A note on Matching-Cut in $P_t$-free Graphs
图的匹配割是一个匹配的边割。匹配割问题是识别具有匹配割的图的问题，并且是NP完全的，即使图属于许多类中的一个。本文首次将无固定路图作为诱导子图来研究匹配割问题。我们证明了对于$P_5$ -free图，匹配割是在P中的，但是对于$P_{t}$ -free图，存在整数$t > 0$，它是NP-完全的.
2022-05-16 cs.DM cs.DS math.CO
Complexity and algorithms for matching cut problems in graphs without long induced paths and cycles
本研究证明完美匹配割问题在无P14图中是NP完全的，并改进匹配割与不连通完美匹配的困难性结果，同时给出4-弦图上的多项式算法。
2025-10-08 cs.CC cs.DM math.CO
Finding d-Cuts in Graphs of Bounded Diameter, Graphs of Bounded Radius and H-Free Graphs
本文系统研究特殊图类上的 d-Cut 问题，证明若干图类对 d≥2 可多项式求解，并给出 NP 困难性结果，形成有界直径、半径及无 H 图的复杂度二分图景。
2025-10-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Cutting Barnette graphs perfectly is hard
完美匹配割是一个完美匹配，也是一个割集，或者等价地说是一个在每个循环上包含偶数条边的完美匹配。相应的算法问题，完美匹配切割，是已知的NP-完全的亚立方二分图[Le & Telle，TCS '22]，但其复杂性是开放的平面图和立方图。通过证明3连通三次二部平面图或Barnette图中的完美匹配割是NP-完全的，我们同时解决了这两个问题。在我们的工作之前，在输入仅为无向图的问题中，只有距离-2 4-着色在Barnette图中是NP完全的。值得注意的是，只有在巴内特猜想被推翻的情况下，汉密尔顿循环才会加入这个私人俱乐部。
2023-02-22 cs.CC cs.DM math.CO
The Cutting Plane Method is Polynomial for Perfect Matchings
在过去的几十年里，几位作者已经讨论了最佳匹配的切割平面方法（例如，Padberg和Rao '82、Grotschel和Holland '85、Lovasz和Plummer '86、Trick '87、Fischetti和Lodi '07）及其收敛性一直是一个悬而未决的问题。我们给出了一个切割平面算法，收敛于多项式时间只使用埃德蒙兹开花不等式，它保持半积分中间LP解决方案支持的不相交的奇数周期和边缘的联盟。我们的主要见解是一种方法，以保留只有一个子集的先前添加的切割平面的基础上，他们的双重价值。这使我们能够快速找到违反开花不等式，并通过跟踪支持中间解的奇循环的数量来论证收敛性。
2014-01-23 cs.DM cs.DS math.CO
Laminar Tight Cuts in Matching Covered Graphs
一个图$G$的边割$C$是{ \it紧}的，如果对$G$的每一个完美匹配$M$都有$|C \cap M|=1$.障碍割和2-分离割被称为{ \it ELP-割}，它们是匹配覆盖图中两种重要的紧割类型。Edmonds，Lovász和Pulleyblank证明了如果一个匹配覆盖图有一个非平凡紧割，那么它也有一个非平凡ELP-割。Carvalho，Lucchesi和Murty提出了一个更强的猜想：给定匹配覆盖图$G$中的任何非平凡紧割$C$，在$G$中存在一个不穿过$C$的非平凡ELP-割$D$.~本文证实了这一猜想。
2020-03-19 math.CO
Complexity and Algorithm for the Matching vertex-cutset Problem
本文证明了匹配顶点割集的存在性判定是NP完全的，给出了2-近似算法，并证明了平面图中存在大小至多3的匹配顶点割集且界紧。
2025-01-22 cs.DS math.CO
The Tight Cut Decomposition of Matching Covered Uniformable Hypergraphs
