Uniform Rectifiability and Harmonic Measure III: Riesz transform bounds imply uniform rectifiability of boundaries of 1-sided NTA domains
令$E\subset \mathbb{R}^{n+1}$，$n\ge 2$，是一个闭的，Ahlfors-David正则集的维数$n$满足“里斯变换界”$$\sup_{\varepsilon>0}\int_E\left|\int_{\{y\in E:|x-y|>\varepsilon\}}\frac{x-y}{|x-y|^{n+1}} f(y) dH^n(y)\right|^2 dH^n(x) \leq C \int_E|f|^2 dH^n .$$进一步假设$E$是一个域的边界$Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$满足Harnack链条件加上一个内部（而不是外部）Corkscrew条件。则$E$是一致可求正的。
2012-11-27 math.AP math.CA
Some remarks on Riesz transform on exterior Lipschitz domains
本文研究外部Lipschitz区域上Dirichlet椭圆算子的Riesz变换，在CMO或VMO系数条件下证明梯度与算子半幂的Lp范数等价，并给出热半群梯度一致有界性的替代结果。
2024-09-29 math.AP math.CA
Null sets of harmonic measure on NTA domains: Lipschitz approximation revisited
我们证明了螺旋形域内大片Lipschitz图的David-Jerison构造不要求其曲面测度是上Ahlfors正则的。这样我们就可以利用Lipschitz近似研究局部有限周长的NTA域上的调和测度与曲面测度的绝对连续性。F.和M.对空间中的NTA域，得到了平面单连通域的Riesz定理。因此，每个沃尔夫雪花都有无限的表面测量。
2010-10-28 math.AP math.CA
Stability of the Riesz-type inequalities under gluing
Sun Yat-sen (Zhongshan) University（中山大学）；Macquarie University（麦考瑞大学）
本文证明在紧致粘合下逆平方根不等式和Riesz变换的稳定性，通过模型流形粘合与Fredholm构造，控制误差并推广至外部域边值问题。
2026-09-21 math.AP
The Navier--Stokes equations in exterior Lipschitz domains: $\mathrm{L}^p$-theory
证明了定义在$\mathrm{L}^p_σ (Ω)$上的Stokes算子对于外Lipschitz整环$Ω\subset \mathbb{R}^n$ $(n \geq 3)$具有极大正则性，只要$p$对某些$\varepsilon > 0$满足$| 1/p - 1/2| < 1/(2n) + \varepsilon$.特别地，我们证明了Stokes算子的负算子在$\mathrm{L}^p_σ(Ω)$上生成一个有界解析半群.此外，还得到了Stokes半群的$\mathrm{L}^p$ - $\mathrm{L}^q$ -映射性质及其梯度的最佳衰减估计.这使我们能够证明的存在性温和的解决方案的Navier-斯托克斯方程在临界空间$\mathrm{L}^{\infty} (0 , T ; \mathrm{L}^3_σ (Ω))$（局部时间和全球时间的小初始数据）。
2019-06-06 math.AP math.FA
Low Frequency Asymptotics and Electro-Magneto-Statics for Time-Harmonic Maxwell's Equations in Exterior Weak Lipschitz Domains with Mixed Boundary Conditions
我们证明了三维外区域中麦克斯韦方程组的时间调和解在频率趋于零时收敛于某一静态解。我们在加权索伯列夫空间中构造了Dirichlet-Neumann场的新的紧支撑置换.此外，我们甚至证明了收敛算子范数。
2020-07-17 math-ph math.AP math.FA
Time-Harmonic Electro-Magnetic Scattering in Exterior Weak Lipschitz Domains with Mixed Boundary Conditions
本文讨论了在被分成两个不相交的弱Lipschitz区域的外部弱Lipschitz区域中由Maxwell方程控制的时谐电磁散射或辐射问题。我们将给出一个利用旋转和发散的多项式加权索伯列夫空间的求解理论。我们将展示一个Fredholm替代型的结果，使用Eidus在20世纪60年代引入的限制吸收原理。麦克斯韦方程组的本征函数的必要的先验估计和多项式衰减将通过使用电磁场的适当分解来转移亥姆霍兹方程的众所周知的结果而获得。存在的关键点是Weck选择定理的局部版本，也称为Maxwell紧性。
2019-04-29 math-ph math.AP math.MP
Nonexistence and optimal decay of supersolutions to Choquard equations in exterior domains
考虑一类半线性椭圆问题，其非线性项为幂与幂的里斯位势的乘积。这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。我们证明了对于某些参数值，方程在外部区域不存在非平凡的非负上解。当存在上解时，同样的技术产生最优的衰减率。
