Mixed, Multi-color, and Bipartite Ramsey Numbers Involving Trees of Small Diameter
在本文中，我们研究了直径为3的树（双星）与，分别是直径为2的树（星）、完全图和多个完全图。在双星与许多完全图的情况下，我们确定这个数字作为一个函数的拉姆齐数的完全图。我们还确定了双星的二分$k$色Ramsey数的增长顺序。
2014-04-06 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number $BR_m(H_1,H_2)$
在图$G$的$(G^1,G^2)$染色中，$G$的每条边都在$G^1$或$G^2$中。对于两个二部图$H_1$和$H_2$，二部Ramsey数$BR(H_1, H_2)$是最小整数$b\geq 1$，使得对于完全二部图$K_{b,b}$的每个$(G^1, G^2)$着色，都导致$H_1\subseteq G^1$或$H_2\subseteq G^2$。作为另一种观点，对于二部图$H_1$和$H_2$以及正整数$m$，$H_1$和$H_2$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(H_1, H_2)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个子图$G$导致$H_1\subseteq G$或$H_2\subseteq \overline{G}$。迄今为止，已有几篇文章计算了$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{2,2})$的大小、$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的大小和$m$ -二部Ramsey数$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$的大小.在本文中，我们确定的精确值$BR_m(K_{2,2}, K_{4,4})$为每个$m\geq 2$。
2022-02-10 math.CO
Multipartite Ramsey numbers of complete bipartite graphs arising from algebraic combinatorial structures
针对已有方法受限于Hadamard矩阵阶数条件导致的多部拉姆齐数研究遗留问题，该研究引入猜想任意阶存在的$[α]$-Hadamard矩阵推广前人结果，确定了特定完全二部图的两类多部拉姆齐数。
2023-07-19 math.CO
All partitions have small parts - Gallai-Ramsey numbers of bipartite graphs
Gallai染色是边着色的完全图，其中不存在彩虹三角形。在这样的彩色完全图，我们考虑拉姆齐型问题，寻找指定的单色图。在这项工作中，我们考虑单色二部图，因为已知的数字增长速度比非二部图。主要结果表明，它足以只考虑$3$ -染色，有一个特殊的划分的顶点。利用这个工具，我们找到了几个锐数，并推测了所有二部图的锐值。特别地，我们确定了所有二部图的Gallai-Ramsey数，并开始了线性森林的研究。
2017-10-28 math.CO
Degree bipartite Ramsey numbers
令$H\xrightarrow{s} G$表示由$s$颜色对$H$的任何边着色包含单色$G$。将次数Ramsey数$r_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\}$，将次数二分Ramsey数$br_Δ(G;s)$定义为$\min\{Δ(H):H\xrightarrow{s} G\; \mbox{and} \;χ(H)=2\}$。本文证明了当$m$固定时，$r_Δ(K_{m,n};s)$对$n$是线性的.我们还确定了$br_Δ(G;s)$，其中$G$是树，包括星和路，和完全二部图。
2019-08-31 math.CO
Density theorems for bipartite graphs and related Ramsey-type results
本文给出了几个密度型定理，这些定理说明了如何在正密度图中找到稀疏二部图的一个副本。我们的结果为图拉姆齐理论中的经典问题提供了几个新的界，改进和推广了众多研究者早期的结果。证明结合概率参数与一些组合的想法。此外，这些技巧还可以用来研究具有禁止诱导子图的图的性质，拓扑图中的边交模式，以及得到其他几个Ramsey型命题。
2007-11-11 math.CO
The bipartite $K_{2,2}$-free process and bipartite Ramsey number $b(2, t)$
二分拉姆齐数$b(s,t)$是最小整数$n$，使得$K_{n,n}$的每个蓝-红边着色包含蓝色$K_{s,s}$或红色$K_{t,t}$。在二分$K_{2,2}$ -free过程中，我们从顶点集$X\cup Y$上的一个空图开始，$|X|=|Y|=n$ .在每一步，在不形成$K_{2,2}$的限制下，从$X\times Y$添加随机边缘。重复此步骤，直到不能添加更多边。在这篇文章中，我们分析了这个过程，并表明，由此产生的图见证了$b(2,t) =Ω\left(t^{3/2}/\log t \right)$，从而提高了最知名的下限。
2018-08-06 math.CO
Asymptotic Size Ramsey Results for Bipartite Graphs
研究了涉及二部图的Ramsey数的大小.证明了如果每个禁止图是固定的或随n增长（以某种一致的方式），则其极值函数具有线性渐近性。相应的斜率可以作为某个混合整数规划的最小值来获得。应用Farkas引理，我们解决了完全二部图的MIP，特别是回答了Erdos，Faudree，Rousseau和Schelp（1978）的一个问题，他们要求在固定s和大n的情况下（K_{s,n}，K_{s,n}）的大小Ramsey数的渐近性。
2001-08-27 math.CO
The bipartite Ramsey number $br(C_{2n}, C_{2m})$
给定二部图$H_1$，\dots，$H_k$，二部Ramsey数$br(H_1,\dots, H_k)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N, N}$的任何$k$ -边染色包含一个单色$H_i$，$i$为$1\le i\le k$ .关于圈的二部Ramsey数的渐近值已有相当多的结果。对于精确值，Zhang-Sun \cite{Zhangs}测定$br(C_4, C_{2n})$，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}测定$br(C_6, C_{2n})$，Gholami-Rowshan \cite{GR}测定$br(C_8, C_{2n})$。本文解决了其余所有情形，并给出了所有$n\ge m\ge 5$的$br(C_{2n}, C_{2m})$的精确值，从而回答了Bucić-Letzter-Sudakov \cite{BLS}，Gholami-Rowshan \cite{GR}，Zhang-Sun \cite{Zhangs}，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}所关心的一个问题.
