三次图的延迟染色

Perfect matchings, Hamiltonian cycles and edge-colourings in a class of cubic graphs

A graph $G$ has the Perfect-Matching-Hamiltonian property (PMH-property) if for each one of its perfect matchings, there is another perfect matching of $G$ such that the union of the two perfect matchings yields a Hamiltonian cycle of $G$. The study of graphs that have the PMH-property, initiated in the 1970s by Las Vergnas and Häggkvist, combines three well-studied properties of graphs, namely matchings, Hamiltonicity and edge-colourings. In this work, we study these concepts for cubic graphs in an attempt to characterise those cubic graphs for which every perfect matching corresponds to one …

着色缺陷为3的三次图以及Berge与Alon-Tarsi猜想

Cubic graphs of colouring defect 3 and conjectures of Berge and Alon-Tarsi

本研究刻画了着色缺陷为3且完美匹配指数至少为5的三次图结构，并证明此类图及特定snark存在长度至多4/3·m+1的圈覆盖，支持Berge与Alon-Tarsi猜想。

三次图染色的Kempe等价性

Kempe Equivalence of Colourings of Cubic Graphs

给定一个图$G=(V,E)$和$G$的一个适当的顶点着色，一个Kempe链是$V$的一个子集，它诱导出$G$的一个极大连通子图，其中每个顶点有两种颜色之一。进行肯普变换是通过交换肯普链中顶点的颜色来从另一种颜色中获得一种颜色。两种颜色是肯普等价的，如果每一种都可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的.我们解决的情况下，$k=3$表明，所有的$3$着色的三次图$G$是肯普等价，除非$G$是完全图$K_4$或三棱柱。

三边染色双十字三次图

Three-edge-colouring doublecross cubic graphs

一个图是顶点的，如果有一个顶点的删除使图平面，和doublecross如果它可以画在平面上只有两个交叉，都与无限区域在自然意义上的事件。1966年，Tutte证明了没有Petersen图子式的二边连通三次图是三边连通图。与Neil Robertson一起，我们中的两个人证明了，如果对于顶点图和双交叉图这是真的，那么这在一般情况下是真的。在另一篇论文中，我们中的两个人解决了顶点问题，但双重交叉问题仍然悬而未决。在这里，我们解决了doublecross的情况下，也就是说，我们证明了每一个两个边连通doublecross立方图是三边列。证明方法是四色定理证明的一个变体。

Petersen着色猜想的变形

Variations on the Petersen colouring conjecture

Petersen着色猜想指出，每个无桥三次图允许一个带有$5$颜色的边着色，使得对于每个边$e$，分配给与$e$相邻的边的颜色集具有$2$或$4$的基数，但不具有$3$的基数。证明了每一个无桥三次图$G$都允许用$4$色进行边着色，使得至多$\frac45\cdot|V(G)|$边不满足上述条件.这个界是紧的，Petersen图是唯一的连通图的界不能减少。我们得到这样一个$4$ -边着色通过使用一个精心选择的子集的完美匹配的边缘，和分析依赖于一个简单的放电过程，基本上没有减少和非常少的规则。

着色亏格为3的立方图

Cubic graphs with colouring defect 3

本研究针对着色亏格为3的蛇形图（不可3-边着色的立方图）建立约化理论，证明其可约化为非平凡亏格3蛇形图或由高亏格非平凡蛇形图顶点膨胀得到的图，并探讨了结果在Berge与Fulkerson猜想中的应用。

诱导同构单色子图的三次图的着色

Colourings of cubic graphs inducing isomorphic monochromatic subgraphs

无桥三次图$G$的一个$k$ -二分图是它的顶点集的一个$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分量（以下为单色分量）的阶至多为$k$。Ban和Linial证明了除Petersen图外，所有无桥三次图都有$2$ -二分图.三次图的边集的一个类似问题已经被研究过：Wormald证明了每个具有$|E(G)| \equiv 0 \pmod 2$的三次图$G$都有一个$2$ -边着色使得两个单色子图是同构的线性森林（即一个森林的组成部分是路）。最后，Ando证明了每一个三次图都有一个二分法，使得两个导出单色子图同构。在本文中，我们给出了一个详细的洞察Ban-Linial和Wormald的结构，并提供了一个强大的关系，他们与安藤猜想的证据。此外，我们也给出了计算和理论证据的支持。因此，我们提出了一些开放的问题，比上述的结构更强大。此外，我们还证明了三次圈置换图的Ban-Linial猜想。作为研究以线性森林为单色分量的三次图的$2$ -边着色的副产品，我们还对Jackson和Wormald提出的关于三次图到线性森林的某些分解的问题给出了否定的回答.

