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$\mathcal I$-收敛序列的 Banach 空间

Banach spaces of $\mathcal I$-convergent sequences

Michael A. Rincón-Villamizar, Carlos Uzcátegui Aylwin

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AI总结：

研究 $\mathcal{I}$-收敛序列空间 $c_{0,\mathcal{I}}$，证明其等距同构与理想同构等价，并揭示 Katětov 预序与 Banach 格等距映射的对应关系及格论性质。

摘要：

我们研究所有 $\mathcal{I}$-收敛于 $0$ 的有界序列 $(x_n)$ 构成的空间 $c_{0,\mathcal{I}}$，赋予上确界范数，其中 $\mathcal{I}$ 是 $\mathbb{N}$ 子集的理想。我们证明两个这样的空间 $c_{0,\mathcal{I}}$ 和 $c_{0,\mathcal{J}}$ 等距当且仅当理想 $\mathcal{I}$ 和 $\mathcal{J}$ 同构。此外，我们分析了著名的 Katětov 预序 $\leq_K$ 与空间 $c_{0,\mathcal{I}}$ 某些性质的联系。例如，我们证明 $\mathcal{I}\leq_K\mathcal{J}$ 当且仅当存在从 $c_{0,\mathcal{I}}$ 到 $c_{0,\mathcal{J}}$ 满足某些附加条件的（不一定满射）Banach 格等距映射。我们给出 $c_{0,\mathcal{I}}$ 的一些格论性质，特别证明 $\ell_\infty$ 的每个闭理想等于某个 $\mathbb{N}$ 上理想 $\mathcal{I}$ 的 $c_{0,\mathcal{I}}$。我们还证明某些经典 Banach 空间等距于某理想 $\mathcal{I}$ 的 $c_{0,\mathcal{I}}$，如空间 $\ell_\infty(c_0)$ 和 $c_0(\ell_\infty)$。最后，我们提供几个使 $c_{0,\mathcal{I}}$ 不是 Grothendieck 空间的理想示例。

英文摘要：

We study the space $c_{0,\mathcal{I}}$ of all bounded sequences $(x_n)$ that $\mathcal{I}$-converge to $0$, endowed with the sup norm, where $\mathcal{I}$ is an ideal of subsets of $\mathbb{N}$. We show that two such spaces, $c_{0,\mathcal{I}}$ and $c_{0,\mathcal{J}}$, are isometric exactly when the ideals $\mathcal{I}$ and $\mathcal{J}$ are isomorphic. Additionally, we analyze the connection of the well-known Katětov pre-order $\leq_K$ on ideals with some properties of the space $c_{0,\mathcal{I}}$. For instance, we show that $\mathcal{I}\leq_K\mathcal{J}$ exactly when there is a (not necessarily onto) Banach lattice isometry from $c_{0,\mathcal{I}}$ to $c_{0,\mathcal{J}}$, satisfying some additional conditions. We present some lattice-theoretic properties of $c_{0,\mathcal{I}}$, particularly demonstrating that every closed ideal of $\ell_\infty$ is equal to $c_{0,\mathcal{I}}$ for some ideal $\mathcal{I}$ on $\mathbb{N}$. We also show that certain classical Banach spaces are isometric to $c_{0,\mathcal{I}}$ for some ideal $\mathcal{I}$, such as the spaces $\ell_\infty(c_0)$ and $c_0(\ell_\infty)$. Finally, we provide several examples of ideals for which $c_{0,\mathcal{I}}$ is not a Grothendieck space.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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