Pontryagin maximum principle, (co)adjoint representation, and normal geodesics of left-invariant (sub-)Finsler metrics on Lie groups
本文从李群和李代数理论的起源、李群和李代数的（余）伴随表示以及时间最优问题的庞特里亚金（Pontryagin）最大值原理出发，为用测地线向量场方法寻找李群上左不变（次）Finsler度量的正规测地线和寻找（次）黎曼情形下相应的局部最优控制提供了独立的基础。以及它们的一些应用。
2019-06-13 math.DG
A simply connected nilpotent Lie group with a closed geodesic
University of Wollongong（伍伦贡大学）
给出一个六维单连通幂零李群及左不变黎曼度量，其存在非常值闭测地线，回答了Böhm--Lafuente关于同胚于欧氏空间的齐性黎曼流形能否有闭测地线的问题。
2026-07-07 math.DG
Einstein Lie groups, geodesic orbit manifolds and regular Lie subgroups
本文研究爱因斯坦李群与测地轨道李群的关系，证明大量紧单爱因斯坦李群不是测地轨道流形，并通过刻画（弱）正则子群下的不变测地轨道度量，为测地轨道流形分类问题提供结构性结果。
2024-01-12 math.DG
Geodesics and shortest arcs of special sub-Riemannian metric on the Lie group $SL(2)$
作者发现了李群$SL(2)$上的左不变子黎曼矩阵的测地线、最短弧、割轨迹和共轭集，$SL(2)$相对于李群$SO(2)\subset SL(2)$是右不变的（换句话说，对于弱对称空间$(SL(2)\times SO(2))/SO(2)$上的不变子黎曼度量）。
2015-07-26 math.DG
Homogeneous geodesics of non-unimodular Lorentzian Lie groups and naturally reductive Lorentzian spaces in dimension three
我们确定，为所有的三维非么模李群配备了一个洛伦兹度量，齐次测地线通过一个点的集合。结合[C]和[CM 2]的结果，这导致了三维洛伦兹g.o.的完全分类。空间和自然还原空间。
2008-01-08 math.DG
Geodesic orbit spaces of compact Lie groups of rank two
测地线轨道空间是一类黎曼齐性空间（G/H，g），其测地线是G的单参数子群的轨道。本文对秩为2的紧李群的单连通测地轨道空间进行了分类。证明了度量g不是由G上的双不变度量导出的唯一空间是某些球面和射影空间，它们具有由Hopf纤维化导出的度量.
2020-10-08 math.DG
Geodesic Bases for Lie Algebras
对于有限维实李代数，我们研究了具有由测地元构成的基的内积的存在性。在某些情况下，我们给出了几个存在性和不存在性结果：有交换诣零根的幺模可解李代数，有交换导出代数的代数，有余维为一个特殊理想的代数，维数为\leq 4的非幺模代数，以及维数为5的幺模代数.
2013-12-08 math.DG
Totally Geodesic Riemannian Foliations on Compact Lie Groups
在1986年，Ranjan质疑从一个具有双不变度量的紧致单李群的下沉$π: G\to B$是否是陪集叶理，只要下沉是具有全测地纤维的黎曼。在这里，我们肯定地回答这个问题，即使当淹没只定义在一个开放的子集的$G$（假设适当的假设）。
2020-07-13 math.DG
Arithmeticity of totally geodesic Lie foliations with locally symmetric leaves
R. Zimmer证明了，在紧致流形上，具有稠密叶、合适的逐叶Riemannian对称度量和横向Lie结构的叶理具有算术和乐群。在这项工作中，我们改进了这样的结果，全测地叶理表明，流形本身是算术。在某些特殊情况下，这也对E.吉斯
2007-01-08 math.DG
Closed Geodesics on Compact Nilmanifolds with Chevalley Rational Structure
我们继续研究了由单连通二步幂零李群和格构成的具有左不变度量的幂零流形上的闭测地线的分布。考虑实有限维向量空间上紧致半单李代数的不可约表示所构造的李群及其2步幂零李代数.本文在半单李代数上确定了由Chevalley有理结构产生的格的零流形具有闭测地线密度性质的充分条件。
2007-03-30 math.DG
