Sign-changing bubble-tower solutions to fractional semilinear elliptic problems
研究了一类分数阶半线性椭圆型方程\[ \begin{cases} (-Δ)^s u = |u|^{2^*_s-2-\varepsilon}u &\text{in } B_R, \\ u = 0 &\text{in }\mathbb{R}^n \setminus B_R, \end{cases} \]的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，其中$s \in (0,1)$，$(-Δ)^s$是s-Laplacian，$B_R$是$\mathbb{R}^n$的球，$2^*_s := \frac{2n}{n-2s}$是临界Sobolev指数，$\varepsilon>0$是小参数.我们证明了这样的解决方案有一个“气泡塔”的极限轮廓，作为$ \varepsilon \to 0^+$，即积极和消极的部分集中在同一点不同的浓度速度。此外，我们提供了这些解决方案的节点集的信息。
2019-04-04 math.AP
Morse index and sign changing bubble towers for Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{ \begin{array}{lr} -Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }Ω\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial Ω\end{array} \right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$p>1$和$Ω$是$\mathbb R^2$的光滑有界对称区域.我们表明，对于家庭$(u_p)$的符号变化对称解决方案的\eqref{problemAbstract}的莫尔斯指数的上限意味着浓度的积极和消极的一部分，$u_p^\pm$，在同一点上，作为$p\to+\infty$。然后对$u_p^+$和$u_p^-$的渐近分析表明，$(u_p)$的渐近轮廓，如$p\to+\infty$，是两个不同的气泡的塔。
2014-06-16 math.AP
Nodal bubble tower solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-\varepsilon}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略亚临界椭圆型问题在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N (N\ge7)$中解的爆破行为，其中$0\inΩ$为$μ,\varepsilon\to 0^+$ .在\cite{BarGuo-ANS}中，我们得到了节点解的存在性，这些解在原点正爆破，在不同的点负爆破，如$μ=O(ε^α)$与$α>\frac{N-4}{N-2}$，$\varepsilon\to 0^+$。本文证明了节点鼓泡塔解的存在性，即不同符号的气泡的叠加，所有气泡都在原点爆破，但爆破顺序不同，如$μ=O(\varepsilon)$、$\varepsilon\to0^+$。
2023-01-12 math.AP
Bubble towers for supercritical semilinear elliptic equations
在有界光滑区域$Ω\subset \R^N$ $(N\geq 4)$中，当指数$p$超临界且足够接近$\frac{N+2}{N-2}$且参数$λ\in\R$足够小时，构造了半线性椭圆型问题$Δu+ λu + u^p = 0$的正解.作为$p\to \frac{N+2}{N-2}$，该解在定义涉及格林函数的函数的临界点处有多重爆破。当$Ω$为球且解为径向对称时，我们的结果推广了Del Pino，Dolbeault和Musso \cite{DDM}的结果.