2012-03-14 math.AP
Riesz transforms outside a convex obstacle
本文的目的是发展一些基本的调和分析工具的Dirichlet拉普拉斯算子的外部区域相关的一个光滑的凸障碍物的尺寸$d\geq 3$。具体来说，我们将讨论类似的米克林乘子定理，Littlewood-Paley理论和哈代不等式，最终证明齐次Sobolev范数定义的Dirichlet和全空间拉普拉斯是等价的可积指数$p$和正则性$s$的尖锐范围。反例表明，这些结果确实尖锐。特别地，我们精确地解决了里斯变换在$L^p$上的有界性问题，包括端点。这些结果在非线性偏微分方程研究中的实用性在于，它们使我们能够直接从经典的欧几里德设置中推导出重要的结果，如Dirichlet Laplacian的分数乘积和链式法则.作为应用，我们讨论了能量临界NLS的局部适定性和稳定性问题。本文的所有结果在作者证明三维外部区域中能量临界NLS的大数据全局适定性和散射中起着至关重要的作用;参见arXiv：1208：4904。
2014-12-11 math.AP
Riesz continuity of the Atiyah-Singer Dirac operator under perturbations of local boundary conditions
在具有光滑紧边界的光滑完备黎曼自旋流形上，证明了$\mathrm{L}^{2}$中的Atiyah-Singer Dirac算子$\mathrm{D}_{\mathcal B}$连续依赖于局部边界条件${\mathcal B}$的$\mathrm{L}^{\infty}$扰动.映射${\mathcal B} \to {\mathrm{D}}_{\mathcal B}(1 + {\mathrm{D}}_{\mathcal B}^2)^{-\frac{1}{2}}$的Lipschitz界依赖于${\mathcal B}$的Lipschitz光滑性和椭圆率、里奇曲率及其一阶导数的界以及内射半径的下界.更一般地，我们证明扰动估计的功能演算的椭圆算子流形上的局部边界条件。
2019-07-03 math.AP math.DG math.FA
Navier--Stokes flow in the exterior of a moving obstacle with a Lipschitz boundary
本文研究移动刚体外部三维Navier--Stokes流，证明线性化解由半群控制并满足L^q-L^r估计，进而在小速度和小初值条件下得到全局温和解的存在唯一性。
2024-02-08 math.AP
Riesz transforms in one dimension
研究了Riesz变换$\nabla L^{-1/2}$在$L^p$上的有界性，其中$L$是定义在$\R$或$\R_+$上的几个算子之一，赋予测度$r^{d-1} dr$，$d > 1$，其中$dr$是Lebesgue测度.对于整数$d$，这模拟了欧几里德$d$维空间上的测度，在这种情况下，我们的设置等价于观察作用于欧几里德空间或欧几里德空间的变体上的径向函数的拉普拉斯算子，例如球体的外部（具有狄利克雷或诺依曼边界条件），或$\R^d$的两个副本的连通和。在这种方式中，我们照亮了一些最近的结果的Riesz变换的渐近欧氏流形。然而，我们对$d > 1$的所有实值感兴趣，我们分析的另一个目标是研究作为$d$的函数的有界性范围;当$d$穿过2时，观察其行为特别有趣。例如，在我们的一个例子中，在$\R^d$的两个拷贝的连接和上建模径向函数，$L^p$有界性的上限阈值对于$d \ge 2$是$p=d$，对于$d < 2$是$p=d/(d-1)$。仅在$d=2$是Riesz变换的情况下，当$p$等于上阈值时，实际上在$L^p$上有界。我们还研究了Riesz变换时，我们有一个平方反比的潜力，或一个δ函数的潜力，这些情况下提供了一个简单的模型，最近的结果的第一作者和Guillarmou。最后，我们看看霍奇投影机在一个稍微更一般的设置。
2007-12-13 math.AP math.CA
The measures with $L^2$-bounded Riesz transform and the Painlevé problem
本文刻画了$\mathbb R^{n+1}$中具有$n$次多项式增长的测度使得$n$维Riesz变换属于$L^2(\mu)$的几何条件，并由此得到Lipschitz调和函数可去集的度量几何刻画及其在双Lipschitz映射下的不变性。
2025-10-07 math.AP math.CA
Riesz transform, function spaces and their applications on infinite dimensional compact groups
本文在紧致连通群上，通过引入两类Lipschitz空间，利用半群可微性和Riesz变换的L^p有界性，建立了泊松方程解在强与弱意义下的正则性结果。
2025-04-22 math.AP math.FA math.PR
Newtonian and single layer potentials for the Stokes system with $L^{\infty}$ coefficients and the exterior Dirichlet problem
利用基于$L^2$的索伯列夫空间中某些问题的混合变分形式，定义了${\mathbb R}^3$中Lipschitz域上具有$L^{\infty}$系数的Stokes系统的牛顿势和层势.然后利用这些势和相应的单层算子的逆，给出了具有$L^{\infty}$系数的Stokes系统的外狄利克雷问题的解.