Characterization of curves that lie on a geodesic sphere or on a totally geodesic hypersurface in a hyperbolic space or in a sphere
对所谓的旋转最小化帧的考虑允许通过与指示帧运动的系数相关的线性方程来简单且优雅地表征欧几里得空间中的平面和球面曲线。在这项工作中，我们将这些调查的特点，躺在测地球或全测地超曲面的常曲率的黎曼流形。使用测地球面曲线是正态曲线，即，它们是欧氏球面曲线在指数映射下的像，我们可以通过一个非齐次线性方程刻画双曲空间和球面中的测地球面曲线.最后，我们还证明了全测地超曲面（在黎曼几何中扮演超平面的角色）上的曲线应该用齐次线性方程来刻画。总之，我们的结果给有趣的和显着的相似性双曲，球面，和欧几里得几何。
2018-03-26 math.DG
Geodesic orbit metrics on the compact Lie group $G_2$
本文利用（弱）正则李子群的表示论行为，分类了紧致李群 $G_2$ 上的左不变测地轨道度量，为低秩 g.o. 李群的进一步分类提供了工具与见解。
2025-07-15 math.DG
Geodesic completeness of some Lorentzian simple Lie groups
本文研究了当$G$上存在左不变Killing向量场$Z$时，单李群$G$上左不变Lorentz度量的测地完备性.在其他结果中，证明了如果$Z$是类时的，或者$G$是强因果的，并且$Z$是类光的，则度量是完备的。然后，我们考虑特殊的复杂李群$SL_2(\mathbb{C})$在更详细的，并表明，存在一个类光向量场$Z$，它意味着测地完备性。我们还考虑了类空向量场$Z$在$SL_2(\mathbb{C})$上的存在性，并给出了度量完备的等价条件。这说明了当$Z$是类空时情况的复杂性。
2020-08-02 math.DG
Geodesic orbit pseudo-Riemannian H-type nilmanifolds: case of minimal admissible Clifford modules
Osaka Metropolitan University（大阪公立大学）；University of Bergen（卑尔根大学）；Southern Mathematical Institute of VSC RAS（北高加索联邦科学院南方数学研究所）
本文研究了伪黎曼H型nilmanifold的测地轨道性质，扩展了Riehm关于黎曼H型李群的研究，并针对由最小维度可允许克利福德模块构造的李代数提供了完整特征化。
2026-09-02 math.DG
Multiplicity and stability of closed geodesics on bumpy Finsler 3-spheres
本文证明了对于每一个具有凹凸不可逆度量$F$的$\Q$ -同调Finsler 3-球面$(M,F)$，要么存在两条非双曲素闭测地线，要么至少存在三条素闭测地线.
2007-06-20 math.DG
Geodesics and shortest arcs of some sub-Riemannian metrics on the Lie groups $SU(2)\times\mathbb{R}$ and $SO(3)\times\mathbb{R}$ with three-dimensional generating distributions
本研究针对李群 $SU(2)\times\mathbb{R}$ 与 $SO(3)\times\mathbb{R}$ 上带三维生成分布的左不变次黎曼度量，推导得到测地线、最短弧、割迹、第一共轭迹及任意元素间距离的结果。
2023-06-10 math.DG
Geodesics and shortest arcs of some sub-Riemannian metrics on the Lie groups $SU(1,1)\times\mathbb{R}$ and $SO_0(2,1)\times\mathbb{R}$ with three-dimensional generating distributions
该研究针对李群$SU(1,1)\times\mathbb{R}$与$SO_0(2,1)\times\mathbb{R}$上带三维生成分布的左不变次黎曼度量，求解出测地线、最短弧、割迹及第一共轭迹，完善了相关几何结构的刻画。
2023-06-10 math.DG
Sub-Lorentzian geodesics on ${\rm GL}^{+}(2,\mathbb{C})$ with the generating space of Hermitian matrices in the Lie algebra $\mathfrak{gl}^{+}(2,\mathbb{C})$
本文在正实行列式矩阵李群 GL+(2,C) 上，以 Hermitian 矩阵子空间的 Minkowski 结构定义左不变次洛伦兹度量，借助时间反最优控制与 Pontryagin 最小值原理，并利用 SL(2,C) 上的次黎曼测地线，求出了非类空测地线和最长弧。