2004-09-09 math.AP
Sign-changing bubble tower solutions for a Paneitz-type problem
本文考虑如下双调和问题\begin{equation}\label{ineq} \begin{cases} Δ^2 u=|u|^{\frac{8}{N-4}}u &\text{ in } \ Ω\backslash \overline{B(ξ_0,\varepsilon)}, u=Δu=0 &\text{ on } \ \partial (Ω\backslash \overline{B(ξ_0,\varepsilon)}), \end{cases} \end{equation}其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 5$中的开有界区域，$B(ξ_0,\varepsilon)$是以$ξ_0$为中心的球，半径为$\varepsilon$，$\varepsilon$是一个小的正参数.我们得到了问题（\ref{ineq}）解的存在性，这是一个任意大数目的符号变化的解决方案，其轮廓是一个叠加的气泡交替符号集中在中心的孔。
2022-02-12 math.AP
Construction of infinite time bubble tower solutions for energy critical equivariant Schrödinger maps
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过反向构造、调制分析及高阶能量估计，结合达布坐标与修正项，证明了能量临界等变薛定谔映射存在无穷时间气泡塔解。
2026-10-06 math.AP
Sign-changing bubble tower solutions for sinh-Poisson type equations on pierced domains
该研究针对流体湍流中带Dirichlet边界条件的非对称sinh-Poisson型问题，证明了二维穿孔区域上变号气泡塔解的存在性，给出了解的渐近结构与参数依赖关系。
2023-05-08 math.AP
Towers of bubbles for Yamabe-type equations and for the Brézis-Nirenberg problem in dimensions $n \ge 7$
设$(M,g)$是一个闭的局部共形平坦的$n \ge 7$维正Yamabe型黎曼流形.如果$ξ_0$表示质量函数的非退化临界点，我们证明了存在，对于任何$ k \ge 1$和$\varepsilon >0$，一个正的爆破解决方案$u_{\varepsilon}$的$$\triangle_g u_{\varepsilon} +\big( c_n S_g +\varepsilon h\big) u_{\varepsilon} = u_{\varepsilon}^{2^*-1},$$，爆炸像叠加的$k$正气泡集中在$ξ_0$在不同的速度。证明的方法结合了有限维减少与尖锐的逐点分析的线性问题的解决方案。作为这种证明方法的另一个应用，我们构造了光滑有界开集$Ω\subset \mathbb{R}^n$上的Brézis-Nirenberg问题$$ \triangle_ξ u_{\varepsilon} - \varepsilon u_{\varepsilon} = |u_{\varepsilon}|^{\frac{4}{n-2}} u_{\varepsilon} \textrm{ in } Ω, \quad u_{\varepsilon} = 0 \textrm{ on } \partial Ω$$的变号爆破解$u_{\varepsilon}$，$n \ge 7$，它看起来像交替符号的$k$正…
2020-09-03 math.AP
On the sharp multi-bubble stability for fractional Hardy-Sobolev equations -- A quantitative approach in low dimensions
本文在低维情形下研究了分数 Hardy-Sobolev 方程的多气泡稳定性，通过定量方法证明了能量接近气泡叠加的函数的刚性，并构造反例证明线性速率最优。
2025-12-20 math.AP
Existence and stability of infinite time bubble towers in the energy critical heat equation
我们考虑$\mathbb R^n$中的能量临界热方程$n\ge 7$ $$\left\{ \begin{aligned} u_t & = Δu+ |u|^{\frac 4{n-2}}u \hbox{ in }\ \mathbb R^n \times (0, \infty), \\ u(\cdot,0) & = u_0 \ \hbox{ in }\ \mathbb R^n, \end{aligned}\right. $$，它对应于Sobolev临界能量$$ J(u) = \int_{\mathbb R^n} e[u] , \quad e[u] := \frac 12 |\nabla u|^2 - \frac {n-2}{2n} |u|^{\frac {2n}{n-2} }. $$的$L^2$梯度流。给定任何$k\ge 2$，我们找到一个初始条件$u_0$，它导致{ \em在一个点多重爆破}（气泡塔）的符号变化的解决方案为$t\to +\infty$。它具有奇异标度{ \em Aubin-Talenti孤子}的交替符号的叠加形式，$$ u(x,t) = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} {μ_j^{-\frac {n-2}2}} U \left( \frac {x}{μ_j} \right)\, +\, o(1) \quad\hbox{as } t\to +\infty …
