$M$-functions and screw functions originating from Goldbach's problem and zeros of the Riemann zeta function
本文公理化研究源于哥德巴赫问题的 $M$-函数与 screw 函数，并揭示其公式及关系可为 Riemann 假设提供充分与充要条件。
2025-10-20 math.NT
The Goldbach exceptional set: an exponent 7/12 and conditional refinement
该研究针对哥德巴赫例外集，结合Pintz主弧公式与Maynard等人的指数和估计，在Dirichlet L-函数相关假设下得到E(X)的上界指数7/12及条件改进结果。
2026-10-14 math.NT
An improved upper bound for the error in the zero-counting formulae for Dirichlet $L$-functions and Dedekind zeta-functions
本文给出了矩形域上Dirichlet L-函数和戴德金ζ函数零点个数的新的显式上界。
2013-12-05 math.NT
On Shusterman's Goldbach-type problem for sign patterns of the Liouville function
本文假设GRH成立，利用有理数的Pierce展开，证明了Liouville函数符号模式频率的定量下界，从而有条件地解决了Shusterman提出的Liouville函数二元Goldbach问题。
2024-12-23 math.NT
Some identities involving the Cesàro average of Goldbach numbers
设$Λ\left(n\right)$为von Mangoldt函数，$r_{G}\left(n\right) := \sum_{m_1 + m_2=n} Λ\left(m_1 \right) Λ\left(m_2 \right)$为可写成两个素数之和的数的计数函数（为简洁起见，我们将称之为“哥德巴赫数”），并设$\widetilde{S }\left(z\right) := \sum_{n\geq1} Λ\left(n\right) e^{-nz}$和$z\in\mathbb{C}$为$\mathrm{Re}\left(z\right)>0$。本文证明了$$\widetilde{S}\left(z\right) = \frac{e^{-2z}}{z}-\sum_ρz^{-ρ} Γ\left(ρ\right) + \sum_ρ \left(z^{-ρ} γ\left(ρ,2z\right) - \frac{2^ρe^{-z}}ρ \right) + G\left(z\right)$$的恒等式，其中$γ\left(ρ,2z\right)$是下不完全Gamma函数，$ρ=β+iγ$遍历Riemann Zeta函数的非平凡零点，$G\left(z\right)$是初等函数与复指数积分之和.此外，我们将证明\begin{align*} \sum_{n\leq N} r_G \left(n\r…
2018-02-19 math.NT
Cancellation in sums over special sequences on $\mathbf{\rm{GL}_{m}}$ and their applications
本文研究自守L-函数Dirichlet系数在Waring-Goldbach相关序列上的相消，建立不依赖广义Ramanujan猜想和Landau-Siegel零点的非平凡界，并给出Sato-Tate猜想应用及平均Goldbach猜想。
2025-04-25 math.NT
Counting number fields using multiple Dirichlet series
本文利用多重狄利克雷级数的解析技术，提出了一种按任意惯性不变量排序的固定伽罗瓦群数域的计数方法，对无穷多新群证明了无条件结果，并在子凸性假设下证明了渐近增长率的存在性。
2026-05-21 math.NT
Counting Zeros of Dirichlet $L$-Functions
University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）；City University of New York, College of Staten Island and The Graduate Center（纽约市立学院斯塔滕岛分校及研究生院）
本文研究了Dirichlet L-函数零点的计数问题，给出了关于零点数的显式上下界，并在σ<-1/2时提供了L(s,χ)的新界。
2020-05-06 math.NT
Large Value Estimates for Dirichlet Polynomials with Characters and Zero Density of Dirichlet $L$-Functions
Ghent University（根特大学）；University of Oxford（牛津大学）；Northwestern University（西北大学）
研究狄利克雷多项式大值估计及狄利克雷\(L\)函数零点密度，通过改编Guth--Maynard方法改进指数，得到零点密度估计，进而推导模素数算术级数中最小哥德巴赫数新上界及短区间内算术级数中素数的新结果。
2026-07-28 math.NT
Poisson--Dirichlet approximation for counting integers with divisors in an interval
