Hardy inequality and fractional Leibnitz rule for perturbed Hamiltonians on the line
我们考虑下面的扰动哈密顿量$\mathcal{H}= -\partial_x^2 + V(x)$在实直线上。势$V(x)$是一个短程型的实值函数.研究了经典齐性Sobolev型空间$\dot{H}^s_p$，$p \in (1,\infty)$与相应的扰动齐性索伯列夫空间的等价性.证明了零不是共振的假设保证了$s = γ- 1 \in [0,1/p)$阶齐次Sobolev范数的扰动和未扰动是等价的。作为推论，相应的波算子使$s \in [0,1/p)$阶的经典齐性索伯列夫空间保持不变。
2016-06-28 math.AP
Asymptotic behavior of extremal functions to an inequality involving Hardy potential and critical Sobolev exponent
本文研究了一类含Hardy势和临界Sobolev指数的不等式的径向极值函数的渐近性态。基于原点和无穷远处的渐近性态，我们将推出两个最佳常数之间的严格不等式。最后，作为这个严格不等式的应用，我们考虑了一类具有Hardy势和临界Sobolev指数的拟线性Brezis-Nirenberg型问题非平凡解的存在性。
2007-01-24 math.AP
Existence and Uniqueness of Weak solution of $ p( x ) $- laplacian in Sobolev spaces with variable exponents in complete manifolds
在变指数黎曼流形上的索伯列夫空间的框架下，研究了非齐次$ p ( x ) -$ Laplacian方程在非多项式增长算子的控制下非平凡解的存在唯一性.使用了山路定理。
2020-06-08 math.AP
On the Sobolev trace Theorem for variable exponent spaces in the critical range
本文研究了具有临界指数的变指数空间的Sobolev迹定理。为了保证极值的存在，我们找到了最佳常数的条件。然后，我们给当地的指数和域上的条件（在Adimurthy和Yadava的精神），以满足这些条件，因此，以确保极值的存在。
2013-01-14 math.AP
A Gamma convergence approach to the critical Sobolev embedding in variable exponent spaces
本文从$Γ$ -收敛的角度研究变指数Sobolev空间的临界Sobolev嵌入$W^{1,p(x)}(Ω)\subset L^{p^*(x)}(Ω)$.更精确地说，我们确定的$Γ$ -极限的亚临界近似的最佳常数与此嵌入。作为应用，我们给出了最佳常数存在极值的一个充分条件。
2013-10-22 math.AP
Strauss and Lions type theorems for the fractional Sobolev spaces with variable exponent and applications to nonlocal Kirchhoff-Choquard problem
本文在变指数$p$和$\tilde{p}$满足一定条件的情况下，讨论了变指数分数索伯列夫空间的Strauss和Lions型定理.作为应用，我们研究了一类Kirchhoff-Choquard问题在$\mathbb{R}^N$中解的存在性.
2020-05-01 math.AP
Peridynamics and Anisotropic Fractional Sobolev Spaces with Variable Exponents
该数学分析领域研究构建近场动力学分数阶Sobolev空间及对应新型BBM型结果，探究带变指数的各向异性分数阶Sobolev空间的BBM型结果，还研究了各向同性情形的特征值问题。
2024-08-17 math.AP
A study of biharmonic equation involving nonlocal terms and critical Sobolev exponent
本文研究了一类具有非局部项和临界Sobolev指数的双调和方程的基态解的存在性和非平凡弱解的不存在性.首先，我们通过建立Pohozaev型恒等式证明其不存在性。其次，我们利用极小化方法在相应的Nehari流形上研究了基态解的存在性。
2021-01-01 math.AP
Nonexistence results for a class of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents
本文研究了定义在有界区域$\mathbb{R} ^N$上的具有临界Sobolev指数的椭圆狄利克雷问题解的起源分支问题：证明了第一个临界情形是$N=3, 4$（不仅仅是N=3，正如Brezis和Nirenberg所证明的那样），给出了这类椭圆问题解的两个不存在性结果.