2019-05-31 math.AP
A fountain of positive Bubbles on a Coron's Problem for a Competitive Weakly Coupled Gradient System
我们考虑下列临界椭圆方程组：\begin{equation*} \begin{cases} -Δu_i=μ_i u_i^{3}+βu_i^{ } \sum\limits_{j\neq i} u_j^{2} \quad \hbox{in}\ Ω_\varepsilon \\ u_i=0 \hbox{ on } \partialΩ_\varepsilon , \qquad u_i>0 \hbox{ in } Ω_\varepsilon \end{cases}\qquad i=1,\ldots, m, \end{equation*}在具有小收缩孔$B_\varepsilon(ξ_0)$的区域$Ω_\varepsilon \subset \mathbb{R}^4$中.对于$μ_i>0$，$β<0$和$\varepsilon>0$小，我们证明了存在一个非同步的解决方案，看起来像一个喷泉的积极泡沫，即每个组件$u_i$表现出高耸的爆破周围$ξ_0$为$\varepsilon \to 0$。证明是基于Ljapunov-Schmidt还原法，并且以这样的方式选择给定塔内的每一层的浓度速度，即不同组分的气泡之间的相互作用平衡每个组分的第一气泡与域的边界的相互作用，并且另外当与相同组分的两个连续气泡的相互作用相比时是主导的。
2018-12-11 math.AP
Two-bubble nodal solutions for slightly subcritical Fractional Laplacian
本文考虑了具有分数阶Laplacian算子\begin{equation*} \left\{\aligned &(-Δ)^su=|u|^{p-1-\varepsilon}u\ \ \mbox{in}\ Ω&u=0\ \mbox{on}\ \partialΩ, \endaligned \right. \end{equation*}的次临界问题带两个泡的节点解的存在性，其中$Ω$是$\mathbb R^N$，$N>2s$，$0<s<1$，$ p=\frac{N+2s}{N-2s}$中的光滑有界区域，而$\varepsilon>0$是小参数，这可以看作是Bartsch，Micheletti和Pistoia（2006）\cite{Bartsch1}结果的非局部模拟.
2016-02-19 math.AP
Non-degeneracy of the bubble in a fractional and singular 1D Liouville equation
Sapienza Università di Roma（罗马第一大学）；Università degli Studi di Bari Aldo Moro（巴里阿尔多·莫罗大学）
本文研究了分数和奇异性1D Liouville方程在实数轴上的非退化性，通过共形变换将线性化方程转化为有界域上的Steklov特征值问题，并证明了相应特征值的简单性。
2026-03-20 math.AP
Non degeneracy of the bubble in the critical case for non local equations
证明了分数阶Sobolev不等式的极值作为一个含分数阶Laplacian算子的临界半线性非局部方程的解的非退化性。
2013-02-01 math.AP
Linear non-degeneracy and uniqueness of the bubble solution for the critical fractional Hénon equation in $\mathbb{R}^N$
研究了方程\begin{equation*}\label{P0} (-Δ)^s u = |x|^α u^{\frac{N+2s+2α}{N-2s}}\mbox{ in }\mathbb{R}^N,\tag{P} \end{equation*}，其中$(-Δ)^s$是具有$0 < s < 1$，$α>-2s$和$N>2s$的分数阶拉普拉斯算子.证明了方程（\ref{P0}）的径向对称正解的线性非退化性，并由此得到了Morse指数为1的解的唯一性结果.特别地，基态解是唯一的。我们的非退化结果在径向上推广了Dávila，Del Pino和Sire（见\cite [定理1.1]{Davila-DelPino-Sire}），Gladiali，Grossi和Neves（见\cite [定理1.3]{Gladiali-Grossi-Neves}）的一些已知定理.
