The (p,q)-extremal problem and the fractional chromatic number of Kneser hypergraphs
Kneser超图的色数的计算问题在过去的40年里得到了广泛的研究，而Kneser超图的色数的分数形式只是在特殊情况下才得到解决。\emph{$(p,q)$-extremal problem}是在具有$n$顶点的$k$ -一致超图$\mathcal{H}$上寻找最大边数，使得在任何$p$边中，某些$q$边没有空交.本文找到了Kneser超图的分数色数与$(p,q)$ -极值问题之间的联系，并将$(p,q)$ -极值问题作为极值图论的一个问题提出来，解决了$n$和$p \geq q \geq 3$充分大的图的$(p,q)$ -极值问题.利用这个结果，我们计算了由基数为2的集合构成的Kneser超图的分数色数。
2014-08-14 math.CO
Dichromatic number and fractional chromatic number
图$G$的二色数是最大整数$k$，使得存在$G$的边的定向，使得对于顶点的每个划分为少于$k$的部分，至少一个部分必须包含在该定向下的有向圈。1979年，Erdens和Neumann-Lara证明了如果图的色数有界，那么它的色数也有界.通过证明该猜想的一个分数版本，我们在这个猜想上取得了第一个重大进展。虽然我们的结果使用了更强的分数色数假设，但它也给出了一个更强的结论：如果图的分数色数至少为$t$，则图的分数色数至少为$\tfrac{1}{4}t/\log_2(2et^2)$ .这个界限在一个很小的常数因子下是最好的。给出了几个相关的独立结果。
2015-10-20 math.CO
The Fractional Chromatic Number of Triangle-free Graphs with $Δ\leq 3$
设$G$是任意一个无三角形的最大度图$Δ\leq 3$。Staton证明了$G$的独立数至少为5/14 n。Heckman和Thomas证明了Staton的结果可以加强为$G$的分数色数的一个界，即$χ_f(G)\leq 14/5. Recently, Hatami and Zhu proved $ χ f（G）\leq 3 -{3/64} $. In this paper, we prove $ χ f（G）\leq 3- 3/43$.
2012-07-25 math.CO
The Fractional Chromatic Number of the Plane
平面的色数是以平面上的点为顶点的不可数无限图的色数，如果两点之间的距离为1，则两点之间有一条边。这个色数记为$χ(\mathcal{R}^2)$。这个问题是在1950年提出的，此后不久就证明了$4\le χ(\mathcal{R}^2)\le 7$。这两个界限都很容易证明，但60多年过去了，它们仍然是最著名的。本文研究了平面的分数色数$χ_f(\mathcal{R}^2)$。之前的最佳界限（四舍五入至小数点后五位）为$3.5556 \le χ_f(\mathcal{R}^2)\le 4.3599$。这里我们将下界改进为$76/21\approx3.6190$。
2015-01-07 math.CO
1-subdivisions, fractional chromatic number and Hall ratio
图G的霍耳比是以下项的最大值：|V（H）|/alpha（H）对G的所有子图H都是有效的。显然，图的霍尔比是分数色数的下界。有人问，是否相反，分数色数的上限由霍尔比的函数。我们通过展示关于1-细分的两个独立感兴趣的结果（图的1-细分是通过将每条边精确细分一次来获得的）来否定地回答这个问题。* 对任意c > 0，任意平均度足够大的图都含有分数色数至少为c的图的1-细分子图。* 对任意d > 0，存在平均度至少为d的图G，使得其1-子图的Hall比不超过18.我们还讨论了这些结果的背景下，图类有界扩展的后果。
2020-01-30 math.CO
On the Smallest Eigenvalues and Quantum Chromatic Numbers of Hamming Graphs and Generalizations
Hefei National Laboratory（合肥国家实验室）；School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China（中国科学技术大学数学科学学院）
本文研究了距离参数小于一半长度的汉明图的最小特征值，给出了渐近下界，并应用于量子色数的下界。
2026-05-27 math.CO
Triangle-free subgraphs with large fractional chromatic number
本文证明了 Erdős-Hajnal 猜想中围长为4情形的分数色数版本，即存在函数 h(k,4)，使色数足够大的图必含分数色数至少为 k 的无三角形子图。
2018-08-05 math.CO
Fractional chromatic number, maximum degree and girth