完美匹配多面体，即图的完美匹配（的关联向量）的凸包，在许多组合算法中被使用。Kotzig，Lovász和Plummer发展了一个分解理论，用于具有完美匹配的图及其对应的多面体，称为紧切分解，它将每个图分解为许多不可分解的图，所谓的砖块。对于具有完美匹配的图的许多感兴趣的性质，包括完美匹配多面体的描述，考虑这些砖块就足够了。Lovász关于紧割分解的一个关键结果是，在紧割分解过程中，获得的砖列表是相同的，与紧割的选择无关。这意味着找到一个紧割分解是多项式时间等价于找到一个单一的紧割。我们推广的概念，紧切，紧切收缩和紧切分解超图。通过一个例子，我们证明了一般超图的紧割分解的结果不再是唯一的。然而，我们能够证明的唯一性的紧割分解保持轻微的推广均匀超图。此外，我们展示了如何紧割分解导致分解的完美匹配多面体的均匀超图和识别问题的紧割均匀超图是多项式时间可解的。
2019-02-28 math.CO
A Near-Linear-Time Algorithm for Finding a Well-Spread Perfect Matching in Bridgeless Cubic Graphs
Computer Science Institute of Charles University, Prague, Czech Republic（布拉格查理大学计算机科学研究所）
本文提出一种近线性时间算法，用于在无桥立方图中找到完美匹配，该匹配与每个3边割恰好相交一次，改进了Boyd等人和之前算法的效率。
2026-05-01 cs.DM cs.DS math.CO
Cuts in matchings of 3-connected cubic graphs
本文讨论了三次图的哈密尔顿性（Tait，Barnette，Tutte），平面定向图的二色数（Neumann-Lara），以及收缩是强连通的有向图的偶图（Hochstättler）。我们表明，所有这些都适合到相同的框架有关削减匹配。这使我们能够找到一个反例的猜想Hochstättler和显示，猜想的诺伊曼-劳拉举行的所有可平面图在最多26个顶点。最后，我们陈述了一个关于二部立方定向图的新猜想，这个猜想在这种情况下自然产生。
2018-09-07 cs.DM math.CO
Tight cuts in matching covered graphs
Minnan Normal University（闽南师范大学）；National Institute of Education, Nanyang Technological University（南洋理工大学国立教育学院）
本文完整刻画了匹配覆盖图中的非平凡紧割，直接推导出Chen等人的结果，并证明其下界是紧的。
2026-05-25 math.CO
The complexity of the Perfect Matching-Cut problem
完美匹配割是判定一个图是否具有包含边割的完美匹配的问题。我们证明了这个问题对于最大度为4的可平面图、围长为5的可平面图、二部五正则图、直径为3的图和直径为4的二部图都是NP-完全的。我们表明，存在多项式时间算法的以下类别的图：爪自由，$P_5$ -自由，直径2，二部与直径3和图有界树宽度。
2021-10-29 math.CO
A Cut-Matching Game for Constant-Hop Expanders
本文推广割-匹配博弈并提出新割策略，以构造保证任意需求可沿常数跳路径无感知路由的扩张器，为长度受限扩张器及流算法、动态距离预言机等突破提供基础。
2024-10-28 cs.DC cs.DS math.CO
The largest spectral radius of uniform hypertrees with a given size of matching
本文利用超树的匹配多项式和超树的序理论，确定了具有$m$边的超树的最大谱半径，并给出了匹配长度.
2018-10-15 math.CO
Spectral radius and maximum matching covered graphs with bounded matching number
School of Mathematics and Statistics, Shandong University of Technology（山东理工大学数学与统计学院）
本文给出了具有有界匹配数的图成为最大匹配覆盖图的尖锐谱半径条件。
2026-06-04 math.CO
The spectral radius of graphs with fractional matching number
设$\mathcal{G}_{n, β^*}$ $(\mathcal{G}^*_{n,β^*})$是所有阶为$n$且具有分数匹配数$β^*$的（连通）图的集合。本文分别刻画了$\mathcal{G}_{n,β^*}$和$\mathcal{G}^*_{n,β^*}$中具有最大谱半径的图.此外，还给出了阶为$n$的图的谱半径的一个下界，以保证完美分数匹配的存在，推广了O [Suil O，谱半径与图中的匹配，线性代数及其应用，2020]的主要结果.
