For a conditional quasi-greedy basis $\mathcal{B}$ in a Banach space the associated conditionality constants $k_{m}[\mathcal{B}]$ verify the estimate $k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$. Answering a question raised by Temlyakov, Yang, and Ye, several authors have studied whether this bound can be improved when we consider quasi-greedy bases in some special class of spaces. It is known that every quasi-greedy basis in a superreflexive Banach space verifies $k_{m}[\mathcal{B}]=(\log m)^{1-ε}$ for some $0<ε<1$, and this is optimal. Our first goal in this paper will be to fill the gap in between the general case and the superreflexive case and investigate the growth of the conditionality constants in non-superreflexive spaces. Roughly speaking, the moral will be that we can guarantee optimal bounds only for quasi-greedy bases in superreflexive spaces. We prove that if a Banach space $\mathbb{X}$ is not superreflexive then there is a quasi-greedy basis $\mathcal{B}$ in a Banach space $\mathbb{Y}$ finitely representable in $\mathbb{X}$ with $k_{m}[\mathcal{B}] \approx \log m$. As a consequence we obtain that for every $2<q<\infty$ there is a Banach space $\mathbb{X}$ of type $2$ and cotype $q$ possessing a quasi-greedy basis $\mathcal{B}$ with $k_{m}[\mathcal{B}] \approx \log m$. We also tackle the corresponding problem for Schauder bases and show that if a space is non-superreflexive then it possesses a basic sequence $\mathcal{B}$ with $k_m[\mathcal{B}]\approx m$.
Sparse approximation using new greedy-like bases in superreflexive spaces
本文主要研究稀疏逼近的最优性问题。我们对最近在巴拿赫空间中的非线性$m$ -项逼近中出现的新类型的类贪婪基进行了定量研究，作为几乎贪婪基的特征性质的推广，即，准贪婪和民主。作为一种手段来比较这些新的基地与现有的关于执行的控制贪婪算法的效率，我们把重点放在获得估计其序列的无条件参数。使用[S. J. Dilworth，N. J. Kalton和D. Kutzarova，On existence of almost greedy bases in巴拿赫空间，Studia Math.159（2003），no.1，67-101]为了构造几乎贪婪基，我们设法构造了双民主基，即使在希尔伯特空间中，其无条件性参数也比几乎贪婪基满足显著更差的估计。
Banach Spaces Generated by Finite-Valued Functions: Superreflexive Rigidity, Hankel Operators, and Universality
Konstantin Preslavsky University of Shumen（舒门康斯坦丁·普拉斯夫斯基大学）；University of Plovdiv Paisii Hilendarski（普罗夫迪夫帕伊西·希伦达斯基大学）；Technical University of Varna（瓦尔纳技术大学）
Building highly conditional almost greedy and quasi-greedy bases in Banach spaces
已知对于巴拿赫空间$\mathbb{X}$中的条件拟贪婪基$\mathcal{B}$，其条件常数的关联序列$(k_{m}[\mathcal{B}])_{m=1}^{\infty}$验证估计$k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$，并且如果反向不等式$\log m =\mathcal{O}(k_m[\mathcal{B}])$成立，则$\mathbb{X}$是非超自反的。实际上，已知超自反拟巴拿赫空间中的拟贪婪基满足某些$ε>0$的估计$k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)^{1-ε}$。然而，在现有的文献中，人们发现很少的情况下，空间具有准贪婪基的条件常数“尽可能大”。“我们在这篇文章中的目标是填补这一空白。为此，我们加强和利用[S. J. Dilworth，N. J. Kalton和D. Kutzarova，On existence of almost greedy bases in巴拿赫空间，Studia Math.159（2003），no.1，67-101]，并制作了大量新的例子，这些新的例子是具有准贪婪基$\mathcal{B}$和$k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$的非超自反经典巴拿赫空间，以及对于每个$ε>0$具有准贪婪基$\mathcal{B}$…