本文提出了一种新的计算局部约束图类的独立数和分数色数的界的方法，并将该方法应用于各种情况。我们建立了一个公式，生成的分数色数的最大度~ $Δ\ge 3$的三角形自由图的一般上界。这个上界匹配的分数版本的里德界的~ $Δ$的小值推导出来的，并提高它时~ $Δ\ge 17$，平稳过渡到最佳可能的渐近制度，除非突破拉姆齐理论。针对~ $Δ$的较小值，我们还证明了每一个围长至少为~ $7$且最大度为~ $Δ$的图的分数色数至多为~ $1+ \min_{k \in \mathbb{N}} \frac{2Δ+ 2^{k-3}}{k}$ .特别地，围长为$7$且最大度为$Δ$的图的分数色数在~ $Δ\in [3,8]$时至多为~ $\frac{2Δ+9}{5}$，在~ $Δ\in [8,20]$时至多为~ $\frac{Δ+7}{3}$，在~ $Δ\in [20,48]$时至多为~ $\frac{2Δ+23}{7}$，在~ $Δ\in [48,112]$时至多为~ $\fracΔ{4}+5$。此外，我们还得到了最大度~ $Δ\in \{3,4,5\}$和围长~ $g\in \{6,\dotsc,12\}$的图的独立比的新下界，特别是~ $1/3$当~ $(Δ,g)=(4,10)$和~ $2/7$当~ $(Δ,g)=(5,8)$ .
2021-07-23 math.CO
Chromatic number and spectral radius
设G是一个图，H是它的色数，L是它的拉普拉斯算子的最大特征值，M是它的邻接矩阵的最大特征值.然后，我们证明了L>=（H/（H-1））M，从而补充了Hoffman的一个著名结果
2007-06-06 math.CO
Fractional Strict Degeneracy of Graphs
Thornton Township High School（桑顿镇高中）；University of South Alabama（南阿拉巴马大学）
本文研究图的分数严格退化性，引入两种分数退化度概念，用于界定分数DP染色数，并应用于单环图、某些完全二分图和稀疏图。
2026-05-01 math.CO
Fractional balanced chromatic number and arboricity of planar (signed) graphs
本文构造平面符号图，证明其分数平衡色数可大于2，反驳了平面图分数树状度上界为2的猜想，并给出色数上确界至少为83/41、树状度极限为2+2/25的序列。
2025-05-22 math.CO
Fractional coloring of product signed graphs
本文研究符号图直积的分数色数，证明当其中一个因子为符号循环图时，直积的分数色数等于两个因子分数色数中的较小值。
2025-05-09 math.CO
The fractional chromatic number of $K_Δ$-free graphs
对于一个简单图$G$，设$χ_f(G)$是$G$的分数色数.在本文中，我们的目标是建立上界的$χ_f(G)$的图$G$的团数的限制。也就是说，我们证明了对于$Δ\geq 4$，如果$G$的最大度至多为$Δ$，并且是$K_Δ$ -free的，则除非$G= C^2_8$或$G = C_5\boxtimes K_2$，否则$χ_f(G) \leq Δ-\tfrac{1}{8}$.这证明了[King，Lu，and Peng，SIAM J. Discrete Math.，26（2）（2012），pp. 452-471]，结果参见[Katherine和King，SIAM J.Discrete Math.，27（2）（2013），pp. 1184-1208]用于$Δ\in \{6,7,8\}$。
2021-08-03 math.CO
Independent sets, cliques, and colorings in graphons
研究了图子的色数与团数、分数色数、b-色数和分数团数的对应关系。建立了图子集上独立集多面体的一些基本性质，以及分数色数与分数团数之间的对偶性质。我们提出了完美图子的概念，并根据奇圈及其补圈的诱导密度来刻画它们。
2019-06-04 math.CO
An upper bound on the fractional chromatic number of triangle-free subcubic graphs
图$G$的$(a:b)$ -染色是一个函数$f$，它将$G$的顶点映射到某个大小为$a$的集合的$b$ -元素子集中，使得对于$G$中的每两个相邻顶点$u$和$v$，$f(u)$与$f(v)$不相交。分数色数$χ_f(G)$是$a/b$在所有正整数对$a,b$上的下确界，使得$G$具有$(a:b)$ -着色。Heckman和Thomas证明了最大度不超过3的无三角形图$G$的分数色数不超过2.8。Hatami和Zhu证明了$χ_f(G) \leq 3-3/64 \approx 2.953$ . Lu和Peng改进了与$χ_f(G) \leq 3-3/43 \approx 2.930$的结合。最近，弗格森，凯泽和克拉尔证明了$χ_f(G) \leq 32/11 \approx 2.909$。本文证明了$χ_f(G) \leq 43/15 \approx 2.867$ .