2023-03-10 math.CO
Perfect matching cuts partitioning a graph into complementary subgraphs
在划分成互补子图（Comp-Sub）中，我们给出了一个图$G=(V,E)$和一个边集性质$Π$，并问对于某个图$H$，$G$是否可以分解成两个图$H$和它的补图$\overline{H}$，使得边割$[V(H),V(\overline{H})]$满足性质$Π$ .出于以前的工作，我们认为Comp-Sub（$Π$）时，属性$Π=\mathcal{PM}$指定的边缘切割的分解是一个完美的匹配。证明了当图$G$是$\{C_{k\geq 7}, \overline{C}_{k\geq 7} \}$ -free时，Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）是GI-难的.另一方面，我们证明了Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）在$hole$ -free图和$P_5$ -free图上是多项式时间可解的.此外，我们提出了弦，距离遗传和扩展的$P_4$ -载货图的Comp-Sub（$\mathcal{PM}$）的特征。
2022-10-13 cs.DS math.CO
A note on tight cuts in matching-covered graphs
本文简化了关于匹配覆盖图中非平凡紧割与ELP割关系的猜想证明，并证明了更强的结果：非ELP紧割可通过一系列ELP割收缩转化为2-分离割。
2021-06-10 math.CO
Max-cut and extendability of matchings in distance-regular graphs
设$G$是阶为$v$、大小为$e$的距离正则图.本文证明了$G$的最大割至多为$e(1-1/g)$，其中$g$是$G$的奇数围长.这个结果意味着$G$的独立数至多为$\frac{v}{2}(1-1/g)$。我们利用这一事实也研究了距离正则图中匹配的可拓性。一个偶数阶图$G$称为$t$ -可扩的，如果它包含一个完美匹配，$t<v/2$和任何$t$边的匹配都包含在某个完美匹配中. $G$的可扩展性是使得$G$是$t$可扩展的最大$t$。推广了强正则图的已有结果，证明了所有直径为$D\geq 3$的距离正则图都是$2$ -可扩的.我们还得到了各种下界的距离正则图的价$k$，$λ$和$μ$，$λ$是任何两个相邻顶点的公共邻居的数量和$μ$是任何两个顶点的公共邻居的距离2依赖于可扩展性。
2017-01-06 cs.DM math.CO
Matching extension and distance spectral radius
一个图称为$k$ -可扩图，如果每个$k$ -匹配都可扩为一个完美匹配.利用图的Tutte型和Hall型结构刻画，给出了图和二部图的$k$ -可扩性的谱条件.具体地，我们给出了图的$k$ -可扩的一个充分条件，并利用距离矩阵的谱半径刻画了相应的极图。对二部图也得到了类似的结果。
2023-03-30 math.CO
Signless Laplacian spectral radius and fractional matchings in graphs
图$G$的{ \it分数匹配}是一个函数$f$，在$[0,1]$中给每条边一个数，使得对于每个$v\in V(G)$有$\sum_{e\in Γ(v)}f(e)\leq 1$，其中$Γ(v)$是与$v$关联的边的集合。$G$的{ \it分数匹配数}，写作$α'_{*}(G)$，是所有分数匹配$f$上$\sum_{e\in E(G)}f(e)$的最大值。本文给出了图的分数匹配数与图的无符号拉普拉斯谱半径之间的关系。作为应用，我们还利用图及其补图的无符号Laplacian谱半径给出了图中存在分数完美匹配的充分谱条件.