2018-07-26 math.AP
Optimal Asymptotic Behavior at Infinity for Solutions of the Supercritical Lagrangian Mean Curvature Equation in Exterior Domains
School of Mathematical Sciences, Beijing Normal University（北京师范大学数学科学学院）
研究外域上超临界拉格朗日均曲率方程解在无穷远处的渐进行为，采用尺度依赖的差商方法和非局部势方法，无需对f二次求导，仅在Lipschitz正则性下获得定量Hessian收敛，得到所有维度和所有衰减率β>0的最优渐进行为，包括临界对数情况。
2026-06-07 math.AP
Quantitative Trace Estimates for the Maxwell system in Lipschitz Domains
我们开发了各种定量估计的各向异性麦克斯韦系统的Lipschitz域，重点是如何准确地依赖于该域的Lipschitz字符的估计。我们特别注意某些索伯列夫空间上的迹算子和扩张算子。最后，我们提供了一个弱制定的内部散射问题的外部Calderón运营商，并提供明确的边界的解决方案的内部问题的入射场和Lipschitz字符的域。
2020-10-02 math.AP
The measures with $L^2$-bounded Riesz transform satisfying a subcritical Wolff-type energy condition
在这项工作中，我们获得了$μ$中测量$μ$的几何特征，其中$n$具有多项式上阶增长，使得$n$维里斯变换$\mathcal{R}μ(x) = \int \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}\,dμ(y)$属于$L^2(μ)$，假设$μ$满足以下沃尔夫能量估计，对于任何球$B\subset\mathbb{R}^{n+1}$：$$\int_B \int_0^\infty \left(\frac{μ(B(x,r))}{r^{n-\frac38}}\right)^2\,\frac{dr}r\,dμ(x)\leq M\,\bigg(\frac{μ(2B)}{r(B)^{n-\frac38}}\bigg)^2\,μ(2B).$$更准确地说，我们证明$μ$满足以下估计：$$\|\mathcal{R}μ\|_{L^2(μ)}^2 + \|μ\|\approx \int\!\!\int_0^\infty β_{μ,2}(x,r)^2\,\frac{μ(B(x,r))}{r^n}\,\frac{dr}r\,dμ(x) + \|μ\|,$$其中$β_{μ,2}(x,r)^2 = \inf_L \frac1{r^n}\int_{B(x,r)} \left(\frac{\mathrm{dist}(y,L)}r\right)^2\,dμ(y),$的下确界取在所有仿射$n$ -平面$L\subset\…
2021-06-01 math.AP math.CA
Large time behaviour of a conservation law regularised by a Riesz-Feller operator: the sub-critical case
我们研究了标量守恒律的非局部正则化解的大时间行为。该正则化由$1+α$阶的分数阶导数给出，其中$α\in(0,1)$是Riesz-Feller算子。非线性通量由$q>1$的局部Lipschitz函数$|u|^{q-1}u/q$给出。我们表明，在亚临界的情况下，$1<q < 1 +α$，大的时间行为是由唯一的熵解的标量守恒律。我们的证明适应了局部情况下类似结果的证明（其中正则化是Laplacian），更接近地，由阶数大于1的分数Laplacian给出的正则化的证明，参见Reynat和Stan（2018）。主要的区别是我们的算子不是对称的，它的傅里叶符号不是实数。我们也可以调整证明，并获得类似的结果一般的Riesz-Feller算子。
2023-02-08 math.AP
Riesz continuity of the Atiyah-Singer Dirac operator under perturbations of the metric
证明了在光滑流形上，${\mathrm L}^2$中的Atiyah-Singer Dirac算子${\mathrm D}_{\mathrm g}$连续依赖于完备度量${\mathrm g}$的${\mathrm L}^{\infty}$扰动.映射${\mathrm g} \to {\mathrm D}_{\mathrm g}(1 + {\mathrm D}_{\mathrm g}^2)^{-\frac{1}{2}}$的Lipschitz界依赖于里奇曲率及其一阶导数的界以及内射半径的下界。我们的证明使用调和分析技术有关卡尔德龙的第一个换向器和加藤平方根问题。我们还证明了一般Dirac型算子在向量丛上的更一般函数的扰动结果。
2017-10-11 math.AP math.DG math.SP
Artificial boundary conditions for linearized stationary incompressible viscous flow around rotating and translating body
本文研究了在具有Lipschitz边界的外部区域B中，线性化和非线性定常不可压旋转和平移物体的绕流问题。在这两种情况下，我们得到了压力的逐点估计。此外，我们考虑了在外部区域B的截断区域B_R中的线性化问题，在截断边界上的某些人工边界条件下，然后将此解与外部区域B中的解进行比较，得到截断误差的截断误差估计。
2019-10-02 math.AP