2014-05-16 math.CO
Proving a conjecture concerning chromatic number, size and least eigenvalue
School of Computer Science, South China Normal University（华南师范大学计算机学院）
该研究证明了Tang与Elphick提出的关于简单非空图色数、边数与最小特征值的不等式猜想，明确等号成立的图类条件，完善了图论中色数与谱参数关系的理论。
2026-08-05 math.CO
The fractional chromatic number of double cones over graphs
假设$n, m$是正整数，$G$是一个图。设$P_{n,m}$是由顶点为$\{-m, -(m-1), \ldots, 0, \ldots, n\}$的路径通过在顶点$ 0$处添加循环而得到的图。图$G$上的双锥$Δ_{n,m}(G)$是由直积$G \times P_{n,m}$通过将$V(G) \times \{n\}$标识为单顶点$(\star, n)$，将$V(G) \times \{-m\}$标识为单顶点$(\star, -m)$，并添加连接$(\star, -m)$和$(\star, n)$的边而获得的。本文确定了$Δ_{n,m}(G)$的分数色数。特别地，如果$n < m$或$n=m$是偶数，则是$χ_f(Δ_{n,m}(G)) = χ_f(Δ_n(G))$，其中$Δ_n(G)$是$n$除以$G$的第th个锥。如果$n=m$为奇数，则为$χ_f(Δ_{n,m}(G)) > χ_f(Δ_n(G))$。讨论了$Δ_{n,m}(G)$的色数.
2022-10-28 math.CO
Subcubic triangle-free graphs have fractional chromatic number at most 14/5
证明了每一个次立方无三角形图的分数色数至多为14/5，从而证实了Heckman和Thomas的一个猜想[无三角形立方图的独立比的一个新证明.离散数学233（2001），233- 237]。
2013-11-19 cs.DM math.CO
Eigenvalue bounds for the quantum chromatic number of graph powers
本文定义了图的量子k-距离色数，并证明三个经典的k-距离色数特征值界在量子情形下同样成立，由此确定了更多使量子参数与经典参数相等的图类。
2025-03-04 math.CO
A Combined Logarithmic Bound on the Chromatic Index of a Multigraph
对重图G，分数色指数的整数舍入phi（G）给出了色指数的一个好的一般下界。对于上界，Kahn证明了对任意实数c> 0，存在一个正整数N，使得当分数阶数> N时，色指数小于（1 + c）* phi（G）。通过证明对任意阶数n> 3且至少有一条边的多重图G，色指数小于phi（G）+log（min {（n +1）/3，phi（G）}），证明了色指数超过phi（G）的量实际上是对数的.
2010-12-23 math.CO
An eigenvalue bound for the fractional chromatic number
我们表明，霍夫曼的特征值之和的色数的上限至少是一样好的Lovász θ数，但没有比分数色数的天花板。为了做到这一点，我们显示了一个有趣的连接之间的总和特征值的限制和推广的Lovász θ数介绍的曼伯和Narasimhan在1988年。
2021-12-06 math.CO math.OC
Optimization of eigenvalue bounds for the independence and chromatic number of graph powers
图$G=(V,E)$的$k^{\text{th}}$幂，即$G^k$，是顶点集为$V$且两个不同顶点相邻的图当且仅当它们在$G$中的距离至多为$k$。本文证明了$G^k$的独立数和色数的各种特征值界，它们完全依赖于$G$的谱，并给出了优化它们的方法。我们对$k$ -独立数的界限也适用于其量子对应物，该量子对应物通常不知道是可计算参数，因此证明使用整数规划来优化它们是合理的。一些以前已知的界限在文献中遵循作为我们的主要结果的推论。同时给出了边界是尖锐的图的无限族。
