On the growth of high Sobolev norms for certain one-dimensional Hamiltonian PDEs
本文研究环面上分数阶三次Schr{<$}dinger方程$$i \partial\_t u = |D|^αu+|u|^2 u, \quad u(0, \cdot)=u\_0,$$解的Sobolev范数的大时间界，其中$α$是实参数.我们发现，除了情况$α= 1$，这对应于一个半波方程没有色散性质，这个方程的解决方案增长在一个多项式的速度在最多。我们还解决的情况下，三次和二次半波方程。
2015-10-07 math.AP math.FA
Solutions of nonlinear Sobolev-Burgers PDEs
考虑了非线性Sobolev-Burgers偏微分方程。他们的解决方案进行了调查。一种技术的非交换线积分用于他们的描述。利用Cayley-Dickson代数给出了一种求解偏微分方程的新方法。此外，研究了随机算子值测度，并将其应用于偏微分方程的解。
2018-11-06 math.AP
Subcritical Approach to Sharp Hardy-Littlewood-Sobolev Type Inequalities on the Upper Half Space
本文建立了上半空间上的反向Hardy-Littlewood-Sobolev（简称HLS）不等式，并通过引入统一的方法得到了上半空间上一个新的HLS型积分不等式（推广了Hang，Wang和Yan在\cite{HWY2008}中发现的一个不等式）.用移动球法对极值函数进行分类，并计算出最佳常数。新的方法也可以用来得到经典的HLS不等式和其它类似的不等式。
2017-03-08 math.AP
Blow-up of a critical Sobolev norm for energy-subcritical and energy-supercritical wave equations
本文研究三维空间中的半线性波动方程，其非线性项为大于立方项，而非五次项（即非能量临界）。我们证明了任何非散射解的尺度不变的Sobolev范数在存在的最大时刻趋于无穷大。这是对能量亚临界和能量超临界波动方程已知结果的改进，并给出了统一的证明。证明依赖于能量方法的通道，如在arXiv：1204.0031中，在arXiv：1506.00788中引入的加权尺度不变的索伯列夫空间中。这些空间是局部的，因此适用于有限的传播速度，并与线性波动方程的守恒律有关。我们还构造了自适应剖面分解。
2017-03-15 math.AP
Sharp subcritical Sobolev inequalities and uniqueness of nonnegative solutions to high-order Lane-Emden equations on $\mathbb{S}^n$
本文研究了在$\mathbb{S}^n$上含有GJMS算子的高阶Lane-Emden方程非负解的唯一性结果.由于经典的基于Kelvin变换和最大值原理原理的移动平面法无法处理$\mathbb{S}^n$中的高阶椭圆型方程，本文首先利用$\mathbb{S}^n$和$\mathbb{R}^n$之间的Mobius变换、多重调和平均和迭代变元证明了$\mathbb{S}^n$中的高阶Lane-Emden方程等价于$\mathbb{R}^n$中的某个积分方程.然后利用积分形式的移动平面方法和球的对称性，得到了具有次临界多项式增长的高阶Lane-Emden方程在$\mathbb{S}^n$上非负解的唯一性.作为应用，我们还对$\mathbb{S}^n$上包含GJMS算子的尖锐次临界高阶Sobolev不等式的最佳常数和极值进行了识别和分类.我们的结果似乎没有在文献中，甚至对Lane-Emden方程和尖锐的次临界Sobolev不等式的一阶导数$\mathbb{S}^n$。
2021-07-10 math.AP
Sharp subcritical and critical $L^{p}$ Hardy inequalities on the sphere
本文证明了索伯列夫空间$W^{1,p}$中的函数在单位球面$\mathbb{R}^{n}$中的Hardy型尖锐不等式。我们在亚临界和临界两种情况下都实现了这一点。我们用来证明最优性的方法考虑了不等式中涉及的所有常数。
2020-06-12 math.AP math.FA
The Muskat problem with surface tension and equal viscosities in subcritical $L_p$-Sobolev spaces
本文研究了具有表面张力且粘度相等的Muskat问题，通过将其转化为次临界Sobolev空间中的拟线性抛物发展问题，证明了其适定性、解的瞬间光滑性及全局存在性准则。
2020-10-23 math.AP
A refined approach for non-negative entire solutions of $Δu + u^p = 0$ with subcritical Sobolev growth
