A Simple Proof of Siegel's Theorem Using Mellin Transform
Zihao Liu
在本文中，我们提出了一个简单的分析证明西格尔的定理，涉及的下限$L(1,χ)$的原始二次$χ$。我们的新方法比较了一个基本下界与解析上界由$Γ(s)$的逆梅林变换。
In this paper, we present a simple analytic proof of Siegel's theorem that concerns the lower bound of $L(1,χ)$ for primitive quadratic $χ$. Our new method compares an elementary lower bound with an analytic upper bound obtained by the inverse Mellin transform of $Γ(s)$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Mellin transform of Whittaker functions
本文证明了对任意半单李群和任意容许的不可约Banach表示，Whittaker函数的Mellin变换推广到亚纯函数.我们找到可能的极点。
An asymptotic expansion for a Lambert series associated to Siegel cusp forms of degree $n$
本研究将 Hafner 和 Stopple 关于 Ramanujan tau 函数的 Lambert 级数渐近展开结果推广到由特征扭曲的 $n$ 次西格尔尖形式，证明了其常数项可用 Riemann zeta 函数的非平凡零点表达。
Mellin transforms of p-adic Whittaker functions
结果表明，对于类属字符，存在p-adic Whittaker函数的Mellin变换。对于向量的良好选择，它们是有理函数。对于第一类向量，它们可以显式计算。事实证明，它们是自守L因子乘以归一化因子。
On some relations for Mellin transforms of Hardy's function
得到了经典Hardy函数$$ Z(t) := ζ(1/2+it)\bigl(χ(1/2+it)\bigr)^{-1/2}, \quad ζ(s) = χ(s)ζ(1-s) $$的Mellin变换和拉普拉斯变换的幂的一些关系。特别是，我们讨论了一些均方身份及其后果。
The modified Mellin transform of powers of the zeta-function
研究了改进的Mellin变换${\cal Z}_k(s) = \int_1^\infty |ζ(1/2+ix)|^{2k}x^{-s}{\rm d} x (k = 1,2,...)$。解析延拓和均方估计的${\cal Z}_k(s) $进行了讨论，以及连接与功率矩的$|ζ(1/2+ix)|$，特别强调的情况下$k = 1,2$。
Analytic expressions for some Mellin transforms with their application to prime counting function and interpolation formulas for the zeta function
本文的目的是利用S。拉马努金在证明他的主定理。我们的结果进一步应用于一些数论函数，如素数计数函数和zeta函数。
On the estimation of some Mellin transforms connected with the fourth moment of $|ζ(1/2+it)|$
讨论了$Z_2(s) = \int_1^\infty |ζ(1/2+ix)|^4x^{-s}dx (\Re s > 1)$的均方估计，以及与$|ζ(1/2+ix)|^4$的四次幂矩有关的量的Mellin变换.
On the Mellin transforms of powers of Hardy's function
研究了Mellin变换函数$$ {\cal M}_k(s) := \int_1^\infty Z^k(x)x^{-s}dx $$的各种性质，其中$$ Z(t) := ζ(1/2+it){\bigl(χ(1/2+it)\bigr)}^{-1/2}, \quad ζ(s) = χ(s)ζ(1-s) $$是Hardy函数，$ζ(s)$是Riemann zeta函数.建立了$|ζ(1/2+it)|$与幂矩的关系，讨论了${\cal M}_k(s)$的自然边界.
On weak Mellin transforms, second degree characters and the Riemann hypothesis
我们说定义在R或Qp上的函数f具有定义良好的弱梅林变换（或弱ζ积分），如果存在某个函数$M\_f(s)$，使得我们对$C\_c^\infty(R^*)$或$C\_c^\infty(Q\_p^*)$中的所有测试函数$ϕ$都有$Mell(ϕ\star f,s) = Mell(ϕ,s)M\_f(s)$。我们证明，如果$f$是一个非退化的二次字符R或Qp，定义的Weil，那么弱梅林变换的$f$满足一个函数方程和取消只有$\Re(s) = 1/2$。然后，我们表明，如果$f$是一个非退化的二度字符上的adele环$A\_Q$，同样的声明是等价的黎曼假设。提供了各种概括。
The second moment of the Siegel transform in the space of symplectic lattices
利用Eisenstein级数谱理论的结果，我们证明了Siegel变换在辛格子空间上平均时的二阶矩的一个公式。这推广了经典的Rogers二阶矩公式在幺模格满空间中的应用。利用这个新的公式，我们给出了博雷尔集中格点个数的差异的很强的界，这对一般的辛格也成立。
The Laplace and Mellin transforms of powers of the Riemann zeta-function
本文综述了关于拉普拉斯变换$$ L_k(s) := \int_0^\infty |ζ(1/2+ ix)|^{2k}{\rm e}^{-sx}{\rm d} x \qquad(k \in N, \R s > 0), $$和（修正的）Mellin变换$$ {\cal Z}_k(s) := \int_1^\infty|ζ(1/2+ ix)|^{2k}x^{-s}{\rm d} x\qquad(k\in N), $$（其中积分对$\R s \ge c(k) > 1$是绝对收敛的）的已知结果。同时给出了$|ζ(1/2+ ix)|^{2k}$的这些积分变换的一些新结果，这些结果与黎曼ζ函数$ζ(s)$的幂矩有着重要的联系.