2018-05-21 math.CO
A Graph Theoretic Proof of the Tight Cut Lemma
在推导完美匹配多面体的特征时，埃德蒙兹、洛瓦兹和普利布兰克引入了所谓的{ \em紧割引理}，这是他们工作中最具挑战性的方面。紧割引理实际上主张{ \em砖}是研究匹配多胞形图的基本构造块，是该领域的一个重要结果。即使紧割引理是由纯图论概念组成的匹配\textup{(} $1$ -匹配\textup{)}理论陈述，已知的证明或者采用线性规划论证，或者建立在关于比匹配更广泛的概念的结果上。本文给出了紧割引理的一个新的证明，首次同时得到了紧割引理的两个合理的性质，即：{ \em纯图论的}和{ \em纯匹配论的闭}.我们的证明使用，作为唯一的初步结果，规范分解最近介绍了北。通过进一步发展这种规范分解，我们获得了一种新的设备{ \em towers}来分析砖的结构，从而证明了紧切引理。我们相信紧割引理的新证明为如何处理砖块提供了一个非常通用的例子。
2015-12-30 math.CO
Signless Laplacian spectral radius and fractional matchings in graphs
图$G$的分数匹配是一个函数$f$，它给每个边一个$[0,1]$中的数字，使得对于每个顶点$v\in V(G)$有$\sum_{e\inΓ(v)}f(e)\leq1$，其中$Γ(v)$是与$v$关联的边的集合。$G$的分数匹配数，写作$α^{\prime}_*(G)$，是$\sum_{e\in E(G)}f(e)$在所有分数匹配上的最大值。本文研究了图的分数匹配数与图的无符号拉普拉斯谱半径之间的关系。此外，我们给出了分数完美匹配存在的一些充分谱条件。
2019-05-27 math.CO
Constructing the $r$-uniform supertrees with the same spectral radius and matching energyv
$r$ -均匀超树是一个连通的无圈超图，它的每条边都有$r$顶点，其中$r\geq 3$ .本文提出了$r$ -一致超图的匹配能量的概念，定义为匹配多项式的所有特征值的绝对值之和。借助于$r$ -一致超树的匹配多项式，构造了三对具有相同谱半径和匹配能量的$r$ -一致超树，刻画了两个具有相同谱半径和匹配能量的$r$ -一致超树无限族.从我们的新结果可以很自然地推出关于具有相同谱的图的邻接矩阵的一些已知结果。
2022-02-26 math.CO
Matching extension and matching exclusion via the size or the spectral radius of graphs
本文研究图的大小与谱半径对匹配性质的影响，给出保证图为 $k$-可扩和 $1$-可排除的下界，并刻画全部对应极图。
2023-04-25 math.CO
On the maximal $α$-spectral radius of graphs with given matching number
设$\mathscr{G}_{n,β}$是具有给定匹配数$β$的阶为$n$的图的集合。设$D(G)$是图$G$的度的对角矩阵，$A(G)$是图$G$的邻接矩阵。非负矩阵$A_α(G)=αD(G)+A(G)$的最大特征值称为$G$的$α$ -谱半径。本文完全刻划了$\mathscr{G}_{n,β}$中具有最大$α$ -谱半径的图.这样，我们提供了一个通用的框架来解决的问题的极值谱半径在$\mathscr{G}_{n,β}$。更准确地说，我们推广了$\mathscr{G}_{n,β}$中的最大邻接谱半径和无符号拉普拉斯谱半径的已知结果。
2021-08-20 math.CO
The spanning $k$-trees, perfect matchings and spectral radius of graphs
本文利用邻接谱半径与无符号拉普拉斯谱半径，分别建立固定阶连通图存在生成 $k$-树的充分条件，并给出平衡二部图存在完美匹配的类似条件。
2023-04-21 math.CO
Revisiting a Cutting Plane Method for Perfect Matchings
2016年，Végh和Vempala发表了一种方法，通过求解严格多项式数量的线性规划来解决任意图上的最小成本完美匹配问题。然而，他们的方法需要一个强的唯一性条件，他们通过使用$c(i)=c_0(i)+2^{-i}$形式的扰动来施加。在大型图（大致为$m>100$）上，这些扰动导致成本值超过用于数值计算的典型线性规划求解器所使用的浮点格式的精度。我们证明，通过一系列的反例，扰动是需要的算法工作，激励我们制定的一般方法，达到相同的解决方案的问题，如Anglasekaran等人。但克服了上述限制，解决多个线性规划，而不使用扰动。然后，我们给出了一个显式算法，利用是方法，并表明这种新的算法仍然运行在强多项式时间。
2019-08-28 cs.DM math.CO
The $A_α$-spectral radius and perfect matchings of graphs
令$α\in[0,1)$，并令$G$是具有$n\geq f(α)$的偶数阶$n$的图，其中$f(α)=10$表示$0\leq α\leq1/2$，$f(α)=14$表示$1/2<α\leq 2/3$，而$f(α)=5/(1-α)$表示$2/3<α<1$。本文证明了如果$G$的$A_α$ -谱半径不小于$x^3 - ((α+ 1)n +α-4)x^2 + (αn^2 + (α^2 - 2α- 1)n - 2α+1)x -α^2n^2 + (5α^2 - 3α+ 2)n - 10α^2 + 15α- 8=0$的最大根，则$G$有完美匹配，除非$G=K_1\nabla(K_{n-3}\cup 2K_1)$ .这推广了S. O [谱半径与图中的匹配，Linear Algebra Appl.614（2021）316- 324]，给出了图中存在由邻接谱半径表示的完美匹配的一个充分条件.