2020-10-23 math.CO
Fractional DP-Colorings of Sparse Graphs
DP-着色（也称为对应着色）是最近由Dvoprák和Postle发展的列表着色的推广。本文引入并研究了分数DP-色数$χ_{DP}^\ast(G)$.我们刻画了所有连通图$G$，使得$χ_{DP}^\ast(G) \leqslant 2$：它们恰好是没有奇圈且至多有一个偶圈的图.根据Alon，Tuza和Voigt的定理，任何图$G$的分数列表色数$χ_\ell^\ast(G)$等于它的分数色数$χ^\ast(G)$.这个等式不扩展到分数DP着色。此外，我们表明，差异$χ^\ast_{DP}(G) - χ^\ast(G)$可以是任意大的，而且，$χ^\ast_{DP}(G) \geq d/(2 \ln d)$的每个图$G$的最大平均度$d \geq 4$。另一方面，我们表明，这一渐近下界是紧的一个大类的图，包括所有的二部图，以及许多图的高围长和高色数。
2019-06-02 math.CO
Chromatic index determined by fractional chromatic index
给定一个可能有多条边但没有环的图$G$，分别用$Δ$表示$G$的{\it最大度}，$μ$表示$G$的{\it重数}，$χ'$表示$G$的{\it色指数}，$χ_f'$表示$G$的{ \it分数色指数}。已知$Δ\le χ_f' \le χ' \le Δ+ μ$，其中上界是Vizing的经典结果。而$χ'$的精确值的确定是一个经典的NP完全问题，$χ_f'$的计算是在多项式时间内。事实上，它表明，如果$χ_f' > Δ$然后$χ_f'= \max \frac{|E(H)|}{\lfloor |V(H)|/2\rfloor}$，其中的最大值是在所有诱导子图$G$ $H$。Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977），and Seymour\，（1979）证明了$χ'=\lceilχ_f'\rceil$若$χ'\ge Δ+2$，这通常被称为Goldberg猜想。在本文中，我们表明，如果$χ' >Δ+\sqrt[3]{Δ/2}$然后$χ'=\lceilχ_f'\rceil$。以前最著名的结果是由Scheide和Chen，Yu和Zang独立地得到的具有$χ'> Δ+\sqrt{Δ/2}$的图。本文证明了Goldberg猜想等价于Jakobsen的猜想：{ \it对于任何正整数$m$和$m\ge 3$，每个图$G$和$χ'>\frac{m}{m…
2016-12-12 math.CO
Bounding the fractional chromatic number of $K_Δ$-free graphs
King，Lu和Peng最近证明了对于$Δ\geq 4$，任何具有最大度$Δ$的$K_Δ$ -free图的分数色数至多为$Δ-\tfrac{2}{67}$，除非它同构于$C_5\boxtimes K_2$或$C_8^2$ .使用不同的方法，我们给$Δ\geq 6$的改进的界限，并提出了几个相关的插图。我们的证明依赖于Reed的$ω$、$Δ$、$χ$猜想的分数松弛的加权局部推广。
2013-03-30 cs.DM math.CO
Coloring graphs by translates in the circle
分数和循环色数是图的色数的两个研究最多的非整数加细。从图的着色基的定义出发，这起源于与遍历论相关的工作，我们形式化了图的回转着色的概念：顶点由圆群中的单个博雷尔集的平移着色，并且相邻的顶点接收不相交的平移。图的回转色数总是介于分数色数和圈色数之间。研究了回转着色的基本性质。特别地，我们构造了图的回转色数严格介于分数色数和循环色数之间的例子。我们还建立了几个等价的定义的旋色数，包括一个版本，涉及所有有限的阿贝尔群。
2021-01-11 math.CO
Fractional total colourings of graphs of high girth
Reed证明了对于任意的图δ>0和δ，存在g使得最大度δ且围长至少为g的图的分数色数至多为δ +1+ δ。我们证明了对Delta=3和甚至Delta>=4的猜想在以下更强的形式：对于每个Delta值，存在g使得任何最大度Delta且围长至少为g的图的分数全色数色数等于Delta+1.