2023-01-30 math.CO
On the structural growth of bipartite Ramsey numbers
School of Mathematical Sciences, and Institute of Mathematics and Interdisciplinary Sciences, Tianjin Normal University（天津师范大学数学科学学院、数学与交叉科学研究院）
本文研究了双图Ramsey数的结构依赖增长现象，给出了双图Ramsey数的下界和上界，揭示了稠密双图无法保持线性Ramsey大小的结论。
2026-04-28 math.CO
Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers
Zarankiewicz数$z(b;s)$是不包含$K_{s,s}$作为子图的$K_{b,b}$的子图的最大大小。双色二分Ramsey数$b(s,t)$是最小整数$b$，使得用两种颜色对$K_{b,b}$的边的任何着色包含第一颜色的$K_{s,s}$或第二颜色的$K_{t,t}$。在这项工作中，我们设计和利用的计算方法的边界和计算Zarankiewicz数。利用它，我们得到了$3 \le s \le 6$的$z(b;s)$的几个新的值和界.我们的方法和关于$z(b;s)$的新知识使我们改进了Goddard，Henning和Oellermann在2000年得到的关于二分Ramsey数的一些结果.特别是，我们计算最小的先前未知的二分拉姆齐数，$b(2,5)=17$。证明了直到同构存在唯一的$2$ -染色，证明了下界$16<b(2,5)$ .我们还发现$b(2,2,3)$，$17 \le b(2,2,3) \le 18$，这是目前最小的开放情况下，双二分Ramsey数的紧界。
2016-04-05 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number of the $K_{2,2}$ versus $K_{6,6}$
给定二部图$G_1, \ldots, G_n$，二部Ramsey数$BR(G_1,\ldots, G_n)$是最后一个整数$b$，使得任何边着色为$1,2,\ldots,n$的完全二部图$K_{b,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都着色为$i$。作为二部Ramsey数的另一种观点，对于给定的二部图$G_1, \ldots, G_n$和正整数$m$，$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G_1, \ldots, G_n)$被定义为最小整数$b$，使得任何具有颜色$1,2,\ldots,n$的边的完全二部图$K_{m,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都具有颜色$i$。$BR_m(G_1, G_2)$的大小，其中$G_1=K_{2,2}$和$G_2\in \{K_{3,3}, K_{4,4}\}$用于每个$m$和$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$和$BR_m(K_{2,2}, K_{5,5})$的大小用于$m$的特殊值，已经在几篇文章中确定到现在。在这篇文章中，我们计算了一些$m\geq 2$的$BR_m(K_{2,2}, K_{6,6})$的大小。
2022-02-26 math.CO
The bipartite Ramsey numbers $BR(C_8, C_{2n})$
本文研究二部 Ramsey 数，针对任意二部图定义多色二部 Ramsey 数，并给出了当 $n\geq2$ 时 $BR(C_8,C_{2n})$ 的精确值。
2024-01-03 math.CO
An Anti-Ramsey Problem Concerning Complete Bipartite Graphs
考虑正整数的四元组$(a,b,m,n)$与$a\leq b$和$m\leq n$使得完全二部图$K_{m,n}$的任意正常边染色包含彩虹$K_{a,b}$子图.我们证明，任何这样的四元与$a\leq m$和$n>(a^2-a+1)(b-1)$满足这一性质。我们还证明了四重$(2,3,3,6)$满足这一性质。我们以一个猜想结束。
2015-06-25 math.CO
Another view of Bipartite Ramsey numbers
