On interval colourings of graphs
本文研究图的区间着色与区间厚度，证明了区间厚度的渐近界，并证实了平面图区间着色最大颜色数的猜想。
2023-05-28 math.CO
A note on two conjectures that strengthen the four colour theorem
关于可平面图着色的两个定理是四色定理的加强。一个是关于符号图着色的，由Máčajová、Raspaud和Škoviera提出。它断言每个带符号可平面图都是$4$ -列图。另一个问题是列表着色，由Kündgen和Ramamurthi提出，它断言如果$L$是可平面图$G$的$2$ -列表分配，则存在$G$的$L$ -着色，使得每个颜色类诱导二部图。本文证明了第一个猜想蕴涵第二个猜想。
2017-11-08 math.CO
A note on unavoidable patterns in locally dense colourings
我们证明了存在一个常数$C$，使得对于每一个$\varepsilon>0$，任何$2$着色的$K_n$，其最小度至少为两种颜色的$n/4+\varepsilon n$，在$2t$顶点上包含一个完全子图，其中一个颜色类形成一个$K_{t,t}$，条件是$n\geq \varepsilon^{-Ct}$ .此外，我们证明，如果$K_n$是$2$着色的最小程度至少$\varepsilon n$在两种颜色，那么它必须包含一个完全图的两个自然着色。这两个结果是紧到值的$C$，他们回答了两个最近提出的问题Kamčev和Müyesser。
2022-11-03 math.CO
A note on edge-colourings avoiding rainbow K_4 and monochromatic K_m
研究了完全图K_n的边着色的最大颜色数maxR（n，K_m，K_r），使得K_n在m个顶点上没有单色完全子图，在r个顶点上没有彩虹完全子图.改进了Axenovich和Iverson的一个上界，证明了对所有m >= 3，maxR（n，K_m，K_4）<= n^{3/2} \sqrt{2m}.进一步讨论了基于有限射影平面的关联图来提高它们的maxR（n，K_4，K_4）下界的可能途径.
2009-02-10 math.CO
A Note on Colourings of Connected $2$-edge Coloured Cubic Graphs
本文证明了每一个连通的$2$ -边着色三次图都有一个$10$ -着色.这降低了连通$2$ -边着色三次图的色数的上界。
2019-10-24 cs.DM math.CO
A note on connected greedy edge colouring
在给定图$G$的边的顺序之后，贪婪边着色过程为每个边分配最小的可用颜色。这样涉及的颜色的最小数目是色指数$χ'(G)$，最大数目是所谓的格兰迪色指数。在这里，我们感兴趣的是限制的情况下，边的排序建立在一个连接的方式图。令$χ_c'(G)$为遵循这种排序所涉及的颜色的最小数目。我们证明，这是NP-难的，以确定是否$χ_c'(G)>χ'(G)$。我们证明了当$G$是二部的时，$χ'(G)=χ_c'(G)$是二部的;当$G$是次立方的时，$χ_c'(G)\leq 4$是二部的。
2020-12-27 math.CO
A note on monotonicity in Maker-Breaker graph colouring games
本文研究Maker-Breaker图着色博弈的单调性，肯定回答了树状度博弈的单调性问题，证明有序顶点着色博弈不具单调性，并为连通版本的两个开放问题提供反例。
2024-11-08 math.CO
Multi-Colouring of Kneser Graphs: Notes on Stahl's Conjecture
本文研究图的多着色参数间蕴含关系，将其转化为 Kneser 图多着色问题，围绕 Stahl 1976 年猜想给出新结果、强化已有结论并简化若干已知情形的证明。
2025-01-09 math.CO
A note on asymptotically optimal neighbour sum distinguishing colourings
图$G=(V,E)$的最小$k$允许无孤立边的图$c:E\to\{1,2,\ldots,k\}$的适当边着色，使得对于每个$uv\in E$的$\sum_{e\ni u}c(e)\neq \sum_{e\ni v}c(e)$由$χ'_Σ(G)$表示。本文证明了对于每一个阶数至少为3的连通图，$χ'_Σ(G)\leq Δ+ 2$与圈$C_5$不同，其中$Δ$是$G$的最大度.对于不含孤立边的图$G$，已知有$χ'_Σ(G) = Δ+ O(Δ^\frac{5}{6}\ln^\frac{1}{6}Δ)$.我们改进了这个上限$χ'_Σ(G) = Δ+ O(Δ^\frac{1}{2})$使用一个更简单的方法，涉及到一个组合算法增强的概率方法。同样的上界也提供了这个问题的总版本。
2017-03-01 math.CO
A note on conjectures generalizing the road colouring theorem
道路着色定理刻画了一类出度为常数的强连通有向图允许同步道路着色。本文的主题是一对相关的定理，推广道路着色定理的图与非常数出度，我们给出的理由相信，这两个定理是正确的。我们的主要结果集中在两类图，证明了一类图和一个额外的一类图的构造。我们还提出了计算机模拟，给出了一些经验证据的mattures。
2022-09-13 math.CO math.DS
Odd Colourings of Graph Products
奇染色数是Petruševski和Škrekovski提出的一个新的图参数。本文证明了具有所谓乘积结构的图具有有界奇染色数。利用关于$k$ -平面图的积结构的已知结果，这意味着$k$ -可平面图具有有界奇染色数，从而回答了Cranston，Lafflett和Song的一个问题.