2004-11-12 math.AP
Normalized solutions of quasilinear Schrödinger equation with Sobolev critical exponent on star-shaped bounded domains
本文研究星形有界域上具Sobolev临界指数的拟线性Schrödinger方程，通过双偶方法证明了基态与山路解两类正归一化解的存在性。
2025-09-16 math.AP
The Brezis-Nirenberg problem for the fractional $p$-Laplacian involving critical Hardy-Sobolev exponents
我们得到了分数阶$p$ \nobreakdash -Laplacian算子Brezis-Nirenberg问题的存在性、多重性和分支结果，其中包含临界Hardy-Sobolev指数.我们的结果主要是文献中关于$α=0$的结果的推广。在分数Hardy-Sobolev不等式$α\not= 0$中的极小值的显式公式的情况下，我们通过最近在\cite{MM}中获得的极小值的某些渐近估计来解决这个困难。
2017-10-12 math.AP
Infinitely many sign changing solutions of an elliptic problem involving critical Sobolev and Hardy-Sobolev exponent
研究了方程$ \begin{cases} -Δu = μ|u|^{2^{\star}-2}u+\frac{|u|^{2^{*}(t)-2}u}{|x|^t}+a(x)u \quad\text{in}\quad Ω, u=0 \quad\text{on}\quad\partialΩ, \end{cases} $变号解的存在性和多重性，其中$Ω$是$R^N$，$0\in\partialΩ$中的有界区域，$\partialΩ$在$0$处的所有主曲率都是负的，并且$μ\geq 0, \ \ a>0, \ \ N\geq 7, \ \ 0<t<2, \ \ 2^{\star}=\frac{2N}{N-2}$和$2^{\star}(t)=\frac{2(N-t)}{N-2}$ .
2014-10-29 math.AP
$p$-Laplacian problems involving critical Hardy-Sobolev exponents
我们证明了存在性，多重性和分歧的结果$p$ -拉普拉斯问题涉及临界Hardy-Sobolev指数。我们的结果主要针对$λ\ge λ_1$情形，推广了文献中关于$0 < λ< λ_1$的结果.在没有直和分解的情况下，我们使用基于上同调指数和相关伪指数的临界点定理。
2016-09-07 math.AP
The effect of boundary geometry in nonlocal critical problems with Hardy-Littlewood-Sobolev exponent
Sfax University（萨法克斯大学）；Indian Institute of Technology Jodhpur（焦特布尔印度理工学院）
本文研究了非局部临界问题中边界几何对基态解存在性的影响，考虑了Choquard非线性项和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上临界指数。
2026-01-25 math.AP
Existence Results for double phase problem in Sobolev-Orlicz spaces with variable exponents in Complete Manifold
在完备紧致黎曼流形中变指数Sobolev-Orlicz空间的框架下，研究了一类双相问题非负非平凡解的存在性，其中源项是满足Ambrosetti-Rabinowitz型条件的Caratheodory函数.我们的方法是基于Nehari流形和一些变分技术。进一步证明了赫尔德不等式、连续性和紧嵌入结果。
2021-10-07 math.AP
On $p$-Laplace equations with a critical Hardy-Sobolev exponent and a Hardy potential
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University（越南国立大学）
该研究在$N\ge2$、$1<p<N$的条件下，完成了带临界Hardy-Sobolev指数与Hardy位势的$p$-Laplace方程正$\mathcal{D}^{1,p}(\mathbb{R}^N)$解的分类工作。
2024-08-28 math.AP
Existence of solutions for a singular double phase in Sobolev-Orlicz spaces with variable exponents in a complete manifold
本文研究一类双相问题，其右端含有一个奇异项和一个超线性参数项。利用Nehari流形方法和映射方法，证明了对于参数λ > 0的所有小值，至少存在两个非平凡正解.我们的结果推广了Papageorgiou，Repovus和Vetro [24]以及Liu，Dai，Papageorgiou和Winkert [21]的工作，从指数p和q为常数的Musielak-Orlicz索伯列夫空间的情形推广到指数为完备流形上的变指数的Sobolev-Orlicz空间的情形.