次三次图和次四次图的边染色的Kempe等价性

Kempe equivalence of edge-colourings in subcubic and subquartic graphs

证明了（次）三次图的所有4-边染色都是Kempe等价的。这解决了第二作者的一个猜想。事实上，发现最大度Delta=3是（Delta+1）-边着色的Kempe等价的阈值，因为当Delta=4时，这种等价一般不成立。然而，在后一种情况下，一种额外的颜色允许类似的结果，即当Delta<=4时，表明所有（Delta+2）边着色都是肯普等价的。

列表全染色猜想是错误的

The List Total Colouring Conjecture is False

本文构造了一个三次图，其全色数为四但列表全色数为五，从而否证了列表全染色猜想，该反例由ChatGPT 6 Astra Ultra在极少人工输入下发现。

几类三次图的填充着色

Packing colouring of some classes of cubic graphs

图G的填充色数$χ$ $ρ$（G）是使其顶点集V（G）可划分为k个不相交子集V1，. ..，V k，使得对于每个i，1 $\le$ i $\le$ k，V i中的每两个不同顶点在G中的距离大于i。最近，Balogh，Kostochka和Liu证明了$χ$ $ρ$在次三次图类中没有界[Packing chromatic number of subcubic graphs，Discrete Math.341（2018），474483]，从而回答了以前在几篇论文中提出的问题。然而，三次图或次三次图的几个子类具有有界填充色数。在本文中，我们确定的确切值，或上，下界，包装色数的某些类别的三次图，即圆梯，所谓的H-图和广义H-图。

关于立方格的着色

On colourings of cubic lattices

本文计算低维整数立方格在自同构群有限指数子群下的轨道着色并确定其自同构群，补正 Heesch 在三维二轨道情形遗漏的划分。

关于无爪三次图的2--二等分的注记

A note on 2--bisections of claw--free cubic graphs

无桥三次图$G$的\emph{$k$--bisection}是它的顶点集的$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分支至多具有$k$阶. Ban和Linial证明了{ \em：除Petersen图外，每一个无桥三次图都有一个$2$ --二分图}.本文证明了Ban-Linial关于无爪三次图的猜想.

关于能为每个正则图着色的图的存在性

On the existence of graphs which can colour every regular graph

本文研究能为所有正则图着色的图的存在性，推广 Petersen 着色猜想相关结果，证明无度数限制时仅有 $S_{4}$ 能为所有无桥三次图着色，并证明对度数大于 3 的正则图不存在这样的连通图。

将立方图分解为同构的线性森林

Decomposing cubic graphs into isomorphic linear forests

针对Wormald 1987年提出的“4n顶点立方图边可划分为两个同构线性森林”的猜想，本文利用概率工具、结构分析及局部重着色技术，证明其对大型连通立方图成立。

平面三次图边可选择性的几个长表

Few Long Lists for Edge Choosability of Planar Cubic Graphs

已知无环三次图都是4-边可选图。我们证明了下面的加强结果。设G是具有b条割边的平面三次图。存在G的至多5b/2条边的集合F，具有以下性质。对任意函数L，若给F的每条边赋一个4色的集合，给E（G）-F中的每条边赋一个3色的集合，则图G有一个适当的边着色，其中每条边e的颜色都属于L（e）.

$K_5$-无 minors 图的度向割半群饱和性与 Seymour 平面边染色猜想

Degreewise Cut-Semigroup Saturation for $K_5$-Minor-Free Graphs and Seymour's Planar Edge-Colouring Conjecture

该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。

关于截断Snark的边3-染色数

On The Number of Edge-3-Colourings of A Snipped Snark

对于给定的角G和G的边e，我们可以用一种称为“边减法”的运算来构成一个三次图G_e。对于某个非负整数ψ（G，e），G_e的3边着色数为18 * ψ（G，e）。给定snark G_1和G_2，我们可以使用Isaacs和Kochol给出的技术来形成新的snark G。本文给出了G_1，G_2和G中的特殊边e_1，e_2和e分别对应的<$（G_1，e_1），<$（G_2，e_2）和<$（G，e）之间的关系。因此，如果g，h，i，j，k，l均为非负整数，则存在具有边e的循环5-边连通的snark G，使得n（G，e）=5^g * 7^h，以及具有边e_0的循环4-边连通的snark G_0，使得n（G_0，e_0）=2^i * 3^j * 5^k * 7^l。

Shallow Minors, Graph Products and Beyond Planar Graphs

The planar graph product structure theorem of Dujmović, Joret, Micek, Morin, Ueckerdt, and Wood [J. ACM 2020] states that every planar graph is a subgraph of the strong product of a graph with bounded treewidth and a path. This result has been the key tool to resolve important open problems regarding queue layouts, nonrepetitive colourings, centered colourings, and adjacency labelling schemes. In this paper, we extend this line of research by utilizing shallow minors to prove analogous product structure theorems for several beyond planar graph classes. The key observation that drives our work …