设$N\geq 2$和$1 < p < (N+2)/(N-2)_{+}$。考虑$\mathbb{R}^N$中的Lane-Emden方程$Δu + u^p = 0$，并回忆经典的Liouville型定理：如果$u$是Lane-Emden方程的非负经典解，则$u \equiv 0$。结合开尔文变换的移动平面的方法提供了这个定理的一个优雅的证明。Serrin和H.最初用于莱恩-埃姆登系统的Zou给出了另一个证明，但仅限于较低维度。受此启发，我们进一步完善这种方法，以找到一个替代证明的刘维尔型定理在所有维度。
2017-02-07 math.AP
New approaches for Schrödinger equations with prescribed mass: The Sobolev subcritical case and The Sobolev critical case with mixed dispersion
本文针对具有规定质量的薛定谔方程，提出流形上新的临界点定理与能量控制策略，在Sobolev次临界和带混合色散的Sobolev临界情形下证明规范化解的存在性，统一处理N=3和N≥4。
2024-01-15 math.AP
Well-posedness of the Muskat problem in subcritical $L_p$-Sobolev spaces
本文在次临界$L_p$-Sobolev空间中研究Muskat问题，证明Rayleigh-Taylor条件能确定抛物型开子集，从而建立局部适定性与抛物型平滑性质。
2021-06-02 math.AP
Equivalence of critical and subcritical sharp Trudinger-Moser-Adams inequalities
一阶索伯列夫空间上的SharpTrudinger-Moser不等式和高阶索伯列夫空间上类似的Adams不等式在几何分析、偏微分方程和现代数学的其他分支中起着重要的作用。近年来，这类几何不等式已被许多作者广泛研究，并有大量的文献。这类最优不等式有两种类型：临界和次临界尖锐不等式，它们都有最优常数。临界尖锐不等式是在所考虑的函数的全部Sobolev范数的限制下，而次临界不等式是在所考虑的函数的部分Sobolev范数的限制下。这两类不等式之间有细微的差别。令人惊讶的是，我们在本文中证明，这些临界和亚临界Trudinger-Moser和亚当斯不等式实际上是等价的。此外，我们还建立了整个欧几里得空间上的次临界Trudinger-Moser不等式和Adams不等式的上确界的渐近性质（定理1.1和定理1.3），并给出了临界Trudinger-Moser不等式和次临界Trudinger-Moser不等式和Adams不等式的上确界之间的精确关系（定理1.2和定理1.4）。
2015-04-19 math.AP math.CA
Optimal functional inequalities for fractional operators on the sphere and applications
本文研究球面上分式Laplace算子的最优泛函不等式.基于谱性质，建立了次临界不等式。分数热流的后果被认为是。这些次临界不等式插值分数Sobolev和次临界分数对数Sobolev不等式之间。它们的最佳常数由光谱间隙决定。在次临界范围内，该方法还提供了余项，可以看作是最优不等式的改进形式。我们还考虑了分数对数Sobolev和分数Poincar{é}不等式之间的插值不等式。最后，利用球极平面投影和尺度性质，在欧几里得空间中得到了包含分数拉普拉斯算子的加权不等式。
2016-10-06 math.AP
Fractional gradients and nonlocal PDEs in variable exponent spaces
Universidade de Coimbra（科英布拉大学）；Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg（埃尔朗根-纽伦堡大学）
本文在变指数Lebesgue空间中发展了Riesz分数阶梯度理论，引入非局部Sobolev空间，建立多种不等式和分数阶微积分基本定理，并应用于非线性变分问题，证明极小元存在性及Euler-Lagrange方程。
2026-10-14 math.AP math.FA
Critical and subcritical fractional Trudinger-Moser type inequalities on $\mathbb{R}$
本文研究整条实直线上分数索伯列夫空间$H^{1/2,2}$中函数的临界和次临界Trudinger-Moser型不等式.证明了两个不等式之间的关系，并讨论了上确界的可达性。
2017-02-27 math.AP
Essentials of Real Analysis and Morrey-Sobolev spaces for second-order elliptic and parabolic PDEs with singular first-order coefficients
本文简要介绍了Hardy-Littlewood极大函数定理等实分析结果在具奇异一阶系数的二阶椭圆与抛物型PDE的Sobolev及Morrey-Sobolev空间理论中的应用，并在最后一节给出了新结果。
2025-10-10 math.AP
On a 1D nonlocal transport equation with nonlocal velocity and subcritical or supercritical diffusion