Eigenvalue inequalities for Schrödinger operators on unbounded Lipschitz domains
给出了外Lipschitz域上的薛定谔微分表达式，证明了相应的自伴算子在Dirichlet和Neumann边界条件或Dirichlet和混合边界条件下的特征值之间的严格不等式.此外，我们还证明了同一区域上两个不同椭圆型微分算子在Dirichlet边界条件下的特征值之间的一个严格不等式。
2016-01-14 math-ph math.AP math.MP
Partial spectral multipliers and partial Riesz transforms for degenerate operators
考虑了$L^2(\mathbb{R}^d)$上的退化微分算子$A = \displaystyle{\sum_{k,j=1}^d \partial_k (a_{kj} \partial_j)}$，其系数为实对称有界可测.给定一个函数$χ\in C_b^\infty(\mathbb{R}^d)$（$Ω$是有界Lipschitz域），并假设$(a_{kj}) \ge μ> 0$ a.e.在$ \supp χ$上（分别，a.e.在$Ω$上）。本文证明了一个谱乘子型结果：若$F\colon [0, \infty) \to \mathbb{C}$使得对于某个非平凡函数$φ\in C_c^\infty(0,\infty)$和某个$s > d/2$，$\sup_{t > 0} \| φ(.) F(t .) \|_{C^s} < \infty$，则$M_χF(I+A) M_χ$是弱型$(1,1)$（分别为$P_ΩF(I+A) P_Ω$是弱型$(1,1)$）。我们还证明了部分里斯变换$M_χ\nabla (I + A)^{-1/2}M_ χ$的所有$p \in (1,2]$在$L^p$上的有界性。证明是基于一个标准的奇异积分算子是弱型$(1,1)$。
2012-02-09 math.AP
Spacelike graphs with prescribed mean curvature on exterior domains in the Minkowski spacetime
考虑Minkowski时空中中曲率算子的狄利克雷问题，得到了类空解存在的一个充要条件，该类空解具有预定的中曲率，它是定义在一个域上的函数的图，该域等于有限个有界Lipschitz域之并的$\mathbb R^n$中的补.假设中曲率$H=H(x,t)$具有由局部有界的$L^p$函数$p\in [1,2n/(n+2)]$、$n\geq 3$从上方控制的绝对值。
2021-09-22 math.AP
A new series solution method for the transmission problem
利用一般形状域的外共形映射，导出了Neumann-Poincare算子的解析级数表示.我们利用Faber多项式基对任意Lipschitz域导出了该公式。利用所提出的方法，我们可以通过求矩阵的特征值来逼近光滑区域的谱。我们还明确地找到了边界积分方程与外共形映射之间的联系。
2019-04-03 math.AP
Integral potential method for a transmission problem with Lipschitz interface in ${\mathbb R}^3$ for the Stokes and Darcy-Forchheimer-Brinkman PDE systems
本文在加权索伯列夫空间中得到了非线性Darcy-Forchheimer-Brinkman系统和线性Stokes系统在两个互补Lipschitz域${\mathbb R}^3$中传递问题的存在唯一性结果，其中一个是具有连通边界的有界Lipschitz域$Ω$，另一个是外Lipschitz域${\mathbb R}^3\setminus \overline{Ω}$ .我们利用层势方法结合不动点定理的Stokes和Brinkman系统，以显示所需的存在性和唯一性结果，只要给定的数据是适当的小，在一些加权索伯列夫空间和边界索伯列夫空间。
2016-09-04 math.AP
Existence and uniqueness of the scattering solutions in the exterior of rough domains
证明了一类远大于Lipschitz障碍的有界粗糙障碍散射解的存在唯一性。不使用积分方程方法。该方法是基于自伴算子通过封闭对称二次型的表示定理和限制吸收原理。对于Dirichlet边界条件，不需要对边界的光滑性作任何假设;对于Neumann边界条件和Robin边界条件，则需要对边界的光滑性作一些假设。
1999-11-28 math-ph math.AP math.MP
Propagation Phenomena for Nonlocal Dispersal Equations in Exterior Domains
研究了一类具有非线性项或多稳定项的非局部扩散方程在外部区域的空间传播问题。我们得到的整体解的存在性和唯一性，表现得像一个平面波阵面的时间去负无穷大。特别地，当整个解到达内部区域时，整个解的轮廓上发生一些扰动。但当整个解远离内部区域时，扰动消失。进一步证明了对于紧致凸内域，随着时间的推移，解可以逐渐恢复其平面波轮廓并继续沿同一方向传播。我们的工作通过使用Li et al.（2010）的新的已知Liouville结果和整体解的Lipschitz连续性将Berestycki et al.（2009）的局部（Laplace）扩散结果推广到非局部扩散设置。
2020-05-04 math.AP
Weighted heat traces of the Dirichlet Laplacian on Lipschitz domains
University of Gothenburg（哥德堡大学）；Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）
