$k$-intersection edge-coloring subcubic planar multigraphs
给定一个简单图的边染色，给每个顶点$v$分配一个集合$S_v$，该集合由与$v$关联的边上使用的颜色组成。图的$k$交色指数是使边集能被适当$t$着色的最小$t$，另外还要求对每两个邻顶点$u$和$v$，有$|S_u \cap S_v| \le k$ .对于所有的$k \neq 2$，该值对于次三次可平面图是已知的，而且，这些值是最佳可能的。我们很自然地将这个定义推广到边重数有界的多重图，并且证明了边重数至多为2的次立方平面多重图的2-交色数至多为5，这是一个尖锐的结果。
2015-06-10 math.CO
Structural properties of edge-chromatic critical multigraphs
Gupta\，（1967），Goldberg\，（1973），Andersen\，（1977）和Seymour\，（1979）以不同的形式证明了如果$G$是一个边- $k$ -临界图，且有$k \ge Δ+1$，则$|V(G)|$是奇数，并且对于每个边$e$，$E(G-e)$是不相交的近完美匹配的并，其中$Δ$表示$G$的最大度. Tashkinov树方法表明临界图包含一个子图，该子图具有两个重要性质：闭性和初等性。最近，已经在努力扩展图超越Tashkinov树。然而，这些结果只能保持两个基本性质之一。在本文中，我们开发的技术，以扩大Tashkinov树更大的子图的两个属性。应用我们的结果，我们改进了几乎所有已知的关于Goldberg猜想的结果。特别地，我们证明了Goldberg猜想对图$G$与$|V(G)| \le 39$和$|Δ(G)| \le 39$成立，Jacobsen的等价猜想对$m \le 39$成立，而先前已知的界是$23$ .
2018-09-19 math.CO
A note on Goldberg's conjecture on total chromatic numbers
设$G=(V(G), E(G))$是一个具有最大度$Δ(G)$、色指数$χ'(G)$和全色数$χ''(G)$的多重图. Behzad和Vizing分别提出了全着色猜想，证明了对于重图$G$，有$χ''(G)\leq Δ(G)+μ(G) +1$，其中$μ(G)$是$G$的重数.此外，Goldberg证明了$χ''(G)=χ'(G)$是$χ'(G)\geq Δ(G)+3$的充要条件，并注意到当$G$是边色临界图时该猜想成立.通过Goldberg-Seymour猜想，本文证明了$χ''(G)=χ'(G)$若为$χ'(G)\geq \max\{ Δ(G)+2, |V(G)|+1\}$.因此，$χ''(G) = χ'(G)$若$χ'(G) \ge Δ(G) +2$和$G$有一个生成边色临界子图.
2021-09-15 math.CO
A conditional greedy algorithm for edge-coloring
提出了一种新的重图边染色算法。对于具有$χ' > Δ+1$（$χ'$是色边数，$Δ$是最大顶点度）的重图，该算法的正确性将证明重图边染色中一个长期存在的猜想。
2017-06-14 math.CO
A sharp upper bound for the harmonious total chromatic number of graphs and multigraphs
本文研究图与多重图的和谐全色数，通过精确确定完全图及完全多重图的对应色数，给出依赖阶数和最大重数的严格上界。
2024-01-17 math.CO
The rich-neighbor chromatic index is linear in the maximum degree
Keio University（庆应义塾大学）；Ss. Cyril and Methodius University（西里尔和梅托迪乌斯大学）；University of Split（斯普利特大学）；University of Novo Mesto（新梅斯托大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）；Rudolfovo – Science and Technology Centre（鲁道福夫科学与技术中心）
本文首次研究最大度更大的多重图的富邻边色指数，给出线性上界χ'_rn(G)≤6D-8，证明其为Θ(D)，还刻画了适用5D-8上界的多重图，最后提出紧上界猜想。
2026-10-14 math.CO
Strong chromatic index and Hadwiger number
研究了多重图和单图中固定的禁止团子图对强色指数的影响。对每一个$k\ge 4$，我们猜想任何最大度$Δ$的$K_k$ -minor free重图的强色指数至多为$\frac32(k-2)Δ$ .我们提出了一个结构证明，如果真的猜想是渐近尖锐的$Δ\to\infty$。为了支持这一猜想，我们在$k=4$的情形下证明了这一猜想，并证明了用强团数代替强色指数的说法。与此相反，我们做了一个基本的观察，对于$K_k$ -minor-free单图，强边着色问题是“之间”Hadwiger猜想和它的分数松弛。对于$k\geq5$，我们还证明了边直径至多为$2$的$K_k$ -minor free重图的强团数至多为$(k-\frac{1}{2})Δ$ .