Inversion formulae for Siegel transforms
设$n \in \mathbb{Z}_{\geq 3}$已知。证明了数的几何中Siegel变换的Lebesgue-几乎处处点态反演公式。这些反演公式是相当普遍的，例如，它们对任何属于$L^1(\mathbb{R}^n) \cap L^2(\mathbb{R}^n).$的偶紧支撑Borel可测函数$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$的Siegel变换都是有效的
A Partial Cayley Transform of Siegel-Jacobi Disk
设${\mathbb H}_g$和${\mathbb D}_g$分别是Siegel上半平面和广义单位次圆盘$g$.设${\mathbb C}^{(h,g)}$是所有$h\times g$复矩阵的欧几里得空间。给出了Siegel-Jacobi圆盘${\mathbb D}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$到Siegel-Jacobi空间${\mathbb H}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$的部分Cayley变换，从而给出了${\mathbb H}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$由${\mathbb D}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$的部分有界实现.通过部分Cayley变换证明了Jacobi群在${\mathbb D}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$和${\mathbb H}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$上的自然作用是相容的.部分Cayley变换在计算Siegel-Jacobi圆盘${\mathbb D}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$上的微分算子在${\mathbb D}_g\times {\mathbb C}^{(h,g)}$上的Jacobi群的自然作用下的显式不变量中起着重要作用。
The Mellin transform of the square of Riemann's zeta-function
令${\cal Z}_1(s) = \int_1^\infty |ζ({1\over2}+ix)|^2x^{-s}{\rm d}x (σ= \Re s > 1)$。证明了${\cal Z}_1(s)$到$\bf C$的解析延拓的一个结果，以及${\cal Z}_1(σ+ it) (1/2 \le σ\le 1, t\ge t_0)$的阶与${\cal Z}_1({1\over2}+it)$的阶之间的关系.
Siegel theta series for quadratic forms of signature $(m-1,1)$
研究了签名$(m-1,1)$的二次型的Siegel θ级数.一方面，我们构造了一个不像模形式那样变换的全纯级数。另一方面，我们构造了一个非全纯级数，它像权的Siegel模形式$m/2$那样变换。此外，全纯级数描述了模级数的全纯部分的几乎处处。
A note on Mellin transform, Eisenstein Series and distribution $dε_{it}$ on $PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$
设$f$是定义在$PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$上的具有紧支集的光滑函数，证明了$f$的Mellin变换公式，从而定义了微局部提升$dε_{it}$为$SL(2,\mathbb{C})$ .我们计算了$(f,dε_{it})$，其中$f$是尖点形式，$f$是不完全Eisenstein级数。当$t$趋向于$\infty$时，我们也建立了渐近估计.我们猜想一个新的正分布$dε_{it}^F$，用Friedrichs对称化技术构造，满足与$dε_{it}$相同的渐近估计.这就暗示了$PSL(2,\mathbb{Z}[i]) \backslash PSL(2,\mathbb{C})$上的Eisenstein级数的量子遍历性
Functional Mellin and Zeta Zeros
一个关键定理制定的功能梅林变换的背景下，推广了重要的关系$\exp\mathrm{tr} M=\det\exp M$。随着zeta函数的对合对称性，该定理提出了解决黎曼假设的策略。
Mellin transforms, transfinite diameter and rational approximations of integrals
本文提出一个高维无理性准则，用于证明由Mellin积分表示的周期的无理性，通过超越直径上界分析多变量Vandermonde矩阵。
Second moment of the light-cone Siegel transform and applications
本文研究光锥 Siegel 变换，证明了符号为 (n+1,1) 的二次型对应的二阶矩公式，并应用于光锥整数点计数、椭球面内在 Diophantine 逼近及随机型取值分布等问题。
Several classical identities via Mellin's transform
利用Mellin变换给出了一个求和规则，并对特殊函数与Bernoulli多项式和欧拉多项式之间的一些重要的经典关系给出了简短的证明.例如，负整数处的赫尔维茨zeta函数的值用伯努利多项式表示。我们还显示身份涉及指数和埃尔米特多项式。
A Motivic Pairing and the Mellin Transform in Function Fields
本文定义了关联abelian Anderson A-模的A-动形与对偶A-动形的两个配对，通过其特殊化给出指数与对数函数的精确公式及无穷乘积表示，并以此证明了Carlitz zeta值的Mellin变换公式类似物。