本文证明 Lipschitz 域上 Dirichlet Laplacian 加权热迹的渐近展开，并应用于加权 Riesz 均值和特征函数局部化测度的收敛。
2026-09-16 math-ph math.AP math.MP
The Dirichlet Laplacian with a point interaction on unbounded Lipschitz domains
University of Milano Bicocca（米兰比可卡大学）
研究二维和三维无界区域上狄利克雷拉普拉斯算子的单中心点相互作用，通过自伴扩张构造算子，用Kre\uın公式等方法，刻画负谱等，建立单调性、渐近性等，分析阈值现象。
2026-07-07 math-ph math.AP math.MP
Boundary Lipschitz Regularity and the Hopf Lemma on Reifenberg Domains for Fully Nonlinear Elliptic Equations
该研究针对完全非线性椭圆方程，提出统一方法证明Reifenberg区域上的边界Lipschitz正则性与Hopf引理，明确内外Reifenberg $C^{1,\mathrm{Dini}}$条件对应的成立情形，拓展了常规条件下的已有结论。
2019-12-27 math.AP
Weck's Selection Theorem: The Maxwell Compactness Property for Bounded Weak Lipschitz Domains with Mixed Boundary Conditions in Arbitrary Dimensions
证明了具有弱外部性和余导数的微分形式空间是紧嵌入到平方可积〔的〕微分形式空间中的。研究了弱Lipschitz域上的混合边界条件。此外，规范的应用，如麦克斯韦估计，亥姆霍兹分解和静态解理论证明。作为一个副产品和重要的工具，我们的证明，我们表明存在的正规潜力和正规分解以及。
2019-04-30 math-ph math.AP math.MP
Hodge-Dirac, Hodge-Laplacian and Hodge-Stokes operators in L^p spaces on Lipschitz domains
研究作用在Lp（$Ω$，λ）中的Hodge-Dirac算子D = d + $δ$，其中$Ω$是Rn中满足某种利普希茨条件的有界开子集，λ是Rn的外代数，d是作用在$Ω$上微分形式的de Rham复形上的外导数，$δ$是具有切向边界条件的内导数.在L2（$Ω$，λ）中，$δ$ = d * 且D是自伴的，因此在L2（$Ω$，λ）中有界预解式（I + itD）-1 t $\in$ R以及有界谓词演算.研究了p H \textless{} p \textless{} p H关于p = 2值域，其中D在Lp（$Ω$，λ）中具有有界预解式和有界全纯谓词演算.在我们称之为非常弱Lipschitz的域上，我们证明了这是与Lp（$Ω$，λ）具有Hodge（或Helmholz）分解的值的范围相同的值的范围，是包含2的开区间。Hodge-Laplacian Δ是Hodge-Dirac算子的平方，即--Δ = D2，所以当p H \textless{} p \textless{} p H时，它在Lp（$Ω$，λ）中也有界谓词演算.但是，具有Hodge边界条件的Stokes算子，即-Δ对Lp中无散度向量场的子空间的限制，（$Ω$，λ 1）具有切向边界条件，对于p的进一步值，即对于max{1，p H S } \textless{} p \textless{} p H，p H S是p H以下的Sobolev指数…
2016-08-05 math.AP math.CA math.FA
Boundary Regularity for Fully Nonlinear Parabolic equations on $C^{1,\mathrm{Dini}}$ Domains
本文通过统一的扰动方法，证明了完全非线性抛物型方程在 $C^{1,\mathrm{Dini}}$ 域上的边界逐点 Lipschitz 正则性与 Hopf 引理，并进一步得到了全局 ${W}^{2,δ}$ 正则性。
2025-08-11 math.AP
The fractional Laplacian in Lipschitz domains: Dahlberg's Theorem and $L^{2}$-solvability
研究有界李普希茨区域中分数阶拉普拉斯算子的达尔伯格定理与\(L^{2}\)可解性，通过建立定量理论、得到反向赫尔德估计等方法，得出外部狄利克雷问题可解性等结果，并应用于相关问题推导最优正则性估计。
2026-07-17 math.AP
The Maxwell Compactness Property in Bounded Weak Lipschitz Domains with Mixed Boundary Conditions
对于有界弱Lipschitz域，我们证明了所谓的“Maxwell紧性”，即具有平方可积〔的〕弱旋转和发散，满足混合切边和法边条件的平方可积〔的〕空间紧嵌入到平方可积〔的〕空间的向量场中.我们还将证明一些典型的应用，如麦克斯韦估计，亥姆霍兹分解和静态解理论。此外，一个Fredholm替代基本的时间谐波麦克斯韦问题和所有相应的和相关的结果制定外域加权索伯列夫空间是直接向前。
2019-01-23 math-ph math.AP math.MP
Optimisation of the lowest Robin eigenvalue in exterior domains of the hyperbolic plane
Università degli studi di Napoli Federico II（那不勒斯费德里科二世大学）；Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）；Nuclear Physics Institute, Czech Academy of Sciences（捷克科学院核物理研究所）
