Continuous Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds: a survey
Jozef Bobok, Jernej Činč, Piotr Oprocha, Serge Troubetzkoy
本文综述了一维流形上连续的Lebesgue测度保持映射动力学行为的最新研究进展。
我们综述了关于一维流形上连续的Lebesgue测度保持映射动力学行为的最新研究进展。
We survey the current state-of-the-art about the dynamical behavior of continuous Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A Besicovitch-Morse function preserving the Lebesgue measure
本文继续在文献[2]的遍历论的框架下研究了哪些不可扩张映射可以出现。我们构造了一个保持勒贝格测度的Besicovitch Morse函数映射。我们还证明了Besicovitch函数集是保持勒贝格测度的连续函数集的第一类。
S-limit shadowing is generic for continuous Lebesgue measure preserving circle maps
本文证明了一般连续保勒贝格测度的圆映射具有s-极限跟踪性质。此外，我们得到的s-极限跟踪是一个通用的性质，也为连续圆映射。特别是，这意味着经典跟踪，周期跟踪和极限跟踪是通用的，在这两个设置以及。
Lebesgue Measure Preserving Thompson's Monoid
本文定义了保持Thompson幺半群的勒贝格测度，记作$\mathbb{G}$，它以Thompson群$\mathbb{F}$为模型，只是$\mathbb{G}$的元素不可逆.此外，还要求$\mathbb{G}$的元素保持勒贝格测度。幺半群$\mathbb{G}$表现出与Thompson群$\mathbb{F}$非常不同的性质。本文研究了$\mathbb{G}$的一些代数（群论）和动力学性质，包括近似，混合，周期性，熵，分解，生成元和拓扑共轭。
Typical properties of interval maps preserving the Lebesgue measure
让我们将$λ$表示为$[0,1]$上的勒贝格测度，记为$$ C(λ)=\{f\in C([0,1]);\ \forall~A\subset [0,1], A~\text{Borel}:\ λ(A)=λ(f^{-1}(A))\}.$$我们赋予集合$C(λ)$一致度量$ρ$，并研究完全度量空间$(C(λ),ρ)$中典型映射的动力学性质。
Periodic points and shadowing property for generic Lebesgue measure preserving interval maps
我们表明，对于一般的连续映射的区间和圆保持勒贝格测度它持有的每kPDMATHABMM 1的周期点的周期为k的集是一个康托集的豪斯多夫维数为零，上盒维数为1。在此基础上，证明了存在一个稠密的保持区间映射的传递勒贝格测度集合，其周期点具有完全勒贝格测度，且其周期为k的周期点对每个k $\ge$ 1都具有正测度.最后证明了区间上保持勒贝格测度的一般连续映射满足跟踪性和周期跟踪性。
On the Lebesgue measure of Li-Yorke pairs for interval maps
我们研究了具有非平坦临界点的$C^2$和$C^3$多模态图$f$的Li-Yorke对的流行率。我们证明了每一个可测的扰集有零勒贝格测度，所有强游荡集有零勒贝格测度，作为一组对渐近（但不是渐近周期）点。如果$f$是拓扑混合的，并且没有Cantor吸引子，则典型的（w.r.t.二维勒贝格测度）对是Li-Yorke;如果另外$f$允许绝对连续不变概率测度（acip），则典型对具有$f \times f$的稠密轨道。这些结果利用了一般多峰映射的临界集的所谓好邻域，从而一致扩展了马氏诱导映射，本文也证明了它们的存在性.对于$f$具有Cantor吸引子的情形，我们给出了一个解，解释了Li-Yorke对和远端对的集合何时具有正的二维勒贝格测度.
On "observable" Li-Yorke tuples for interval maps
本文研究了区间映射$T\colon [0,1] \to [0,1]$的Li-Yorke $d$ -元组集及其$d$ -维勒贝格测度.如果一个拓扑混合$T$关于Lebesgue保持绝对连续的概率测度，则$d$ -元组具有Lebesgue满测度，但如果$T$保持无穷绝对连续的测度，则情况变得更有趣.以Manneville-Pomeau映射族为例，证明了对任意$d \ge 2$，Li-Yorke $d$ -元组的集合可能有满Lebesgue测度，而Li-Yorke $d+1$ -元组的集合可能有零勒贝格测度.