对于二部图$G$和$H$以及正整数$m$，$G$和$H$的$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G, H)$是最小整数$n$，使得$K_{m,n}$的每个红-蓝着色都导致红色$G$或蓝色$H$。毕振明、Gary Chartrand和Ping Zhang在\cite{bi2018another}中对所有正整数$m$当$G= K_{2,2}$和$H \in \{K_{2,3}, K_{3,3}\}$，特别是在一个长而硬的论证中，他们证明了$BR_5(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_6(K_{2,2}, K_{3,3}) = 12$和$BR_7(K_{2,2}, K_{3,3}) = BR_8(K_{2,2}, K_{3,3}) = 9$。在本文中，我们通过简短的论证来确定每个$m\geq 1$的$BR_m(K_{2,2}, K_{3,3})$的确切值。
2022-01-30 math.CO
3-colored asymmetric bipartite Ramsey number of connected matchings and cycles
令$k,l,m$为整数，并且$r(k,l,m)$为最小整数$N$，使得对于$K_{N,N}$的任何红-蓝-绿着色，在组件中存在大小至少为$k$的红色匹配，或者在组件中存在大小至少为$l$的蓝色匹配，或者在组件中存在大小至少为$m$的绿色匹配。本文完全确定了$r(k,l,m)$的精确值。应用一种技术起源于Zuuczak，应用Szemerédi的正则引理，以减少问题的存在，显示一个单色的循环，以显示存在的单色匹配的一个组件，我们获得了3色不对称的二分拉姆齐数的循环渐近。
2018-09-18 math.CO
Sharper Zarankiewicz and Diagonal Bipartite Ramsey Bounds
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
证明二分图边稠密时存在完全二分子图的更优界，改进 Zarankiewicz 与对角二分 Ramsey 数上界至 $O(2^t)$，方法由 GPT-6 Astra 发现。
2026-09-29 math.CO
Odd-Ramsey numbers of complete bipartite graphs
本文研究完全二部图的奇拉姆齐数，完整解决生成完全二部图族的对应问题，证明其与线性二元码最大维数问题等价，借助编码理论结果得到渐近紧界，并给出非生成完全二部子图的奇拉姆齐数界。
2024-10-08 math.CO
Bipartite cuts in Ramsey-Turán style
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
研究无 K5 且独立数次线性的 n 顶点图，证明通过移除至多 n^2(1/18+o(1)) 条边可使其成为二分图，常数 1/18 最优，方法涉及边加权 Turán 定理扩展和旗代数。
2026-06-19 math.CO
Bipartite Ramsey numbers of large cycles
对于整数$r\geq 2$和二部图$H_i$，其中$1\leq i\leq r$，二部Ramsey数$br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N,N}$的任何$r$ -边染色包含与$H_i$在颜色$i$上同构的单色子图，对于某些$i$，$1\leq i\leq r$。我们发现，对于$α_1,α_2>0$，$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor})=(α_1+α_2+o(1))n$。我们还表明，如果$r\geq 3, α_1,α_2>0, α_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} α_i$为$j=1,2,\ldots,r-2$，那么$br(C_{2\lfloor α_1 n\rfloor},C_{2\lfloor α_2 n\rfloor},\ldots,C_{2\lfloor α_r n\rfloor})=(\sum^r_{j=1} α_j+o(1))n.$为$ξ>0$和足够大的$n$，让$G$是一个二分图，二分$\{V_1,V_2\}$，$|V_1|=|V_2|=N$，其中$N=(2+8ξ)n$。证明了如果$δ(G)>(\frac{7}{8}+9ξ)N$，则$G$的任何$2$ -边着色都包含$C_{2n}$的单色拷贝.