2020-09-20 math.AP
Asymptotic behavior of Palais-Smale sequences associated with fractional Yamabe type equations
本文研究了渐近双曲黎曼流形上分数阶Yamabe型方程的Palais-Smale序列的渐近性态.证明了Palais-Smale序列可分解为极限方程的解加上有限个泡，这是分数阶Yamabe方程在欧几里得空间上的基本解的重标度.我们还验证了多气泡的非干扰事实。
2015-03-13 math.AP
Multi-bubble nodal solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N$中具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-ε}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略次临界椭圆问题，其中$N\ge7$为$0\inΩ$.利用$α>\frac{N-4}{N-2}$证明了多泡节点解的存在性，即$ε\to0$和$μ=ε^α$在原点正爆破，在不同点负爆破.在$Ω$是以原点为中心的球的情况下，我们可以得到具有不同符号的多达$5$泡的解。我们还得到了节点气泡塔的解决方案，即叠加的气泡不同的标志，都在原点，但不同的爆破顺序爆破。详细地确定了解的渐近形状。
2015-08-17 math.AP
A new type of bubble solutions for a critical fractional Schrödinger equation
针对一类临界分数阶Schrödinger方程，利用有限维约化方法与局部Pohozaev恒等式，证明当势函数相关项存在稳定临界点时，方程存在在圆柱上下部点集中的新型无穷多气泡解，克服了分数阶Laplacian非局部性带来的困难。
2024-10-10 math.AP
Large number of bubble solutions for a perturbed fractional Laplacian equation
研究了一类非线性扰动分数阶Laplacian方程$$(-Δ)^s u = K(|y'|,y'')u^{\frac{N+2s}{N-2s}\pmε},\,\,u>0,\,\,u\in D^{1,s}(\mathbb{R}^N),$$，其中$0<s<1, N\geq 4,$ $(y',y'')\in \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^{N-2},$ $ε>0$是小参数，$K(y)$是非负有界的.通过结合有限约化和局部Pohozaev型恒等式，证明了如果$N\geq 4,\max\{\frac{N+1-\sqrt{N^{2}-2N+9}}{4},\frac{3-\sqrt{N^{2}-6N+13}}{2}\}<s<1$和$K(r,y'')$有一个稳定的临界点$(r_0, y_0'')$，$r_0>0$和$K(r_0, y_0'')>0,$，那么当$ε>0$足够小时，上述问题有大量的气泡解.也存在泛函能量为$ε^{-\frac{N-2s-2}{(N-2s)^{2}}}$阶的解。在这里，而不是直接估计的衍生物的减少功能，我们应用一些本地Pohozaev身份定位的气泡解决方案的浓度点。此外，气泡溶液的浓度点包括$K(y)$的鞍点。
2019-08-09 math.AP math.FA
Numerical simulation of time fractional Kudryashov Sinelshchikov equation describing the pressure waves in a mixture of liquid and gas bubbles
本文采用再生核希尔伯特空间方法求解时间分数阶Kudryashov Sinelshchikov方程，获得高精度近似解，并证明其一致收敛于精确解。
2024-12-18 cs.NA math.AP math.NA
Stability with explicit constants of the critical points of the fractional Sobolev inequality and applications to fast diffusion
本文研究了分数阶Sobolev不等式临界点的定量稳定性，证明了非负函数与分数阶Talenti气泡之间的显式常数误差界，并给出了隐含常数的精确渐近值，进而推导出分数阶快速扩散方程正解的显式多项式熄灭速率。
2023-07-21 math.AP
Infinite time bubbling for the $SU(2)$ Yang-Mills heat flow on $\mathbb{R}^4$
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）；Tianjin University（天津大学）
研究 $\mathbb{R}^4$ 上 $SU(2)$ 丛的 Yang-Mills 热流的长时间行为，构造了两种无限时间气泡解：单点爆破和气泡塔，表明梯度流不一定收敛到 Yang-Mills 连接。
2026-06-03 math.AP math.DG
A nonexistence result for sign-changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem in low dimensions
考虑Brezis-Nirenberg问题：\begin{equation*} \begin{cases} -Δu = λu + |u|^{2^* -2}u & \hbox{in}\ Ω\\ u=0 & \hbox{on}\ \partial Ω, \end{cases} \end{equation*}其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 3$中的光滑有界区域，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$是临界Sobolev指数，$λ>0$是正参数.本文的主要结果表明，当$N=4,5,6$和$λ$接近于零时，不存在$$u_λ=PU_{δ_1,ξ}-PU_{δ_2,ξ}+w_λ, $$形式的变号解，其中$PU_{δ_i}$是$\mathbb{R}^N$中临界问题的正则正解在$H_0^1(Ω)$上的投影，中心点为$ξ\in Ω$，$w_λ$是余项.本文还给出了关于$w_λ$的范数估计和关于高维气泡塔的浓度速度的一些结果。
2015-02-10 math.AP
The sharp exponent in the study of the nonlocal Hénon equation in $\mathbb{R}^{n}$. A Liouville theorem and an existence result
我们将考虑非局部Hénon方程$$(-Δ)^s u= |x|^α u^{p},\quad \mathbb{R}^{N},$$，其中$(-Δ)^s$是具有$0<s<1$，$-2s<α$，$p>1$和$N>2s$的分数拉普拉斯算子。证明了当$$1<p<p^*_{α, s}:=\frac{N+2α+2s}{N-2s}.$$满足时，在非线性项的最佳范围内，正解的不存在性.此外，还证明了当$p=p_{α, s}^{*}$满足时，存在一个泡解，即一个快速衰减的径向对称正解.
