Sign-changing bubble-tower solutions to fractional semilinear elliptic problems
研究了一类分数阶半线性椭圆型方程\[ \begin{cases} (-Δ)^s u = |u|^{2^*_s-2-\varepsilon}u &\text{in } B_R, \\ u = 0 &\text{in }\mathbb{R}^n \setminus B_R, \end{cases} \]的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，其中$s \in (0,1)$，$(-Δ)^s$是s-Laplacian，$B_R$是$\mathbb{R}^n$的球，$2^*_s := \frac{2n}{n-2s}$是临界Sobolev指数，$\varepsilon>0$是小参数.我们证明了这样的解决方案有一个“气泡塔”的极限轮廓，作为$ \varepsilon \to 0^+$，即积极和消极的部分集中在同一点不同的浓度速度。此外，我们提供了这些解决方案的节点集的信息。
2019-04-04 math.AP
Morse index and sign changing bubble towers for Lane-Emden problems
考虑半线性Lane-Emden问题\begin{equation}\label{problemAbstract}\left\{ \begin{array}{lr} -Δu= |u|^{p-1}u\qquad \mbox{ in }Ω\\ u=0\qquad\qquad\qquad\mbox{ on }\partial Ω\end{array} \right.\tag{$\mathcal E_p$} \end{equation}，其中$p>1$和$Ω$是$\mathbb R^2$的光滑有界对称区域.我们表明，对于家庭$(u_p)$的符号变化对称解决方案的\eqref{problemAbstract}的莫尔斯指数的上限意味着浓度的积极和消极的一部分，$u_p^\pm$，在同一点上，作为$p\to+\infty$。然后对$u_p^+$和$u_p^-$的渐近分析表明，$(u_p)$的渐近轮廓，如$p\to+\infty$，是两个不同的气泡的塔。
2014-06-16 math.AP
Nodal bubble tower solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-\varepsilon}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略亚临界椭圆型问题在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N (N\ge7)$中解的爆破行为，其中$0\inΩ$为$μ,\varepsilon\to 0^+$ .在\cite{BarGuo-ANS}中，我们得到了节点解的存在性，这些解在原点正爆破，在不同的点负爆破，如$μ=O(ε^α)$与$α>\frac{N-4}{N-2}$，$\varepsilon\to 0^+$。本文证明了节点鼓泡塔解的存在性，即不同符号的气泡的叠加，所有气泡都在原点爆破，但爆破顺序不同，如$μ=O(\varepsilon)$、$\varepsilon\to0^+$。
2023-01-12 math.AP
Bubble towers for supercritical semilinear elliptic equations
在有界光滑区域$Ω\subset \R^N$ $(N\geq 4)$中，当指数$p$超临界且足够接近$\frac{N+2}{N-2}$且参数$λ\in\R$足够小时，构造了半线性椭圆型问题$Δu+ λu + u^p = 0$的正解.作为$p\to \frac{N+2}{N-2}$，该解在定义涉及格林函数的函数的临界点处有多重爆破。当$Ω$为球且解为径向对称时，我们的结果推广了Del Pino，Dolbeault和Musso \cite{DDM}的结果.