2018-08-31 math.CO
Sharp thresholds for Ramsey properties of strictly balanced nearly bipartite graphs
对于一个给定的图$F$，我们考虑具有$F$的Ramsey性质的（有限）图$G$族，即具有如下性质的图$G$的集合：$G$的边的每一个双着色产生$F$的单色副本。对于$F$是一个三角形，Friedgut，Rödl，Rucibrski和Tetali（2004）建立了随机图中Ramsey性质的尖锐阈值。我们得到了这个结果的一个简单的证明，它扩展到更一般的一类图$F$，包括所有的周期。这个证明是基于Friedgut（1999）的锐阈值准则，以及最近由Saxton和Mesason，Balogh，Morris和Samotij开发的超图中独立集的容器方法。这个证明建立在Friedgut等人最近的一些工作上，他们为范德瓦尔登定理建立了一个类似的结果。
2016-11-29 math.CO
Graph classes with linear Ramsey numbers
一类图$X$的Ramsey数$R_X(p,q)$是最小$n$，使得$X$中的每个至少有$n$顶点的图要么有一个大小为$p$的团，要么有一个大小为$q$的独立集.我们说Ramsey数在$X$中是线性的，如果存在一个常数$k$使得对所有$p,q$都有$R_{X}(p,q) \leq k(p+q)$.本文猜想，如果$X$是由多个禁止诱导子图定义的遗传类，则$X$中的Ramsey数是线性的当且仅当$X$不包含森林、不交的团并及其补图.我们证明了这个猜想的“只有当”的一部分，并验证了“如果”的一部分，为各种类。我们也适用于二分拉姆齐数的线性度的概念，并揭示了一些相似之处和差异的二分和非二分的情况。
2020-12-04 math.CO
Multicolor bipartite Ramsey number of double stars
本文研究了双星$S(n,m)$的多色二部Ramsey数，通过在二部设定中应用Turán论证，证明了在$k=2$且$n\ge m$或$k\ge3$且$n\ge 2m$条件下，该Ramsey数等于$kn+1$。
2024-03-28 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
Multicolor Ramsey Numbers for Complete Bipartite Versus Complete Graphs
令H_1，...，H_k是图。本文讨论了Ramsey数r（H_1，...，H_k）是最小整数r，使得在K_r的每一个k色边染色中，对于某个1 <= i <= k，存在H_i在颜色i中的单色副本。在本文中，我们研究了Ramsey数$r(K_{2,t},...,K_{2,t},K_m)$，确定了几乎所有范围内的t和m的渐近行为的多对数因子。几种不同的结构被用于下界，包括随机图和显式图建立从有限域。阿隆和Rödl使用的概率方法和频谱参数的技术，以提供紧密的下界。对于任何t和m，示例结果是$c_1 m^2t/\log^4(mt) \leq r(K_{2,t},K_{2,t},K_m) \leq c_2 m^2t/\log^2 m$，其中c_1和c_2是绝对常数。
2013-09-12 math.CO
On anti-Ramsey numbers for complete bipartite graphs and the Turan function
给定两个图$G$和$H$与$H\subseteq G$，我们考虑反拉姆齐函数$AR(G,H)$，这是最大数量的颜色在任何边着色的$G$，使每个副本的$H$接收相同的颜色至少一对边缘。图$G$和图族$\mathcal{F}$的经典Turán函数，写作$ex(G,\mathcal{F})$，定义为不包含$\mathcal{F}$任何成员的$G$的子图的最大边数。我们表明，存在一个常数$c>0$，使$AR(K_n,K_{s,t})-ex(K_n,K_{s,t})<cn$和$c$只依赖于$s$和$t$，这意味着$AR(K_n,K_{s,t})\leq cn^{2-\frac{1}{s}}$，为$s\leq t$的结果K \H ovari，Sós和Turán。
2015-11-18 math.CO
A proof of a conjecture on Ramsey numbers $B(2,2,3)$
二分Ramsey数$B(n_1,n_2,\ldots,n_t)$是最小正整数$b$，使得对于某些$i$（$1\leq i\leq t$），用$t$颜色对$K_{b,b}$的边的任何着色将导致$K_{n_i,n_i}$的第$i-$颜色的单色副本。本文给出了二部Ramsey数$B(2,2,3)$的精确值.特别地，我们证明了Radziszowski等人在aobut $B(2,2,3)$的猜想，该猜想是在2015年提出的。事实上，我们证明了$B(2,2,3)=17$。
2021-08-08 math.CO
Ramsey Achievement Games on Graphs : Algorithms and Bounds
1982年，Harary在图上引入了Ramsey成就赛的概念。给定一个没有孤立点的图$F$。考虑由两个参与者Alice和Bob在完全图$K_n$上进行的以下游戏。首先，Alice将$K_n$的一条边涂成蓝色，然后Bob将另一条边涂成红色，依此类推。第一个能完成$F$在他的颜色中形成的玩家就是赢家。Alice具有获胜策略的最小$n$是$F$的成就数，用$a(F)$表示。如果我们用完全二部图$K_{n,n}$代替游戏中的$K_n$，我们得到二部成就数，用$\operatorname{ba}(F)$表示。在他的开创性论文中，Harary提出了一个确定树的二分成就数的公开问题。本文将$\operatorname{ba}(mK_2)=m+1$修正为$m$，并反证了Erickson和Harary的$\operatorname{ba}(K_{1,m})=2m-2$，推广了他们关于二部成就数的结果.我们还找到了匹配的成就数的精确值，以及匹配、星和双星上的二部成就数的精确值或上界和下界。我们的上界是通过推导出有效的获胜策略爱丽丝。