2022-01-04 math.AP
Anisotropic fractional Sobolev spaces with variable exponent and application to nonlocal problems
本文引入具有变指数的分数阶各向异性Sobolev空间，建立其完备性、可分性、自反性及嵌入性质，证明各向异性分数阶$\vec{p}(.,.)$-Laplace算子的泛函性质，并利用山路定理和Ekeland变分原理证明非局部各向异性问题弱解的存在性。
2024-10-03 math.AP
A non-variational system involving the critical Sobolev exponent. The radial case
本文考虑非变分系统$$ \begin{cases} -Δu_i = \sum\limits_{j=1}^k a_{ij} u_j^{(N+2)/(N-2)} &\text{in }\mathbb R^N,\newline u_i>0 &\text{in }\mathbb R^N,\newline u_i\in D^{1,2}(\mathbb R^N). \end{cases} $$，给出了临界Sobolev方程存在从泡分支出来的解的矩阵$(a_{ij})_{i,j=1,\dotsc ,k}$上的充分条件.
2016-03-17 math.AP
Nonlocal problems with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent and Hardy potential
University of Udine（乌迪内大学）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
本文研究了具有Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数和Hardy势的非局部问题，通过变分方法获得存在性结果，并推导了非局部极小化问题的估计。
2025-09-19 math.AP
On nonlocal Choquard equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponents
本文研究了一类具有Dirichlet边界条件的非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λf(u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} Ω, $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$λ>0$，$N\geq3$，$0<μ<N$的光滑有界区域，$2_μ^{\ast}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.在适当的非线性项$f(u)$的假设下，我们用变分方法证明了方程解的存在性和多解性.
2016-10-30 math.AP
Uniqueness of ground states for combined power-type nonlinear scalar field equations involving the Sobolev critical exponent and a large frequency parameter in three and four dimensions
证明了具有Sobolev临界指数和大频率参数的组合幂型非线性标量场方程基态的唯一性。本文的研究是在文献[2]的基础上进行的，旨在消除文献[2]中对维数的限制。本文利用文献[7]中发展的不动点论证证明了这一唯一性。因此，围绕Aubin-Talenti函数的线性化起着关键作用。此外，我们需要对相关的扰动预解式进行一些估计（见命题3.1）。
2021-05-06 math.AP
General fractional Sobolev Space with variable exponent and applications to nonlocal problems
本文将变指数分数Sobolev空间$W^{s,p(x,y)}$推广到一般分数情形$W^{K,p(x,y)}$，其中$p$是变指数，$s\in (0,1)$和$K$是合适的核.我们关心的是空间$W^{K,p(x,y)}$的一些定性性质（完备性、自反性、可分性和稠密性）。此外，我们证明了这些空间到变指数Lebesgue空间的连续紧嵌入定理。作为应用，我们讨论了一类非局部$p(x,.)$ -Kirchhoff型问题的非平凡解的存在性.进一步，我们建立了一个椭圆型积分微分算子变分问题解的存在唯一性定理，该变分问题是由$\mathcal{L}^{p(x,.)}_K$构成的。
2019-11-27 math.AP
Weighted $p(\cdot)$-Poincaré and Sobolev inequality]{Weighted $% p(\cdot )$-Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfiying Hörmander's condition and applications
本文将在Carnot-Carathéodory空间或Carnot群上建立不同的变指数加权Poincaré不等式。我们将使用不同的技巧来获得这些不等式。对于变非迷向索伯列夫空间中满足Hörmander条件的向量场，考虑变Muckenhoupt类$% A_{p(\cdot ),p^{\ast }(\cdot )}$中的一个权，其中指数$p(\cdot )$满足适当的假设，得到了变指数的一阶加权Poincaré不等式.在Carnot群的情形下，我们也建立了变指数的高阶加权Poincaré不等式.对于这些结果的关键部分是证明分数次积分算子在Lebesgue空间上的有界性与加权和变指数的齐型空间。此外，使用其他技术，我们扩展了一些这些结果时，指数满足跳跃条件和重量是在一个较小的Muckenhoupt类。最后，我们将使用这些加权Poincaré不等式建立一个问题的Dirichlet能量积分的最小值的存在性和唯一性，涉及退化的$p(\cdot )$ -Laplacian在卡诺群中的零边界值。
2022-09-02 math.AP