2022-02-25 math.CO
Delay colourings of cubic graphs
本文证明了\cite{HaWiWi}的猜想：在$d=3$的特殊情况下，每一个具有整数边时滞的二部多重图都允许边着色为$d+1$色.讨论了与Brualdi-Ryser-Stein猜想的联系。
2013-08-28 math.CO
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
2020-05-29 cs.DM math.CO
Odd colourings, conflict-free colourings and strong colouring numbers
奇色数和无冲突色数分别是Petruševski和Škrekovski [2021]和Fabrici，Lužar，Rindošová和Soták [2022]引入的新的图参数。本文证明了具有有界$2$ -强染色数的图具有有界奇色数和有界无冲突色数.这意味着具有有界扩张的图类具有有界奇色数和有界无冲突色数。此外，由已知结果得到了$k$ -可平面图的奇色数和无冲突色数是$O(k)$，改进了Dujmović，Morin和Odak [2022]的一个结果.
2022-03-19 math.CO
Intervals in the Hales-Jewett theorem
Hales-Jewett定理指出，对于任何$m$和$r$，存在一个$n$，使得$[m]^n$的元素的任何$r$ -着色包含一条单色组合线。我们研究的结构的集合$S \subseteq [n]$，它确定这条单色线，表明当$r$是奇数有$r$ -着色的$[3]^n$的集合的单色线不能是工会少于$r$的间隔。这是严格的，因为对于足够大的$n$，总是存在单色线，其最大集合是$r$间隔的并集。
2018-07-26 math.CO
Maximum number of colourings. II. 5-chromatic graphs
1971年，Tomescu提出了[Le nombre des graphes connexes $k$ -chromatiques minimaux aux sommets étiquetés，C. R. Acad. Sci. Paris 273（1971），1124- 1126]证明了在$n$顶点上具有$χ(G) = k \geq 4$的连通图$G$至多有$k!(k-1)^{n-k}$ $k$ -着色，其中等式成立当且仅当该图是由$K_k$通过重复添加叶子而形成的.本文证明了当$k=5$ .