On Lebesgue measure preserving Besicovitch functions
本文研究了保持勒贝格测度的贝西科维奇函数的性质，证明其在测度论中具有正熵且几乎处处不可逆。
Generic continuous Lebesgue measure-preserving interval maps are nowhere monotone but invertible a.e
本文研究了保持勒贝格测度的区间连续映射，发现其在测度熵上为零，揭示了拓扑与测度行为的显著差异。
Lebesgue Component in Spectrum for Tensor Product of Generic Multiplies
给出了在其张量积的谱中具有Lebesgue分量的一般（刚性）保测变换保测变换，以及具有相似谱相互作用的两个刚性Gauss系统和两个刚性Poisson悬挂系统.
Uniform sets for infinite measure-preserving systems
在非原子无限Lebesgue空间上，对遍历的、保测变换引入了一致集的概念。一致集的存在是因为它们生成了底层的$σ$ -代数。这导致的结果，任何遍历，保测变换的非原子，无限勒贝格空间是同构的最小同胚的一个局部紧凑的度量空间，其中承认一个唯一的，缩放，不变的氡措施。
Noise induced dissipation in Lebesgue-measure preserving maps on $d-$dimensional torus
我们考虑耗散系统的高斯和$alpha$稳定噪声扰动的测度保持映射的$d$维环面。我们研究的耗散时间尺度和它的物理意义的噪声电平$\vep$消失。我们发现，非遍历地图引起的$O(1/\vep)$耗散时间，而遍历的toral自同构，包括猫地图和他们的$d$维的推广，有一个$O(\ln{(1/\vep)})$耗散时间与一个常数有关的最小，{ \em维平均熵}之间的自同构的不可约块。我们的方法减少了耗散时间的计算，一个非线性的算术优化问题，这是渐近解决的凸性理论，丢番图逼近和等差数列的一些基本定理。我们表明，同样的渐近可以再现退化噪声，以及仅仅粗粒化。我们还讨论了耗散时间在运动发电机中的含义。
Lebesgue measure of Feigenbaum Julia sets
构造了朱利亚集具有正勒贝格测度的Feigenbaum二次多项式.他们提供了第一个例子的理性地图的双曲维数是不同的豪斯多夫维数的朱利亚集。相应的参数集具有正的豪斯多夫维数。
$L^1$-flat polynomials and simple Lebesgue spectrum for conservative maps exist: A simple proof
该研究给出系数为0、1的$L^1$-平坦解析多项式存在性的简单证明，构造出酉算子具简单勒贝格谱的保守遍历映射及流，还解答了Bourgain与受Lehmer问题启发的两个相关问题。
On the existence of invariant absolutely continuous probability measures for $C^1$ expanding maps of the circle
本文针对圆周 $C^1$ 一致扩张映射，构造了具有指定最优连续模及绝对连续不变概率测度或保持 Lebesgue 测度的不可数多例，并证明其中许多映射具有无界畸变。
A class of Newton maps with Julia sets of Lebesgue measure zero
设$g(z)=\int_0^zp(t)\exp(q(t))\,dt+c$，其中$p,q$是多项式，设$c\in\mathbb{C}$，并设$f$是用于$g$的牛顿方法的函数。我们证明了在适当的假设下$f$的Julia集的勒贝格测度为零.结合Bergweiler的一个定理，我们的结果意味着在$\mathbb{C}$中$f^n(z)$几乎处处收敛于$g$的零点，如果对于$g''$的每个零点都是这样的话.为了证明我们的结果，我们建立了保证朱利亚集有勒贝格测度为零的一般条件。
Lyapunov exponents for random maps
最近人们认识到，对于紧致流形上的丰富动力系统，不存在李雅普诺夫指数的点集，称为李雅普诺夫非正则集，具有正的勒贝格测度.本文证明了在任何物理噪声下，李雅普诺夫非正则集的勒贝格测度为零，且这种李雅普诺夫指数的个数是有限的。这个结果是阿劳霍关于时间平均值的存在性和有限性定理的李雅普诺夫指数版本。此外，我们数值计算的李雅普诺夫指数的表面流的吸引异宿连接，享受李雅普诺夫不规则集的正勒贝格测度，在物理噪声。本文还证明了在非物理噪声作用下，具有吸引同宿/异宿连接的表面流在正勒贝格测度集上的李雅普诺夫不规则行为消失.