本文研究了一维非局部速度迁移方程，其耗散项为亚临界或超临界。对于加权索伯列夫空间中的所有数据，具有$k=\max(0,3/2-α)$和$w_{λ, κ}$的$H^{k}(w_{λ,κ}) \cap L^{\infty},$是Muckenhoupt权重的给定族。我们证明了一个整体存在的结果在次临界情况下$α\in (1,2)$。我们还证明了一个局部存在定理的大数据在$H^{2}(w_{λ, κ})\cap L^{\infty}$在超临界情况下$α\in (0,1)$。证明是基于使用加权Littlewood-Paley理论，插值以及一些新的交换子估计。
2017-10-01 math.AP math.FA
Quasi invariant modified Sobolev norms for semi linear reversible PDEs
本文考虑一类无限维可逆微分系统。假设线性频率上的非共振条件，我们构造了这类系统的几乎不变的伪范数，它们接近于Sobolev类范数。这使我们能够证明，如果索伯列夫范数的索引$s$的初始数据$z_0$是足够小的（顺序$ε$），然后索伯列夫范数的解决方案是有界的$2ε$在很长的时间（顺序$ε^{-r}$与$r$任意）。结果表明，该定理适用于包括d维环面上的非线性薛定谔方程在内的一大类可逆半线性偏微分方程。我们也将我们的方法应用到一个系统的耦合NLS方程是可逆的，但不是哈密顿。我们还注意到，对于同一类可逆系统，我们可以证明伯克霍夫范式定理，该定理反过来又意味着索伯列夫范数的相同界限。然而，我们证明拟不变伪范数存在性的技巧要简单直接得多。
2009-08-21 math-ph math.AP math.MP
Small amplitude weak Sobolev almost periodic solutions for the 1d NLS
所有的殆周期解的不可积偏微分方程在文献中发现是非常正规的（至少$C^\infty$），因此，非常接近拟周期的。这一事实在现有的证明中得到了深入的利用。证明具有有限正则性的殆周期解的存在性是偏微分方程KAM理论中的一个主要问题。本文考虑带外参数的一维非线性最小二乘问题，构造了在时间和空间上都具有Sobolev正则性的殆周期解。此外，我们的许多解决方案只是在弱意义上。这是KAM理论中关于不可积偏微分方程弱解（即非经典解）存在性的第一个结果。
2022-12-09 math.AP
A new proof of subcritical Trudinger-Moser inequalities on the whole Euclidean space
本文给出了$\mathbb{R}^n$上次临界Trudinger-Moser不等式的一个新证明.现有的关于这个不等式的证明都是基于索伯列夫空间$W^{1,n}(\mathbb{R}^n)$中函数的重排论证。我们的方法避免了这种技术，因此可以用于黎曼流形的情况下，并在整个海森堡群。
2012-10-06 math.AP
Two Positive Normalized Solutions and Phase Separation for Coupled Schrödinger Equations on Bounded Domain with L2-Supercritical and Sobolev Critical or Subcritical Exponent
本文在有界星形区域上研究具有 L^2-超临界和 Sobolev 临界或次临界指数的耦合薛定谔系统，证明其存在两个正归一化解，并分析排斥情形下的相分离现象。
2023-11-28 math.AP
Multiple solutions for a fractional Choquard problem with slightly subcritical exponents on bounded domains
研究了有界区域上具有次临界指数的分式Choquard问题。当卷积型非线性项的指数趋于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的分数阶临界指数时，利用Lusternik-Schnirelmann范畴和非局部整体紧性得到了多个正解的存在性.此外，我们还证明了区域的拓扑给出了正解个数的下界。
2023-02-06 math.AP
Degenerate stability of some Sobolev inequalities
我们证明了在$\mathbb S^1(1/\sqrt{d-2})\times\mathbb S^{d-1}(1)$上保形不变的Sobolev不等式具有一个剩余项，该剩余项是到优化器的距离的四次方。第四种力量是最好的。这是在对比更常见的消失到第二秩序，是出于工作的恩格尔斯坦，Neumayer和Spolaor。对于$\mathbb S^d$上的次临界Sobolev不等式也出现了类似的现象。我们的证明收益的迭代Bianchi-Egnell策略。
2022-05-31 math.AP math.CA math.FA
Improved Sobolev embeddings, profile decomposition, and concentration-compactness for fractional Sobolev spaces