University of Turku（图尔库大学）
本文通过简单不等式和Arratia耦合技术，提出了一种将素因子在ℓ¹(R)子集中的整数计数渐进行为转化为边界接近度概率的通用策略。
2026-08-27 math.NT math.PR
Counting zeros of the Riemann zeta function
在这篇文章中，我们表明，$$ \left| N (T) - \frac{T}{ 2 π} \log \left( \frac{T}{2πe}\right) \right| \le 0.1038 \log T + 0.2573 \log\log T + 9.3675 $$其中$N(T)$表示的非平凡零点$ρ$，与$0<\Im(ρ) \le T$，黎曼ζ函数的数量。这改进了Trudgian以前对足够大的$T$的结果。改进来自使用各种次凸性界限和想法的工作贝内特$et$ $al.$计数零狄利克雷$L$ -功能。
2021-07-14 math.NT
On Divisor Function Polynomials and Dirichlet Series
Cardiff University（卡迪夫大学）
该研究针对和集系计数函数推导狄利克雷级数与收敛界，定义并研究了除数函数多项式，揭示其与伯努利数、有序贝尔多项式的关联。
2026-10-12 math.NT
Pólya's conjecture for Dirichlet eigenvalues of annuli
University of Reading（雷丁大学）；Université de Montréal（蒙特利尔大学）；DePaul University（德保罗大学）
本文通过结合变分界、贝塞尔相函数估计和精细化格点计数技术，证明了环形域狄利克雷特征值的波利亚猜想，并改进了圆盘特征值计数函数的上界估计。
2026-02-09 math.NT math.SP
Counting Lattices with Local Hecke Series
本文通过海克系列理论计数$p$-adic域和有理数域上的最大格子，并得到经典群的新ζ函数。
2025-12-31 math.NT
Zeta functions enumerating subforms of quadratic forms
本文构造枚举二次形式满秩子形式等价类的 Dirichlet 级数，建立其与相关虚二次域理想类计数级数的联系，并给出方格、六角格等情形的显式公式及解析性质。
2024-09-09 math.NT
Counting zeros of Dedekind zeta functions
给定一个度为$n_K$的数域$K$，并具有绝对判别式$d_K$，我们得到了$K$的Dedekind zeta函数$ζ_K(s)$的非平凡零（重数）个数$N_K(T)$（重数）的显式界.更确切地说，我们表明，$T \geq 1$，$$ \Big| N_K (T) - \frac{T}π \log \Big( d_K \Big( \frac{T}{2πe}\Big)^{n_K}\Big)\Big| \le 0.228 (\log d_K + n_K \log T) + 23.108 n_K + 4.520, $$，这改善了以前的结果Kadiri和Ng，和Trudgian。改进的思想是基于最近的工作贝内特$et$ $al.$计数零点的狄利克雷$L$ -功能。
2021-05-03 math.NT
Counting zeros of Artin $L$-functions
The University of New South Wales, Canberra（新南威尔士大学堪培拉分校）；National Sun Yat-Sen University（国立中山大学）
假设Artin猜想成立，建立了Artin $L$-函数非平凡零点到任意高度$T\geq 1$的显式渐近公式，并得到Hecke $L$-函数的无条件显式零点计数公式，改进了相关领域的最新结果。
2026-07-01 math.NT
Curves, dynamical systems and weighted point counting
设X是有限域k上的（光滑射影不可约代数）曲线.在k的所有有限域扩张上计算X上的点的数目不会唯一地确定曲线。实际上，泰特的一个著名定理意味着两条这样的曲线在k上具有相同的zeta函数（即，在k）的所有扩张上的相同数目的点当且仅当它们对应的雅可比行列式是同构的。我们通过证明，如果两条曲线的所有Dirichlet L-级数通过它们的Dirichlet特征群的同构而不是仅仅zeta函数相等，则曲线同构到“Frobenius扭曲”，即，直到基域的自同构。由于L-级数以“加权”的方式计算曲线上的点，我们看到加权点计数决定了曲线。在某种意义上，这个结果解决了有限域上曲线的等谱性问题（也称为“算术等价问题”）的类似问题：它说曲线是由“谱”数据确定的，即k的弗罗贝纽斯算子作用在对应于狄利克雷特征标的所有l-adic层的上同调群上的特征值。证明的方法是表明，这是等价于各自的类域理论的曲线是同构的动力系统，在某种意义上说，我们使精确。
2012-09-25 math.AG math.NT
An Explicit Result for $|L(1+it,χ)|$
给出了$s=1+it$线上非主Dirichlet $L$ -函数的一个显式上界.这一结果可用于改进这类函数的零点计算公式中的误差。
2014-09-08 math.NT
Beurling integers with RH and large oscillation