2023-10-27 math.DG
Sub-Riemannian geodesics on the three-dimensional solvable non-nilpotent Lie group $SOLV^-$
本文描述了三维可解李群$SOLV^-$上左不变次黎曼度量的测地线。
2011-08-25 math.DG math.OC
Geodesic Orbit Metrics on Compact Simple Lie Groups arising from Generalized Flag Manifolds
本文研究了连通单李群上的左不变测地轨道度量，其中度量由广义旗流形的结构构成。证明了单李群上所有左不变测地轨道度量都是自然约化的。
2018-05-04 math.DG math.GR
Geodesically Complete Lorentzian Metrics on Some Homogeneous 3 Manifolds
本文证明了李群上左不变伪黎曼度量的测地线完备的一个必要条件在三维幺模李群的情形下也是充分的，而在三维非幺模李群的情形下是不充分的.因此，在具有非紧（局部）各向同性群的紧致局部齐次洛伦兹三维流形中，可以识别出测地线完备的三维流形。
2008-12-18 math.DG
On geodesic orbit nilmanifolds
本文研究幂零李群上的测地轨道黎曼度量，构造出连续族的两两不同构的连通单连通幂零李群（均容许测地轨道度量），且族中群的最小维数为10。
2024-06-12 math.DG
Homogeneous geodesics in homogeneous Finsler spaces
本文研究了齐性Finsler空间中的齐性测地线。我们首先给出一个简单的标准，特点测地线向量。证明了李群上相对于双不变Finsler度量的测地线是单参数子群的陪集。建立了紧半单李群上无穷多个齐次测地线的存在性。我们引入了自然约化齐性Finsler空间的概念。作为特例，我们研究齐性Randers空间中的齐性测地线。最后，我们研究了齐次测地线的曲率性质。特别地，我们证明了S-曲率沿齐次测地线为零。
2007-06-24 math.DG
Homogeneous geodesics of left invariant Finsler metrics
本文研究了李群上左不变Finsler度量的齐次测地线集。我们首先给出一个简单的标准，特点测地线向量。作为应用，我们研究了李群上双不变Finsler度量的一些几何性质.特别地，给出了左不变Randers度量是Berwald型的一个充要条件.最后给出了齐次测地线与限制Finsler度量的临界点的对应关系。从而得到了关于齐次测地线存在性的结果。
2007-11-28 math.DG
The X-ray transform on 2-step nilpotent Lie groups of higher rank
证明了X射线变换在具有多个全测地$2$维平坦的$2$ -步幂零李群上的内射性和一个支撑定理。这个结果来自于具有一致逃逸测地线的流形的一般归约原理。
2016-01-18 math.DG
The Gödel Universe as the Lie Group with left-invariant Lorentz metric
本文将 Gödel 宇宙建模为带左不变 Lorentz 度量的 Lie 群，借助最优控制几何方法求出类时与各向同性测地线的初等函数表达式，并证明其不存在闭合类时或各向同性测地线。
2024-04-10 math.DG
Invariant totally geodesic unit vector fields on three-dimensional Lie groups
给出了三维李群上具有左不变度量的左不变单位向量场的完整列表，这些左不变场在具有Sasaki度量的群的单位切丛中生成全测地子流形.结果，每一类三维李群都存在全测地单位向量场。从几何观点看，该场是群上的平行场或自然几乎切触结构的特征向量场。
2005-12-20 math.DG math.GR
Totally Geodesic Foliations and Doubly Ruled Surfaces in a Compact Lie Group
对于从具有双不变度量的紧致李群的黎曼浸没，我们证明了它的和乐群在纤维上的作用是传递的。作为一个步骤，分类黎曼淹没与全测地线纤维，我们认为参数化的表面引起的提升基地测地线沿测地线在纤维中的点。这样的曲面是“双规则”的（它由水平测地线和垂直测地线控制）。它的特征性质使我们能够定义“双直纹参数曲面”在任何黎曼流形，独立的黎曼淹没。通过建立几个刚性定理和提供几个具有意想不到性质的例子，我们开始了紧李群和其他对称空间中的双直纹参数曲面的研究。
2009-10-20 math.DG math.MG
Sub-Riemannian geodesics on the 3-D sphere