2010-09-29 math.CO
Coloring, list coloring, and fractional coloring in intersections of matroids
研究k个拟阵交集超图的着色参数差距，证明列表色数不超过色数的k倍及最大色数的2k-1倍，并借助拓扑工具建立多面体与分数色数、匹配及覆盖数的联系。
2025-04-23 math.AT math.CO
Fractional chromatic number vs. Hall ratio
本文研究分数色数与Hall比值的关系，证明了最大比值g(n)接近上界，即g(n)=(log n)^{1-o(1)}，并构造出Hall比值有界、分数色数任意大且每个子图含触及常数比例边的独立集的图。
2024-11-25 math.CO
Fractional coloring of triangle-free planar graphs
证明了$n$顶点上的平面无三角形图的分数色数至多为$3-\frac{1}{n+1/3}$。
2014-02-21 math.CO
Relations between the local chromatic number and its directed version
局部色数是一个着色参数，定义为在图的任意适当着色下，顶点的最彩色闭邻域中应该出现的颜色的最小数目。当我们只考虑有向图中的外邻域时，它的有向版本是相同的。对于所有弧都在两个方向上的有向图，这两个值显然相等。这里我们考虑定向图。我们证明了一个图的存在性，其中该图的所有有向版本的有向局部色数严格小于底层无向图的局部色数。我们表明，对于分数版本的类似问题有一个不同的答案：总是存在一个方向的定向和无向值一致。我们还确定了这些分数参数的可能比率的上确界，其结果是e，即自然对数的基础。
2013-05-31 math.CO
A Note on Fractional DP-Coloring of Graphs
本文研究分数DP染色，推广Alon等关于奇圈的结果，证明奇圈分数DP色数等于分数色数，并给出完全二部图及多部图的上界与下界。
2024-05-24 math.CO
Fractional Chromatic Numbers from Exact Decision Diagrams
本文证明精确决策图的线性流松弛可确定图的分数色数，并给出整数间隙上界，实验求解了DIMACS基准中r1000.1c的色数。
2024-11-05 cs.DM math.CO
On the quantum chromatic number of Hamming and generalized Hadamard graphs
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics（南京航空航天大学）；Tsinghua University（清华大学）；Shandong University（山东大学）
本文研究了Hamming和广义Hadamard图的量子色数，通过模一正交表示和迹方法确定了精确的色数，并证明了量子色数与经典色数的指数分离。
2026-03-11 math.CO
Chromatic number and regular subgraphs
本文否定了Erdős和Hajnal关于高色数图必含同顶点集上多条边不相交环的猜想，构造了分数色数较高但不含4-正则子图的图，并证明该界在Harris猜想下最优。
2024-10-03 math.CO
Distance Laplacian eigenvalues of graphs and chromatic and independence number
对于$n$阶的连通图$G$，令$Diag(Tr)$是顶点传递的对角矩阵，$D(G)$是$G$的距离矩阵。定义$G$的距离拉普拉斯矩阵为$D^L(G)=Diag(Tr)-D(G)$，$D^{L}(G)$的特征值称为$G$的距离拉普拉斯特征值。令$\partial_{1}^{L}(G)\geq \partial_{2}^{L}(G)\geq \dots \geq \partial_{n}^{L}(G)$是$G$的距离拉普拉斯特征值。给定一个区间$I$，令$m_{D^{L} (G)} I$（或简称为$m_{D^{L} } I$）是$G$的距离拉普拉斯特征值的个数，这些特征值位于区间$I$中。对于给定的区间$I$，我们用图$G$的独立数$α(G)$、色数$χ$、悬挂顶点数和直径$d$来确定$m_{D^{L} }I$.特别地，我们证明了$m_{D^{L}(G) }[n,n+2)\leq χ-1$，~ $m_{D^{L}(G) }[n,n+α(G))\leq n-α(G)$，并且证明了这些不等式是尖锐的.我们还表明，$m_{D^{L} (G )}\bigg( n,n+\left\lceil\frac{n}χ\right\rceil\bigg)\leq n- \left\lceil\frac{n}χ\right\rceil-C_{\overline{G}}+1 $，其中$C_{\overline…
2022-02-12 math.CO
On the chromatic number of a simplicial complex
在[Ho]中A.J.Hoffman证明了图的色数的一个下界，它是由图的邻接矩阵的最大和最小特征值表示的。本文证明了这一结果的一个高维形式，并利用高阶Laplacian算子的谱给出了纯$d$维单纯复形的色数的一个下界.