Linear instability and nondegeneracy of ground state for combined power-type nonlinear scalar field equations with the Sobolev critical exponent and large frequency parameter
本文考虑了具有Sobolev临界指数的组合幂型非线性标量场方程。在\cite{AIKN3}中，证明了如果频率参数足够小，则正基态是非简并和线性不稳定的，并应用于非线性薛定谔方程的全局动力学研究。在本文中，我们证明了非简并和线性不稳定性的基态频率足够大的频率参数。此外，我们还证明了基态质量对频率的导数为负。
2018-10-29 math.AP
Estimates for the Sobolev trace constant with critical exponent and applications
在本文中，我们找到了估计的最佳常数的临界Sobolev迹不等式$S\|u\|^p_{L^{p_*}(\partialΩ) \hookrightarrow \|u\|^p_{W^{1,p}(Ω)}$是独立的$Ω$。这一估计推广了[3]对一般$p$的估计.这里，$p_* := p(N-1)/(N-p)$是沉浸的临界指数，$N$是空间维度。然后，我们首先应用我们的结果证明了一个具有临界增长的非线性边界条件的非线性椭圆型问题正解的存在性，推广了[16]的结果。最后，我们研究了一个具有临界指数的最优设计问题。
2006-12-13 math.AP
Fractional Elliptic problem with Finite many critical Hardy--Sobolev Exponents
本文考虑了如下问题：$$ (-Δ)^{s} u -\frac{ζu}{|x|^{2s}} = \sum_{i=1}^{k} \frac{|u|^{2^{*}_{s,θ_{i}}-2}u} {|x|^{θ_{i}}} , \mathrm{~in~} \mathbb{R}^{N}, $$其中$N\geqslant3$，$s\in(0,1)$，$ζ\in \left[ 0,4^{s}\frac{Γ(\frac{N+2s}{4})}{Γ(\frac{N-2s}{4})} \right)$，$2^{*}_{s,θ_{i}}=\frac{2(N-θ_{i})}{N-2s}$是临界Hardy-Sobolev指数，参数$θ_{i}$满足适当的假设.利用Morrey空间、Hardy-Sobolev不等式的加细和变分方法，证明了非负解的存在性.我们的结果推广了Chen [Electronic J. Differ.当量（2018）1- 12]。
2018-05-21 math.AP
On the critical exponent and sharp lifespan estimates for semilinear damped wave equations with data from Sobolev spaces of negative order
研究了具有幂非线性项$\dot{H}^{-γ}$的半线性阻尼波动方程，初值属于负阶$\dot{H}^{-γ}$的索伯列夫空间.本文在负序Soblev空间的框架下，对某些低维的$γ\in(0,\frac{n}{2})$，得到了一个新的临界指数$p=p_{\mathrm{crit}}(n,γ):=1+\frac{4}{n+2γ}$.精确地证明了$p>p_{\mathrm{crit}}(n,γ)$的小数据Sobolev解的低正则性的整体（时间）存在性，以及当$1<p<p_{\mathrm{crit}}(n,γ)$为小数据时弱解的有限时间爆破.此外，为了更准确地描述爆破时间，我们调查尖锐的上界和下界估计的寿命在亚临界情况下。
2021-08-12 math.AP
Non-existence of ground states and gap of variational problems for combined power-type nonlinear scalar field equations involving the Sobolev critical exponent in three space dimensions
本文研究了三维空间中含有Sobolev临界指数的组合幂型非线性标量场方程的极小化问题。在四维和更高的空间维度中，已知对于亚临界非线性的任何频率和任何功率，存在基态。与这些情况相反，当空间维数为3，亚临界功率为3或更小时，我们可以证明存在阈值频率，高于该频率不存在基态，低于该频率则存在基态。此外，我们证明了两个典型的变分问题之间的区别用于表征基态。
2021-12-10 math.AP
Spiked solutions for Schrödinger systems with Sobolev critical exponent: the cases of competitive and weakly cooperative interactions
本文研究了4维非线性薛定谔方程组\[ -Δu_i =μ_i u_i^3 + βu_i \sum_{j\neq i} u_j^2 + λ_i u_i, \qquad u_1,\ldots, u_m\in H^1_0(Ω) \]，一个具有临界Sobolev指数的问题.在竞争的情况下（$β<0$固定或$β\to -\infty$）或在弱合作的情况下（$β\geq 0$小），我们构造，在适当的假设下的罗宾功能相关联的域$Ω$，家庭的正解爆破和集中在不同的点作为$λ_1,\ldots, λ_m\to 0$。这个问题可以被看作是一个Brezis-Nirenberg型问题的系统的推广。
2016-05-12 math.AP
Positive solutions for a class of singular quasilinear Schrödinger equations with critical Sobolev exponent
本文利用变分方法证明了具有临界增长的奇异拟线性薛定谔方程\begin{eqnarray*} -Δu-λc(x)u-κα(Δ(|u|^{2α}))|u|^{2α-2}u = |u|^{q-2}u+|u|^{2^*-2}u,\quad u\in{D^{1,2}(\mathbb{R}}^N), \end{eqnarray*}正解的存在性，其中$λ\geq0$，$0<α<1/2$，$2<q<2^*$ .有趣的是，我们不需要添加权函数来控制$|u|^{q-2}u$。
2017-09-21 math.AP