An equivalent formulation of the Fan-Raspaud Conjecture and related problems

In 1994, it was conjectured by Fan and Raspaud that every simple bridgeless cubic graph has three perfect matchings whose intersection is empty. In this paper we answer a question recently proposed by Mkrtchyan and Vardanyan, by giving an equivalent formulation of the Fan-Raspaud Conjecture. We also study a possibly weaker conjecture originally proposed by the first author, which states that in every simple bridgeless cubic graph there exist two perfect matchings such that the complement of their union is a bipartite graph. Here, we show that this conjecture can be equivalently stated using a …

Cubic graphs that cannot be covered with four perfect matchings

A conjecture of Berge suggests that every bridgeless cubic graph can have its edges covered with at most five perfect matchings. Since three perfect matchings suffice only when the graph in question is $3$-edge-colourable, the rest of cubic graphs falls into two classes: those that can be covered with four perfect matchings, and those that need at least five. Cubic graphs that require more than four perfect matchings to cover their edges are particularly interesting as potential counterexamples to several profound and long-standing conjectures including the celebrated cycle double cover conjec…

关于Mohar关于正则图的Kempe等价的一个猜想

On a conjecture of Mohar concerning Kempe equivalence of regular graphs

设$G$是一个顶点着色为$α$的图.设$a$和$b$为两种颜色。则由着色为$a$或$b$的顶点所诱导的子图的连通分支称为Kempe链。从$α$通过交换肯普链的顶点上的颜色而获得的$G$的着色被称为通过肯普变换而获得。$G$的两种颜色是肯普等价的，如果一种可以通过一系列肯普变化从另一种获得。Mohar（2007）的一个猜想断言，对于$k \geq 3$，所有不完全的$k$ -正则图的$k$ -着色都是Kempe等价的。后来证明，所有的$3$ -染色的三次图，既不是$K_4$也不是三棱柱是肯普等价的。在本文中，我们证明了猜想成立的每个$k\geq 4$。我们还报告的影响，这一结果的有效性的Wang-Swendsen-Koteckstrom算法的反铁磁Potts模型在零温度。

图的关联选择性

Incidence Choosability of Graphs

图G的一个关联图是一对（v，e），其中v是G的一个顶点，e是G的一条与v关联的边.当（i）v = w，或（ii）e = f，或（iii）vw = e或f时，G的两个关联图（v，e）和（w，f）是相邻的. G的关联p-着色是从G的关联集合到颜色集合{1，. ..，p}，使得每两个相邻的入射接收不同的颜色。1993年，Brualdi和Quinn Massey引入了关联着色，从那时起，几位作者进行了研究。本文介绍并研究了关联着色的列表形式。我们确定的确切值-或上界-的关联选择数的几类图，即正方形网格，Halin图，仙人掌和哈密尔顿三次图。

局部有限 Borel 图的不友好划分

Unfriendly partitions of locally finite Borel graphs

本文否证了局部有限 Borel 图存在 Borel 不友好划分的猜想，构造无界度反例，并证明最大度至多四时存在不友好着色。

一个强色指数为7的无钻石无爪立方图

A diamond-free claw-free cubic graph with strong chromatic index 7

研究无钻石无爪立方图的强边着色问题，通过展示一个18个顶点的立方图\(H\)，其\(\chi'_s(H)=7\)，证明在简单立方图中相关猜想不成立，还表明两个关于强边着色的表述不等价，特定版本问题仍未解决。

snark 的阻力、奇度与着色缺陷

Resistance, oddness and colouring defect of snarks

本文研究非平凡 snark 的阻力、奇度与着色缺陷关系，构造性证明在给定 $r\ge2$、偶数 $ω\ge r$ 及任意大的 $d\ge\frac32ω$ 时，存在满足相应参数的图。

Ban--Linial's Conjecture and treelike snarks

A bridgeless cubic graph $G$ is said to have a 2-bisection if there exists a 2-vertex-colouring of $G$ (not necessarily proper) such that: (i) the colour classes have the same cardinality, and (ii) the monochromatic components are either an isolated vertex or an edge. In 2016, Ban and Linial conjectured that every bridgeless cubic graph, apart from the well-known Petersen graph, admits a 2-bisection. In the same paper it was shown that every Class I bridgeless cubic graph admits such a bisection. The Class II bridgeless cubic graphs which are critical to many conjectures in graph theory are kn…