Parapuzzle of the Multibrot set and typical dynamics of unimodal maps
研究了单临界多项式$f_c:z\mapsto z^d+c$的参数空间。对于复参数，我们证明了Lebesgue几乎每个$c$，映射$f_c$是双曲或无限重正化。对于实参数，我们证明了Lebesgue几乎每个$c$，映射$f_c$是双曲的，或Collet-Eckmann，或无限重正化。这些结果是基于控制在“主巢”的parapuzzle件的连续元素之间的间距。
On group actions with simple Lebesgue spectrum
本文给出了重数为1的Lebesgue谱群$R^d$的保测度作用的构造.
Hyperbolic absolutely continuous invariant measures for C^r one-dimensional maps
本文证明，对 r>1 的 C^r 区间或圆周映射，若在正测度集上 Lyapunov 指数超过阈值，则存在关于 Lebesgue 测度绝对连续的双曲遍历不变测度，且其吸引域几乎处处覆盖该集合。
There are no $σ$-finite absolutely continuous invariant measures for multicritical circle maps
众所周知，每个无周期轨道的多临界圆映射都存在唯一不变的Borel概率测度，它关于勒贝格测度是纯奇异的.这样一个映射是否能留下一个关于勒贝格测度绝对连续的无穷$σ$ -有限不变测度不变测度？在本文中，使用旧的标准由于Katznelson，我们表明，这个问题的答案是否定的。
Rational Misiurewicz maps are rare
证明了对于任意固定次数大于或等于2，Misiurewicz映射集在有理映射的参数空间中具有勒贝格测度零.
Slowly recurrent Collet-Eckmann maps with non-empty Fatou set
该研究针对Julia集非全球面、临界点慢回复的有理Collet-Eckmann映射，证明其在固定临界点阶数的族中是双曲映射的Lebesgue密度点，单临界点情形下在任意次数≥2的有理映射全空间中也成立。
Ergodic theory of generic continuous maps
研究紧致流形上一般连续动力系统的遍历性。作为一个主要结果，我们证明了一般同胚具有收敛的Birkhoff平均连续观测下，在勒贝格几乎每一点。尽管如此，当基本流形的维数大于1时，一般同胚没有物理度量-这是一个有点奇怪的结果，与一般微分动力学的当前趋势形成鲜明对比。类似的结果也适用于一般的连续映射。为了进一步探索$C^0$一般动力学的神秘行为，我们还研究了连续映射的遍历性，这是共轭扩展圆映射。在这种情况下，一般的地图有分歧的伯克霍夫平均沿着轨道开始从勒贝格几乎每一个点。
On co-$σ$-porosity of the parameters with dense critical orbits for skew tent maps and matching on generalized $β$-transformations
我们证明了Lebesgue-a. e.的临界点和点$1$有稠密轨道，双参数斜帐篷族中的参数对和广义$β$ -变换。作为一个应用，我们表明，对于广义$β$ -变换与tribonacci数作为斜率，有匹配（即，$T^n(0)=T^n(1)$（对于某些$n \geq 1$），Lebesgue-a.e.翻译参数
Asymptotic likelihood of chaos for smooth families of circle maps
本文考虑具有有限个临界点的光滑双参数圆映射族$f_{a,L}\colonθ\mapsto θ+a+LΦ(θ)$。对于足够大的$L$，我们构造了一组$A_L^{(\infty)}$的$a$ -值的正勒贝格测度，相应的$f_{a,L}$表现出指数增长性的衍生物沿轨道的临界点。我们的建设大大改善了以前的王和年轻的同类家庭，在以下渐近估计举行：勒贝格测度的$A_L^{(\infty)}$往往充分衡量$a$ -空间的$L$趋于无穷大。
C1-genericity of unbounded distortion for ergodic conservative expanding circle maps
本文证明了在圆的遍历Lebesgue保测C1扩张映射空间中，无界扭曲具有C1-通有性。
Existence of the Lyapunov exponent for $S$-unimodal maps
研究S-单峰映射李雅普诺夫指数，证明非平坦临界点的该映射对几乎每个勒贝格点李雅普诺夫指数存在且为常数λ_T，给出其为0的充要条件，还得出相关特殊映射的结论。
Reading multiplicity in unfoldings from epsilon-neighborhoods of orbits
该研究针对抛物向量场单参数开折中轨道盒维数在分岔值处不连续的问题，利用Écalle-Roussarie型补偿器对轨道ε邻域勒贝格测度做参数一致的切比雪夫尺度渐近展开，建立了展开消失项数与分岔产生的不动点数量的对应关系。
Absolutely Continuous Invariant Measures of Piecewise Linear Lorenz Maps