构造了一个满足黎曼假设的Beurling广义数系，其整数计数函数在如下意义下表现极值振荡.这个数系的素数计数函数满足$π(x)= \operatorname*{Li} (x)+ O(\sqrt{x})$，而它的整数计数函数对某些$c>0$满足振荡估计$N(x) = ρx + Ω_{\pm}\bigl(x\exp(-c\sqrt{\log x\log\log x})\bigr)$，其中$ρ>0$是它的渐近密度.该结构的灵感来自于H. Bohr关于狄利克雷级数的凸性界的最优性，并通过随机素数系统近似将鞍点分析与Diamond-Montgomery-Vorhauer概率方法相结合。
2020-05-26 math.NT
The prime number race and zeros of Dirichlet L-functions off the critical line
令$π_{q,a}(x)$表示级数$a$模$q$中素数$\le x$的数目。我们研究微妙的不平等，在这些功能，与$q$固定和变量$a$（有时被称为“总理种族问题”）。对于许多三元组$(q,a,b)$，无条件地知道差值$π_{q,a}(x) - π_{q,b}(x)$的符号变化无限频繁，尽管可能有明显的偏向一个符号（切比雪夫在1853年首次观察到）。对于三个或更多素数计数函数的比较，类似的结果都需要ERH（Dirichlet L函数模$q$的扩展黎曼假设）的假设。在本文中，我们表明，ERH的假设是，在某种意义上，必要的。也就是说，我们证明，任何四重$(q,a,b,c)$与$a,b,c$互质$q$，存在某些假设配置的零Dirichlet L函数说谎的临界线意味着六个可能的顺序之一的三个功能$π_{q,a}(x), π_{q,b}(x), π_{q,c}(x)$不发生在所有足够大的$x$。
2019-10-20 math.NT
Dirichlet series for finite combinatorial rank dynamics
我们引入一类群自同态-那些有限的组合秩-表现出缓慢的轨道增长。利用相应的狄利克雷级数得到了一个精确的轨道计数公式，并证明了在连通情形下该级数具有闭的有理形式.狄利克雷级数的分析性质与轨道增长渐近性有关：根据收敛横坐标的位置和极点的程度，可以找到各种轨道增长渐近性，所有这些都是多项式有界的。
2007-05-24 math.DS math.NT
Counting Divisors in the Outputs of a Binary Quadratic Form
本文通过谱理论证明二元 Dirichlet 级数的亚纯延拓，从而获得二元二次型输出中除数求和的渐近式，结果与 Bykovskii 早期工作相当。
2023-10-20 math.NT
The Prime Number Theorem and Primorial Numbers
著名的数学家高斯、勒让德、狄利克雷和欧拉都研究过计数素数的个数直到某个自然数，并描述这样一个计数函数的渐近行为。素数定理确定了这种渐近行为类似于数除以其自然对数的渐近行为。本文利用数的乘法表示和对数函数的性质，用素数和n-素数表示了素数定理.素数是前n个素数的乘积，而n-素数是与第n个素数互质的数。通过这样做，我们可以定义几个不同的函数，这些函数可以用来渐近地近似素数计数函数的行为。
2023-01-07 math.NT
Counting subrings of the ring $\Bbb{Z}_m \times \Bbb{Z}_n$
令$m,n\in \Bbb{N}$。我们表示环$\Bbb{Z}_m \times \Bbb{Z}_n$的加法子群，它们也是（酉）子环，并推导出$N^{(s)}(m,n)$和$N^{(us)}(m,n)$的显式公式，分别表示环$\Bbb{Z}_m \times \Bbb{Z}_n$及其酉子环的子环个数.我们证明了函数$(m,n)\mapsto N^{(s)}(m,n)$和$(m,n)\mapsto N^{(us)}(m,n)$是乘法的，被看作是两个变量的函数，和他们的狄利克雷级数可以表示的黎曼ζ函数。我们还建立了和$\sum_{m,n\le x} N^{(s)}(m,n)$的一个渐近公式，其中误差项与Dirichlet除数问题密切相关。
2019-10-24 math.GR math.NT math.RA
An Explicit Tauberian Theorem taking Averaged Inputs with an Application to Counting Abelian Number Fields
本文提出仅依赖 L-函数平均大小的显式陶伯定理，并将其应用于证明若干循环扩张数域计数问题中的平方根节省误差界。
2026-10-20 math.NT
Counting Restricted Partitions of Integers into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to $ω(t)$
受整数分拆研究的启发，我们考虑将整数分拆成特定形式的分数，即具有常数的分数和不同的奇数或偶数分子。当分子是奇数时，小于分母的整数的分区数形成对称模式。如果项数限制为$h$，则生成函数的非零项是单峰的，整数$h$具有最多的分区。这样的性质可以应用于一类特殊的非线性丢番图方程。我们还研究了分子为偶数的分区。证明了整数$t$有$2^{ω(t)}-2$分拆成分数，其中第一个$x$是$y$的连续偶数分子和相等分子，其中$0<y<x<t$ .然后，我们用它来产生推论，如一个狄利克雷级数的身份和扩展的总理欧米茄函数的复平面，虽然这种扩展是不是解析无处不在。
2020-11-30 math.NT
Asymptotics of $D(q)$-pairs and triples via $L$-functions of Dirichlet charaters
本文通过计数同余解，证明素数$q$的$D(q)$-对和三元组数量随$N$线性增长，其斜率与Dirichlet特征$L$-函数和$\zeta(2)$相关。