在H^s空间中得到了一个改进的涉及Morrey范数的Sobolev不等式.这种改进产生了一个直接的证明的存在性的优化和紧凑的对称性的优化序列通常的Sobolev嵌入。更一般地说，它允许使用[K]中开发的位错空间的抽象方法导出[P. Gerard，ESAIM 1998]中获得的H^s中的轮廓分解的替代的、更透明的证明。Tintarev & K. H. Fieseler，Imperial College Press 2007]。我们还直接分析了Sobolev嵌入紧性的局部缺陷。Lions，Rev. Mat. Iberoamericana 1985]。作为模型应用，我们研究了一类次临界问题的渐近极限，得到了当s为整数（[O. Rey，Mandarin pta math.1989; Z.- C. Han，Ann. Inst. H.庞加莱肛门。Non Lineaire 1991]，[K. S. Chou & D. Geng，微分积分方程2000]）。
2013-02-24 math.AP math.FA
Some rigidity results for Sobolev inequalities and related PDEs on Cartan-Hadamard manifolds
Cartan-Hadamard猜想指出，在每一个$n$维Cartan-Hadamard流形$ \mathbb{M}^n $上，等周不等式与欧几里德最优常数成立，并且任何达到相等的集合必然等距于欧几里德球。这个猜想得到了解决，得到了肯定的答案，为$n \le 4$。证明了它在$n$维上的有效性，从而保证了每个$p$ -Sobolev不等式（$ 1 < p < n $）在具有欧氏最优常数的$ \mathbb{M}^n $上成立.在本文中，我们解决的问题，分类所有Cartan-Hadamard流形支持一个最佳功能的Sobolev不等式。我们证明，$n$维Cartan-Hadamard猜想的有效性下，只有这样的流形是$ \mathbb{R}^n $，因此任何优化器是一个奥宾-塔伦蒂配置文件（等距）。特别地，这是维度$n \le 4$中的情况。Sobolev不等式的最优函数是临界$p$ -Laplace方程的弱解.因此，在本文的第二部分，我们解决了径向解决方案（不一定是优化器），这样的偏微分方程的分类。实际上，我们考虑更一般的临界或超临界方程\[ -Δ_p u = u^q \, , \quad u>0 \, , \qquad \text{on } \mathbb{M}^n \, , \]，其中$q \ge p^*-1$。证明了如果存在径向有限能量解，则$\mathbb{M}^n$必然等距于$…
2022-02-18 math.AP math.DG math.FA
A Gamma convergence approach to the critical Sobolev embedding in variable exponent spaces
本文从$Γ$ -收敛的角度研究变指数Sobolev空间的临界Sobolev嵌入$W^{1,p(x)}(Ω)\subset L^{p^*(x)}(Ω)$.更精确地说，我们确定的$Γ$ -极限的亚临界近似的最佳常数与此嵌入。作为应用，我们给出了最佳常数存在极值的一个充分条件。
2013-10-22 math.AP
Scattering theory in homogeneous Sobolev spaces for Schrödinger and wave equations with rough potentials
本文研究了齐次索伯列夫空间中具有粗糙势的薛定谔方程和波动方程的散射理论。本文前半部分讨论了亚临界和临界常数情况下的平方反比势，它是一种特殊的标度临界奇异扰动模型。在次临界情形下，得到了定义在齐性索伯列夫空间范围上的波算子和逆波算子的存在性。特别是，我们有散射到齐次能量空间中的薛定谔方程和波动方程的自由解。在临界情况下，它示出的解决方案是渐近的总和的$n$ -维自由波和重新缩放的二维自由波。本文的后半部分是关于一类强奇异衰减势的推广。我们在一个抽象的框架中提供了一个简单的判据，从定义在基希尔伯特空间上的标准波算子的存在性推导出定义在齐次索伯列夫空间上的波算子的存在性。
2020-09-10 math.AP
Refined Asymptotics for the subcritical Keller-Segel system and Related Functional Inequalities
我们分析了径向对称二维情形下亚临界Keller-Segel系统和相应的一维情形下对数相互作用的自相似性的收敛速率。我们用Wasserstein距离来度量收敛。当我们接近临界情况时，朝向自相似性的收敛速率不会退化。作为副产品，我们得到了一个证明的对数Hardy-Littlewood-Sobolev不等式在一维和径向对称的二维情况下的最优输运的论点。此外，我们证明了一维方程是一个收缩相对于傅立叶距离在亚临界情况下。
2010-07-16 math.AP
Asymptotic stability of solitons to 1D Nonlinear Schrodinger Equations in subcritical case
本文在对称性和谱假设下，证明了一维非线性薛定谔方程孤波在亚临界情形下的渐近稳定性。其主要思想之一是利用Cuccagna，Georgiev，Visciglia提出的向量场方法来克服线性化方程由于一维设置而引起的关于$t$的弱衰减和由于非线性项的亚临界增长而引起的弱非线性。同时，我们利用Staffilani得到的一维薛定谔方程解的高Sobolev范数的多项式增长性来控制由向量场方法产生的解的高矩.