研究超平面外域中Robin本征值的优化问题，证明测地盘外的最低本征值在固定面积或周长约束下最大，且获得临界常数的反向不等式。
2026-01-15 math.AP math.OC math.SP
Korn and Poincaré-Korn inequalities: A different perspective
该研究提出了针对一般指数p和含Lipschitz区域的一类区域的Korn不等式的简洁论证思路，借助Riesz表示定理简化证明，并补充推导了有界与无界区域的Poincaré-Korn不等式，为弹性变分问题和第一Korn不等式证明提供支撑。
2024-08-17 math.AP
First-Kind Boundary Integral Equations for the Dirac Operator in 3D Lipschitz Domains
我们发展了三维Lipschitz域中欧氏Dirac算子的第一类边界积分方程，该域包含平方可积势且只涉及弱奇异核.导出了广义戈尔丁不等式，并证明了所得到的边界积分算子是指标为零的Fredholm算子.他们的有限维内核的特点，我们表明，他们的尺寸等于域的边界的拓扑不变量的数量，换句话说，它的贝蒂数的总和。这是解释的基本发现，相关的双线性型同意的二维表面狄拉克运营商诱导的H-1/2表面德拉姆希尔伯特复合体，其基础的内积是通过经典的单层边界积分算子的拉普拉斯定义的非局部内积。给出了Dirac系统在无界外区域自然能量空间中适定性的衰减条件。
2021-10-13 math.AP math.DG
Lipschitz spaces adapted to Schrödinger operators and regularity properties
考虑$\mathbb{R}^n, n\ge 3,$中的薛定谔算子$\mathcal{L}=-Δ+V$，其中$V$是一个非负势，满足\begin{equation*} \left( \frac{1}{|B|}\int_B V(y)^qdy\right)^{1/q}\le \frac{C}{|B|}\int_B V(y)dy, \, \text{ for some }q>n/2. \end{equation*}类型的逆Hölder条件我们定义$Λ^α_{\mathcal{L}},\, 0<α<2,$为一类可测函数，使得$$ \|ρ(\cdot)^{-α}f(\cdot)\|_\infty<\infty \quad \, \, \text{and}\:\: \quad \sup_{|z|>0}\frac{\|f(\cdot+z)+f(\cdot-z)-2f(\cdot)\|_\infty}{|z|^α}<\infty, $$其中$ρ$是与$\mathcal{L}$相关的临界半径函数。设$W_y f = e^{-y\mathcal{L}}f$是$\mathcal{L}$的热半群.给定$α>0,$，我们用$Λ_{α/2}^{W}$表示满足\begin{equation*} \|ρ(\cdot)^{-α}f(\cdot)\|_\infty<\infty \hbox{ and } \Big\|\…
2020-09-11 math.AP math.CA math.FA
Weyl's law for the Steklov problem on surfaces with rough boundary
具有Lipschitz边界的域上Steklov问题的Weyl定律的有效性是谱几何中一个著名的公开问题。我们回答这个问题，在两个维度，并表明外尔定律适用于更大的一类表面粗糙的边界。这个类别包括具有内部尖点的域以及“慢”外部尖点的域。此外，外尖点速度的条件不能改进，这使得我们的结果在某种意义上是最优的。证明是基于Suslina和Agranovich的方法，结合一些观察到的边界行为的共形映射。
2022-04-11 math.AP math.FA math.SP
Potential maps, Hardy spaces, and tent spaces on special Lipschitz domains
设$Ω$是Lipschitz图上的$\mathbb{R}^n$中的开区域，$d$表示$\mathbb{R}^n$上的外导数.我们构造了一个卷积算子$T $，它保持了$\bar{Ω$ }的支持，在齐次函数空间上是一阶光滑的，并且在$dT$是支持于$\barΩ$的精确形式空间上的恒等式的意义下是一个势映射.因此，如果$f$是精确的并且在$\barΩ$中得到支持，则存在由$u=Tf$给出的、具有最优规则性并且在$\barΩ$中得到支持的潜在$u$，使得$du=f$。这对$Ω$上的de Rham复体在有或没有边界条件的齐次函数空间中的正则性有影响。算子$T$被用来获得精确形式的Hardy空间$H^p$的原子特征，当$n/(n+1)<p\leq1$。这是通过在帐篷空间$\mathcal T^p(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^+)$中的函数的原子分解来完成的，帐篷空间$T(Ω)$中的支持是远离$Ω$边界的支持的原子之和。帐篷空间的这种新分解是有用的，甚至对于标量值函数也是如此。
2012-02-20 math.AP math.DG math.FA
Coercivity, essential norms, and the Galerkin method for second-kind integral equations on polyhedral and Lipschitz domains