Building highly conditional quasi-greedy bases in classical Banach spaces
已知对于巴拿赫空间$\mathbb{X}$中的条件拟贪婪基$\mathcal{B}$，其条件常数的关联序列$(k_{m}[\mathcal{B}])_{m=1}^{\infty}$验证估计$k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$，并且如果反向不等式$\log m =\mathcal{O}(k_m[\mathcal{B}])$成立，则$\mathbb{X}$是非超自反的。然而，在现有的文献中，人们发现非常少的情况下，非超自反空间具有准贪婪基的条件常数尽可能大。本文的目的就是填补这一空白。为此，我们增强和利用独立开发的技术的组合，一方面由Garrigós和Wojtaszczyk在[Conditional quasi-greedy bases in Hilbert and巴拿赫空间，Indiana Univ. Math. J. 63（2014），no. 4，1017-1036]中，另一方面由Dilworth等人在[On the existence of almost greedy bases in巴拿赫空间，Studia Math.159（2003），no.1，67-101]，并且制作了具有准贪婪基$\mathcal{B}$和$k_{m}[\mathcal{B}]=\mathcal{O}(\log m)$的非超自反经典巴拿赫空间的大量新示例。
A new approach to low-distortion embeddings of finite metric spaces into non-superreflexive Banach spaces
本文的主要目标是发展一种新的嵌入方法，我们使用它来证明某些有限度量空间允许低失真嵌入到所有的非超自反空间中。该方法是基于Brunel和Suchester（1975-1976）提出的等号可加序列理论。我们还表明，使用该方法获得的一些低失真嵌入性结果不能使用基于$\ell_1$的求和基和单位向量基之间的因式分解的方法获得，该方法由Bourgain（1986）和Johnson and Schechtman（2009）使用。
A solution of one Problem of Lindenstrauss and Rosenthal on Subspace Homogeneous and Quotient Homogeneous Banach Spaces with Application to the Approximation Problem and to the Schroeder - Bernstein Problem
On certain subspaces of $\ell_p$ for $0<p\le 1$ and their applications to conditional quasi-greedy bases in $p$-Banach spaces
我们为每个$0<p\le 1$构造了$\ell_p$的子空间的无限集合，其扩展了来自[J. Lindenstrauss，On a certain subspace of $\ell_{1}$，Bull. Acad.波兰人Sci.先生Sci.数学。宇航员。12（1964），539-542]的一个子空间的$\ell_{1}$没有无条件的基础。分析了这类新的$p$ -巴拿赫空间的结构，并给出了它在$\mathcal{L}_{p}$ -空间一般理论中的一些应用.这些空间的引入为$p$ -巴拿赫空间中的条件拟贪婪基理论在$p<1$中的发展提供了理论基础。其中的主题，我们认为是存在无限多个条件拟贪婪基地的空间$\ell_{p}$为$p\le 1$和仔细检查的条件常数的“自然基础”这些空间。
贪婪逼近论中的一个经典结果是在有限余型的巴拿赫空间中几乎贪婪基和半贪婪基在Schauder基的背景下是等价的。这一结果被S. J. Dilworth，N. J. Kalton和D. Kutzarova在[7]和最近第一作者在[2]中证明了在这个结果中可以去掉有限余型的条件。在[11]中，作者将半贪婪的概念推广到权的情形，证明了：如果w是权，$\mathcal B$是有限余型巴拿赫空间$\mathbb X$中的Schauder基，则w-半贪婪和w-几乎贪婪是等价的。在本文中，我们证明了相同的特征，但去除了有限同型的条件，并且还尝试使用最近在[4]中引入的$ρ$ -可容许性概念来放宽Schauder在半贪婪特征中的条件。
Existence of almost greedy bases in mixed-norm sequence and matrix spaces, including Besov spaces
证明了序列空间$\ell_p\oplus\ell_q$和与某些Besov空间同构的无限矩阵空间$\ell_p(\ell_q)$，$\ell_q(\ell_p)$和$(\bigoplus_{n=1}^\infty \ell_p^n)_{\ell_q}$，当$0<p<1<q<\infty$.更准确地说，我们定制构建几乎贪婪的基地，以这样一种方式，勒贝格参数以规定的方式增长。我们的论证主要依赖于[S. J. Dilworth，N. J. Kalton和D. Kutzarova，On the existence of almost greedy bases in巴拿赫空间，Studia Math.159（2003），no.1，67 - 101]，其最初被设计用于构造巴拿赫空间中的几乎贪婪基，以使其对具有非局部凸分量的混合赋范空间的直和有效。此外，我们证明了这些空间的几乎贪婪基的基本函数的增长为$(m^{1/q})_{m=1}^\infty$。