2020-07-19 math.AP
Optimal Control of Fractional Elliptic PDEs with State Constraints and Characterization of the dual of Fractional Order Sobolev Spaces
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico, Rio Piedras Campus（波多黎各大学里奥彼德拉斯校区）
本文研究了由分数阶椭圆PDEs支配的最优控制问题中的状态约束，开发了多种数学工具，如分数阶Sobolev空间的对偶空间刻画和分数PDEs的测度值数据的适定性，推导了最优控制问题的适定性并得到一阶最优性条件，强调了经典情况（s=1）已被E.Casas研究，但现有结果难以直接应用于分数阶情况。
2019-05-31 cs.NA math.AP math.NA
Normalized solutions of coupled Sobolev critical Schrodinger equations with mass subcritical couplings
本文研究质量次临界耦合的 Sobolev 临界薛定谔方程组，在质量混合情形下证明对小参数 ν 系统存在局部极小解和山路解两个正解，并分析 ν→0⁺ 时的渐近行为，肯定回答了 Bartsch 等人提出的 Soave 型公开问题。
2025-07-17 math.AP
The Brezis-Nirenberg-type problem for critical cooperative and non-cooperative elliptic systems with general subcritical perturbations
School of Mathematical Sciences, University of Jinan（济南大学数学科学学院）
本文研究具有一般次临界扰动的临界合作与非合作椭圆系统的Brezis-Nirenberg型问题，在不同空间维数下证明解的存在性，将经典理论推广至含一般低阶扰动的临界系统。
2026-10-16 math.AP
$L^\infty$ a-priori estimates for subcritical semilinear elliptic equations with a Carathéodory nonlinearity
我们提出了一个新的$L^\infty$先验估计的一类次临界椭圆型方程弱解的有界区域。不需要对解的符号作任何假设，也不需要任何非线性。该方法基于椭圆正则性与Gagliardo-Nirenberg或Caffarelli-Kohn-Nirenberg插值不等式的结合。考虑半线性边值问题$ -Δu= f(x,u),$在$Ω,$中的Dirichlet边界条件，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N $，$N> 2,$是有界光滑区域，$f$是次临界Carathéodory非线性.我们提供了弱解的$L^\infty$先验估计，在其$L^{2^*}$ -范数，其中$2^*=\frac{2N}{N-2}\ $是临界Sobolev指数。通过亚临界非线性，我们表示例如$|f(x,s)|\le |x|^{-μ}\, \tilde{f}(s),$，其中$μ\in(0,2),$和$\tilde{f}(s)/|s|^{2_μ^*-1}\to 0$为$|s|\to \infty$，这里$2^*_μ:=\frac{2(N-μ)}{N-2}$是临界Sobolev-Hardy指数。我们的非线性包括非幂非线性。特别地，我们证明了当$f(x,s)=|x|^{-μ}\,\frac{|s|^{2^*_μ-2}s}{\big[\log(e+|s|)\big]^β}\,,$具有$μ\in[1,2),$时，对于任何$\va…
2022-08-31 math.AP
Ergodic Mean Field Games: existence of local minimizers up to the Sobolev critical case
我们研究了粘性遍历平均场博弈系统在有界区域中的解的存在性，该系统具有Neumann边界条件和局部的，可能是聚集耦合。特别是，我们利用相关的变分结构和搜索一个合适的功能的约束极小。根据耦合的增长，我们检测到存在的全球极小的质量亚临界和临界的情况下，和局部极小的质量超临界的情况下，特别是索伯列夫临界的情况下。
2023-01-27 math.AP