2023-03-07 math.CO
Cycles are strongly Ramsey-unsaturated
我们称一个图H为Ramsey-不饱和的，如果在H的补图中存在一条边，使得H的Ramsey数r（H）在将其添加到H时不改变。这个概念是由Balister、Lehel和Schelp提出的，他们还证明了循环（除了$C_4$）是拉姆齐-不饱和的，并且证明了，此外，人们可以添加任何弦而不改变循环$C_n$的拉姆齐数，除非n是偶数，并且添加弦会创建一个奇数循环。我们证明了这一猜想的大循环显示一个更强的声明：如果一个图H是通过增加一个线性的弦数到一个循环$C_n$，那么$r(H)=r(C_n)$，只要H的最大程度是有界的，H是二部（偶数n）或几乎二部（奇数n），n是大的。这促使我们称循环为强拉姆齐-不饱和循环。我们的证明使用正则性方法。
2012-03-10 math.CO
Another proof that the two color bipartite Ramsey number is $O(2^t)$
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文独立证明了二分拉姆齐数 $b_2(t)\le 128\cdot 2^t$，并推广到一般 $q$ 色情形 $b_q(t)\le 128\cdot q^t$，通过密度论证给出 Zarankiewicz 数的统一上界。
2026-10-01 math.CO
On Some Zarankiewicz Numbers and Bipartite Ramsey Numbers for Quadrilateral
Zarankiewicz数$z(m,n;s,t)$是不包含$K_{s,t}$作为子图的$K_{m,n}$的子图中的最大边数。二分Ramsey数$b(n_1, \cdots, n_k)$是最小正整数$b$，使得对于某些$i$，$1 \le i \le k$，用$k$颜色对$K_{b,b}$的边进行任何着色将导致第$i$颜色的$K_{n_i,n_i}$的单色副本。如果所有$i$的$n_i=m$，则我们用$b_k(m)$表示这个数字。本文得到了四边形（$s=t=2$）上的Zarankiewicz数的精确值，并给出了避免四边形的对角二部Ramsey数的新的界.特别地，我们证明了$b_4(2)=19$，并建立了$b_k(2)$的新的通用下界和上界。
2014-05-28 cs.DM math.CO
An exact Ramsey number of large bipartite graphs versus odd wheel
Homi Bhabha National Institute (HBNI)（霍米·巴巴国立研究所）
本文确定了大二分图$\mathbb{K}_{2,n}$与奇轮图$W_m$的精确拉姆齐数为$3n+4$，并证明了其$W_m$-goodness。
2026-01-16 math.CO
The Multicolor Size-Ramsey Number of Bipartite Long Subdivisions
Isfahan University of Technology（伊斯法罕理工大学）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
研究了二分图长细分的多色大小拉姆齐数，通过不同方法改进了相关界。
2026-02-25 math.CO
Three-color Ramsey number of an odd cycle versus bipartite graphs with small bandwidth
一个图$\mathcal{H}=(W,E_\mathcal{H})$被称为具有{ \em带宽}至多$b$，如果存在$W$作为$w_1,w_2,\dots,w_n$的标记，使得对于每条边$w_iw_j\in E_\mathcal{H}$，$|i-j|\leq b$。我们称$\mathcal{H}$是一个{ \em平衡$(β,Δ)$ -图}，如果它是一个带宽至多为$β|W|$，最大度至多为$Δ$的二部图，并且它也有一个适当的2-着色$χ:W\rightarrow[2]$，使得$||χ^{-1}(1)|-|χ^{-1}(2)||\leqβ|χ^{-1}(2)|$ .本文证明了对每个$γ>0$和每个自然数$Δ$，存在一个常数$β>0$，使得对$n$上的平衡$(β,Δ)$ -图$\mathcal{H}$，对所有充分大的奇$n$，都有$$R(\mathcal{H}, \mathcal{H}, C_n) \leq (3+γ)n$$.对于几类图，上界是尖锐的。令$θ_{n,t}$是由长度为$n$的$t$内部不相交路径组成的图，所有路径共享相同的端点。作为推论，对于每个固定的$t\geq 1$，$R(θ_{n, t},θ_{n, t}, C_{nt+λ})=(3t+o(1))n,$，其中如果$nt$是奇数，则为$λ=0$，如果$nt$是偶数，则为$λ=1$。特别是，我们有$R(C_{2n},C_{2…
2022-03-15 math.CO
On Zero-sum Ramsey numbers of complete bipartite graphs