2021-04-09 math.CO
The covering radius problem for sets of perfect matchings
考虑具有$2n$顶点的完全图$K_{2n}$的所有完美匹配的族。给定大小为$s$的完美匹配的任何集合$\mathcal M$，存在最大数目$f(n,x)$，使得如果为$s\leq f(n,x)$，则在至多$x-1$边中存在与$\mathcal M$中的每个完美匹配一致的完美匹配。我们使用概率参数来给出$f(n,x)$的几个下界。我们还应用Lovász局部引理找到一个函数$g(n,x)$，使得如果每个边出现在最多$g(n, x)$次，则存在一个完美匹配，该完美匹配与$\mathcal M$中的每个完美匹配在最多$x-1$边中一致。这是一个类似的极值结果相对于覆盖半径的集合的排列，这是研究了卡梅伦和万利斯（cf. \cite{cameron}），以及Keevash和Ku（参见\cite{ku}）。最后，我们还提出了一个关于超图匹配中更一般问题的猜想。
2011-04-25 math.CO
On the minimum spectral radius of unicyclic graphs with a given matching number
SRM Institute of Science and Technology（SRM科学与技术学院）；Indian Institute of Technology Guwahati（印度理工学院古瓦哈提分校）
研究给定匹配数的单圈图类中谱半径最小的图，并刻画了匹配数为1,2,3和⌊n/2⌋时的极图。
2026-06-16 math.CO
Distance signless Laplacian spectral radius and perfect matching in graphs and bipartite graphs
连通图$G$的距离矩阵$\mathcal{D}$是由$G$的顶点索引的矩阵，其中条目$\mathcal{D}_{i,j}$等于顶点$v_i$和$v_j$之间的距离。定义图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵$\mathcal{Q}(G)$为$\mathcal{Q}(G)=Diag(Tr)+\mathcal{D}(G)$，其中$Diag(Tr)$是$G$中顶点传递的对角矩阵. $\mathcal{Q}(G)$的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径，写作$η_1(G)$。图中的完美匹配是一组覆盖$G$的每个顶点的不相邻边。本文利用距离无符号Laplacian谱半径给出了图和二分图中存在完美匹配的两个充分条件。
2021-04-03 math.CO
Distance spectral radius and perfect matchings in graphs with given fractional property
Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学）
研究图在给定分数性质下，距离谱半径与完美匹配存在的关系，证明在特定条件下图存在完美匹配。
2026-08-26 math.CO
On a conjecture for the signless Laplacian spectral radius of cacti with given matching number
一个连通图$G$是一个仙人掌，如果它的任何两个圈最多有一个公共顶点。设$\ell_n^m$是$n$顶点上的仙人掌的集合，其匹配数为$m.$ S. C。Li和M. J. Zhang用$n=2m$确定了$\ell_n^m$中所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.在本文中，我们刻画的情况下$n\geq 2m+1$。这证实了Li和Zhang（S.C. Li，M. J. Zhang，On the signless Laplacian index of Cacti with a given number of pendant vetices，线性代数应用436，2012，4400--4411）.进一步，我们刻画了在$n$顶点上所有仙人掌中具有最大无符号拉普拉斯谱半径的唯一图.
2015-11-21 math.CO
Spectral radius and rainbow matchings of graphs
令$n,m$为整数，使得$1\leq m\leq (n-2)/2$，令$[n]=\{1,\ldots,n\}$。设$\mathcal{G}=\{G_1,\ldots,G_{m+1}\}$是同一顶点集$[n]$上的图族.本文证明了：如果对任何$i\in [m+1]$，$G_i$的谱半径不小于$\max\{2m,\frac{1}{2}(m-1+\sqrt{(m-1)^2+4m(n-m)})\}$，则$\mathcal{G}$允许彩虹匹配，即不相交边$e_i\in G_i$的选择，除非$G_1=G_2=\ldots=G_{m+1}$和$G_1\in \{K_{2m+1}\cup (n-2m-1)K_1, K_m\vee (n-m)K_1\}$ .