2017-10-18 math.CO
A counterexample to Montgomery's conjecture on dynamic colourings of regular graphs
图的\emph{dynamic colouring}是图的一个真染色，其中非叶顶点的邻域都不是单色的。图$G$的\emph{dynamic colouring number} $χ_2(G)$是$G$的动态着色所需的最少颜色数。Montgomery证明了$χ_2(G) \leq χ(G) + 2$对所有正则图$G$都是有效的，这将显著提高当前最佳上界$χ_2(G) \leq 2χ(G)$ .然而，在本文中，我们证明了最后一个上界是尖锐的，通过构造，对于每一个整数$n \geq 2$，一个正则图$G$与$χ(G) = n$，但$χ_2(G) = 2n$。特别是，这推翻了蒙哥马利的猜想。
2017-02-03 math.CO
Graphs with Sudoku number $n-1$
最近Lau-Jeyaseeli-Shiu-Arumugam引入了图的“数独着色”的概念--$G$的部分$χ(G)$ -着色，它对所有顶点的适当$χ(G)$ -着色有唯一的扩展。他们介绍了数独数的一个图的最小数量的着色顶点的数独着色。他们证明了一个连通图有数独数$n-1$当且仅当它是完备的。在本说明中，我们证明这是正确的。
2022-06-17 math.CO
Another Note on Intervals in the Hales-Jewett Theorem
Hales-Jewett定理指出，如果$n$足够大，则$[m]^n$的任何$r$ -着色都包含单色组合线。Shelah的定理证明意味着对于$m = 3$总是存在一个单色组合线，其有效坐标集是至多$r$区间的并集。Conlon和Kamčev证明了如果$r$是奇数，则存在不能小于$r$间隔的着色。然而，对于$r = 2$，Leader和Räty指出，人们总是可以找到一条单色组合线，其活动坐标集是一个单一的区间。本文将Leader和Räty的结果推广到所有偶$r$的情形，证明了在$[3]^n$中总能找到一条单色组合线，其活动坐标集是至多$r-1$区间的并.
2018-11-12 math.CO
A note on totally-omnitonal graphs
设完全图$K_n$的边为红色或蓝色，$G$为具有$|V(G)| < n$的图。则将ot（n，G）定义为最小整数，如果它存在的话，使得对于具有$r+b= e(G)$的任何$r,b \geq 0$，$K_n$的任何这样的着色包含具有$r$红色边缘和$b$蓝色边缘的$G$的拷贝。如果对每一个足够大的$n$都存在ot（n，G），我们说$G$是\emph{omnitonal} . Omnitonal graphs由Caro，Hansberg和Montejano [arXiv：1810.12375，2019]引入。现在假设$G_1$、$G_2$是$G$的两个拷贝，其边缘被着色为红色或蓝色。如果存在从$G_1$到$G_2$的保色同构，我们说$G$的2-着色是等价的。现在我们定义tot（n，G）为最小整数，如果它存在的话，使得$K_n$的任何这样的着色包含对于任何具有$r+b= e(G)$的$r,b \geq 0$的具有$r$红边和$b$蓝边的$G$的所有非等价着色。如果对每个充分大的$n$都存在tot（n，G），则称G是\emph{totally-omnitotal} .在这篇文章中，我们证明了只有全方位图是星或星森林，即森林的所有组件都是星。
2019-11-07 math.CO
A note on fractional covers of a graph
图$G$的分数着色是一个函数，该函数将非负实值分配给包含$G$的任何顶点的$G$的所有可能的色类，使得这些值的和对于每个顶点至少为1。分数色数是在所有可能的$G$着色上由分数着色分配的值的最小和。分数覆盖是由Bosica和Tardif提出的，分数覆盖是分数着色的一种推广，其中实值函数作用于属于给定图类的$G$的所有可能的子图。分数色数是分数覆盖数的一个特例。在这项工作中，我们研究了分数覆盖作用在$(k+1)$ -无冠子图的$G$，虽然共享一些相似之处分数覆盖作用在$k$ -冠子图的$G$，他们表现出一些特殊性。首先证明了如果简单图$G_2$是简单图$G_1$的同态像，则定义在$G_1$的$(k+1)$ -无偶子图上的分数覆盖数被相应的$G_2$的分数覆盖数上界.我们利用这个结果来获得相关的分数覆盖数的图，无论是$n$ -college或$a\!\!:\!\!b$ -college的界限。
2022-03-09 math.CO
A note on the neighbour-distinguishing index of digraphs
本文引入并研究了有向图的邻域可区别弧染色的一种新形式。有向图$D$的弧着色$γ$是适当的，如果没有两条具有相同头或相同尾的弧被赋予相同的颜色.对于$D$的每个顶点$u$，我们分别用$S_γ^-(u)$和$S_γ^+(u)$表示出现在$u$的传入弧和传出弧上的颜色集合。$D$的弧着色$γ$是\emph{neighbour-distinguishing}，如果对于$D$的每两个相邻顶点$u$和$v$，有序对$(S_γ^-(u),S_γ^+(u))$和$(S_γ^-(v),S_γ^+(v))$是不同的。$D$的邻域可区别指数是$D$的邻域可区别弧着色所需的最小颜色数.本文证明了各类有向图的邻域可区别指数的上界.