单位球面$\mathbb S^3$可以用酉群SU（2）来标识。在这种标识下，单位球面可以被认为是一个非交换的李群。相应的李代数的向量场的对易关系定义了一个2步亚黎曼流形。利用Hamilton形式并求解相应的哈密顿系统，研究了次黎曼流形上的次黎曼测地线。
2008-06-03 math.DG
Geodesically Equivalent Metrics on Homogenous Spaces
流形上的两个度量在测地线上是等价的，如果它们的非参数化测地线的集合重合。本文证明了齐型空间$G/H$上任意签名的两个左$G$ -不变度量若测地线等价，则它们是仿射等价的，即它们具有相同的Levi-Civita联络.我们还证明了非比例的，测地线等价的，$G$不变度量的存在性，在齐性空间$G/H$意味着他们的holonomy代数不能是满的。我们给出了一个算法，以寻找所有的左不变度量测地线等价于一个李群上的给定的左不变度量。利用该算法，我们证明了球面$S^3$上任何签名的两个左不变度量在测地线上都不等价。然而，我们提出的例子李群，承认测地线等价，非比例，左不变的度量。
2018-05-21 math.DG
Central conjugate locus of 2-step nilpotent Lie groups
本文的目的有两个：1）计算位于单连通2步幂零李群中心的测地线的共轭轨迹，该李群具有左不变度量; 2）比较两个这样的幂零李群的等距类型，它们的中心测地线的共轭轨迹在适当的意义下是“相同的”。第一个目标已经实现。第二个是难以捉摸的，但我们得到了部分结果。
2015-07-20 math.DG
Geodesics in nilpotent Lie groups
研究了海森堡群H（SR和黎曼情形）中的测地线问题. H上（2n，2n+1）分布D的无穷小自同构层是一个无限可迁李代数层。
2007-12-07 math.DG math.DS math.OC
On a class of geodesic orbit spaces with abelian isotropy subgroup
黎曼测地轨道空间（G/H，g）是对称空间的自然推广，它的测地线是G的单参数子群的轨道。研究了（G/S，g）型测地轨道空间，其中G是紧的、连通的、半单的李群，S是交换的.我们给出了这些空间的一个简单的几何特征，即它们是自然约化的。反过来，这产生了G/S形式的任何空间上的不变测地线轨道（以及自然约化的）度量的分类。我们的方法涉及简化复杂的参数空间的测地轨道度量G/S减少他们的研究，以某些子流形和广义旗流形，并通过研究与这些流形的简单李代数的根系。
2020-04-26 math.DG
Geodesics on extensions of Lie groups and stability; the superconductivity equation
带电理想流体的运动方程和超导性方程（均在给定的磁场中）被证明是具有右不变度量的保体积同态群的一般中心扩张上的测地线方程。为此，需要对磁通量进行量化。我们在这两种情况下进行曲率计算，以获得有关稳定性的一些信息。
2001-03-23 math.AG math.DG
Homogeneous geodesics in pseudo-Riemannian nilmanifolds
研究了幂零李群$N$在赋伪黎曼左不变度量时的测地轨道性质。我们认为这个属性与不同的基团作用的等距。当$N$通过左平移作用于自身时，我们证明了它是测地轨道空间当且仅当度量是双不变的。假设$N$是二步幂零的，且中心非退化，给出了$N$的李代数$\mathfrak n$的代数条件，以证明每个测地线都是$N\rtimes\operatorname{Auto}(N)$的单参数子群的轨道.此外，我们提出了一个几乎g.o.空间，使得对于零齐次测地线，轨道的自然参数不总是测地线的仿射参数。
2014-09-24 math.DG
On the invariance properties of Vaidya-Bonner geodesics via symmetry operators
本文研究Vaidya-Bonner测地线的Noether对称性和Lie点对称性。研究了一维李点对称子代数的分类问题。事实上，两两非共轭的一维子代数的集合被称为最优子代数系。此外，作为说明性的例子，对称性分析的两个特殊情况下的系统。
2021-02-27 math.DG
Geodesics as deformations of one-parameter subgroups in homogeneous manifolds
在度量m的一个简单代数条件下，我们显式地求解了一类（伪）-黎曼齐次流形（G/H，m）的测地线方程，其中包括G紧的流形和非紧的半单李群.我们证明了这些流形是测地线完备的，并且它们的测地线是G的N个单参数子群的积在G/H中的轨道，其中N是自然数。这与度量m可以看作G/H中具有特殊对称性的黎曼度量的N参数变形密切相关。我们发现，存在着大量的度量具有上述类型的测地线;这些度量是从任何李群系列的形式H < H_1 <. < H_{N-1} < G.