2022-05-07 math.CO
The maximum $A_α$-spectral radius of $t$-connected graphs with bounded matching number
令$G$是具有邻接矩阵$A(G)$的图，并且令$D(G)$是$G$的度的对角矩阵。在2017年，Nikiforov将$G$的$A_α$ -矩阵定义为\begin{equation*} A_α(G)=αG)+(1-α)A(G), \end{equation*} d，其中$α\in[0,1]$是任意实数。$A_α(G)$的最大特征值称为$A_α$ -$G$的谱半径。令$n$、$t$、$k$为正整数，满足$t\geq1$、$k\geq2$、$n\geq k+2$和$n\equiv k$（mod $2$）。本文对$α\in[0,\frac{1}{2}]$，在$n$顶点上的所有$t$ -连通图中，确定匹配数至多为$\frac{n-k}{2}$的$A_α$ -谱半径最大的极图.这推广了O（2021）和Zhang（2022）的一些结果.
2022-03-25 math.CO
Perfect matching and distance spectral radius in graphs and bipartite graphs
图$G$中的完美匹配是覆盖$G$的每个顶点的不相邻边的集合。基于图的特征值与匹配数之间关系的最新研究进展，本文提出了一个距离谱半径条件来保证图的完美匹配.设$G$是一个$n$ -顶点连通图，其中$n$是偶数，$λ_{1}(D(G))$是$G$的距离谱半径.那么下面的陈述是正确的。\noindent $\rm{I)}$如果$4\le n\le10$和${λ}_{1} (D\left(G\right))\le {λ}_{1} (D(S_{n,{\frac{n}{2}}-1}))$，则$G$包含完美匹配，除非$G\cong S_{n,{\frac{n}{2}-1}}$其中$S_{n,{\frac{n}{2}-1}}\cong K_{{\frac{n}{2}-1}}\vee ({\frac{n}{2}+1})K_1$。\noindent $\rm{II)}$如果$n\ge 12$和${λ}_{1} (D\left(G\right))\le {λ}_{1} (D(G^*))$，则$G$包含完美匹配，除非$G\cong G^*$其中$G^*\cong K_1\vee (K_{n-3}\cup2K_1)$。此外，如果$G$是具有$λ_{1}(D(G))\le λ_{1}(D(B_{n-1,n-2})) $的连通$2n$ -顶点平衡二部图，则$G$包含完美匹配，除非是$G\cong B_{n-1,…
2021-01-12 math.CO
Perfect Matchings in Claw-free Cubic Graphs
Lovasz和Plummer证明了存在一个固定的正常数c，使得每个无割边的三次n-顶点图至少有2^（cn）个完美匹配。Voorhoeve对二部图的猜想和Chudnovsky和Seymour对可平面图的猜想都得到了验证。证明了无爪立方n-顶点无割图的完美匹配数大于2^（n/12），从而验证了无爪图的猜想.
2009-11-09 math.CO
The maximal spectral radius of the uniform unicyclic hypergraph with perfect matchings
设$\mathcal{U}(n,k)$和$Γ(n,k)$分别是与$n$顶点具有完美匹配的$k$ -一致线性和非线性单圈超图的集合，其中$n\geq k(k-1)$和$k\geq 3$ .利用变换技巧和构造超图的关联矩阵，得到了三类超图中具有最大谱半径的超图，即具有$n= 2k(k-1)$和$n\geq 9k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)$，具有$n\geq k(k-1)$的$Γ(n,k)$，以及具有$n\geq 2k(k-1)$的$\mathcal{U}(n,k)\cup Γ(n,k)$，其中$k\geq 3$ .
2022-02-27 math.CO
A spectral extremal problem on graphs with given size and matching number
Brualdi和Hoffman（1985）提出了确定具有给定尺寸的图的最大谱半径的问题。本文研究了具有给定匹配数的图的Brualdi-Hoffman型问题。得到了给定匹配数和图的最大$Q$ -谱半径，并确定了相应的极图.