考虑$[0, 1]$上的分段线性Lorenz映射，其形式为\[ f_{a,b,c}(x)= {ll} ax+1-ac & x \in [0, c) b(x-c) & x \in (c, 1].\]我们证明了$f_{a,b,c}$容许关于勒贝格测度的绝对连续不变概率测度（acim）$μ$当且仅当$f_{a,b,c}(0) \le f_{a,b,c}(1)$，即$ac+(1-c)b \ge 1$ .除非$f_{a,b,c}$共轭于有理旋转，否则acim是唯一且遍历的。还通过重整化理论充分研究了acim与勒贝格测度之间的等价性。
Invariant measures for typical quadratic maps
讨论了S-单峰映射存在绝对连续不变概率测度的一个充分几何条件。勒贝格典型的存在性，这样的措施在二次家庭将是一个后果。
On multiple Lebesgue functions
本文引入了保测变换的$k$ -fold Lebesgue函数的概念，其中任何$2$ -fold勒贝格函数都是普通的Lebesgue函数.我们讨论了动力系统的这种新的度量同构不变量与遍历论中其他经典概念的关系，主要集中在它的谱方面。特别是，足够多的多个勒贝格函数的转换，我们对待相应的多个类似物非常著名的问题的Banach和Rokhlin。
Perturbations of exponential maps: Non-recurrent dynamics
该研究探讨指数族中非回归参数的扰动，证明其集合勒贝格测度为零，补充了Qiu 1994年关于逃逸参数的结论，还证实非回归参数可由双曲参数逼近。
Rational Misiurewicz maps are rare II
我们证明了Misiurewicz映射的集合在有理函数空间中对于任何固定次数大于或等于2都有勒贝格测度零（推广了早期版本math.DS/0701382）.
Absolutely Continuous Invariant Measure for Generalized Horseshoe Maps
本文研究了广义马蹄映射的SRB测度。证明了在横截性和胖度条件下，SRB测度实际上是关于勒贝格测度绝对连续的。
Backward volume contraction for endomorphisms with eventual volume expansion
考虑紧黎曼流形上的光滑映射。我们证明了在最终体积膨胀勒贝格几乎处处的一些温和的条件下，我们有一致的向后体积收缩勒贝格几乎每一个点的每一个预轨道。
On the Lebesgue measure of the Julia set of a quadratic polynomial
本文的目的是证明以下定理：设$p_a(z) = z^2+a$是一个二次多项式，它没有无理的中立周期点，并且不是无限可重整的.则朱利亚集的$J(p_a)$的勒贝格测度等于零。作为证明的一部分，我们讨论了临界点是{ \it持续常返}的一个性质，并将我们的结果与实一维映射的相应结果联系起来.特别是，我们表明，在持续经常性的情况下，限制$p_a|ω(0)$是拓扑最小的，并有零拓扑熵。Douady-Hubbard-Yoccoz刚性定理遵循这个结果。
Strong statistical stability of non-uniformly expanding maps
我们考虑多维黎曼流形中具有非一致膨胀行为的变换族。我们给出了这些变换的绝对连续（相对于勒贝格测度）不变概率测度的密度连续变化（在$L^1$ -范数下）的充分条件.
Renormalisable Henon-like Maps and Unbounded Geometry
我们表明，给定一个参数家庭$F_b$的强耗散的无限重正化的Hénon-like映射，参数化的数量称为“平均雅可比”$b$，所有参数$b$的集合，使$F_b$有一个康托尔集与无界几何有充分的勒贝格测度。
Markov Extensions for Dynamical Systems with Holes: An Application to Expanding Maps of the Interval
我们引入马尔可夫扩展，示意性地表示为一个塔，研究动力系统与孔。对于具有小孔的塔映射，我们证明了条件不变的概率测度的存在性，这些测度是关于勒贝格测度（简称a.c.i.m.）绝对连续的.我们开发的勒贝格测度的孔和简单的条件上的动态的塔，确保存在性和唯一性的一类持有人连续密度的限制。然后我们利用这些结果来研究a.c.c.i.m.的存在性和性质。用于扩展带孔区间的映射。我们得到了a.c.c.i.m.的收敛性。当孔的测量收缩到零时，对应的封闭系统的SRB测量。
Topology of the space of measure-preserving transformations of the circle
本文证明了保持Lebesgue测度的2度圆周扩张映射空间同胚于基本群为$\mathbb{Z}$的无穷维Lie群，并提出了一般猜想。
Rigidity Sequences of Power Rationally Weakly Mixing Transformations
证明了一类满足“强”弱混合条件的无穷保测变换变换生成定义在Lebesgue $σ$ -有限测度空间上的所有保守遍历可逆保测度保测变换的所有刚性序列.