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学生命科学技术学院）
本文研究完全二部图在整数模q群上的零和拉姆齐数，给出了R(K_{s,qk}, Z_q)的显式阈值，并完全确定了Z_3上K_{s,3k}的零和拉姆齐数。
2026-07-03 math.CO
Locally seeded embeddings, and Ramsey numbers of bipartite graphs with sublinear bandwidth
本文依据图带宽刻画二部图的线性 Ramsey 数，证明次线性带宽充分条件并给出近乎最优反例及插值界。
2024-10-25 cs.DM cs.DS math.CO
On some three color Ramsey numbers for paths, cycles, stripes and stars
对于给定的图$G_{1}, G_{2}, ... , G_{k}, k \geq 2$，Ramsey数$R(G_{1}, G_{2}, ... , G_{k})$是最小的整数$n$，使得如果我们任意地用$k$颜色着色$n$阶的完全图的边，那么对于某些$1 \leq i \leq k$，它总是包含用$i$着色的$G_{i}$的单色副本.二分拉姆齐数$b(G_1, \cdots, G_k)$是最小正整数$b$，使得对于某些$i$、$1 \le i \le k$，$K_{b,b}$的边缘用$k$颜色的任何着色都将导致$i$第种颜色的二分$G_i$的单色副本。关于$R(G_{1},\ldots, G_{k})$的研究很少，即使是对于非常特殊的图，也有很多开放的情况。本文利用二分Ramsey数，得到了一些二分Ramsey数的精确值.我们证明了，对于足够大的$n_{0}$和以下三种情况：1。$n_{1}=2s$、$n_{2}=2m$和$m-1<2s$，2。$n_{1}=n_{2}=2s$，3. $n_{1}=2s+1$，$n_{2}=2m$和$s<m-1<2s+1$，我们有$$R(C_{n_0}, P_{n_{1}},P_{n_{2}}) = n_0 + \Big \lfloor \frac{n_1}{2} \Big \rfloor + \Big \lfloor \frac{n_2}{2} \…
2017-07-21 math.CO
Star-critical Gallai-Ramsey numbers of graphs
Gallai-Ramsey数$gr_{k}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$是最小的整数$n$，使得每个$k$ -边着色的$K_{n}$对于某些$i\in [k]$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。我们找到最大的明星，可以从$K_n$，使基本的图形仍然被迫有彩虹$K_3$或单色$H_{i}$在彩色$i$的一些$i\in [k]$。因此，我们定义星临界Gallai-Ramsey数$gr_{k}^{*}(K_3: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$为最小整数$s$，使得对于某些$i\in [k]$，每个$k$ -边色$K_{n}-K_{1, n-1-s}$包含彩虹$K_3$或彩色$i$中的单色$H_{i}$。当$H=H_{1}=\cdots=H_{k}$时，我们简单地用$gr_{k}^{*}(K_{3}: H)$表示$gr_{k}^{*}(K_{3}: H_{1}, H_{2}, \cdots, H_{k})$。我们确定了完全图和一些小图的星临界Gallai-Ramsey数。此外，我们表明，$gr_{k}^{*}(K_3: H)$是指数的$k$，如果$H$不是二分的，线性的$k$，如果$H$是二分的，但不是一个明星和常数（不依赖于$k$），如果$H$是一个明星。
2021-03-02 math.CO
On globally sparse Ramsey graphs
我们说一个图$G$具有Ramsey性质w.r.t.。某些图$F$和某些整数$r\geq 2$，或$G$是$(F,r)$ -Ramsey简称，如果任何$r$ -染色的边$G$包含一个单色副本的$F$。R{<$}dl和Ruci{Ruci}ski问$(F,r)$ -Ramsey图$G$可能是如何全局稀疏的，其中$G$的密度由具有最高平均度的子图$H\subseteq G$测量。到目前为止，这个所谓的拉姆齐密度只知道团和一些平凡的图$F$。在这项工作中，我们确定的拉姆齐密度到一些小的误差项$F$是一个完全二部图，一个循环或路径，和$r\geq 2$颜色时，几种情况下。
2011-08-04 math.CO
Three early problems on size Ramsey numbers
图$H$的大小Ramsey数定义为图$H$中使得在$E(G)$的每一个二色图中都有一个$H$的单色副本的最小边数.拉姆齐数的大小是由Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp在1978年提出的，他们在结束他们的基础论文时询问是否可以确定三个图族的拉姆齐数的大小，直到一个常数因子：完全二部图，书图（通过将许多公共邻居添加到团的顶点来获得），和星爆图（通过向团的每个顶点添加许多悬垂边获得）。在本文中，我们完全解决了后两个问题，并取得了实质性的进展，第一个确定的大小拉姆齐数的$K_{s,t}$到一个常数因子的所有$t = Ω(s\log s)$。
2023-02-08 math.CO
Generalized Ramsey numbers: forbidding paths with few colors