2020-07-04 math.CO
A Simple LP-Based Approximation Algorithm for the Matching Augmentation Problem
匹配增广问题（MAP）作为寻找廉价$2$ -边连通子图的近似算法的重要一步，最近受到了广泛的关注。这最终导致了$\frac{5}{3}$ -近似算法。然而，该算法及其分析相当复杂，不能与该问题的著名LP松弛（称为切割LP）进行比较。在本文中，我们提出了一个简单的算法，引导下的最佳解决方案，以削减LP，首先选择一个DFS树，然后找到一个解决方案，MAP通过计算最佳增强这棵树。使用极值点解的性质，我们表明，我们的算法总是返回（在多项式时间）比$2$ -近似相比，削减LP。因此，我们也得到一个改进的上界的完整性差距，这种自然松弛。
2022-08-24 cs.DS math.CO math.OC
Fractional matching number and spectral radius of nonnegative matrix of graphs
图$G$的分数匹配是函数$f:E(G) \to [0,1]$，使得对于任何$v\in V(G)$，$\sum_{e\in E_G(v)}f(e)\leq 1$，其中$E_G(v) = \{e \in E(G): e$与$G\}$中的$v$关联。$G$的分数匹配数是$μ_{f}(G) = \max\{\sum_{e\in E(G)} f(e): f$是$G\}$的分数匹配。对于任何实数$a \ge 0$和$k \in (0, n)$，观察到如果$n = |V(G)|$和$δ(G) > \frac{n-k}{2}$，则$μ_{f}(G)>\frac{n-k}{2}$。我们确定了一个函数$φ(a, n,δ, k)$，并证明了对于具有$n = |V(G)|$，$δ(G) \leq\frac{n-k}{2}$，谱半径$λ_1(G)$和补$\overline{G}$的连通图$G$，以下每一个都成立。(i)如果$λ_{1}(aD(G)+A(G))<φ(a, n, δ, k),$则$μ_{f}(G)>\frac{n-k}{2}.$（ii）如果$λ_{1}(aD(\overline{G})+A(\overline{G}))<(a+1)(δ+k-1),$则$μ_{f}(G)>\frac{n-k}{2}.$作为推论，得到了分数完美匹配的充分谱条件以及涉及$Q$ -指标和$A_α$ -谱半径的类似结果，推…
2020-02-02 math.CO
Spectral radius and fractional matchings in graphs
图$G$的{ \it分数匹配}是一个函数$f$，在$[0,1]$中给每条边一个数字，使得对于每个$v\in V(G)$，有$\sum_{e \in Γ(v)} f(e) \le 1$，其中$Γ(v)$是与$v$关联的边的集合。$G$的{ \it分数匹配数}，写作$α'_*(G)$，是所有分数匹配$f$上的$\sum_{e \in E(G)} f(e)$的最大值。设$G$是一个具有最小度$d$的$n$ -顶点连通图，$λ_1(G)$是$G$的最大特征值，$k$是小于$n$的正整数.本文证明了如果$λ_1(G) < d\sqrt{1+\frac{2k}{n-k}}$，则$α'_*(G) > \frac{n-k}{2}$ .因此，我们证明了$α'_*(G) \ge \frac{nd^2}{λ_1(G)^2 + d^2}$，我们刻画了等式在界中成立。
2016-03-08 math.CO
Minimal spectral radius of graphs with given matching number
College of Science, University of Shanghai for Science and Technology（上海理工大学理学院）；Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal do Rio Grande do Sul（南里奥格兰德联邦大学数学与统计研究所）
本文研究了具有给定匹配数的图的谱半径最小问题，提出『准邻接』关系并构建了统一的结构分类框架，通过显式结构公式确定了极值图。
2026-01-26 math.CO
Signless Laplacian spectral radius and matching in graphs
图$G$的无符号拉普拉斯矩阵由$Q(G)=D(G)+A(G)$给出，其中$D(G)$是顶点度的对角矩阵，$A(G)$是邻接矩阵。$Q(G)$的最大特征值称为无符号拉普拉斯谱半径，用$q_1=q_1(G)$表示。本文建立了图的无符号拉普拉斯谱半径与完美匹配之间的一些性质。设$r(n)$是方程$x^3-(3n-7)x^2+n(2n-7)x-2(n^2-7n+12)=0$的最大根。我们表明，$G$有一个完美的匹配$n=4$或$n\geq10$，如果$q_1(G)>r(n)$，和$n=6$或$n=8$，如果$q_1(G)>4+2\sqrt{3}$或$q_1(G)>6+2\sqrt{6}$，其中$n$是一个正的偶数。此外，存在图$K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2}$使得$q_1(K_{n-3}\vee K_1 \vee \overline{K_2})=r(n)$是$n\geq4$，存在图$K_2\vee\overline{K_4}$使得$q_1(K_2\vee\overline{K_4})=4+2\sqrt{3}$，存在图$K_3\vee\overline{K_5}$使得$q_1(K_3\vee\overline{K_5})=6+2\sqrt{6}$。这些图都没有完美的匹配。