2019-09-23 cs.DM math.CO
Connected Colourings of Complete Graphs and Hypergraphs
Gallai的着色定理指出，如果一个完全图的边是3色的，每个色类形成一个连通（生成）子图，那么有一个三角形具有所有3种颜色。对于更多颜色会发生什么：如果我们用$k$ -着色完全图的边，每个颜色类都是连通的，那么有多少个$\binom{k}{3}$三色组必须显示为三角形？在本说明中，我们表明，“明显的”猜想，即总是有至少$\binom{k-1}{2}$三元组，是不正确的。我们渐进地确定最小值。这回答了约翰逊的一个问题。我们也给出了一些类似的超图问题的结果，我们做了一个猜想，我们相信是“正确的”推广的Gallai定理超图。
2014-02-20 math.CO
On graphs which have locally complete 2-edge-colourings and their relationship to proper circular-arc graphs
该研究聚焦具有局部完全2边着色的图，证明其可多项式时间识别，给出类似Gallai余可比图刻画的禁用子结构特征，并刻画了对应类别的正常区间图与正常圆弧图。
2024-10-07 math.CO
Colouring random graphs: Tame colourings
本文研究随机图的着色问题，提出tame着色类并通过二阶矩论证给出其存在概率的紧致界限，证明了t有界色数在特定条件下的集中性，为Zigzag Conjecture和最优非集中性结果提供了重要支撑。
2024-09-25 math.CO
A Note on Intervals in the Hales-Jewett Theorem
大小为3的字母表的Hales-Jewett定理指出，只要Hales-Jewett立方体[3]^n是r-着色的，就有一条单色线（对于n大）。Conlon和Kamcev证明，对于任何n，存在[3]^n的2-着色，其中不存在其活动坐标集为区间的单色线。在本文中，我们反驳了这一猜想。
2018-02-09 math.CO
Monochromatic solutions to $x+y=z^2$ in the interval $[N,cN^4]$
Green和Lindqvist证明了对于$\mathbb{N}$的任意2-着色，$x+y=z^2$有无限多的单色解.事实上，他们证明了在$N$足够大的情况下，在每个区间$[N,cN^8]$中都存在单色解。本文给出了他们定理的另一种证明，并证明了当$N$足够大时，在每个区间$[N,10^4N^4]$中都存在单色解.还提出了$[N,(1/27)N^4]$的2-着色，避免了$x+y=z^2$的单色解，表明在$10^4N^4$中，只有常数因子可以减少.
2018-05-16 math.CO math.NT
A note on the Thue chromatic number of lexicographic products of graphs
如果一个序列没有一个序列形成重复，则该序列被称为非重复序列（序列$r_1,r_2,\dots,r_{2n}$使得所有$1\leq i \leq n$的$r_i=r_{n+i}$）。设$G$是一个顶点着色的图。如果图$G$中每条路径上的颜色序列是不重复的，则图$G$的着色$φ$是不重复的。图厄色数，用$π(G)$表示，是$G$的非重复着色的最小颜色数。本文给出了图$G$和图$H$的字典积$G\circ H$的Thue色数关于因子的一般上界.当$G$是完全多部图而$H$是任意图时，这个上界被用来导出$π(G\circ H)$的精确值.