2004-09-09 math.AP
Construction of infinite time bubble tower solutions for energy critical equivariant Schrödinger maps
University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文通过反向构造、调制分析及高阶能量估计，结合达布坐标与修正项，证明了能量临界等变薛定谔映射存在无穷时间气泡塔解。
2026-10-06 math.AP
Sign-changing bubble tower solutions for sinh-Poisson type equations on pierced domains
该研究针对流体湍流中带Dirichlet边界条件的非对称sinh-Poisson型问题，证明了二维穿孔区域上变号气泡塔解的存在性，给出了解的渐近结构与参数依赖关系。
2023-05-08 math.AP
Towers of bubbles for Yamabe-type equations and for the Brézis-Nirenberg problem in dimensions $n \ge 7$
设$(M,g)$是一个闭的局部共形平坦的$n \ge 7$维正Yamabe型黎曼流形.如果$ξ_0$表示质量函数的非退化临界点，我们证明了存在，对于任何$ k \ge 1$和$\varepsilon >0$，一个正的爆破解决方案$u_{\varepsilon}$的$$\triangle_g u_{\varepsilon} +\big( c_n S_g +\varepsilon h\big) u_{\varepsilon} = u_{\varepsilon}^{2^*-1},$$，爆炸像叠加的$k$正气泡集中在$ξ_0$在不同的速度。证明的方法结合了有限维减少与尖锐的逐点分析的线性问题的解决方案。作为这种证明方法的另一个应用，我们构造了光滑有界开集$Ω\subset \mathbb{R}^n$上的Brézis-Nirenberg问题$$ \triangle_ξ u_{\varepsilon} - \varepsilon u_{\varepsilon} = |u_{\varepsilon}|^{\frac{4}{n-2}} u_{\varepsilon} \textrm{ in } Ω, \quad u_{\varepsilon} = 0 \textrm{ on } \partial Ω$$的变号爆破解$u_{\varepsilon}$，$n \ge 7$，它看起来像交替符号的$k$正…
2020-09-03 math.AP
Complete Spectrum and Sharp Local Stability for the Critical Exponential Biharmonic Choquard Equation in \(\mathbb R^{4}\)
School of Mathematics and Statistics, Southwest University（西南大学数学与统计学院）
本文研究\u211d⁴中共形不变的指数双调和Choquard方程，完成其共形气泡处线性化算子的完整谱分解，得到尖锐局部稳定性结论，还证明有限质量解为显式平移-伸缩气泡。
2026-08-04 math.AP
Infinite time bubble towers in the fractional heat equation with critical exponent
本文考虑$\mathbb{R}^n$中具有临界指数的分数阶热方程$n>6s,s\in(0,1),$ \begin{equation*} u_t=-(-Δ)^su+|u|^{\frac{4s}{n-2s}}u,\quad (x,t)\in \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}. \end{equation*}通过分别建立形式为\begin{equation*} u(x,t)=(1+o(1))\sum_{j=1}^{k}(-1)^{j-1}μ_j(t)^{-\frac{n-2s}{2}}U\left(\frac{x}{μ_j(t)}\right) \quad\mbox{as}\quad t\to+\infty, \end{equation*}的单点多重爆破变号解和形式为\begin{equation*} u(x,t)=(1+o(1))\sum_{j=1}^{k}μ_j(t)^{-\frac{n-2s}{2}}U\left(\frac{x}{μ_j(t)}\right) \quad\mbox{as}\quad t\to-\infty, \end{equation*}的单点多重爆破正解的存在性，构造了正问题和倒问题的泡塔型解.这里$k\ge2$是一个正整数，$$U(y)=α_{n,s}\left(\frac{1}{1+|y|^2}\right)^{\frac{n-2s}…
2022-09-21 math.AP
Existence and stability of infinite time bubble towers in the energy critical heat equation