2024-11-30 math.NT
Uniform bounds of Piltz divisor problem over number fields
考虑数域上Piltz除数问题的上界. Piltz除数问题是Dirichlet除数问题的推广。我们在数域上处理这个问题，并在许多情况下改进了这个函数的误差项。我们的证明使用指数和的估计。作为应用之一，我们还对理想计数函数和相对$r$ -素格点给出了一致的结果。
2019-04-02 math.NT
Elliptic curves with square-free $Δ$
在Dirichlet L-函数的黎曼假设下，我们改进了无平方因子$Δ=D/16$（D是判别式）的椭圆曲线密度估计的光滑化版本中的误差项。布朗宁和作者。为了实现这一改进，我们详细说明我们的方法计数加权解决方案的非齐次三次同余的幂满模。新颖之处在于更进一步的明确评估完全指数和保存一个因素，平均超过模。
2015-06-09 math.NT
Truncated Product Representations for $L$-Functions in the Hyperelliptic Ensemble
We investigate the approximation of quadratic Dirichlet $L$ -functions over function fields by truncations of their Euler products. We first establish representations for such $L$ -functions as products over prime polynomials times products over their zeros. This is the hybrid formula in function fields. We then prove that partial Euler products are good approximations of an $L$ -function away from its zeros, and that, when the length of the product tends to infinity, we recover the original $L$ -function. We also obtain explicit expressions for the arguments of quadratic Dirichlet $L$ -functi…
2016-09-17 math.NT
The prime geodesic theorem for the modular orbifold
本文通过精炼 Iwaniec 和 Cai 的自守方法，结合 Kloosterman 和双线性形式、次凸界及零密度估计等工具，将模曲面素测地线定理的指数改进为 2/3+ε，并在广义 Lindelöf 假设下进一步加强到 5/8+ε。
2026-11-04 math.NT
A Mean Value Theorem for general Dirichlet Series
本文针对满足特定计数函数渐近条件的正系数一般Dirichlet级数，建立了中值定理，给出了不同参数区间下二阶矩的极限与上界，并通过例子验证了结果的紧性。
2024-09-10 math.CV math.NT
Exact formulas for partial sums of the Möbius function expressed by partial sums weighted by the Liouville lambda function
Mertens函数$M(x) := \sum_{n \leq x} μ(n)$被定义为经典默比乌斯函数的求和函数。狄利克雷反函数$g(n) := (ω+1)^{-1}(n)$是根据移位的强加性函数$ω(n)$定义的，该函数计算$n$的不同素因子的数目而没有重数。$g(n)$的Dirichlet生成函数（DGF）是$\Re(s) > 1$的$ζ(s)^{-1} (1+P(s))^{-1}$，其中$P(s) = \sum_p p^{-s}$是素zeta函数。本文研究了$\Re(s) > 1$的无符号函数$|g(n)|$与DGF $ζ(2s)^{-1}(1-P(s))^{-1}$和$C_Ω(n)$与DGF $(1-P(s))^{-1}$的分布。建立了$\log C_Ω(n)$的平均阶和方差的计算公式，证明了$\log C_Ω(n)$的值在整数$n \leq x$上的分布为$x \rightarrow \infty$的中心极限定理. $g(n)$的部分和与素数计数函数的离散卷积提供了新的$M(x)$的精确公式。
2022-07-17 math.NT
Transcendental equations satisfied by the individual zeros of Riemann $ζ$, Dirichlet and modular $L$-functions
We consider the non-trivial zeros of the Riemann $ζ$ -function and two classes of $L$ -functions; Dirichlet $L$ -functions and those based on level one modular forms . We show that there are an infinite number of zeros on the critical line in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and thus enumerated by an integer $n$ . From this it follows that the ordinate of the $n$ -th zero satisfies a transcendental equation that depends only on $n$ . Under weak assumptions, we show that the number of solutions of this equation already saturates the counting formula on the entire…