On the Hardy-Littlewood-Sobolev type systems
本文研究了Hardy-Littlewood-Sobolev型系统的一些定性性质。合肥光源类型的系统分为三种情况：临界，超临界和亚临界。临界情况下，众所周知的原始HLS系统，对应于基本HLS不等式的欧拉-拉格朗日方程。在每种情况下，我们给出了一些重要的结果和有用的方法的简要调查。一些简化和扩展的基础上更直接和直观的想法。此外，一些新的定性性质，并提出了一些开放的问题，为今后的研究。
2015-10-11 math.AP
Transport of Gaussian measures with exponential cut-off for Hamiltonian PDEs
我们发现，引入一个指数截止一个合适的Sobolev范数有利于证明的准不变性的高斯措施相对于哈密顿偏微分方程流，并允许我们建立精确的雅可比公式的密度。我们将这一思想应用于两种不同的情形，即具有色散$γ>1$的周期分数阶Benjamin-Bona-Mahony（BBM）方程和周期一维五次散焦非线性薛定谔方程（NLS）.对于BBM方程，我们研究了截断Gauss测度在分数索伯列夫空间上的输运，而对于NLS方程，我们研究了基于Planchon-Visciglia和第三作者引入的修正能量的测度.此外，对于BBM方程，我们还证明了对于任意小的~ $\a>0$，~ $C^\a(\T)$中的数据几乎必然全局适定性以及与$H^{γ/2}(\T)$范数相关的高斯测度的不变性。
2022-06-30 math.AP math.FA math.PR
Profile decomposition in Sobolev spaces and decomposition of integral functionals I: inhomogeneous case
研究了\emph{inhomogeneous}索伯列夫空间中有界序列的紧性缺失问题，其中有界序列可能由于等距群作用（\emph{translation}）而不紧.证明了每一个有界序列$(u_n)$都有（可能无穷多个）\emph{profiles}，然后将序列渐近分解为平移轮廓和双后缀剩余项，其中剩余项在适当的低阶Lebesgue或索伯列夫空间中任意小.为此，功能分析框架建立在一个抽象的方式，通过使用一个群作用$G$，以表征配置文件的$(u_n)$和$G$。人们还发现，分解的Sobolev规范到配置文件是有界的$u_n$的规范的上确界。此外，剖面分解导致的结果分解的积分泛函的次临界阶。值得注意的是，积分泛函分解的空间与剩余项为零的空间相同。
2022-02-15 math.AP math.FA
Reversed Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on Heisenberg group $\mathbb{H}^n$ and CR sphere $\mathbb{S}^{2n+1}$
本文主要研究Heisenberg群$\mathbb{H}^n$和CR球$\mathbb{S}^{2n+1}$上的逆Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式.首先，我们建立了一个大致反向的HLS不等式，并给出了sharp常数的一个明确的下界。然后，利用次临界方法和一些紧性技巧证明了具有锐常数的极值函数的存在性。我们的方法不需要重排，可以用来研究经典的HLS不等式和其它类似的不等式。
2022-02-18 math.AP
Fractional Hardy-Sobolev elliptic problems
本文研究了如下奇异非线性椭圆问题\begin{equation}\label{eq:1} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (-Δ)^{\frac α2} u=λ|u|^{r-2}u+μ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^{s}}\quad &{\rm in }\quad Ω, \\ \\ u=0 &{\rm on }\quad \partialΩ, \end{array} \right. \end{equation}，其中$Ω$是$\mathbb R^N$中的有界光滑区域，具有$0\in Ω$，$λ,μ>0,0<s\leqα$，$(-Δ)^{\frac α2}$是分数阶Laplacian算子，具有$0<α<2$ .建立了次临界、Sobolev临界和Hardy-Sobolev临界情形下问题\eqref{eq:1}的存在性结果.