我们考虑$\mathbb R^n$中的能量临界热方程$n\ge 7$ $$\left\{ \begin{aligned} u_t & = Δu+ |u|^{\frac 4{n-2}}u \hbox{ in }\ \mathbb R^n \times (0, \infty), \\ u(\cdot,0) & = u_0 \ \hbox{ in }\ \mathbb R^n, \end{aligned}\right. $$，它对应于Sobolev临界能量$$ J(u) = \int_{\mathbb R^n} e[u] , \quad e[u] := \frac 12 |\nabla u|^2 - \frac {n-2}{2n} |u|^{\frac {2n}{n-2} }. $$的$L^2$梯度流。给定任何$k\ge 2$，我们找到一个初始条件$u_0$，它导致{ \em在一个点多重爆破}（气泡塔）的符号变化的解决方案为$t\to +\infty$。它具有奇异标度{ \em Aubin-Talenti孤子}的交替符号的叠加形式，$$ u(x,t) = \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} {μ_j^{-\frac {n-2}2}} U \left( \frac {x}{μ_j} \right)\, +\, o(1) \quad\hbox{as } t\to +\infty …
2019-05-31 math.AP
A fountain of positive Bubbles on a Coron's Problem for a Competitive Weakly Coupled Gradient System
我们考虑下列临界椭圆方程组：\begin{equation*} \begin{cases} -Δu_i=μ_i u_i^{3}+βu_i^{ } \sum\limits_{j\neq i} u_j^{2} \quad \hbox{in}\ Ω_\varepsilon \\ u_i=0 \hbox{ on } \partialΩ_\varepsilon , \qquad u_i>0 \hbox{ in } Ω_\varepsilon \end{cases}\qquad i=1,\ldots, m, \end{equation*}在具有小收缩孔$B_\varepsilon(ξ_0)$的区域$Ω_\varepsilon \subset \mathbb{R}^4$中.对于$μ_i>0$，$β<0$和$\varepsilon>0$小，我们证明了存在一个非同步的解决方案，看起来像一个喷泉的积极泡沫，即每个组件$u_i$表现出高耸的爆破周围$ξ_0$为$\varepsilon \to 0$。证明是基于Ljapunov-Schmidt还原法，并且以这样的方式选择给定塔内的每一层的浓度速度，即不同组分的气泡之间的相互作用平衡每个组分的第一气泡与域的边界的相互作用，并且另外当与相同组分的两个连续气泡的相互作用相比时是主导的。
2018-12-11 math.AP
Towering phenomena for the Yamabe equation on symmetric manifolds
设$(M,g)$是维数为$N\ge7$的紧致光滑连通黎曼流形（无边界）.假设$M$关于具有非零外尔张量的点$ξ_0$对称。我们考虑Yamabe问题$$(P_ε)\qquad-\mathcal L_g u+εu=u^{N+2\over N-2}\ \hbox{in}\ (M,g) .$$的线性扰动.我们证明了对于任何$k\in \mathbb N$，存在$ε_k>0$使得对于所有$ε\in (0, ε_k)$，问题$(P_ε)$有一个对称解$u_ε,$，它看起来像是以点$ξ_0$为中心的$k$正泡的叠加为$ε\to 0$ .特别是，$ξ_0$是一个{ \em towering}爆破点。
2016-03-04 math.AP
Multi-bubble nodal solutions to slightly subcritical elliptic problems with Hardy terms
研究了在有界区域$Ω\subset\mathbb{R}^N$中具有Hardy项\[ \left\{ \begin{aligned} -Δu-μ\frac{u}{|x|^2} &= |u|^{2^{\ast}-2-ε}u &&\quad \text{in } Ω, \\\ u &= 0&&\quad \text{on } \partialΩ, \end{aligned} \right. \]的略次临界椭圆问题，其中$N\ge7$为$0\inΩ$.利用$α>\frac{N-4}{N-2}$证明了多泡节点解的存在性，即$ε\to0$和$μ=ε^α$在原点正爆破，在不同点负爆破.在$Ω$是以原点为中心的球的情况下，我们可以得到具有不同符号的多达$5$泡的解。我们还得到了节点气泡塔的解决方案，即叠加的气泡不同的标志，都在原点，但不同的爆破顺序爆破。详细地确定了解的渐近形状。
2015-08-17 math.AP
New sign-changing solutions for the 2D Lane-Emden problem with large exponents
本文针对大指数二维 Lane-Emden 问题，构造了一族呈交替变号气泡塔形态的新型变号解，各气泡对应全平面上不同的奇异 Liouville 方程。
2023-12-12 math.AP
Improved Beckner's inequality for axially symmetric functions on $\mathbb{S}^4$
证明了常$Q$曲率型方程（也可称为四阶平均场方程）在$\mathbb{S}^4$上的轴对称解必为常数，只要Paneitz算子前的参数$α$属于$[\frac{473 + \sqrt{209329}}{1800}\approx0.517, 1)$ .这与$α=1$的情况相反，在这种情况下存在一系列解决方案，称为标准气泡。这种现象类似于$ \mathbb{S}^2$上的高斯曲率方程。作为结果，我们证明了一个改进的Beckner不等式上的$\mathbb{S}^4$轴对称函数的质量中心在原点。利用Pohozaev型恒等式证明了$α=\frac15$轴对称解的唯一性，并利用分支方法证明了$α\in (\frac15, \frac12)$非常数轴对称解的存在性.
