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证明孙智伟的两个同余猜想

Proof of two congruence conjectures of Z.-W. Sun

Guo-Shuai Mao

备注：
28 pages, comments are welcome!
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AI总结：

本文主要证明了Z.-W. Sun提出的两个同余猜想，给出了在特定素数条件下关于二项式系数平方和的两个同余关系的严格证明。

摘要：

本文主要证明了Z.-W. Sun的两个同余猜想。设$p\equiv3\pmod 4$为素数，则$$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{8^k}\equiv-\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\pmod{p^3}.$$对于任意奇素数$p$，若$p=x^2+y^2$且$4|x-1, 2|y$，则$$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(k+1)\binom{2k}k^2}{8^k}+\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(2k+1)\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\equiv2\left(\frac{2}p\right)x\pmod{p^3}. $$

英文摘要：

In this paper, we mainly prove two congruence conjecture of Z.-W. Sun. Let $p\equiv3\pmod 4$ be a prime. Then $$\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{8^k}\equiv-\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\pmod{p^3}.$$ And for any odd prime $p$, if $p=x^2+y^2$ with $4|x-1, 2|y$, then $$ \sum_{k=0}^{p-1}\frac{(k+1)\binom{2k}k^2}{8^k}+\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(2k+1)\binom{2k}k^2}{(-16)^k}\equiv2\left(\frac{2}p\right)x\pmod{p^3}. $$

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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