2021-11-10 math.CO
The maximum size of simple solid matching covered graphs
School of Mathematics and Statistics（数学与统计学院）；Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文否证了Lucchesi和Murty关于简单实心匹配覆盖图最大边数的猜想，证明最大边数为$n^2+2$，并刻画了达到该界的图，同时证明简单实心砖的边数上界为$n^2$。
2026-10-07 math.CO
On the time complexity of finding a well-spread perfect matching in bridgeless cubic graphs
本文提出一种O(n log^4 n)时间算法，用于在3-边连通三次图中寻找与每个3-边割恰好交于一条边的完美匹配，并应用于奇异边受限的图嵌入计算，支持Cycle Double Cover猜想研究。
2025-07-02 cs.DM cs.DS math.CO
Characterizing graphs of maximum matching width at most 2
最大匹配宽度是定义在图的顶点集上的分支分解上的宽度参数。在二部图中，最大匹配的大小被用作割函数。本文利用小障碍集刻画了最大匹配宽度不超过2的图。此外，我们计算网格的最大匹配宽度的精确值。
2016-06-23 cs.DM math.CO
Matching, odd $[1,b]$-factor and distance spectral radius of graphs with given some parameters
本文研究了图的匹配数与奇$[1,b]$-因子的存在性，给出了基于距离谱半径的严格上界条件。
2025-12-03 math.CO
A Tight Lower Bound on Cubic Vertices and Upper Bounds on Thin and Non-thin edges in Planar Braces
该研究证明不存在不含三次顶点的平面brace，得到了平面brace中三次顶点数的定量紧下界，以及细边与非细边的紧上界，推进了相关匹配覆盖图的边结构猜想研究。
2025-10-29 cs.DM math.CO
Spectral radius and k-factor-critical graphs
本文研究 $k$-因子临界图的谱刻画，给出其存在的谱半径充分条件，证明界为紧，并推广了已有完美匹配结果。
2024-01-29 math.CO
Perfect matchings and $A_α$-spectral radius in 1-binding graphs
Jiangsu University of Science and Technology（江苏科技大学）；Yantai University（烟台大学）
本文基于图论中完美匹配的判定条件，研究1绑定图的完美匹配存在性，通过$A_α$-谱半径与绑定数的关系，证明了特定条件下1绑定图存在完美匹配。
2026-09-24 math.CO
Degreewise Cut-Semigroup Saturation for $K_5$-Minor-Free Graphs and Seymour's Planar Edge-Colouring Conjecture
该论文证明了 $K_5$-无 minors 图的齐次割半群在高度 $k$ 的饱和性与平面 $k$-图的 $k$-边可染色性等价，从而将割多面体正规性猜想与 Seymour 平面边染色猜想联系起来。
2026-09-14 math.CO
On graphs with maximum Harary spectral radius
设$G$是一个顶点集为$V(G) = \{v_1 ,v_2 ,\cdots ,v_n\}$的简单图. $G$的Harary矩阵$RD(G)$（最初称为倒数距离矩阵）是$n \times n$矩阵，如果是$i\not=j$，则其$(i,j)$ -项等于$\frac{1}{d_{ij}}$，否则等于$0$，其中$d_{ij}$是$G$中$v_i$和$v_j$的距离。本文分别刻画了三类具有$n$顶点的简单连通图中具有最大Harary矩阵谱半径的图：具有固定匹配数的图、具有固定匹配数的二部图和具有给定割边数的图.
2014-11-25 math.CO