我们知道，当有界Lipschitz域的边界为双层位势算子$D$的边界时，在自然迹空间$H^{1/2}(Γ)$上，经典的双层位势算子$D$作为算子具有本质范数$<1/2$.这意味着，对于位势理论中Dirichlet和Neumann问题的标准第二类边界积分方程，对于在$H^{1/2}(Γ)$中渐近稠密的有限维子空间$(\mathcal{H}_N)_{N=1}^\infty$序列，Galerkin方法在$H^{1/2}(Γ)$中收敛。长期存在的问题是，对于$D$的基本范数是否也是$<1/2$，作为2-d中所有Lipschitz $Γ$的$L^2(Γ)$上的算子;或者，对于二维和三维的所有Lipschitz $Γ$，或者至少对于三维的较小类Lipschitz多面体，较弱的条件是算子$\pm \frac{1}{2}I+D$是强制算子的紧扰动--这是Galerkin方法对$L^2(Γ)$中渐近稠密的每个子空间序列$(\mathcal{H}_N)_{N=1}^\infty$收敛的充分必要条件。我们以消极的方式解决这些悬而未决的问题。我们给出了2-d和3-d Lipschitz域的例子，其中Lipschitz常数等于1，$D$的本质范数是$\geq 1/2$，以及Lipschitz常数为2，算子$\pm \frac{1}{2}I +D$不是强制紧的例子。我们也给，对于每一个$C>0$，Lipsch…
2021-11-04 cs.NA math.AP math.NA
Perturbation of elliptic operators in 1-sided NTA domains satisfying the capacity density condition
令$Ω\subset\mathbb{R}^{n+1}$、$n\ge 2$是单侧非切向可达域（也称为均匀域），即，一组满足内部螺旋形和Harnack链条件，分别规模不变/定量版本的开放性和路径连通性。假设$Ω$满足所谓的容量密度条件。设$L_0u=-\mathrm{div}(A_0\nabla u)$，$Lu=-\mathrm{div}(A\nabla u)$是两个实（不一定对称）一致椭圆算子，对于相关的椭圆测度记为$ω_{L_0}$，$ω_L$.该程序的目标是找到保证$ω_L$满足关于$ω_{L_0}$的$A_\infty$ -条件或$RH_q$ -条件的充分条件。我们证明了，如果两个矩阵的差异满足一个自然的Carleson测量条件，就$ω_{L_0}$，然后$ω_L\in A_\infty(ω_{L_0})$。此外，如果假设Carleson测度条件在一个足够小的常数下成立，则对于任何给定的$1<q<\infty$，$ω_L\in RH_q(ω_{L_0})$。这扩展了Febriman-Kenig-Pipher和Milakis-Pipher-Toro以前的工作，他们考虑了Lipschitz和弦弧域。在这里，我们超越了容量密度条件比外部螺旋球的存在要弱得多。“大常数”的情况下，其中的差异满足Carleson测量条件，是新的，即使是很好的域，如单位球，上半空间，或Lipschitz域，…
2021-03-19 math.AP math.CA
Coercive second-kind boundary integral equations for the Laplace Dirichlet problem on Lipschitz domains
针对Lipschitz域上Laplace Dirichlet问题，提出连续且强制的第二类边界积分方程新公式，确保Galerkin方法收敛且矩阵良态，克服了标准公式在某些域上不收敛的缺陷。
2024-05-27 cs.NA math.AP math.NA
The Dirichlet-conormal problem for the heat equation with inhomogeneous boundary conditions
考虑柱域上热方程的混合Dirichlet余正规问题，其基为有界Lipschitz基$Ω\subset \mathbb{R}^d$，分离度为时间依赖的$Λ$ .在一定的温和的正则性假设下，$Λ$，我们证明了任何$q>1$充分接近1，混合问题在$L_q$是可解的。换句话说，对于任意给定的抛物Riesz势空间$\mathcal{L}_q^1$中的Dirichlet数据和$L_q$中的Neumann数据，存在唯一解，并且其梯度的非切向极大函数在区域的侧边界上的$L_q$中。当使用$q=1$时，当数据位于Hardy空间中时会显示类似的结果。在定义域$Ω$的边界是Reifenberg平坦的且分离度局部足够接近于$m$变量的Lipschitz函数的条件下，我们还证明了任意$m=0,\ldots,d-2$的唯一可解性.特别地，当$m=0$，即，$Λ$是余维$2$的Reifenberg平坦的，我们得到了$L_q$在最优范围$q\in (1,2)$内的可解性.对于拉普拉斯方程，这些结果在[6，5，7]和[14]中建立。
2021-11-23 math.AP
Condensation of fermion pairs in a domain
我们考虑一种零温低密度的费米子气体，通过一个允许束缚态的微观两体势相互作用。粒子被限制在一个域的Dirichlet（即零）边界条件。本文从微观BCS理论出发，导出了描述费米子对凝聚的宏观Gross-Pitaevskii（GP）理论。GP理论也有Dirichlet边界条件。一路上，我们证明了GP的能量，定义与Dirichlet边界条件上的有界Lipschitz域，是连续的内部和外部的近似下，该域。
2016-08-03 cond-mat.quant-gas math-ph math.AP
Tangents, rectifiability, and corkscrew domains
