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在$\mathbb{R}^N$中具有多个Hardy-Sobolev临界指数的nonlinear elliptic PDE

A nonlinear elliptic PDE with multiple Hardy-Sobolev critical exponents in $\mathbb{R}^N$

Xuexiu Zhong, Wenming Zou

备注：
27 pages
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摘要：

本文研究了$\mathbb{R}^N$中包含多个Hardy-Sobolev临界指数的偏微分方程：$$ \begin{cases} Δu+\sum_{i=1}^{l}λ_i \frac{u^{2^*(s_i)-1}}{|x|^{s_i}}+u^{2^*-1}=0\;\hbox{in}\;\mathbb{R}^N, u\in D_{0}^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{cases} $$其中$0<s_1<s_2<\cdots<s_l<2, 2^\ast:=\frac{2N}{N-2}, \; 2^\ast(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$和存在一些$k\in [1, l]$使得$λ_i>0$对于$1\leq i\leq k$ ; $λ_i<0$对于$k+1\leq i\leq l$ .我们开发了一个有趣的方法来研究这类方程涉及混合符号参数。我们证明了正基态解的存在性和不存在性。最小能量解的正则性也得到了研究。

英文摘要：

In this paper, we will study the following PDE in $\mathbb{R}^N$ involving multiple Hardy-Sobolev critical exponents: $$ \begin{cases} Δu+\sum_{i=1}^{l}λ_i \frac{u^{2^*(s_i)-1}}{|x|^{s_i}}+u^{2^*-1}=0\;\hbox{in}\;\mathbb{R}^N, u\in D_{0}^{1,2}(\mathbb{R}^N), \end{cases} $$ where $0<s_1<s_2<\cdots<s_l<2, 2^\ast:=\frac{2N}{N-2}, \; 2^\ast(s):=\frac{2(N-s)}{N-2}$ and there exists some $k\in [1, l]$ such that $λ_i>0$ for $1\leq i\leq k$; $λ_i<0$ for $k+1\leq i\leq l$. We develop an interesting way to study this class of equations involving mixed sign parameters. We prove the existence and non-existence of the positive ground state solution. The regularity of the least-energy solution are also investigated.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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