Nonlocal characterizations of variable exponent Sobolev spaces
本文给出了非线性弹性理论和电流变流体理论中一类变指数索伯列夫空间的非局部特征。我们还得到了一个奇异极限公式，将Nguyen的结果推广到各向异性情形。
2020-12-01 math.AP math.FA
A strongly indefinite Choquard equation with critical exponent due to the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
本文研究非线性Choquard方程$$-Δu+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}dy\right)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$，其中$N\geq4$，$0<μ<N$，$G(x,u)=\displaystyle\int^u_0g(x,s)ds$ .若$0$位于$-Δ+V$谱的间隙中，且$g(x,u)$由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式而具有临界增长性，我们利用变分方法得到了非平凡解的存在性.本文的主要结果推广和补充了\cite{AC, KS, MS2}中已有的定理.
2017-02-17 math.AP
On the growth of high Sobolev norms for certain one-dimensional Hamiltonian PDEs
本文研究环面上分数阶三次Schr{<$}dinger方程$$i \partial\_t u = |D|^αu+|u|^2 u, \quad u(0, \cdot)=u\_0,$$解的Sobolev范数的大时间界，其中$α$是实参数.我们发现，除了情况$α= 1$，这对应于一个半波方程没有色散性质，这个方程的解决方案增长在一个多项式的速度在最多。我们还解决的情况下，三次和二次半波方程。
2015-10-07 math.AP math.FA
On Elliptic Systems involving critical Hardy-Sobolev exponents (Part II)
本文是第二部分的工作，致力于研究椭圆系统涉及多个Hardy-Sobolev临界指数：$$\begin{cases} -Δu-λ\frac{|u|^{2^*(s_1)-2}u}{|x|^{s_1}}=κα\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^{α-2}u|v|^β\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ -Δv-μ\frac{|v|^{2^*(s_1)-2}v}{|x|^{s_1}}=κβ\frac{1}{|x|^{s_2}}|u|^α|v|^{β-2}v\quad &\hbox{in}\;Ω,\\ κ>0,(u,v)\in \mathscr{D}:=D_{0}^{1,2}(Ω)\times D_{0}^{1,2}(Ω), \end{cases}$$其中$s_1\neq s_2\in (0,2), α>1,β>1, λ>0,μ>0,κ>0, α+β=2^*(s_2)$。这里，$2^*(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$是临界Hardy-Sobolev指数。当$Ω$为锥（特别是$Ω=\R_+^N$或$Ω=\R^N$）时，我们研究了正基态解的存在性。
2015-07-07 math.AP
Rigidity of Euclidean product structure: breakdown for low Sobolev exponents
本文提出研究无界集微分包含的通用约化工具箱，证明Sobolev映射乘积刚性在p<2时失效，并简化了文献中的若干例子。
2024-03-29 math.AP
The minimizing problem involving p--Laplacian and Hardy--Littlewood--Sobolev upper critical exponent
本文研究极小化问题：$$ S_{p,1,α,μ}:= \inf_{u\in W^{1,p}(\mathbb{R}^{N})\setminus\{0\}} \frac{ \int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^{p}\mathrm{d}x - μ\int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|u|^{p}}{|x|^{p}} \mathrm{d}x} {\left( \int_{\mathbb{R}^{N}} \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|u(x)|^{p^{*}_α}|u(y)|^{p^{*}_α}}{|x-y|^α} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \right)^{\frac{p}{2\cdot p^{*}_α}}}, $$其中$N\geqslant3$，$p\in(1,N)$，$μ\in \left[ 0, \left( \frac{N-p}{p} \right)^{p} \right)$，$α\in(0,N)$和$p^{*}_α= \frac{p}{2}\left(\frac{2N-α}{N-p}\right)$是Hardy-Littlewood-Sobolev上临界指数.首先，利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的加细，证明了在$\mathbb{R}^{N}$中，$S_{p…
2018-05-28 math.AP
On a nonlinear fourth order elliptic equation involving the Sobolev critical exponent
本文利用Bahri和Coron的代数拓扑论证，证明了区域的拓扑如何影响一类具有临界Sobolev指数的四阶椭圆型方程正解的存在性.
