Bala关于A158690的同余猜想的一个证明
A Proof of Bala's Congruence Conjectures for A158690
AI总结：
本文证明了Bala关于OEIS序列A158690的两个同余猜想，通过一般定理和Stirling数公式，得到模周期性与移位Gauss同余。
AI中文摘要：
设$a(n)$为整数序列在线百科全书（OEIS）中的序列A158690，由指数生成函数$\sum_{n\ge0} a(n)t^n/n! = 1+\sum_{m\ge1}\prod_{j=1}^m(1-e^{-(2j-1)t})$定义。我们证明了Peter Bala的两个同余猜想。第一个猜想指出，对于每个整数$k\ge1$，序列$a(n)$模$k$是最终周期的，且周期整除$\varphi(k)$。我们证明了更强的结论：Carmichael函数$\lambda(k)$是一个最终周期。第二个猜想断言移位Gauss同余$a(np^r+i)\equiv a(np^{r-1}+i)\pmod{p^r}$对每个$i\ge0$、每个素数$p$以及所有$n,r\ge1$成立。这两个结果都源于一个关于形如$G(e^t-1)$（其中$G\in\mathbb Z[[y]]$）的指数生成函数的一般定理，并结合第二类Stirling数的标准幂和公式。
英文摘要：
Let $a(n)$ be the sequence A158690 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), defined by the exponential generating function $\sum_{n\ge0} a(n)t^n/n! = 1+\sum_{m\ge1}\prod_{j=1}^m(1-e^{-(2j-1)t})$. We prove two congruence conjectures of Peter Bala. The first states that, for every integer $k\ge1$, the sequence $a(n)$ modulo $k$ is eventually periodic with period dividing $φ(k)$. We prove the stronger statement that the Carmichael function $λ(k)$ is an eventual period. The second conjecture asserts the shifted Gauss congruences $a(np^r+i)\equiv a(np^{r-1}+i)\pmod{p^r}$ for every $i\ge0$, every prime $p$, and all $n,r\ge1$. Both results follow from a general theorem for exponential generating functions of the form $G(e^t-1)$ with $G\in\mathbb Z[[y]]$, together with the standard power-sum formula for Stirling numbers of the second kind.