关于Barnette猜想的思考

Thoughts on Barnette's Conjecture

本文证明了三次3连通可平面图是Hamilton图的一个新的充分条件。这个条件最容易描述为对偶图的一个性质。设$G$为平面三角剖分。则对偶$G^*$是三次3连通可平面图，且$G^*$是二部图当且仅当$G$是欧拉图.我们证明了如果$G$的顶点被（不适当地）着色为蓝色和红色，使得蓝色顶点覆盖$G$的面，不存在蓝色圈，并且每个红色圈包含一个次数至多为4的顶点，则$G^*$是Hamilton的.这个结果暗示了以下巴内特猜想的特殊情况：如果$G$是一个欧拉平面三角剖分，其顶点被适当地着色为蓝色、红色和绿色，使得每个红绿循环都包含一个4度顶点，则$G^*$是哈密尔顿的。我们的最终结果突出了使用适当的着色的$G$作为一个起点证明巴内特猜想的局限性。我们还解释了巴内特猜想的相关结果，得到了Kelmans和详细的自包含的证明尚未公布。

正交设计与三次二元函数

Orthogonal Designs and a Cubic Binary Function

正交设计是在用于无线传输的空时分组码的构造中使用的基本数学概念。设计有两个重要的参数，速率和解码延迟，该理论的主要问题是构造最大化速率和最小化解码延迟的设计。所有已知的COD构造都是归纳的或算法的。在本文中，我们提出了一个显式的最佳CODs的建设。我们不应用递归程序，直接计算矩阵元素。我们的公式是基于一个三次函数在两个二进制n-向量。在我们以前的工作（通信数学物理，2010，and J. Pure and Appl. Algebra，2011），我们利用这个函数定义了一系列推广经典八元数代数的非结合代数，并得到了Hurwitz-Radon型平方和恒等式.

最小的非平凡的奇怪的咆哮4

The smallest nontrivial snarks of oddness 4

一个三次图的奇性是指该图的2-因子中奇回路的最小数目。这个不变量被广泛认为是三次图的不可着色性的最重要的度量之一，因此在围绕snark（连通三次图不允许适当的3-边着色）的许多问题和问题的研究中反复出现。在[Ars Math. Contemp. 16（2019），277-298]我们已经证明了具有循环连通度4和奇度4的snark的最小顶点数是44。我们现在显示，正好有31个这样的咆哮，它们都有周长5。这些咆哮是由Petersen图的子图和少量额外的顶点建立的。根据它们的结构，它们分为六类，每一类都会产生一个无限的snark家族，其奇数至少为4，并且顺序递增。我们解释了这31个Snark的奇度为4的原因，并证明了这31个Snark构成了44个顶点上的循环连通度为4且奇度为4的Snark的完备集。证明是一个纯粹的理论方法与计算机进行的大量计算相结合。

改进的$a'(G\Box H)$上界

Improved Upper Bounds on $a'(G\Box H)$

无圈边着色问题在图论中得到了广泛的研究。这一领域的基石是一个猜想阿隆等。等人所述\cite{alonacyclic}，即$a'(G)\le Δ(G)+2$。在那个和随后的工作中，$a'(G)$通常是以$Δ(G)$为界的。基于此，我们引入术语$gap(G)$，定义为$gap(G)=a'(G)-Δ(G)$。Alon的猜想可以被改写为对所有图$G$的$gap(G)\le2$.在\cite{manusccartprod}中，在某些假设下，证明了$a'(G\Box H)\le a'(G)+a'(H)$。基于Alon的猜想，我们推测在相同的假设条件下，$a'(G\Box H)\le a'(G)+Δ(H)$会产生一个强化. \cite{alonacyclic}的结果验证了我们对它所考虑的图类的猜想。我们证明了我们的猜想的一个重要子类的次三次图和状态下，我们的猜想可以被证明的一些通用条件。我们建议如何我们的技术可以潜在地应用于未来的研究人员，以扩大我们的猜想持有的一类图。我们的结果加深了对笛卡尔积与无圈色指数之间关系的理解。

Snarks的生成与性质

Generation and Properties of Snarks

对于许多未解决的问题，关于圈和匹配的图，它是已知的，这是足够的证明他们为\emph{snarks}，类的非平凡3-正则图，不能3-边着色。在本文的第一部分中，我们提出了一个新的算法生成所有的非同构的snark的一个给定的顺序。我们实现的新算法比以前的程序生成咆哮快14倍，生成弱咆哮快29倍。利用这个程序，我们已经生成了所有的非同构snark上的$n\leq 36$顶点。以前已发布了最多$n=28$顶点的列表。在本文的第二部分中，我们分析了生成的咆哮集的一些属性和结构。我们发现，一些最强的版本的循环双盖猜想举行的所有这些订单的咆哮，耶格的彼得森着色猜想，这反过来又意味着，富尔克森猜想没有小的反例。在这些积极的结果相比，我们还发现反例，以前发表的八个关于圈覆盖和一般圈结构的三次图。