2014-09-17 math.CO
Mixing colourings in $2K_2$-free graphs
图$G$的$k$ -着色的重构图，记为$R_{k}(G)$，是其顶点是$G$的$k$ -着色的图，并且如果两个着色在恰好一个顶点上颜色不同，则两个着色通过边连接。对于任何$k$ -连通图$P_4$ -free图$G$，Bonamy和Bousquet证明了$R_{k+1}(G)$是连通的.在这篇短文中，我们通过构造一个允许冻结$8$-着色的$7$ -色$2K_2$ -free（因此也是$P_5$ -free）图，完成了对不含固定路的$k$ -着色图$G$的$R_{k+1}(G)$连通性的分类.这就解决了第二作者的一个问题。
2021-08-02 cs.DM math.CO
Temporal Role Colouring
University of Glasgow（格拉斯哥大学）；University of Vermont（佛蒙特大学）
该研究将图的角色着色扩展到时序图，证明时序角色着色问题是NP完全的，并通过参数化分析给出了该问题的固定参数可处理性结果。
2026-08-03 cs.DM math.CO
Combinatorics of Dyadic Intervals: Consistent Colorings
本文研究并矢区间递增族的一致齐次着色问题。我们决定这个问题什么时候可以解决，什么时候不能。
2014-09-07 math.CO math.FA
Fractional and $j$-fold colouring of the plane
我们目前的结果指的是Hadwiger-纳尔逊问题，要求的最小数量的颜色需要着色的平面上没有两个点的距离$1$具有相同的颜色。Exoo考虑了一个更一般的问题，关于图$G_{[a,b]}$与$\mathbb{R}^2$的顶点集和两个顶点相邻，如果他们的距离是在区间$[a,b]$。Exoo验证了$χ(G_{[a,b]}) = 7$，因为$a$和$b$之间的差异足够小但为正。我们部分回答了这个猜想，证明了$χ(G_{[a,b]}) \geq 5$的$b > a$。图$G = (V,E)$的$j$ -折叠着色是指将$j$ -元素色集分配给$G$的顶点，使得分配给任意两个相邻顶点的色集是不相交的.分数色数$χ_f(G)$是分数$k/j$对于$j$的下确界-使用$k$颜色对$G$进行倍着色。推广了Hochberg和O 'Donnel（他们证明了$G_{[1,1]} \leq 4.36$）关于图$G_{[a,b]}$的分数着色的方法，得到了依赖于$\frac{a}{b}$的一个界.我们还提出了几个具体的和两个一般的方法$j$折叠着色的$G_{[a,b]}$小$j$，特别是$G_{[1,1]}$和$G_{[1,2]}$。小$j$的$j$ -折叠着色在调度理论中有很强的实际意义，而图$G_{[1,2]}$常用于无线网络中的隐冲突建模。
2015-10-05 math.CO
On The Number of Edge-3-Colourings of A Snipped Snark
对于给定的角G和G的边e，我们可以用一种称为“边减法”的运算来构成一个三次图G_e。对于某个非负整数ψ（G，e），G_e的3边着色数为18 * ψ（G，e）。给定snark G_1和G_2，我们可以使用Isaacs和Kochol给出的技术来形成新的snark G。本文给出了G_1，G_2和G中的特殊边e_1，e_2和e分别对应的<$（G_1，e_1），<$（G_2，e_2）和<$（G，e）之间的关系。因此，如果g，h，i，j，k，l均为非负整数，则存在具有边e的循环5-边连通的snark G，使得n（G，e）=5^g * 7^h，以及具有边e_0的循环4-边连通的snark G_0，使得n（G_0，e_0）=2^i * 3^j * 5^k * 7^l。
2013-04-19 math.CO
A note on the grid Ramsey problem
格子拉姆齐数$ G(r) $是最小的数$ n $，使得格子图$Γ_{n,n} := K_n \times K_n$的每一个边用$r$颜色着色都导出一个矩形，其平行边接收相同的颜色。我们展示了$ G(r) \leq r^{\binom{r+1}{2}} - \left( 1/4 - o(1) \right) r^{\binom{r}{2}+1} $，稍微改进了目前最知名的上界由于Gyárfás。
2017-09-27 math.CO
A note on colour-bias Hamilton cycles in dense graphs
Balogh、Csaba、Jing和Pluhár最近确定了确保$2$着色图$G$包含显著颜色偏差的Hamilton循环（即，在一种颜色中包含显著多于其一半的边的Hamilton循环）。在这篇短文中，我们推广了这个结果，确定了$r$ -着色的相应阈值。
2021-03-04 math.CO
The Eternal Game Chromatic Number of Random Graphs
永恒图着色问题（英语：Eternal graph colouring problem）是由Klostermeyer和Mendoza提出的一个图形着色游戏，两个玩家轮流为一个图形着色。本文研究了随机图的永恒对策色数。我们表明，高概率$χ_{g}^{\infty}(G_{n,p}) = (\frac{p}{2} + o(1))n$为奇数$n$，甚至$n$时，$p=\frac{1}{k}$为一些$k \in \mathbb{N}$。该上限适用于偶数$n$和$p$的任何其他值，但我们推测在这种情况下该上界并不明显。最后，我们回答了克洛斯特迈耶和门多萨提出的一个问题。
2020-01-23 math.CO
A note on 2--bisections of claw--free cubic graphs
无桥三次图$G$的\emph{$k$--bisection}是它的顶点集的$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分支至多具有$k$阶. Ban和Linial证明了{ \em：除Petersen图外，每一个无桥三次图都有一个$2$ --二分图}.本文证明了Ban-Linial关于无爪三次图的猜想.