2015-02-20 hep-th math-ph math.MP
Zeros of the Dirichlet series of even zeta values
University of Missouri（密苏里大学）
研究偶数ζ值狄利克雷级数\(D(s)\)的零点集，通过赫克型精确函数方程给出完整无条件描述，包括零点分类、分布规律等，未作黎曼型假设，完整呈现该级数零点特性。
2026-08-25 math.NT
Effective estimate and Central Limit Theorem for Diophantine approximation on spheres
本文研究了球面上有理逼近的计数函数，给出了其有效估计及中心极限定理，利用同调动力学方法证明了相关性消失和波动描述。
2025-12-20 math.DS math.NT
On the distribution of zeros of the derivative of Selberg's zeta function associated to finite volume Riemann surfaces
W. Luo研究了与紧致双曲黎曼曲面相关的Selberg zeta函数导数的零点分布。实质上，罗文的主要结果包括以下三点：临界线左边半平面中零点个数的渐近性;测量零点垂直分布的计数函数的渐近展开;测量零点到临界线水平距离的计数函数的渐近展开。在本文中，我们研究了更复杂的设置的Selberg zeta函数的导数的零点分布的非紧，有限体积双曲黎曼曲面。有许多困难存在于非紧的情况下，不存在于紧凑的设置，开始的事实，即在非紧的情况下，塞尔伯格zeta函数不满足类似的黎曼假设。更具体地说，我们实际上研究了ZH的导数的零点，其中Z是Selberg zeta函数，H是散射矩阵的狄利克雷级数分量，两者都与任意有限体积双曲黎曼曲面相关联。我们的主要结果地址有限的零在半平面的左边的临界线，零的垂直分布的渐近计数，和零的水平距离的渐近计数。
2013-02-26 math.NT
On the Asymptotic Density of $k$-tuples of Positive Integers Satisfying Arbitrary GCD Conditions
本文研究满足任意gcd条件的正整数k元组的渐近计数问题，通过建立存在性条件并利用多变量狄利克雷级数导出渐近公式，推广了Tóth关于两两条件的结果。
2025-05-08 math.CO math.NT
Superzeta functions, regularized products, and the Selberg zeta function on hyperbolic manifolds with cusps
令$Λ= \{λ_{k}\}$表示复数序列，并假设计数函数$#\{λ_{k} \in Λ: | λ_{k}| < T\} =O(T^{n})$对于某个整数$n$。从Hadamard定理，我们可以构造一个阶至多为$n$的整函数$f$，使得$Λ$是因子$f$。在本文中，我们证明了在合理的一般条件下，与$Λ$相关的超zeta函数$\Z_{f}(s,z)$允许亚纯延拓。此外，我们描述了序列$z-Λ$和函数$f$的正则化乘积之间的关系构造为Weierstrass产品。当$f$在某右半平面上存在Dirichlet级数展开时，我们得到了$\Z_{f}(s,z)$在$s$中的亚纯延拓是$f'/f$的积分变换.我们应用这些结果得到了与具有尖点的有限体积双曲流形相关的Selberg zeta函数的超zeta积估计。
2018-12-20 math.NT
Rational Points on Rational Curves
对于给定的椭圆曲线，在$1$处计算的其关联的$L$函数与其实周期密切相关。本文将这一原理推广到有理曲线。我们对所有有限域上的有理点进行计数，并利用所有的计数信息定义了两个$L$型级数。然后，我们考虑这些系列在$1$的特殊值。其中一个$L$型级数与模$4$的Dirichlet $L$ -级数匹配，因此在$1$处的求值是$π/4$ ;另一个$L$型级数在$1$处的特殊求值等于与有理曲线相关的实数周期.这个恒等式证实了与品种相关的$L$型系列可以反映其几何形状的一般原理。
2019-11-28 math.AG math.NT
On a certain divisor function in Number fields
本文的主要目的是研究数域$\mathbb{K}$中广义除数函数的一个模拟，即$σ_{\mathbb{K},α}(n)$ .与这个函数相关的狄利克雷级数是$ζ_{\mathbb{K}}(s)ζ_{\mathbb{K}}(s-α)$。给出了与$σ_{\mathbb{K},α}(n),$相关的Riesz和的表达式，并利用收敛定理推广了该公式的有效性.作为特例，当$\mathbb{K}=\mathbb{Q}$时，得到了广义除数函数的Riesz求和公式，进而对$α=0$给出了除数计数函数$d(n)$的Vorono\"-求和公式.我们还得到了一个大的$O$估计的Riesz和相关的$σ_{\mathbb{K},α}(n)$。
2021-06-09 math.CA math.NT