2015-03-01 math.AP
A numerical investigation of level sets of extremal Sobolev functions
University of Cape Town（开普敦大学）
本文研究了亚临界指数p下极值Sobolev函数的水平集，通过数值证据支持随着p增大，极值函数更尖锐的猜想。
2014-01-10 cs.NA math.AP math.NA
Mixed Local-Nonlocal Equations in the Hyperbolic Space and Sharp Sobolev Constants
Indian Institute of Technology Delhi（印度德里理工学院）
本文针对双曲空间中含混合局部-非局部算子的非线性椭圆方程，采用变分法研究次临界与临界非线性情形，证明了适当条件下弱解的存在性。
2026-10-16 math.AP
$L^\infty$ a-priori estimates for subcritical $p$-laplacian equations with a Carathéodory nonlinearity
我们提出了一个新的$L^\infty$先验估计的一个广泛的一类次临界$p$ -拉普拉斯方程的弱解的有界区域。不需要对解的符号作任何假设，也不需要任何非线性。该方法基于$p$ -拉普拉斯算子的椭圆正则性，结合Gagliardo-Nirenberg或Caffarelli-Kohn-Nirenberg插值不等式。考虑一类拟线性边值问题$ -Δ_p u= f(x,u),$在$Ω,$中的Dirichlet边界条件，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N $，$p<N,$是严格凸的有界光滑区域，$f$是次临界Carathéodory非线性.我们提供$L^\infty$先验估计弱解，在其$L^{p^*}$ -范数，其中$p^*= \frac{Np}{N-p}\ $是临界Sobolev指数。通过亚临界非线性，我们表示例如$|f(x,s)|\le |x|^{-μ}\, \tilde{f}(s),$，其中$μ\in(0,p),$和$\tilde{f}(s)/|s|^{p_μ^*-1}\to 0$为$|s|\to \infty$，这里$p^*_μ:=\frac{p(N-μ)}{N-p}$为临界Sobolev-Hardy指数。我们的非线性包括非幂非线性。特别是，我们证明，当$f(x,s)=|x|^{-μ}\,\frac{|s|^{p^*_μ-2}s}{\big[\log(e+|s|)\big]^…
2022-09-14 math.AP
Global Well-Posedness of 2D Non-Focusing Schrödinger Equations via Rigorous Modulation Approximation
研究了一类非线性薛定谔方程（NLS）在$\mathbb{R}^2$上具有任意奇次幂非线性项的Cauchy问题的长时间适定性.具体地说，本文的方法适用于那些NLS方程具有椭圆签名与散焦非线性，否则具有不定签名。通过严格证明，这些方程管理的调制波包样的解决方案的人工构造的方程具有有利的结构，我们表明，先验的解决方案的每个亚临界非齐次Sobolev范数增加在最多多项式的时间。全球适定性其次是一个标准的应用程序的亚临界局部理论。
2016-05-11 math.AP
Sobolev gradients of viscosity supersolutions
我们研究了哪些椭圆型偏微分方程的粘性上解是$W^{1,q}_{loc}(Ω)$，$Ω\subseteq\mathbb{R}^n$ .算子子水平集的渐近锥面似乎是必不可少的。事实证明，如果我们知道这个锥如何与与指数$q$相关的某个极小算子的子级集进行比较，就可以说很多。
2021-07-17 math.AP
Effective dynamics and defect expansions for polynomial PDEs on thin annuli
Univ. Angers（昂热大学）；CNRS, LAREMA, SFR MATHSTIC（法国国家科学研究中心，LAREMA，SFR MATHSTIC）；Lepage Research Institute（莱佩奇研究所）；Lycée Jeanne d’Arc（圣女贞德中学）
本文提出了一种基于Sobolev正交多项式的方法，用于分析薄环区域中多项式偏微分方程的有效动力学和缺陷展开，适用于多种物理模型和扰动情况。
2026-02-12 hep-th math-ph math.AP
Weighted Orlicz-Sobolev and variable exponent Morrey regularity for fully nonlinear parabolic PDEs with oblique boundary conditions and applications
本文针对带斜边界条件的完全非线性抛物方程粘性解，建立全局加权Orlicz-Sobolev与变指数Morrey-Sobolev估计，给出稠密性、障碍问题正则性等相关应用。
2025-11-19 math.AP
Matrix $A_p$ weights, degenerate Sobolev spaces, and mappings of finite distortion
研究退化的索伯列夫空间，其中退化由矩阵$A_p$权控制.这类权是由Nazarov，Treil和Volberg引入的，而具有矩阵权的退化索伯列夫空间也被一些作者考虑应用于偏微分方程。我们证明了经典的Meyers-Serrin定理，H = W，在此设置。作为应用，我们证明了退化p-Laplacian方程的弱解的部分正则性结果，特别是有限畸变映射的部分正则性结果.