在最近的一篇论文中，Csörnyei和Wilson证明了$σ$ -有限长度的欧几里得空间中的曲线在一组正的$\mathscr{H}^{1}$ -测度上有切线。他们还表明，一个更高的维度模拟这个结果是不可能的，没有一些额外的假设。本文证明了：如果$Σ\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$具有以$Σ$为中心的每个球包含两个位于$Σ^{c}$不同分量中的大球的性质，且$Σ$具有$σ$ -有限$\mathscr{H}^{d}$ -测度，则它在一组正的$\mathscr{H}^{d}$ -测度中具有$d$ -维切点.我们也给出了较短的证明，Semmes表面是一致可求长的，如果$Ω\subseteq \mathbb{R}^{d+1}$是一个外部的螺旋形域的边界具有局部有限的$\mathscr{H}^{d}$措施，可以找到一个Lipschitz子域相交的大部分边界。
2016-12-28 math.AP math.CA math.MG
Existence of optimal shapes for heat diffusions across irregular interfaces
本文研究不规则界面上两种介质间的热传导问题，通过引入双侧迹算子和Mosco收敛，证明了一类允许分形边界的(ε, ∞)-域中存在使热能传递最大化的最优形状，而Lipschitz域中通常无法达到该最优值。
2023-12-04 math-ph math.AP math.FA
Geometric series expansion of the Neumann-Poincaré operator: application to composite materials
Neumann-Poincaré算子是区域边界上的一种奇异积分算子，它在求解电导率传输问题的边界积分公式时自然出现。最近，Neumann-Poincaré算子的一个级数表达式在二维几何函数理论的基础上开发。在本文中，我们研究了复合材料的几何性质，利用这个级数展开。特别地，我们得到明确的公式的极化张量和有效电导率的夹杂物或周期阵列的夹杂物的任意形状的极值电导率，在相关的外部共形映射。通过数值计算，我们还观察到Neumann-Poincaré算子的谱随夹杂变形的变化具有单调性。另外，利用Lipschitz域的极化张量的性质，得到了任意Lipschitz域的Riemann映射系数的不等式关系.
2020-09-16 math.AP
Resolvent Estimates in $L^\infty$ for the Stokes Operator in Nonsmooth Domains
本文在非光滑域上建立了 Stokes 算子在有界螺线管函数空间中的预解估计，证明了其生成一致有界解析半群，并给出了尖锐的光滑性条件，关键步骤是尺度相关的压力-速度 $L^q$ 估计。
2025-10-17 math.AP
A look into some of the fine properties of functions with bounded $\mathscr A$-variation
本文研究具有有界$\mathscr A$-变差函数的精细性质，证明其单侧$L^p$-近似极限、迹的逐点刻画、不连续集的零Riesz容量以及$k$阶$L^p$-可微性，并提出将高阶算子分析化归为一阶方法的分解技术。
2025-01-06 math.AP
M-dissipative boundary conditions and boundary tuples for Maxwell operators
对于Lipschitz域上的Maxwell算子$(E,H) \to (i ε^{-1} \nabla\times H, -i μ^{-1} \nabla \times E)$，我们描述了所有的m-耗散边界条件，并将此结果应用于广义阻抗和Leontovich边界条件，包括奇异、退化和随机阻抗系数的情况.为此，我们构造Riesz基的迹空间与卷曲算子，并介绍了一个修改版本的边界三元组适用于具体的麦克斯韦方程组，即，相关的迹空间的混合阶对偶。这提供了一个翻译的问题，以运营商的理论设置抽象麦克斯韦运营商。特别是，我们表明，卡尔金约化算子自然连接Leontovich边界条件，并提供了一个抽象版本的阻抗边界条件适用于其他类型的波动方程。利用相关边界算子的Friedrichs和Krein-von Neumann扩展，可以将m-耗散Maxwell算子与任意非负可测阻抗系数相关联。
2021-10-09 math-ph math.AP math.FA
A Sobolev-type inequality for the curl operator and ground states for the curl-curl equation with critical Sobolev exponent
令$Ω\subset \mathbb{R}^3$是Lipschitz域，并令$S_\mathrm{curl}(Ω)$是最大常数，使得对于$W_0^6(\mathrm{curl};Ω)\subset W_0^6(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)$中的任何$u$，都有$$ \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\times u|^2\, dx\geq S_{\mathrm{curl}}(Ω) \inf_{\substack{w\in W_0^6(\mathrm{curl};\mathbb{R}^3)\\ \nabla\times w=0}}\Big(\int_{\mathbb{R}^3}|u+w|^6\,dx\Big)^{\frac13} $$，其中$W_0^6(\mathrm{curl};Ω)$是$\{u\in L^6(Ω,\mathbb{R}^3): \nabla\times u\in L^2(Ω,\mathbb{R}^3)\}$中的$\mathcal{C}_0^{\infty}(Ω,\mathbb{R}^3)$关于范数$(|u|_6^2+|\nabla\times u|_2^2)^{1/2}$的闭包。我们发现，$S_{\mathrm{curl}}(Ω)$是严格大于经典的Sobolev常数$S$在$\mathbb{R}^3$。此外，$S_{\ma…
2021-06-11 math.AP