令$f(K_n, H, q)$为对$K_n$进行边缘着色所需的最小颜色数，以使$H$的每个副本至少用$q$颜色着色。当$H$是完全图时，Erdens和Shelah首先提出了这个极值函数，当$H$是完全图或完全平衡二部图时，这个极值函数的渐近性得到了广泛的研究.在这里，我们研究这个功能的一些其他$H$，特别是我们确定的渐近行为$f(K_n, P_v, q)$的几乎所有值的$v$和$q$，其中$P_v$是一个路径上的$v$顶点。
2020-01-27 math.CO
Defective Ramsey Numbers in Graph Classes
给定一个图$G$，一个$k$ -稀疏$j$ -集是由一组$j$顶点导出一个最大度至多为$k$的子图. $k$ -稠密$i$ -集合是在$G$的补中是$k$ -稀疏的$i$顶点的集合。作为Ramsey数的推广，图类$\mathcal{G}$的$k$ -亏损Ramsey数$R_k^{\mathcal{G}}(i,j)$被定义为最小自然数$n$，使得类$\mathcal{G}$中$n$顶点上的所有图具有$k$ -稠密$i$ -集或$k$ -稀疏$j$ -集.在本文中，我们研究了$R_k^{\mathcal{G}}(i,j)$，其中$\mathcal{G}$代表各种图形类。在森林和余图中，我们给出了所有亏损Ramsey数的公式。在仙人掌，二部图和分裂图，我们提供了有缺陷的拉姆齐数在大多数情况下，并指出了开放的问题，制定为插图，如果可能的话。
2019-12-08 math.CO
Monochromatic tree covers and Ramsey numbers for set-coloured graphs
我们考虑一个概括的经典拉姆齐理论设置的设置，其中每个边缘的基础主机图是彩色的{ \em集}的颜色（而不是只有一种颜色）。我们给出了单色树覆盖在这种设置下，无论是一个基本的完全图，和一个基本的完全二部图的界限。我们还讨论了一个概括的拉姆齐数，我们的设置，并提出了一些其他的新方向。我们对完全图中树覆盖的研究结果表明，对于$k$ -交$r$ -部$r$ -一致超图，Ryser猜想的一个更强的版本成立：它们的横截最多为$r-k$ .（Király等人也得到了类似的结果，见下文）。然而，我们也表明，绑定$r-k$是不是最好的可能在一般情况下。
2018-05-28 math.CO
Defective Ramsey Numbers and Defective Cocolorings in Some Subclasses of Perfect Graphs
在本文中，我们研究了Ramsey数的一个变种，称为亏损Ramsey数，其中集团和独立集被推广到$k$ -稠密集和$k$ -稀疏集，这两个集通常被称为$k$ -亏损集.我们专注于计算缺陷拉姆齐数限制在一些子类的完美图。由于直接证明技术往往不足以获得新的价值观的缺陷拉姆齐数，我们提供了一个通用的算法来计算缺陷拉姆齐数在一个给定的目标图类。我们结合直接证明技术与我们的高效的图生成算法来计算完美图，二部图和弦图中的几个新的缺陷Ramsey数。我们也开始研究一个相关的参数，表示为$c^{\mathcal G}_k(m)$，这是最大的顺序$n$，使顶点集的任何图的顺序在$n$在一个类$\mathcal{G}$可以被划分成最多$m$子集，其中每个是$k$ -缺陷。我们在完美图和余图中得到了$c^{\mathcal G}_k(m)$的几个值。
2021-07-26 math.CO
A transference principle for Ramsey numbers of bounded degree graphs
研究了有界度图的Ramsey数，给出了一般有界度图和小带宽有界度图的Ramsey数的一个插值结果.我们的主要定理意味着存在一个常数$c$，使得对于每个$Δ$，存在$β$，使得如果$G$是一个最大度至多为$Δ$的$n$ -顶点图，具有一个同态$f$到一个最大度至多为$d$的图$H$，其中对于所有$v \in V(H)$，$|f^{-1}(v)| \le βn$，则$G$的Ramsey数至多为$c^{d \log d} n$。Graham、Rödl和Ruciński的构造表明，只有当$β\le (c')^Δ$对于某个常数$c' < 1$时，上述陈述才成立。我们进一步研究了参数$β$使用密度型嵌入定理的二部图的小带宽。这个定理可能是独立的利益。
2015-04-23 math.CO
Constrained Ramsey numbers for rainbow $P_5$
School of Mathematics and Statistics, Shaanxi Normal University（陕西师范大学数学与统计学院）；College of Science, Northwest A&F University（西北农林科技大学理学院）
本文研究彩虹 $P_5$ 的约束拉姆齐数猜想，针对多类色数至少为 3 的不连通图建立一般性结果，并给出二部图变体的若干结论。
2026-09-29 math.CO
Locally bipartite subgraphs via multicolor Ramsey numbers
Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
该研究针对Erdős-Hajnal猜想，改进了$f_4(k)$的上界，还证明了奇数$g\ge5$时对应函数$h_g(k)$的增长性，证实了Mohar和Wu2018年的相关猜想。
2026-09-09 math.CO
On the multicolor Ramsey number of a graph with m edges