2019-05-16 math.AP
New type of bubbling solutions to a critical fractional Schrödinger equation with double potentials
本文研究带双势的临界分数阶Schrödinger方程，在势函数满足稳定临界点相关条件下，证明存在一类集中在圆柱上下部对称点的新型无穷多冒泡解，采用改进有限维约化法与局部Pohozaev恒等式完成证明。
2024-08-14 math.AP math.DG
Normalized Solutions and Semiclassical Concentration for Upper-Critical Fractional Choquard Equations
Ghent University（根特大学）；Guangxi University of Science and Technology（广西科技大学）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）；Yunnan Normal University（云南师范大学）
本文研究了带有 $L^2$-超临界扰动的上临界分数Choquard方程归一化解的多重性，通过约束变分方法证明了在小参数下存在多个集中解。
2026-08-04 math.AP
A Supercritical Problem in Dimension Two
University of Bath（巴斯大学）；Universidad de Santiago de Chile (USACH)（智利圣地亚哥大学）
本文在二维有界对称区域上构造了超临界椭圆方程的正解，该解在原点以k个Liouville气泡的塔形式爆破，并利用适应多尺度的Lyapunov-Schmidt约化方法证明其存在性。
2026-09-22 math.AP
Confinement and orbital stability of solitons of the NLS equation on metric graphs
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学数学与应用系）
研究亚临界聚焦NLS方程在非紧度量图上的孤子行为，证明孤子约束与轨道稳定性，并推广到含势或δ相互作用的情形。
2026-06-16 math-ph math.AP math.MP
Remainder terms, profile decomposition and sharp quantitative stability in the fractional nonlocal Sobolev-type inequality with $n>2s$
本文研究分数阶非局部 Sobolev 型不等式，证明临界 Hartree 方程正解的非退化性、梯度型余项存在性，并建立 Struwe 型轮廓分解与定量稳定性估计，同时给出尖锐性示例。
2025-03-09 math.AP
Stability of Hardy Littlewood Sobolev Inequality under Bubbling
本文将已有结果推广至分数阶 Sobolev 空间，证明了 Hardy Littlewood Sobolev 不等式在 Talenti bubbles 的 bubbling 现象下的稳定性，并给出了不同维度条件下的误差界估计。
2023-08-02 math.AP
Stability for the Sobolev inequality: existence of a minimizer
该研究改进经典策略，证明了维数d≥3时Bianchi-Egnell型Sobolev不等式稳定性不等式存在极小元，建立关键严格不等式排除双气泡极小化可能，且结果可推广至分数阶Sobolev不等式情形。
2023-10-06 math.AP math.FA
Sharp quantitative stability for the fractional Sobolev trace inequality
Tsinghua University（清华大学）
本文研究了分数Sobolev追踪不等式的稳定性，通过建立精确估计和分解结果，揭示了临界点设置下的稳定性常数及极值点存在性。
2026-01-22 math.AP math.FA
On the classification of solutions to the Logarithmic Laplacian critical Choquard equation
Indian Institute of Technology (IIT-BHU)（印度理工学院（贝拿勒斯印度教大学））；LMAP, UMR E2S-UPPA CNRS 5142（法国国家科学研究中心联合研究实验室LMAP）
本文建立sharp对数Choquard不等式，并分类了临界对数Choquard方程的正经典解，证明其具有由气泡极限给出的显式形式。
2026-09-29 math.AP