2015-05-04 math.AP
Struwe's Global Compactness and energy approximation of the critical Sobolev embedding in the Heisenberg group
本文研究Heisenberg群上临界Folland-Stein-Sobolev嵌入的紧性缺失，用Γ收敛证明次临界逼近最优函数的能量集中，并以新方法推广Struwe全局紧性定理。
2024-10-31 math.AP
On Hamiltonian systems with critical Sobolev exponents
在Brezis和Nirenberg \cite{BrezisNirenberg1983}的经典结果的启发下，本文考虑了有界光滑区域$Ω\subset \mathbb{R}^N$上临界Lane-Emden系统的低阶扰动，其中$Ω\subset \mathbb{R}^N$.我们解决的问题，找到一个积极的解决方案的所有维度$N \geq 4$。对于临界尺寸$N=3$，我们显示了一个新的现象，没有观察到的标量问题。也就是说，在临界双曲线上有部分存在所有$1$ -齐次或亚临界超线性扰动的解，而部分没有这些扰动的解。
2022-12-09 math.AP
Extremals for Poincaré-Sobolev sharp constants in Steiner symmetric sets
本文研究一般Steiner对称集合中尖锐Poincaré-Sobolev常数极小元的存在性，利用初等紧性方法克服无界集合嵌入缺乏紧性的问题，并证明极小元的指数衰减及结果最优性。
2025-05-16 math.AP
Normalized solutions for Schrödinger system with subcritical Sobolev exponent and combined nonlinearities
在本文中，我们寻找解决方案，以下耦合薛定谔系统\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+λ_{1}u=α_{1}|u|^{p-2}u+μ_{1}u^{3}+ρv^{2}u & \text{in} \ \ \mathbb{R}^{N}, -Δv+λ_{2}v=α_{2}|v|^{p-2}v+μ_{2}v^{3}+ρu^{2}v& \text{in} \ \ \mathbb{R}^{N}, \end{cases} \end{equation*}与附加条件$\int_{\mathbb{R}^{N}}u^{2}dx=b^{2}_{1}$和$\int_{\mathbb{R}^{N}}v^{2}dx=b^{2}_{2}.$这里$b_1, b_2>0$规定，$N\leq3$，$μ_{1}, μ_{2}, α_{1},α_{2},ρ>0$，$p\in (2,4)$和频率$λ_{1},λ_{2}$是未知的，将出现作为拉格朗日乘子。在一维情况下，能量泛函从下到上有界的$L^2$ -球的产品，规范化的基态存在，并获得作为整体极小。当能量泛函$N=2$不总是有界于$L^2$ -球面的乘积时，我们证明了在适当的条件下，作为全局极小元得到的$b_1$和$b_2$的归一化基态的存在性。当$N=3$，我们表明，在适当的条件下，$b_1$和$b_2$，至少有两个归一化的解决方案存在，一…
2021-08-25 math.AP
Equivalence of Sobolev norms involving generalized Hardy operators
本文研究带哈代位势的分数阶薛定谔算子所生成的齐次索伯列夫空间与通常齐次索伯列夫空间的等价性，得到广义及反向哈代不等式，并推广了非分数阶情形下的近期结果。
2023-04-17 math-ph math.AP math.FA
Sign changing bubble tower solutions to a slightly subcritical elliptic problem with non-power nonlinearity
本文针对含对数修正非幂次非线性的轻微次临界 Dirichlet 椭圆问题，利用有限维 Lyapunov–Schmidt 约化构造 ε→0 时的变号泡塔解。
2023-06-05 math.AP
Unbalanced fractional elliptic problems with exponential nonlinearity: subcritical and critical cases
本文讨论了下列$(p,q)$ -分式方程解的定性分析：\begin{equation*} \begin{array}{rllll} (-Δ)^{s_1}_{p}u+(-Δ)^{s_2}_{q}u+V(x) \big(|u|^{p-2}u+|u|^{q-2}u\big) = K(x)\frac{f(u)}{|x|^\ba} \; \text{ in } \mb R^N, \end{array} \end{equation*} \noi其中$1< q< p$，$0<s_2\leq s_1<1$，$ps_1=N$，$\ba\in[0,N)$，和$V,K:\mb R^N\to\mb R$，$f:\mb R\to \mb R$是满足某些自然假设的连续函数.我们关心的情况下，当$f$有一个亚临界增长和临界框架的指数非线性。利用Schwarz对称化技巧和相关变分方法，证明了分数Sobolev空间上的一个Moser-Trudinger型不等式的非负解的存在性.
2020-11-16 math.AP
Two Positive Normalized Solutions on Star-shaped Bounded Domains to the Brézis-Nirenberg Problem, I: Existence
该研究提出新框架，首次证明星形有界域上Brézis-Nirenberg问题的Sobolev临界情形下存在两个指定质量的正规范化解，且框架可推广至其他方程。
2024-04-17 math.AP