2017-07-14 math.CO
Rainbow structures in locally bounded colourings of graphs
证明了边着色拟随机图到彩虹生成结构的近似分解的几个结果。更确切地说，我们说，一个图的边着色是局部$\ell$ -有界的，如果没有顶点是事件的任何给定的颜色超过$\ell$边，它是（全球）$g$ -有界的，如果没有颜色出现超过$g$次着色。注意，$n$ -顶点图的每一个真着色都是局部$1$ -有界的，并且（全局）是$n/2$ -有界的.我们的结果表明：（i）边色$K_n$的彩虹几乎生成圈的近似分解的存在性，只要边色是$\frac{n}{2}$ -有界的和局部$o(n)$ -有界的. (ii)证明了边色$K_n$到彩虹Hamilton圈的近似分解的存在性，只要边色是$(1-o(1))\frac n2$ -有界的和局部$o\big(\frac{n}{\log^4 n}\big)$ -有界的. (iii)我们的结果的二分版本意味着每个$n\times n$阵列，其中每个符号出现$(1-o(1))n$次，并出现在每行或每列只有$o\big(\frac{n}{\log^2 n}\big)$次，有一个近似的分解成完整的横截。我们还证明了类似物（i）和（ii）的$F$ -因子，其中$F$是任何固定的图。除了（ii）中的对数因子外，所有这些界限基本上都是最佳可能的。(i)可以看作是最近的结果的推广Alon，Pokrovskiy和Sudakov，谁显示了存在一个几乎生成圈在适当的颜色完全图。（i）和（…
2019-09-28 math.CO
The forced colouring function of a graph
Monash University（莫纳什大学）
本文研究图的强制着色函数，确立其基本性质，给出特定点导数的组合解释，并证明在特定区间内计算其值为#P-难。
2026-09-16 cs.DM math.CO
Note on the multicolour size-Ramsey number for paths
图$F$的大小拉姆齐数$\hat{R}(F,r)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，并且具有以下性质：$G$的边的任何着色都具有$r$颜色，产生$F$的单色副本。本文给出了Krivelevich最近结果的另一种证明，即$\hat{R}(P_n,r) = O((\log r)r^2 n)$ .这个上界几乎是最优的，因为也已知$\hat{R}(P_n,r) = Ω(r^2 n)$。
2018-06-23 math.CO
A note on the minimum size of $k$-rainbow connected graphs
一个边着色图$G$是彩虹连通的，如果任意两个顶点之间存在彩虹路.如果存在最多具有彩虹连通的$k$颜色的$G$的边着色，则称图$G$是$G$-彩虹连通的。对于整数$n$和$k$，令$t(n,k)$表示阶为$n$的$k$-彩虹连通图的最小边数.本文证明了对所有$n, k \ge 3$，$t(n,k) = \lceil k(n-2)/(k-1) \rceil$
2015-06-10 math.CO
Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifolds Hom(C_5, K_n)
证明了PéterCsorba猜想：图同态复形Hom（C_5，K_{n+2}）同胚于Stiefel流形，即n维球面的单位切向量空间.为此，开发了一个通用工具，该工具允许用与它们同胚的更小的复形来替换复形Hom（G，K_n），只要G是那些复形是流形的图。证明了Csorba猜想的等变形式是同伦的。我们还研究了单纯流形的某些细分，这些细分与它们的面偏序集的区间偏序集以及它们与对角映射的几何近似的联系有关。
2006-07-02 math.CO math.GT
A stronger result on fractional strong colourings