Large deviation principle for Benedicks-Carleson quadratic maps
自从Jakobson和Benedicks & Carleson等人的开创性工作以来，人们已经知道二次映射的正测度集允许关于Lebesgue绝对连续的不变概率测度。这些措施允许一个统计预测的渐近命运勒贝格几乎每一个初始条件。在经验分布稳定到平衡之前估计它们的波动需要对相空间的大部分进行相当好的控制。我们使用Benedicks和Carleson的次指数慢递归条件来建立任意小尺度和相关塔的诱导马尔可夫映射，绝对连续的措施可以被提升。这些不同的提升一起使我们能够获得一个控制的复发，足以建立一个水平2大偏差原则，为绝对连续的措施。这一结果包括远离平衡的动态，从而显着扩展了目前已知的二次映射的局部大偏差结果。
SRB measures for weakly expanding maps
我们构造了满足远弱于非一致展开条件的自同态的SRB测度。结果，非均匀可扩映射的定义可能被削弱。我们还证明了存在一个绝对连续的不变测度的局部同态，只假设存在的双曲时间的勒贝格几乎所有点的流形。
Backward volume contraction for endomorphisms with eventual volume expansion
考虑紧黎曼流形上的光滑映射。我们证明了在最终体积膨胀Lebesgue几乎处处的一些温和条件下，在Lebesgue的每个预轨道上几乎每个点上都有一致的向后体积收缩。
Non-existence of absolutely continuous invariant probabilities for exponential maps
我们证明了，对于整个地图的形式$z \mapsto λ\exp(z)$，使零的轨道是有界的，使勒贝格几乎每一个点是传递的，没有绝对连续不变的概率测度可以存在。这就回答了一个长期存在的问题。
A Continuous Family of Non-Monotonic Toral Mixing Maps
研究了一类由两个分段线性剪切组成的保勒贝格测度的环面映射的混合性质，其中第一个剪切是非单调的。该地图作为一个基本模型的“拉伸和折叠”的行动在层流流体混合，特别是流动的边界条件引起非单调的流动剖面。该族可以看作是两个著名系统之间的参数空间，Arnold的猫映射和Cerbelli和Giona的映射，这两个系统都具有有限的马尔可夫分割，并直接证明混合性质。然而，没有这样的有限马尔可夫分割似乎存在于本族，所以建立混合性质需要一个不同的方法。特别是，我们遵循Katok和Strelcyn的计划，证明强混合性质的勒贝格测度两个开放的参数空间。最后，我们评论的挑战，在扩展这些混合窗口和潜在的使用相同的方法来证明在类似的系统中的混合性能。
Typical points for one-parameter families of piecewise expanding maps of the interval
设$I\subset\mathbb{R}$是一个区间，$T_a:[0,1]\to[0,1]$，$a\in I$是一个单参数分段扩张映射族，使得对于每个$a\in I$，映射$T_a$有唯一的绝对连续不变概率测度$μ_a$ .我们建立这样一个单参数家庭的充分条件，使一个给定的点$x\in[0,1]$是典型的$μ_a$为一个完整的勒贝格测度集参数$a$，即$$ \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}δ_{T_a^i(x)} \overset{\text{weak-}*}{\longrightarrow}μ_a,\qquad\text{as} n\to\infty, $$勒贝格几乎每$a\in I$。特别是，我们认为$C^{1,1}(L)$ -版本的$β$ -变换，斜帐篷映射，和马尔可夫结构保持单参数家庭。对于斜帐篷地图，我们表明，转折点几乎肯定是典型的。
Invariant measures for interval maps with critical points and singularities
证明了在临界轨道上导数增长的一个温和的可和性条件下，任何可能含有间断点和奇点且导数无穷大的分段单调区间映射（尖点映射）都存在遍历不变的概率测度，且该测度关于勒贝格测度是绝对连续的.
Quadratic volume preserving maps
我们研究二次，体积保持的逆也是二次的仿射。这种映射推广了Hénon面积保持映射和Moser研究的辛二次映射族。特别地，我们研究了三个空间中的一类二次保体积映射，找到了它的标准形，并研究了它的不变集。我们还给出了一个定理的另一种证明的Moser分类二次辛映射。
Volume preserving diffeomorphisms as Poincare maps for volume preserving flows
设$q:M\to M$是光滑流形$M$的保体积同构.我们研究了将$q$表示为Poincaré映射的可能性，它对应于$\mathbb{T}\times M$上的保体积向量场$\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ .
Analytic uniquely ergodic volume preserving maps on odd spheres
我们构造了奇维球面上保体积的唯一遍历（因而是极小的）实解析同态的例子
Wild attractors for Fibonacci maps
针对一维动力学中 Fibonacci 映射野生吸引子的存在性问题，本文提出基于可计算准则的构造性三分法，并通过计算机辅助证明确定了临界点度数 $d=3.8$ 时不存在、$d=5.1$ 时存在野生吸引子。
Isomorphism classes for certain expanding maps and their group extensions
我们证明了扩展的toral自同态及其各自的勒贝格测度同构于单侧Bernoulli移位。这个结果，然后扩展到光滑扰动的扩展toral自同态，连同他们各自的措施的最大熵。此外，我们研究了扩展的toral自同态群扩展，并表明，在某些情况下，不太严格的条件下的扩展上循环，这些斜产品是单侧伯努利以及。
Poisson-Pinsker factor and infinite measure preserving group actions
通过证明以下二分法，解决了可数顺从群的保守遍历无穷测度保持作用的Poisson-Pinsker因子的存在性问题：要么它具有全正Poisson熵（且为零型），要么它具有Poisson-Pinsker因子.如果G是阿贝尔的且熵为正，则在第一种情况下，谱在整个L^{2}-空间上是绝对连续的（如果G= \mathbb{Z}，则谱是勒贝格可数的），在第二种情况下，谱在泊松-平斯克因子的L^{2}-空间的正交补中是绝对连续的。
Sparse empirical measures for non-statistical interval maps with two neutral fixed points
本文研究具有两个中性不动点的平衡双间歇映射，证明在块支配采样下稀疏经验测度不收敛但具强自然测度性质，并验证对称二次映射的二进经验测度收敛到端点混合。
Wild attractors and thermodynamic formalism
斐波那契单峰映射可以有一个野生康托吸引子，因此是勒贝格耗散，取决于临界点的顺序。为了研究Lebesgue测度（和共形测度）耗散性导致相变的动力学热力学形式，我们提出了一个单参数的可数分段线性单峰Fibonacci映射族$f_λ$.我们证明了对于势$ϕ_t = -t\log|f'_λ|$，在某些$t_1 \le 1$处存在唯一的相变，而在其它地方压力$P(ϕ_t)$是解析的（具有唯一的平衡态）.在野生吸引子出现时，压力由非解析$C^\infty$曲线（在$t_1 < 1$处所有导数等于0）优化，而对于$f_λ$为勒贝格保守的那些$λ$，在$t_1 = 1$处的相变可以是任何有限阶。我们还得到了共形测度和平衡态的存在性，以及$ω(c)$的双曲维数和盆维数的结果。
Thermodynamical Formalism Associated with Inducing Schemes for One-dimensional Maps
对于紧致区间I上的光滑映射f，我们建立了一个诱导方案的代数形式，即，描述了一类I上的实值势函数$ϕ$，它具有唯一的平衡测度$μ_ϕ$。我们的结果适用于单峰映射对应于一个积极的勒贝格测度设置的参数在一个参数横族。
On bifurcations of area-preserving and non-orientable maps with quadratic homoclinic tangencies
研究了具有二次同宿切线的不可定向保面积映射的分支。我们研究的情况下，当地图上的非定向二维曲面。我们考虑一个和两个参数的一般展开和建立相关的椭圆周期轨道的出现结果。
Observable invariant measures
对于紧致流形M上的连续映射，特别是不保持勒贝格测度m的连续映射，我们定义可观测不变概率测度作为物理测度的推广.我们证明了任何连续映射都有可观测测度，并刻画了那些在可观测性方面是物理的。证明了存在其盆覆盖Lebesgue a.e的物理测度，当且仅当所有可观测测度的集合是有限或无限可观测的。我们定义了任何连续映射，它的广义吸引子使用的可观察的不变测度的集合，其中没有物理措施，并证明了任何连续映射定义了一个分解的空间无限多个广义吸引子的盆覆盖Lebesgue a.e.我们将结果应用于圆上的C1扩张映射f，证明了可观测测度集（即使f不是C1 + Holder）是平衡态的子集.
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