2018-11-19 math.DG
Average signature of geodesic paths in compact Lie groups
Institute of Mathematical Sciences, ShanghaiTech University（上海科技大学数学科学研究所）
本文提出了一种新的平均签名概念，用于研究紧致连通李群中测地路径的几何特性，通过计算所有通用点对间唯一最短测地路径的签名的平均值，恢复了群的维度、直径、体积和标量曲率等几何量。
2026-05-19 math.DG math.PR
Nonlinear stability of the totally geodesic wave maps in non-isotropic manifolds
本文研究了各向异性黎曼流形中象是测地线的一类全测地映射。我们考虑它在波映射族中的非线性稳定性。我们首先建立因式分解性质，然后将稳定性问题转化为一个特殊构造的测地法坐标图中的偏微分方程系统。通过对双曲叶理的推广，我们建立了该偏微分方程组在小初值条件下的全局解的存在性，从而得到了几何稳定性。
2022-05-22 math.AP math.DG
Area bounds for minimal surfaces in geodesic ball of hyperbolic space
在双曲空间$H^n$中，我们设置一个半径为$ρ$的测地线球。考虑一个通过测地球原点的$k$维极小子流形，其边界位于测地球的边界上。证明了它的面积不小于该测地球中通过原点的全测地$k$维子流形。这是$R^n$中相应问题的部分推广。
2016-12-08 math.DG
Stability of Geodesic Spheres in $\mathbb{S}^{n+1}$ under Constrained Curvature Flows
本文讨论了$\mathbb{S}^{n+1}$中测地球在约束曲率流下的稳定性。我们证明了在速度和权函数的一些标准假设下，保持体积型量的扰动下的球是稳定的。这扩展了Bilier和Simonett，1998年，以及作者，2015年的结果，以黎曼流形设置。
2016-01-19 math.AP math.DG
Geodesic convexity and closed nilpotent similarity manifolds
某些幂零李群具有类似于作用于欧几里得空间的相似群的变换群。我们称这样的对为幂零相似结构。这是值得注意的情况下，所有卡诺集团和他们的分支。我们推广了Fried的一个定理：具有幂零相似结构的闭流形是完备的或辐射的，在后一种情况下，对于没有点的空间结构是完备的。证明依赖于一个设置中的凸参数的推广，在由李代数给出的坐标，我们研究测线段，而不是线性段。我们展示了经典的后果闭流形的几何模型的边界上的秩一对称空间。
2020-03-06 math.DG
A sharp stability estimate for the geodesic ray transform
本文证明了简单黎曼流形上$0$、$1$和$2$阶张量场的测地X射线变换的精确$L^2\to H^{1/2}$稳定性估计，并适当选取了$H^{1/2}$范数.我们表明，这样的估计持有一个家庭这样的$H^{1/2}$规范，而不是拓扑等价，但等价的范围内的变换。其原因是测地线X射线变换具有微局部结构范围。
2019-03-10 math.DG math.MG
Sub-Riemannian and sub-Lorentzian geodesics of the oscillator groups
Universidad Nacional de Córdoba（科尔多瓦国立大学）
本文研究振子群的次黎曼与次洛伦兹测地线，推广至半单李群与紧子群对应的Osc(G,K)，明确其测地线公式并实现为斯蒂弗尔丛。
2026-10-09 math.DG
The completeness problem on the pseudo-homothetic Lie group
本文解决了伪位似李群上的测地线完备性问题，构造了具有有界速度的完备度量族，并证明完备度量集非闭。
2025-07-15 math.DG
Integrability of geodesic flows for metrics on suborbits of the adjoint orbits of compact groups
设$G/K$是紧连通李群$G$的伴随表示的轨道，$σ$是$G$的对合自同构，$\tilde G$是$σ$的不动点李群.由$\tilde G$上的双不变黎曼度量导出了$\tilde G/(\tilde G\cap K)$上黎曼度量的测地线流完全可积的一个充分条件.这里所构造的积分是实解析函数，动量多项式。当$G$是酉群$U(n)$且$σ$是它的由复共轭定义的自同构时，证明了这个充分条件成立.