Aharoni、Berger和Ziv最近证明了强着色猜想的分数松弛。本文将他们的结果推广如下。设$k\geq 1$，并将图$G$的顶点划分为集合$V_1,..., V_r$，使得对于$1\leq i \leq r$，$V_i$中的每个顶点至多有$\max\{k, |V_i|-k \}$在$V_i$之外的邻居.然后在$G$的稳定集上存在概率分布，使得从该分布中提取的稳定集以概率$1/|V_i|$命中$V_i$中的每个顶点，对于$1\leq i\leq r$。我们相信，这一结果将是有用的工具，在概率方法来界定色数和分数色数。
2014-10-09 cs.DM math.CO
A complexity trichotomy for approximately counting list H-colourings
本文研究了图的H-着色列表的近似计数的计算复杂性。我们发现了一个基于图H的结构的自然的图论可割性。如果H是非自反二部图或自反完全图，则列表H-着色的计数是在多项式时间内平凡的.另外，若H是非自反二部置换图或自反真区间图，则列表H-着色的近似计数等价于二部图中独立集的近似计数问题#BIS。这是一个研究得很好的问题，被认为是中等复杂性-据信，它没有一个FPRAS，但它并不像近似最困难的计数问题在#P.对于每一个其他图H，近似计数列表H-着色是完整的#P关于近似保持减少（所以没有FPRAS，除非NP=RP）。该图的两个令人满意的特征是：（i）它在遗传图类方面有一个自然的公式，（ii）证明在很大程度上是自包含的，不需要任何泛代数（不像加权情况下的类似二分法）。我们能够将硬度结果扩展到有界度设置，表明所有硬度结果都适用于最大度至多为6的输入图。
2017-01-05 cs.CC math.CO
Gradation in Greyscales of Graphs
在这项工作中，我们提出了一个图的灰度的概念，作为其顶点的着色，使用的颜色从真正的区间[0，1]。任何灰度都通过将其顶点颜色之间的非负差异分配给每个边来诱导另一种颜色。这些边缘颜色按字典序递减顺序排列，并产生一个新的图形元素：灰度向量。我们引入了最小灰度向量的概念作为图的一个新的不变量，并给出了求最小灰度向量的多项式算法，这些算法还输出产生最小灰度向量的所有灰度。通过这种方式，我们处理并解决了一个新的矢量最优化问题的图形，可以产生更令人满意的解决方案比已知的标量优化方法产生的。这些新概念的兴趣在于它们可能用于解决工程、物理和应用数学问题，这些问题是根据网络建模的，该网络的节点具有由实数范围限定的特定参数的指定数值。目标是最小化每个节点与其邻居之间的差异，确保分配间隔的极值。
2018-01-11 math.CO
On Alternating 6-Cycles in Edge-Coloured Graphs
Soochow University（苏州大学）；University of Victoria（维多利亚大学）
研究边着色图中交替 6 - 圈问题，利用标志代数证明在大团红/蓝着色里，均匀随机着色使交替 6 - 圈数量渐近最大化，解决了相关问题的首个开放情况。
2026-07-17 cs.DM math.CO
A note on Tamari intervals
对于每个偏序P，我们关联一个4个变量的多项式$\mathbb{D}_P$，它根据4个参数枚举P的区间。这个多项式的一些对称性性质得到了一个特定的家庭偏序集，塔马利格。本文证明了三元多项式的三元对称性。另一个全局对称性被证明。使用牛顿多面体的一个面来描述同步间隔的集合。本文描述了二元平面树冠层的统计关系。
2017-11-14 math.CO
A note on one-sided interval edge colorings of bipartite graphs
对于由$X$和$Y$组成的二部图$G$，$X$ -区间染色是指$G$的整数真边染色，使得与$X$中任意顶点关联的边上的颜色形成区间.用$χ'_{int}(G,X)$表示最小$k$，使得$G$具有带$k$颜色的$X$ -区间着色。作者和托夫特证明[离散数学339（2016），2628--2639]存在多项式$P(x)$，使得如果$G$在至多$Δ$处具有最大次数，则$χ'_{int}(G,X) \leq P(Δ)$。在这个简短的说明中，我们证明了这个猜想;事实上，我们证明了一个三次多项式就足够了。对于最大度较小的二部图，我们也给出了$χ'_{int}(G,X)$的一些改进的上界。
2021-06-26 math.CO
A Note on Lower Bounds for Induced Ramsey Numbers