2021-08-19 cs.DM math.CO
On Edge Coloring of Multigraphs
University of Massachusetts Lowell（马萨诸塞大学洛厄尔分校）
提出一个多项式时间算法，用 max{Δ(G)+1, Γ(G)} 种颜色对任意多重图进行边着色，从而算法上确认了 Gupta-Goldberg-Andersen-Seymour 猜想。
2026-09-13 math.CO
A logarithmic bound for the chromatic number of the associahedron
本文研究结合多面体色数增长问题，证明其色数关于维数具有对数上界，改进旧结果并证实2009年猜想。
2025-02-20 math.CO
Precoloring extension of Vizing's Theorem for multigraphs
设$G$是一个具有最大度$Δ(G)$和最大重数$μ(G)$的图. Vizing和Gupta在20世纪60年代分别证明了$G$的色指数至多为$Δ(G)+μ(G)$。$G$中的两条边$e$和$f$之间的距离是连接$e$的端顶点和$f$的端顶点的最短路径的长度。距离- $t$匹配是成对距离至少为$t$的一组边。Edwards等人提出了如下猜想：对于任何图$G$，使用调色板$\{1, \dots, Δ(G)+μ(G)\}$，距离- $2$匹配上的任何预着色都可以扩展为$G$的适当边着色。Girão和Kang用距离- $9$匹配验证了这个猜想。在本文中，我们改进了重图$G$与$μ(G) \ge 2$的从$9$到$3$的所需距离。
2022-04-03 math.CO
A survey on star edge-coloring of graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ'_{st}(G)$，是为了使$G$的边不存在长度为4的路或圈是双色的，对$G$的边进行适当着色所需的最小颜色数。 本文对图的星色指数的结果做了一个总结, 给出了一些有趣的证明和技巧, 并收集了一些公开问题和猜想.
2020-09-17 math.CO
A double-logarithmic upper bound on the chromatic number of the associahedron
本文证明了结合多面体的色数上界从 O(log n) 改进到 O(log log n)，主要贡献是给出了更紧的色数上界。
2026-10-01 math.CO
On the Spectra of Chromatic Number and Chromatic Index of Cyclic Covers
Georgia State University（佐治亚州立大学）；West Virginia University（西弗吉尼亚大学）
该研究分析无环多重图的ℓ重循环覆盖的色数与色指数谱，明确了不同奇偶性ℓ对应的谱范围及判定条件，为图的着色性质提供了新结论。
2026-08-05 math.CO
Circular chromatic index of small graphs
Comenius University（布拉迪斯拉发大学）
本研究系统确定了最大度数为4、5、6的小图和多重图的环色数，并推翻了关于环色数接近Δ+1的猜想。
2026-03-09 cs.DM math.CO
A diamond-free claw-free cubic graph with strong chromatic index 7
研究无钻石无爪立方图的强边着色问题，通过展示一个18个顶点的立方图\(H\)，其\(\chi'_s(H)=7\)，证明在简单立方图中相关猜想不成立，还表明两个关于强边着色的表述不等价，特定版本问题仍未解决。
2026-07-28 math.CO
The edge chromatic transformation index of graphs
研究图的边着色变换指数，证明特定结构图的变换指数上限及对顶点着色的类似问题
2025-12-01 math.CO
Tree-like distance colouring for planar graphs of sufficient girth
给定一个重图$G$和一个正整数$t$，$G$的距离- $t$色指数是边着色所需的最少颜色数，使得每对由少于$t$边的路径连接的不同边必须接收不同的颜色。设$π'_t(d)$和$τ'_t(d)$分别是最大度为$d$的平面多重图类和（简单）树类上该参数的最大值。我们得到$π'_t(d)$至多且至少是大于$τ'_t(d)$的非平凡常数倍。(We特别是推测$\limsup_{d\to\infty}π'_2(d)/τ'_2(d) =9/4$。）证明了对于奇数$t$，存在一个仅依赖于$t$的量$g$，使得当$d$足够大时，任意最大度$d$且围长至少为$g$的平面重图的距离- $t$色指数至多为$τ'_t(d)$.甚至对于$t$也不存在这样的量。我们还显示了一个相关的，类似的现象距离顶点着色。
2019-02-06 cs.DM math.CO
On the number of edges of separated multigraphs