2001-12-21 math.AP math.FA
Existence result under flatness condition for a nonlinear elliptic equation with Sobolev exponent
本文考虑一类带Dirichlet边界条件的非线性椭圆型方程：$-Δu=K(x)u^{\frac{n+2}{n-2}},\, u>0$ in $Ω,\, u=0$ on $\partialΩ$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^n,$ $n\geqslant 4,$中的光滑有界区域，$K$是$\barΩ$中的$\mathcal{C}^1$ -正函数.在假设$K$在每个临界点处的平坦阶为$β\in ]\,n-2,\,n[,$的条件下，给出了紧性损失的精确估计，并通过Euler-Hopf型公式证明了一个存在性结果.
2017-09-16 math.AP
Landau damping in Sobolev spaces for the Vlasov-HMF model
我们考虑Vlasov-HMF（Hamiltonian Mean-Field）模型。我们认为解决方案在一个小的Sobolev附近的空间均匀的状态满足线性化的稳定性标准（彭罗斯标准）。我们证明了这些解对一个修正态的散射行为，这意味着非线性朗道阻尼效应的多项式阻尼率。
2014-04-18 math.AP
On Kirchhoff type equations with critical Sobolev exponent and Naimen's open problems
本文研究了Kirchhoff型$$ \left\{\aligned &-(a+b\int_Ω|\nabla u|^2dx)Δu = λ|u|^{q-2}u + δ|u|^{2}u, &\quad \text{in}\ Ω, \\ &u=0,& \text{on}\ \partialΩ, \endaligned \right. $$的Brezis-Nirenberg问题，其中$Ω\subset \bbr^4$是一个有界区域，其光滑边界$\partialΩ$，$2\leq q<4$和$a$，$b$，$λ$，$δ$是正参数.我们得到了一些新的存在性和不存在性结果，这些结果依赖于上述参数的值，改进了一些已知的结果。本文还讨论了解的渐近性态。
2015-07-19 math.AP
Existence and multiplicity for perturbations of an equation involving Hardy inequality and critical Sobolev exponent in the whole R^N
为了得到问题的解，选择$$ {{array}{c} -Δu=\dfrac{A+h(x)} {|x|^2}u+k(x)u^{2^*-1}, x\in {\mathbb R}^N, u>0 \hbox{in}{\mathbb R}^N, {and}u\in {\mathcal D}^{1,2}({\mathbb R}^N), {array}. $$ $h$和$k$时不仅要考虑一些范数的大小，还要考虑其形状。此外，如果$h(x)\equiv 0$，为了达到解的多重性，需要对$k$在最大值点附近的局部行为作一些假设。
2003-02-12 math.AP
Nondegeneracy of ground states for nonlinear scalar field equations involving the Sobolev-critical exponent at high frequencies in three and four dimensions
本文研究了高频下含有Sobolev临界指数的非线性标量场方程$ω$ .由于基态$ω\to \infty$的极限轮廓是Aubin-Talenti函数，并且在一定意义上是简并的，因此从扰动法的观点来看，基态在高频下的非简并性问题是微妙的。此外，由于极限分布（Aubin-Talenti函数）不存在于$d=3,4$的$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$中，因此$d=3,4$的非简并性问题比$d\ge 5$的非简并性问题更困难，并且不知道适用的方法。本文通过修改文献[2，3]中的论点，解决了$d=3,4$的非简并性问题.我们还证明了基态附近的线性化算子只有一个负本征值。
2022-03-25 math.AP
Removable singularities for sub-solutions of elliptic equations involving weighted variable exponent Sobolev spaces
研究了含权函数和变指数的椭圆型方程奇异集的可去性。考虑奇异集满足上Minkowski容度或净测度的推广条件的情形，给出了加权变指数索伯列夫空间中方程奇异性可移的充分条件.