2015-11-17 math.CO
Cubical coloring -- fractional covering by cuts and semidefinite programming
我们引入了一个新的图不变量，衡量分数覆盖图的削减。除了它本身是有趣的之外，它对于同态和张力-连续映射的研究也是有用的。研究了它与图的色数、二部密度等图的参数之间的关系。我们发现我们的参数的值为一个家庭的图形的基础上超立方体。这些图对我们的参数所起的作用，就像圆团对圆色数所起的作用一样。定义的参数在这些图上达到“正确”值的事实表明，定义是自然的。在证明中，我们使用的特征值界的最大削减和最近的结果Engström，Färnqvist，琼森和Thapper。我们还提供了一种基于半定规划，特别是基于向量色数（由Karger，Motwani和Sudan定义[Approximate graph coloring by semifinite programming，J. ACM 45（1998），no.2，246- 265]）的多项式时间近似算法。
2015-11-23 math.CO
On some upper bounds on the fractional chromatic number of weighted graphs
给定一个加权图$G_\bx$，其中$(x(v): v \in V)$是分配给G的顶点的非负实值权重，令$B(G_\bx)$是加权图$G_\bx$的分数色数的上界;因此$χ_f(G_\bx) \le B(G_\bx)$。为了研究最坏情况下的性能的上限$B$，我们研究了图不变量$$β(G) = \sup_{\bx \ne 0} \frac{B(G_\bx)}{χ_f(G_\bx)}.$$ \noindent这个不变量检查各种上界$B$的分数色数。在一些重要的情况下，这个图的不变量被证明是有关的最大的明星在图中的子图的大小。这个问题出现在分布式系统和无线网络中的资源估计领域，这里提出的结果对分散式通信网络的设计和性能有影响。
2012-02-27 cs.IT math.CO math.IT
Spectral Radius, Vertex Deletion, and Chromatic Number of Signed Graphs
研究符号图删除顶点后谱半径的变化，证明Sun-Das定理对符号图成立，并给出基于所有特征值的色数下界。
2026-08-19 math.CO
Fractional balanced chromatic number of signed subcubic graphs
针对带符号次立方图的平衡着色问题，本文证明除$(K_4,-)$及其开关等价图外所有此类图存在平衡$(5,3)$着色，且给出该特殊图的最优着色形式。
2025-04-17 math.CO
A unit-distance graph in the plane with independence ratio below 1/4
通过精心选择的两顶点增广，将27顶点构造的几何分数色数从4提升到严格大于4，证明存在有限单位距离图其独立比严格小于1/4，从而否定Erdős问题并推出平面分数色数严格大于4。
2026-06-29 math.CO
Stability with minuscule structure for chromatic thresholds
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Shandong University（山东大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）；Ningbo University（宁波大学）
本文研究了色数阈值问题的稳定性，证明了接近阈值的极值图在结构上接近极值配置，并给出了当H为完全图时的更强稳定性结果，同时探讨了色数阈值的两个变种。
2026-02-23 math.CO
On fractional version of oriented coloring
介绍了分数阶定向着色的概念，并对其进行了初步的研究。证明了一些基本结果，并研究了有向圈和稀疏可平面图的参数。特别地，我们证明了对每个$ε> 0$，存在一个整数$g_ε \geq 12$使得任何围长至少为$g_ε$的定向可平面图的分数定向色数至多为$4+ε$ .然而，已知存在围长至少为$g_ε$且定向色数等于$5$的定向可平面图。研究了有向圈的分数定向色数，并给出了它的精确值。有趣的是，这个结果依赖于有向圈长度的素除子。
2021-07-28 cs.DM math.CO
An inertial lower bound for the chromatic number of a graph
用$χ(G$）和$χ_f(G)$表示图$G$的色数和分数色数，用$(n^+ , n^0 , n^-)$表示图$G$的惯量.我们证明：\[ 1 + \max\left(\frac{n^+}{n^-} , \frac{n^-}{n^+}\right) \le χ(G) \mbox{ and conjecture that } 1 + \max\left(\frac{n^+}{n^-} , \frac{n^-}{n^+}\right) \le χ_f(G) \]我们调查这些界限的极值图，并证明了这个惯性界是不是一个向量色数的下界。最后，我们讨论了$n^+$和$n^-$之间的不对称性，包括惯性的Nordhaus-Gaddum界。
2017-03-07 math.CO
New bounds for the max-$k$-cut and chromatic number of a graph
我们考虑几个半定规划松弛的最大- $k$ -割问题，随着复杂性的增加。最弱的半定规划松弛的最优解有一个封闭形式的表达，其中包括最大的拉普拉斯特征值的图中考虑。这是当$k>2$适用于任何图时，最大$k$割的第一个已知的特征值界.利用这一界导出了图的色数的一个新的特征值界。对于正则图，新的色数界与著名的Hoffman界相同，但是，这两个界在一般情况下是不可比的。我们证明了几类图的max- $k$ -割的特征值界是紧的。我们研究了特定类别的图，如步行-正则图，强正则图，和从汉明关联计划的图形的界限。
2015-07-02 math.CO math.OC
At the end of the spectrum: Chromatic bounds for the largest eigenvalue of the normalized Laplacian
本文研究归一化拉普拉斯矩阵最大特征值与着色数之间的色数界，刻画了达到下界 χ/(χ-1) 的图及其重数，并给出相关上界。
2024-07-04 math.CO math.SP
Chromatic index, treewidth and maximum degree
我们猜想，树宽为~ $k$且最大度为$Δ(G)\geq k + \sqrt{k}$的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$ .在支持的猜想，我们证明其分数版本。我们还证明了树宽为$k\geq 4$且度为最大的图$G$满足$χ'(G)=Δ(G)$，改进了Vizing的一个旧结果.