图$F$的Ramsey数$r_k(F)$是最小整数$n$，使得在$K_n$的边被$k$颜色着色时，存在$F$的单色副本。在这个简短的说明中，我们证明了一个上界$r_k(F)$的图$F$与$m$边和没有孤立的顶点的形式$k^{6km^{2/3}}$解决Sudakov的问题[ Adv. Math. 227（2011），no. 1，601- 609]。此外，在二分$F$和两种颜色的情况下，指数中的常数被降低，使得$r_2(F)\le 2^{(1+o(1))2\sqrt{2m}}$改进了Alon，Krivelevich和Sudakov [Combin.可能吧Comput. 12（2003），no. 5- 6，477- 494]。
2013-11-24 math.CO
Improved Upper Bounds for Gallai-Ramsey Numbers of Odd Cycles
完全图的Gallai染色是一种边染色，使得没有三角形的所有边都是不同的颜色。Gallai $k$-着色是使用$k$颜色的Gallai着色。给定一个整数$k\ge1$和一个图$H$，Gallai-Ramsey数$GR_k(H)$是最小正整数$n$，使得完全图$K_n$的每一个Gallai $k$-染色都包含$H$的单色副本。Gyárfás，Sárközy，SebIgnand Selkow在2010年证明了如果$H$不是二分的，则$GR_k (H) $在$k$中是指数的;如果$H$是二分的但不是星的，则在$k$中是线性的;当$H$是星的时候，则是常数（不依赖于$k$）。因此，$GR_k(H)$比经典的Ramsey数$R_k(H)$表现得更好。然而，找到$GR_k (H)$的精确值绝非易事，即使$|V(H)|$很小。本文首先改进了已有的奇圈Gallai-Ramsey数的上界，证明了对于所有的$k \ge 3$和$n \ge 8$，$GR_k(C_{2n+1}) \le (n\ln n) \cdot 2^k -(k+1)n+1$.然后，我们证明了$GR_k( C_{13})= 6\cdot 2^k+1$和$GR_k( C_{15})= 7\cdot 2^k+1$的所有$k\ge1$。
2018-08-29 math.CO
Induced Ramsey number for a star versus a fixed graph
对于图G和H，设诱导Ramsey数IR（H，G）是图F中的最小顶点数，使得F的边的任意着色为红色和蓝色，存在H的红色诱导副本或G的蓝色诱导副本.本文考虑了当G=Sn是n条边上的星，且n是大的，H是固定图的情形.本文证明了：（r-1）n < IR（H，Sn）<（r-1）（r-1）n + cn，对任意c>0，n充分大，r表示H的色数.对于任何固定的二部H，其下界是渐近紧的.上界例如通过团H达到恒定因子。
2020-02-04 math.CO
Blowup Ramsey numbers
我们研究了推广的二分拉姆齐数爆破的图形。对于图$G$，用$G[t]$表示$G$的$t$ -爆破。如果$G$的边的每个$r$ -着色都有$H$的单色副本，则我们说$G$是$r$ -Ramsey for $H$，并写作$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$。我们证明，如果$G \stackrel{r}{\rightarrow} H$，那么对于所有的$t$，存在$n$，使得$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$。事实上，我们提供了指数下限和上限的最小$n$与$G[n] \stackrel{r}{\rightarrow} H[t]$，并推测一个上界的形式$c^t$，其中$c$依赖于$H$和$r$，但不依赖于$G$。我们还表明，这一猜想持有$G(n,p)$的概率很高，高于事件$G(n,p) \stackrel{r}{\rightarrow} H$的阈值。
2021-01-14 math.CO
Connected Counterexamples for Target Ramsey Numbers
Independent researcher, Paris, France
该研究肯定回答了Chartrand与Zhang关于目标拉姆齐数的问题，构造了连通、平面、二分的无穷多反例，还给出不连通反例的独立构造，揭示了TR(G)/R(G)比值的无界性。
2026-08-10 math.CO
Extremal and Ramsey results on graph blowups
最近，Souza引入了Blowup Ramsey数作为二分Ramsey数的推广。对于图$G$和$H$，如果$G$的每个$r$ -边着色都包含$H$的单色副本，则称为$G\overset{r}{\longrightarrow} H$。令$H[t]$表示$H$的$t$ -爆破。然后将$G,H,r,$和$t$的Blowup Ramsey数定义为最小$n$，使得$G[n] \overset{r}{\longrightarrow} H[t]$。Souza证明了$n$的下界在$t$中是指数的，并证明了指数常数不依赖于$G$。我们证明，依赖于$G$的指数常数确实是不必要的，但猜想，一些依赖于$G$是不可避免的。苏扎和我们的证明中的一个重要步骤是Nikiforov定理，它说如果一个图包含$H$的可能副本的常数部分，那么它包含对数大小的$H$的爆破。我们还提供了一个新的证明这个定理具有更好的定量依赖。
2020-04-06 math.CO
Gallai-Ramsey multiplicity for rainbow small trees
本文定义了Gallai-Ramsey重数，并在足够多颜色下求得了彩虹小树与一般单色图该重数的精确值，同时研究了二部Gallai-Ramsey重数。
2024-03-25 math.CO