2021-09-27 math.AP math.DG
Sharp concentration estimates near criticality for radial sign-changing solutions of Dirichlet and Neumann problems
我们考虑径向解的轻微次临界问题$-Δu_\varepsilon = |u_\varepsilon|^{\frac{4}{n-2}-\varepsilon}u_\varepsilon$无论是在$\mathbb R^n$（$n\geq 3$）或在一个球$B$满足Dirichlet或Neumann边界条件。特别是，我们提供了尖锐的速率和常数描述的渐近行为（作为$\varepsilon\to 0$）的所有本地最小值和最大值的$u_\varepsilon$以及其衍生物在根。我们的证明是通过归纳和使用能量估计，爆破/归一化技术，径向逐点Pohozaev身份，和一些ODE参数。作为推论，我们补充了一个已知的渐近近似的狄利克雷节点解的塔的泡沫和提出了一个类似的公式的诺依曼问题。
2018-06-25 math.AP
A nonexistence result for sign-changing solutions of the Brezis-Nirenberg problem in low dimensions
考虑Brezis-Nirenberg问题：\begin{equation*} \begin{cases} -Δu = λu + |u|^{2^* -2}u & \hbox{in}\ Ω\\ u=0 & \hbox{on}\ \partial Ω, \end{cases} \end{equation*}其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$N\geq 3$中的光滑有界区域，$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$是临界Sobolev指数，$λ>0$是正参数.本文的主要结果表明，当$N=4,5,6$和$λ$接近于零时，不存在$$u_λ=PU_{δ_1,ξ}-PU_{δ_2,ξ}+w_λ, $$形式的变号解，其中$PU_{δ_i}$是$\mathbb{R}^N$中临界问题的正则正解在$H_0^1(Ω)$上的投影，中心点为$ξ\in Ω$，$w_λ$是余项.本文还给出了关于$w_λ$的范数估计和关于高维气泡塔的浓度速度的一些结果。
2015-02-10 math.AP
A Supercritical Problem in Dimension Two
University of Bath（巴斯大学）；Universidad de Santiago de Chile (USACH)（智利圣地亚哥大学）
本文在二维有界对称区域上构造了超临界椭圆方程的正解，该解在原点以k个Liouville气泡的塔形式爆破，并利用适应多尺度的Lyapunov-Schmidt约化方法证明其存在性。
2026-09-22 math.AP
Confinement and orbital stability of solitons of the NLS equation on metric graphs
Gran Sasso Science Institute（格兰萨索科学研究所）；Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università di Milano Bicocca（米兰比可卡大学数学与应用系）
研究亚临界聚焦NLS方程在非紧度量图上的孤子行为，证明孤子约束与轨道稳定性，并推广到含势或δ相互作用的情形。
2026-06-16 math-ph math.AP math.MP
On the structure of the nodal set and asymptotics of least energy sign-changing radial solutions of the fractional Brezis-Nirenberg problem
本文研究了球$\mathbb{R}^n$中s-Laplacian控制的分数阶Brezis-Nirenberg问题的最小能量径向变号解的渐近性质和定性性质，当$s \in (0,1)$和$n > 6s$ .通常，$λ$是$u$中线性部分的（正）参数，我们认为$λ$接近于零。我们证明，如果这样的解决方案消失在球的中心，然后他们消失无处不在，我们建立了一个边界上的符号变化的数量，当$s$接近$1$，对于一个合适的值的参数$λ$，这样的解决方案改变符号正好一次。此外，对于任何$s \in (0,1)$和$λ$足够小，我们证明了连接组件的节点集的补数对应的符号变化的数量加一。此外，对于任意$s \in (\frac{1}{2},1)$，我们证明了符号只改变一次的最小能量节点解具有“气泡塔”的极限轮廓，如$λ\to 0^+$，即正负部分以不同的集中速度集中在同一点（球的中心）.
2018-07-04 math.AP