2022-07-11 math.AP math.FA
A nonlinear elliptic PDE with multiple Hardy-Sobolev critical exponents in $\mathbb{R}^N$
本文研究了$\mathbb{R}^N$中包含多个Hardy-Sobolev临界指数的偏微分方程：$$ \begin{cases} Δu+\sum_{i=1}^{l}λ_i \frac{u^{2^*(s_i)-1}}{|x|^{s_i}}+u^{2^*-1}=0\;\hbox{in}\;\mathbb{R}^N, u\in D_{0}^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{cases} $$其中$0<s_1<s_2<\cdots<s_l<2, 2^\ast:=\frac{2N}{N-2}, \; 2^\ast(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$和存在一些$k\in [1, l]$使得$λ_i>0$对于$1\leq i\leq k$ ; $λ_i<0$对于$k+1\leq i\leq l$ .我们开发了一个有趣的方法来研究这类方程涉及混合符号参数。我们证明了正基态解的存在性和不存在性。最小能量解的正则性也得到了研究。
2017-12-27 math.AP
p(x)-Laplacian-Like Neumann Problems in Variable-Exponent Sobolev Spaces Via Topological Degree Methods
本文在变指数索伯列夫空间$W^{1,p(x)}(Ω)$中研究了一类$p(x)$ -like算子的Neumann问题的弱解的存在性，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$中的光滑有界区域，$p(x)\in C_{+}(\overlineΩ)$和$λ$是实参数.利用一类广义$(S_{+})$型半连续算子的拓扑度和变指数索伯列夫空间理论，得到了该问题弱解存在性的一个结果.
2021-12-12 math.AP
Hodge Decomposition and Potentials in Variable Exponent Lebesgue and Sobolev Spaces
本文在变指数空间框架下系统研究了微分形式的边值问题，探讨了 Hodge Laplacian 及相关一阶系统，得出了存在性定理和椭圆估计，并推导出 Hodge 分解定理等关键结果，对推进相关非线性理论具有重要意义。
2025-04-29 math.AP
On a nonhomogeneous quasilinear eigenvalue problem in Sobolev spaces with variable exponent
考虑$Ω$中的非线性本征值问题$-{\rm div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u)=λ|u|^{q(x)-2}u$，$u=0$ on $\partialΩ$，其中$Ω$是$\RR^N$中的有界开集，具有光滑边界，$p$，$q$是$\barΩ$上的连续函数，使得对所有$x\in\barΩ$，都有$1<\inf\_Ωq< \inf\_Ωp<\sup\_Ωq$，$\sup\_Ωp<N$，和$q(x)<Np(x)/(N-p(x))$.本文的主要结果是：任何充分小的$λ>0$都是上述非齐次拟线性问题的特征值。证明依赖于简单的变分参数的基础上Ekeland的变分原理。
2006-06-07 math.AP
Elliptic problem involving finite many critical exponents in $\mathbb{R}^{N}$
本文考虑了如下问题$$ -Δu -ζ\frac{u}{|x|^{2}} = \sum_{i=1}^{k} \left( \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{|u|^{2^{*}_{α_{i}}}}{|x-y|^{α_{i}}} \mathrm{d}y \right) |u|^{2^{*}_{α_{i}}-2}u + |u|^{2^{*}-2}u , \mathrm{~in~} \mathbb{R}^{N}, $$其中$N\geqslant3$，$ζ\in(0,\frac{(N-2)^{2}}{4})$，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$是临界Sobolev指数，$2^{*}_{α_{i}}=\frac{2N-α_{i}}{N-2}$（$i=1,\ldots,k$）是临界Hardy-Littlewood-Sobolev上指数.参数$α_{i}$（$i=1,\ldots,k$）满足一些适当的假设。利用索伯列夫空间，端点精化Sobolev不等式和变分方法，我们证明了非平凡解的存在性.我们的结果推广了Yang和Wu [Adv. Nonlinear Stud.（2017）]的结果。