2018-04-24 math.CO
Eigenvalue bounds for the distance-$t$ chromatic number of a graph and their application to Lee codes
本文推导了图$t$-距离色数的特征值界，将其应用于超立方体图和Lee图以改进现有结果，并首次利用谱方法完整刻画了最小距离为$3$的完美Lee码的存在性。
2024-04-23 cs.IT math.CO math.IT
Counterexamples to a conjecture of Harris on Hall ratio
图$G$的霍尔比是在$G$的所有非空子图$H$上取的$v(H) / α(H)$的最大值。对于任何图，霍尔比是其分数色数的下界。本文给出了分数色数增长比Hall比快得多的图的各种构造。这反驳了哈里斯的一个猜想。
2020-04-24 math.CO
The fractional chromatic number of the plane is at least 4
本文证明了欧几里得平面的分数色数至少为4，通过引入几何分数色数并构造27顶点的单位距离图实现，同时证明了有限分数色数与霍尔比相等，并猜想独立比1/4不可达。
2025-03-27 math.CO math.MG
Graph Powers and Graph Homomorphisms
本文研究了分数幂的一些基本性质。在这方面，我们表明，对于任何有理数$1\leq {2r+1\over 2s+1}< og(G)$，$G^{2r+1\over 2s+1}\longrightarrow H$当且仅当$G\longrightarrow H^{-{2s+1\over 2r+1}}.$此外，对于两个有理数${2r+1\over 2s+1} < {2p+1\over 2q+1}$和一个非二部图$G$，我们表明，$G^{2r+1\over 2s+1} < G^{2p+1\over 2q+1}$。在第二章中，我们引入了图的循环色数的分数幂的等价定义。给出了色数与圆色数相等的一个充分条件。
2008-09-02 math.CO
Fractional matchings, component-factors and edge-chromatic critical graphs
第一部分研究图的星圈因子。刻画了图$G$的星圈因子，证明了图$G$的$\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$ -因子中$K_{1,2}$ -分支的最小个数的上界.此外，它显示了这些组件位于相对于$G$的Gallai-Edmonds分解，它的特点是不包含在任何$\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$因子的$G$的边缘。第二部分证明了边色临界图$G$都有一个$\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$ -因子，并且$K_{1,2}$ -分支的个数是关于它的分数匹配数有界的.进一步证明了对于$G$的每条边$e$，都存在一个具有$e \in E(F)$的$\{K_{1,1}, K_{1,2}, C_n\colon n\ge 3\}$ -因子$F$.这些结果的后果Vizing的临界图结构进行了讨论。
2021-01-11 cs.DM math.CO
Unified spectral bounds on the chromatic number
谱图论中最著名的结果之一是Alan Hoffman给出的色数的下界，其中mu_1和mu_n分别是邻接矩阵的最大和最小特征值：chi >= 1 + mu_1 /（- mu_n）。我们最近推广了这个界限，包括所有的特征值的邻接矩阵。本文将这些结果进一步推广到邻接矩阵、Laplacian矩阵和无号Laplacian矩阵的特征值。各种已知的界限也统一考虑规范化的邻接矩阵，并引用的例子，新的界限优于已知的界限。
2014-10-29 cs.DM math.CO quant-ph
