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随机Dirichlet级数有多少个实零点？

How many real zeros does a random Dirichlet series have?

Marco Aymone, Susana Frómeta, Ricardo Misturini

备注：
21 pages. V3: Accepted (EJP) version
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AI总结：

该研究针对系数为独立标准高斯变量的随机Dirichlet级数，定量计算了区间内实零点的期望数、高阶矩及指数尾，给出了几乎必然上下界，还拓展到素数求和的同类级数。

摘要：

设$F(σ)=\sum_{n=1}^\infty \frac{X_n}{n^σ}$为随机Dirichlet级数，其中$(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$是独立标准高斯随机变量。我们以定量形式计算了当$T\to1/2^+$时，$F(σ)$在区间$[T,\infty)$内的零点期望数$\mathbb{E} N(T,\infty)$。我们还估计了高阶矩，并据此推导出区间$[T,1]$内的零点数$N(T,1)$较大时概率的指数尾。我们还考虑了$N(T,\infty)$的几乎必然上下界。最后，我们还证明了另一类随机Dirichlet级数的结果，例如求和限制在素数上的情况。

英文摘要：

Let $F(σ)=\sum_{n=1}^\infty \frac{X_n}{n^σ}$ be a random Dirichlet series where $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ are independent standard Gaussian random variables. We compute in a quantitative form the expected number of zeros of $F(σ)$ in the interval $[T,\infty)$, say $\mathbb{E} N(T,\infty)$, as $T\to1/2^+$. We also estimate higher moments and with this we derive exponential tails for the probability that the number of zeros in the interval $[T,1]$, say $N(T,1)$, is large. We also consider almost sure lower and upper bounds for $N(T,\infty)$. And finally, we also prove results for another class of random Dirichlet series, e.g., when the summation is restricted to prime numbers.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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