2016-11-19 math.DG
Geodesics and nodal sets of Laplace eigenfunctions on hyperbolic manifolds
设X是一个流形，具有常负曲率的完备黎曼度量和有限体积。我们证明了X中的全测地浸入超曲面的集合的有限性，这些超曲面位于某个Laplace特征函数的零水平集中。对于曲面，我们证明了这个数可以仅以曲面的面积为界。我们还提供了双曲曲面中的测地线的结构，这些曲面位于节集中，但不位于反射对称的不动点集中。
2018-11-17 math.DG math.SP
Two-step homogeneous geodesics in homogeneous spaces
研究了齐性空间$G/K$中$γ(t)=π(\exp(tX)\exp(tY))$，$X,Y\in \fr{g}=\operatorname{Lie}(G)$形式的测地线，其中$π:G\rightarrow G/K$是自然投影.这些曲线自然地推广了齐次测地线，即$G$的单参数子群（即$γ(t)=π(\exp (tX))$、$X\in \fr{g}$）的轨道。在齐性空间上得到了$X,Y\in \fr{m}=T_o(G/K)$存在测地线的充分条件。我们利用这些条件得到黎曼齐性空间$G/K$的例子，使得$G/K$的所有测地线都具有上述形式。这些包括全空间的齐次黎曼淹没赋予一个参数家庭的纤维丛度量，李群赋予特殊的一个参数家庭的左不变度量，广义Wallach空间，广义旗流形，和$k$ -对称空间与$k$ -甚至，配备了某些单参数家庭的不变度量。
2016-11-14 math.DG
First integrals on step-two and step-three nilpotent Lie groups
本文研究了具有左不变度量的幂零李群上测地流的首次积分的李代数上的代数关系。证明了$k$ -步幂零李群的等距代数$k=2,3$产生测地流的首次积分同构族。分析了不变的首次积分，给出了新的对合条件。最后证明了在低维情况下，利用Killing向量场和对称Killing 2-张量场可以构造完备的首次积分族.这对维数为$m\leq 5$和$k=2,3$的k步幂零李代数成立。第六维的情况也进行了研究。
2020-04-18 math.DG
Lattices and Periodic Geodesics in Pseudoriemannian 2-step Nilpotent Lie Groups
我们给出了这些群中格$Γ$的基本处理。某些环$T_F$和$T_B$提供了模型纤维和$Γ\backslash N$浸没的基础。这种浸没可能不是通常意义上的伪黎曼，因为环面可能是退化的。然后，我们开始研究这些紧的nilmanifold的周期测地线，获得一个完整的计算周期谱的某些平坦空间。
2008-02-26 math-ph math.DG math.MP
Existence of closed geodesics on positively curved Finsler manifolds
对于球面和射影空间上具有正旗曲率的不可逆Finsler度量，我们给出了关于闭测地线的个数和长度以及它们的稳定性的结果.
2005-06-17 math.DG
Invariant metrizability and projective metrizability on Lie groups and homogeneous spaces
本文研究了李群的标准联络所对应的测地线簇的特殊情况下的不变度量化和射影度量化问题。我们证明了这样的正则喷雾是射影Finsler度量化的当且仅当它是黎曼度量化的。这个结果意味着这个结构是刚性的，在这个意义上，考虑到左不变度量，潜在的更大类的投射芬斯勒度量化的正则喷雾，对应于李群，符合类的黎曼度量化的正则喷雾。这些结果的推广测地轨道空间。
2016-06-27 math.DG
Normal sub-Riemannian geodesics related to filtrations of Lie algebras
Mathematical Institute, Serbian Academy of Sciences and Arts（塞尔维亚科学与艺术院数学研究所）；Faculty of Mathematics, University of Belgrade（贝尔格莱德大学数学学院）
本文将Agrachev等人关于紧李群上单参数次黎曼结构正规测地线的显式解推广到一般李子群链，并描述了齐性空间上诱导次黎曼结构的正规测地线。
2026-06-23 math.DG math.OC nlin.SI
The stability conjecture for geodesic flows of compact manifolds without conjugate points and quasi-convex universal covering
本文证明了在无共轭点、具有拟凸万有覆盖和发散测地射线的紧流形上，测地流从 Mañé 视角看是 $C^{2}$-结构稳定的当且仅当它是 Anosov 流，从而证实了 $C^{1}$-稳定性猜想。
2023-11-21 math.DG math.DS
