩映射$Q$的仿射映射的本原替换系统下是自复制的。我们的第一个结果给出了一个问题的部分答案Lagarias和王：我们重复的替代Delone多集，可以表示的替代tilings使用的概念“法律集群”。这使我们能够在两种类型的对象之间自由移动。我们的主要结果是，对于晶格置换多集系统（在任意维度）是一个正规的模型集不仅足以有纯点谱-一个已知的事实-但也是必要的。这完成了一个循环的纯点动力学和衍射谱，模块重合，晶格置换系统的模型集开始由本文的前两位作者的等价关系。

自相似镶嵌的管公式和复维数

Tube formulas and complex dimensions of self-similar tilings

利用第二作者在“Canonical self-affine tilings by iterated function systems”中构造的自相似tilings，定义了欧几里得空间中自相似集几何的生成函数.这个管状zeta函数编码与分形集的补相关的缩放和曲率特性，以及相关的映射系统。这使得人们可以获得自相似镶嵌的复杂尺寸作为管状zeta函数的极点，从而开发出自相似镶嵌的管公式，其中\$ \mathbb{R}^d $. The resulting power series in $ ε $ is a fractal extension of Steiner's classical tube formula for convex bodies $ K \ci \bRd $. Our sum has coefficients related to the curvatures of the tiling, and contains terms for each integer $ i= 0，1，.，D-1美元，就像斯坦纳的一样。然而，我们的公式还包含每个复杂维度的项。这为“复杂层面”一词提供了进一步的理由。它还将分形弦理论的几个方面扩展到更高维度，并为第一作者和Machiel van Frankenhuijsen在“分形几何与复维度”中获得的分形弦管公式提供了新的见解。