证明了具有$n$顶点的多重图$G$的边数至多为$O(n^2\log n)$，条件是任意两条边至多相交一次，平行边不相交，且$G$中每对平行边所包围的透镜至少包含一个顶点.因此，我们证明了Ajtai，Chvátal，Newborn，Szemerédi和Leighton的交叉引理的如下推广：如果$G$有$e \geq 4n$边，在具有上述性质的$G$的任何图中，交叉数为$Ω\left(\frac{e^3}{n^2\log(e/n)}\right)$ .这回答了Kaufmann等人的一个问题，并且与对数因子紧密相关。
2022-02-22 cs.CG math.CO
On the chromatic numbers of Johnson type graphs
本文研究Johnson型图的色数增长阶，确定了 $J_\pm(n,2,-1)$ 和 $J_\pm(n,3,-1)$ 为对数阶增长，$J_\pm(n,3,-2)$ 为双重对数阶增长。
2025-08-27 math.CO
Explicit and logarithmically improved chromatic bounds for $(P_2\cup P_3)$-free graphs
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
研究无（\(P_2\cup P_3\)）图的色数界，通过证明\(\chi(G)\leq \binom{k + 2}{3} - \binom{k - 1}{2}\)给出改进方法，相比之前结果节省颜色并消除二次项，是对该图类界的首次改进。
2026-10-30 math.CO
The chromatic number of the associahedron: simple and logarithmic
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Université libre de Bruxelles（布鲁塞尔自由大学）；Technische Universität Dresden（德累斯顿工业大学）
本文针对associahedron的色数问题，给出了比前人更简单的证明，得到n-1维associahedron色数的上界为6 log₂n + 18，后续该界被改进为O(log log n)，其方法或可助力进一步研究。
2026-10-09 cs.DS math.CO
Star edge-coloring of some special graphs
多重图$G$的星色指数，记为$χ_{\mathrm{star}}'(G)$，是正确着色$G$的边所需的最小颜色数，使得没有长度为$4$的路或圈是双色的。本文研究了Halin图、$k$ -幂图和广义Petersen图$P(3n, n)$的星边染色。
2020-10-27 cs.DM math.CO
Homomorphism bounds and edge-colourings of $K_4$-minor-free graphs
本文给出了奇围长$2k+1$的图是（至少）$2k+1$的$K_4$ -minor-free图类的一个充要条件，即允许任何这样的$K_4$ -minor-free图的一个同态.这产生了一个多项式时间算法来识别这样的边界。利用这个条件，我们首先证明了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图都与维数为$2k$的射影超立方体有一个同态.这支持了第三作者的一个猜想，该猜想推广了四色定理，并与Seymour关于平面图边着色的猜想等几个杰出的猜想有关。进一步证明了Kneser图$K(2k+1,k)$满足这些条件，从而暗示了奇围长$2k+1$的每个$K_4$ -子自由图恰好有分数色数$2+\frac{1}{k}$ .已知奇数围长$2k+1$的最小界必须至少有${k+2 \choose 2}$顶点，我们建立了阶$4k^2$的近似最优界。此外，我们还猜想奇围长$2k+1$的$K_4$ -minor-free图的分数色数和圆色数的上确界是由奇围长$2k+1$的一个上界得到的.如果是真的，这改善了，在同态顺序，较早的紧结果的循环色数的$K_4$ -小免费的图形。我们通过证明前几种情况来支持我们的猜想。最后，作为我们工作的应用，在注意到Seymour提供了一个计算$K_4$ -minor-free重图的边色数的公式之后，我们证明了在$K_4$ -minor-free正则重图的情况下可以得到更强的结果。
2018-01-30 cs.DS math.CO
Vizing-Goldberg type bounds for the equitable chromatic number of block graphs
图$G$的均匀染色是图$G$的适当顶点染色，使得任意两个色类的大小相差至多1。在本文中，我们提出了一个猜想，提供了一个间隙一界的最小数量的颜色需要公平的颜色每个块图。换句话说，我们的猜想的上界和下界之间的差至多为1。因此，在某种意义上，这种情况类似于色指数，我们有经典的Vizing定理和Goldberg猜想。文中的结果支持了我们的猜想。更准确地说，我们验证了它在类的覆盖良好的块图，这是块图中的每个顶点属于一个最大独立集。我们还表明，猜想是真实的块图，其中包含一个顶点，不在于一个独立集的大小大于2。最后，我们验证了一些类图块图的猜想。为了得到我们的结果，我们得到了这些类的块图的结构特征。
2020-04-29 cs.DM math.CO
An Improved Upper Bound for the Strong Odd Chromatic Number of Planar Graphs
Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
本文将平面图强奇数色数的上界从388改进至368，还构造了强奇数色数为20的平面图，回应了相关研究问题。
2026-08-05 cs.DM math.CO
Two Erdos problems on lacunary sequences: Chromatic number and Diophantine approximation
令${n_k}$为递增缺项序列，即，$n_{k+1}/n_k>1+r$换一些$r>0$。1987年，P.Erdos提出了整数图$G$的色数，其中两个整数$a,b$通过边相连当且仅当它们的差$|a-b|$在序列${n_k}$中. Y. Katznelson发现了一个连接到一个丢番图逼近问题（也是由于鄂尔多斯）：存在$x$在$(0,1)$，使所有的倍数$n_j x$至少距离$δ(x)>0$从一组整数。Katznelson用$Cr^{-2}|\log r|$限制了$G$的色数.我们应用Lovász局部引理对某些$x$建立了$δ(x)>cr|\log r|^{-1}$，这意味着$G$的色数至多为$Cr^{-1} |\log r|$ .这是尖锐的对数因子。
2007-06-01 math.CO math.NT
Conflict-Free Coloring of String Graphs
图$G = (V,E)$的无着色（CF-着色）是指图$V$的一种着色，使得每个顶点的邻域都包含一个顶点，该顶点的颜色与该邻域中任何其他顶点的颜色不同。本文研究了一般图和几何形状的交图的CF-色数的界。在本文中，我们得到了几类字符串图，即，（1）给出了任意顶点为$n$的弦图$G$的CF-色数的$O(χ(G)^2 \log n)$关于经典色数$χ(G)$的一般上界。这一结果与一般图的CF-色数可以是$Ω(\sqrt{n})$已经为二部图相反。(ii)对于某些中心类的弦图，CF-色数与$Θ(\sqrt{n})$一样大，这是任何图的上界，即使在非几何的背景下。对于几个这样的类（例如，图的交叉图），我们证明了一个紧界的$Θ(\log n)$关于$k$-CF-着色的概念（其中每个顶点的打孔邻域包含的颜色，出现在最多$k$时间），对于一个小的常数$k$。(iii)本文得到了任意超图的$k$-CF-色数的一个一般上界：任何具有$m$超边的超图都可以被$\tilde{O}(m^{\frac{1}{k+1}})$着色.这个界扩展了Pach和Tardos（2009）的界，对于某些弦图是紧的，直到对数因子。(iv)我们的第四个结果涉及圆图中的着色问题的动机VLSI设计。证明了$Θ(\log n)$关于圈图CF-色数的一个紧界，以及$O(\log^{3} n)$对于包含圈图的更广泛的一类，即接地L-形的交图…
2019-01-18 math.CO
Bipartite induced density in triangle-free graphs
证明了$n$顶点上任意最小度至少为$d$的无三角形图都含有最小度至少为$d^2/(2n)$的二部诱导子图.在$n$中，该值急剧上升至对数因子。相关地，我们证明了任何这样的无三角形图的分数色数至多是$n/d$和$(2+o(1))\sqrt{n/\log n}$的最小值为$n\to\infty$ .这是急剧上升到常数的因素。类似地，我们证明了任何这样的无三角形图的列表色数至多为$O(\min\{\sqrt{n},(n\log n)/d\})$ as $n\to\infty$。与此相关，我们也做了两个假设。第一，任何$n$顶点上的无三角形图的分数色数至多为$(\sqrt{2}+o(1))\sqrt{n/\log n}$和$n\to\infty$。第二，任何$n$顶点上的无三角形图的列表色数至多为$O(\sqrt{n/\log n})$为$n\to\infty$。
2020-04-12 cs.DM math.CO
How does the chromatic number of a random graph vary?
本文研究 Erdős–Rényi 随机图 $G_{n,1/2}$ 色数的波动宽度，给出接近 $\sqrt n$ 的无条件下界及条件下更强下界，并提出匹配常数因子和高斯极限的猜想。
2023-08-17 math.CO
Ramsey numbers of cycles versus general graphs
Ramsey数$R(F,H)$是最小数$N$，使得任何$N$ -顶点图要么包含$F$的副本，要么它的补图包含$H$。伯尔在1981年证明了一个令人愉快的一般结果，任何图$H$，提供$n$是足够大的，一个自然的下界建设给出了正确的拉姆齐数涉及周期：$R(C_n,H)=(n-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，其中$σ(H)$是最小可能的大小的颜色类中的一个$χ(H)$ -着色的$H$。艾伦、布莱特韦尔和斯科坎认为，当$n\geq |H|χ(H)$。我们改进了这个40年前的伯尔的结果，给出了$n\geq C|H|\log^4χ(H)$形式的定量界，这是最佳的对数因子。特别地，这证明了Allen-Brightwell-Skokan猜想对于所有具有大色数的图$H$的加强。
2022-11-08 math.CO