2018-05-28 math.AP
Nonlocal Choquard equations involving critical Hardy-Littlewood-Sobolev exponent: the effect of the topology of the domain
本文利用拓扑方法，在具有非平凡同调群的有界区域上证明了带Hardy-Littlewood-Sobolev上临界指标的非局部Choquard方程正解的存在性。
2025-02-07 math.AP math.AT
A Nonlinear Elliptic PDE with Two Sobolev-Hardy Critical Exponents
本文考虑了含有两个Sobolev-Hardy临界指数\label{0.1} {& Δu + λ \frac{u^{2^*(s_1)-1}}{|x|^{s_1}} + \frac{u^{2^*(s_2)-1}}{|x|^{s_2}} =0 \text{in} Ω，& u=0 \qquad \text{on} Ω，其中$0 \le s_2 < s_1 \le 2$，$0 \ne λ\in \Bbb R$和$0 \in \partial Ω$ .当$s_1=0$或$s_2=0$时，最小能量解的存在性（或不存在性）已被广泛研究。本文证明了如果$0< s_2 < s_1 <2$和$\partial Ω$的平均曲率在0 $H(0)<0$，则\eqref{0.1}有最小能量解.因此，本文完成了\eqref{0.1}最小能量解的研究。在$s_1, s_2$和$λ$的不同情形下，我们用$Ω=\rn$证明了\eqref{0.1}正整体解的存在性和不存在性。
2011-02-21 math.AP
Compact embedding from variable-order Sobolev space to $L^{q(x)}(Ω)$ and its application to Choquard equation with variable order and variable critical exponent
本文证明变阶Sobolev空间到Nakano空间的紧嵌入，即使临界指数达到临界Sobolev指数也成立，并应用于获得具有变阶和变临界指数的Choquard方程的非平凡解。
2024-08-08 math.AP
A coupled Hartree system with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent: existence and multiplicity of high energy positive solutions
本文研究了一类具有Hardy-Littlewood-Sobolev临界指数\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+(V_1(x)+λ_1)u=μ_1(|x|^{-4}*u^{2})u+β(|x|^{-4}*v^{2})u, \ \ &x\in R^N, -Δv+(V_2(x)+λ_2)v=μ_2(|x|^{-4}*v^{2})v+β(|x|^{-4}*u^{2})v, \ \ &x\in R^N, \end{cases} \end{equation*}的耦合Hartree系统，其中$N\geq 5$，$λ_1$，$λ_2\geq 0$与$λ_1+λ_2\neq 0$，$V_1(x), V_{2}(x)\in L^{\frac{N}{2}}(R^N)$为非负函数，$μ_1$，$μ_2$，$β$为正常数.该系统起源于玻色-爱因斯坦凝聚理论和非线性光学中的数学模型。在$β>\max\{μ_1,μ_2\}$的假设下，利用变分方法和度理论，证明了该方程高能正解的存在性和多解性
2022-11-23 math.AP
Exponential self-similar mixing and loss of regularity for continuity equations
我们考虑与无发散速度场相关联的连续性方程的解的混合行为。在本公告中，我们勾勒了两个明确的例子，指数衰减的混合规模的解决方案，在索伯列夫速度场的情况下，从而显示已知的下界的最优性。我们还描述了如何使用这样的例子来构造解决方案的连续性方程与索伯列夫，但非Lipschitz速度场表现出瞬时损失的任何分数索伯列夫规律。
2014-09-18 math.AP