我们说一个图$F$强指向一对图$(G,H)$，如果它的边用红和蓝的2-着色导致一个红色的$G$或一个蓝色的$H$作为$F$的诱导子图出现.导出Ramsey数$IR(G,H)$定义为图$F$中强指向一对$(G,H)$的最小顶点数.我们将考虑诱导Ramsey数的两个方面。首先证明了具有独立数$α$的连通图$G$和具有团数$ω$的连通图$H$的诱导Ramsey数的下界大致为$\frac{ω^2α}{2}$ .这个界限很清晰。此外，我们还讨论了当$G$不连通时的情况，也提供了一个在两个参数上都是线性的尖锐下界
2017-10-26 math.CO
Odd Chromatic Number of Graph Classes
一个图称为奇（分别，偶），如果每个顶点都有奇（分别，偶）度。Gallai证明了每个图都可以划分为两个偶诱导子图，或者划分为一个奇诱导子图和一个偶诱导子图。我们把划分成奇子图称为G的奇染色。Scott [Graphs and Combinatorics，2001]证明了一个图允许奇数着色当且仅当它有偶数个顶点。我们说一个图G是k-奇列图，如果它能被划分成至多k个奇导出子图。本文首次系统地研究了图类的奇染色和奇色数。特别地，我们考虑了一些类是否有界奇色数。我们的主要结果是：区间图、有界模宽图和有界最大度图都有界奇色数。
2023-03-06 cs.DM math.CO
The chromatic number of dense random graphs
图$G$的色数$χ(G)$被定义为顶点着色所需的最小颜色数，其中没有两个邻顶点被着色相同。稠密随机图$p \in (0,1)$为常数的$G \sim G(n,p)$的色数自20世纪70年代以来得到了广泛的研究，1987年Bollobás的一个里程碑式的结果首次建立了$χ(G)$的渐近值.尽管对该结果进行了几次改进，但$χ(G)$的确切值仍然是开放的。本文建立了$χ(G)$新的上、下界。这些边界是第一个相互匹配的分母中的大小为$o(1)$的项：它们将$G \sim G(n,p)$的着色率$n/χ(G)$缩小到长度为$o(1)$的显式区间，回答了Kang和McDiarmid的问题。
2017-12-20 math.CO
Bicoloured-interval and interval-sandwich graphs: two new classes in the tolerance hierarchy
Edith Cowan University（伊迪斯考文大学）；Sun Yat-sen University（中山大学）
本文引入双色区间图和区间夹层图两个新图类，源于计算机视觉鲁棒直线拟合，证明其结构性质、无有限禁止子图刻画，并置于容差层级中单位容差图与余可比较图之间，且识别问题属于NP。
2026-10-05 math.CO
A note on the conflict-free chromatic index
设$G$是具有最大度$Δ$且没有孤立点的图. $G$的边着色$c$是无冲突的，如果每个边的闭邻域包括唯一着色元素。允许这样的$c$的颜色的最少数目是$G$的无冲突色指数，由$χ'_{CF}(G)$表示。在“无冲突色数与无冲突色指数”[J. Graph Theory，2022; 99：349- 358]中，最近用概率方法证明了$χ'_{CF}(G)\leq C_1\log_2Δ+C_2$，其中$C_1>337$和$C_2$是常数，而存在具有$χ'_{CF}(G)\geq (1-o(1))\log_2Δ$的图族.在本说明中，我们提供了一个明确的简单证明的事实，$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2Δ+1$，这是一个推论的一个更强的结果：$χ'_{CF}(G)\leq 3\log_2χ(G)+1$。为了这个目的，我们证明了一些辅助意见，特别是意味着$χ'_{CF}(G)\leq 4$的二分图。
2022-03-03 math.CO
A Note on Planar and Dismantlable Lattices
它表明，任何有限的，秩连接，可压缩格是字典序壳（因此科恩-麦考利）。一个等级，区间连接的格被证明是等级连接的，但等级连接的格不需要是区间连接的。一个例子，平面，秩连接格是不允许的。
2000-06-19 math.CO