Mellin Transform Formulas for Anderson Modules and Hints of Modularity
本文引入阿贝尔可一致化安德森模的对数函数公式，结合动机映射关联德林费尔德模的对偶戈斯L函数特殊值与t-余模的刚性解析平凡化，还将L值与矩阵值模形式特殊值关联，推广了相关向量值德林费尔德模形式。
Modular shadows and the Levy-Mellin infinity-adic transform
本文继续研究了模块化塔架“不可见边界”上的结构，推广了数学模型NT/0102006中的一些结果。我们从推广SL（2）的著名的模符号理论的伪测度的系统形式开始。这些伪测度以及我们称之为Levy-Mellin变换的相关积分公式可以被认为是Mazur的p-adic测度的“无穷adic”版本，Mazur的p-adic测度在七十年代引入尖点形式的Mellin变换的p-adic插值理论中。给出了一种数学形式的迭代Levy-Mellin变换的形式。最后，我们从非对易几何的角度讨论了不可见边界。
Spherical averages of Siegel transforms for higher rank diagonal actions and applications
本文研究了乘法丢番图逼近中逼近的几何性质。我们的主要工具是${\mathbb R}^n$中的单模格空间上的Siegel变换的一个新的多参数平均结果。
Explicit second moments of symplectic Siegel transforms
本文给出辛Siegel变换二阶矩公式的两种新表述及其应用，该公式原由Kelmer和Yu建立。
The Mellin's transforms of $\dfrac{1}{\operatorname{arctanh} x}$ and $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}\,\operatorname{arctanh} x}$
本文通过复变积分技术，推导了$1/\operatorname{arctanh} x$和$1/(\sqrt{1-x^{2}}\,\operatorname{arctanh} x)$的 Mellin 变换的显式闭式表达式，扩展了相关算术性质的研究。
Relations for Multiple Zeta Values and Mellin Transforms of Multiple Polylogarithms
讨论了Ohno关系与多重多项式的关系。利用这个关系，给出了Ohno关系的代数约化.
Mellin transform formulas for Drinfeld modules
本研究借助新框架推导Drinfeld模的对数公式，将其表为t-动机刚性解析平凡化乘积的动机映射取值，特殊化得到Goss L-函数特殊值表达式，并推广至带Tate扭的Drinfeld模，为特征p域提供了Hasse-Weil型ζ函数积分表示的类似物。
Representation of ax+b group and Dirichlet Series
设$G$为$ax+b$组。$G$有两种不可约的无穷维酉表示：$(μ, L^2(\mathbb R^+))$和$(μ^*, L^2(\mathbb R^+))$。本文给出了$μ$的光滑向量及其Mellin变换的各种刻画。令$\f d$是正整数$\mathbb Z^+$上支持的δ分布的线性和。研究了矩阵系数$μ_{ \f d, f}(a)$的Mellin变换及其$f$光滑性.我们用狄利克雷级数$L(s, \f d)$表示这些梅林变换。给出了广义矩阵系数$μ_{\f d, f}$是局部可积函数的一个充分条件，并估计了Siegel集上广义矩阵系数$μ_{\f d, f}$的$L^2$ -范数.我们进一步得到了一个不等式，该不等式可用于研究狄利克雷级数$L(s, \f d)$ .
Irrationality of special values of formal Laurent series represented by the formal Mellin transform of $G$-functions
设$p$是素数，$\mathbb{C}_p$是$\mathbb{Q}_p$的代数闭包的完备化.设$K$是一个代数数域。我们固定一个嵌入$ι_p:\overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow \mathbb{C}_p$，并将$K_p$表示为$K$相对于嵌入$ι_p$的完成。设$g(z)\in K[[z]]$，并用$\mathcal{M}(g)(z)\in \tfrac{1}{z}K\left[\left[\tfrac{1}{z}\right]\right]$表示$g(z)$的形式梅林变换。本文证明了：如果$\mathcal{M}(g)(z)$具有良好的Padé逼近，则对于满足一定条件的无穷多个$α\in \mathbb{Q}\cap \left(\mathbb{Q}_p\setminus \mathbb{Z}_p\right)$，特殊值$\mathcal{M}(g)(α)$在$K_p$中是收敛的且是无理的.这一结果可以看作是部分推广的方法Beukers在他的证明的不合理性的特殊价值$p$ -adic赫维茨zeta函数。
Motivic Mellin transforms
本文将Mellin变换引入motivic积分领域，构建了在Mellin和Fourier变换下稳定的新函数类，提供Fubini定理与变量替换公式，并推广了前人理论与转移原理。
Rogers' mean value theorem for $S$-arithmetic Siegel transform and applications to the geometry of numbers
本文证明了$\mathbb Q_S^d$，$d\ge 3$中定义在幺模$S$ -格空间上的Siegel变换的高阶矩公式，其中在实际情况下，这些公式是由Rogers（1955）引入的.作为应用，我们得到了$\mathbb Q_S^d$中任意凸集的高斯圆问题的随机陈述，它包含了$S$ -算术二次型的有效Oppenheim猜想的起源.
Cycles in hyperbolic manifolds of non-compact type and Fourier coefficients of Siegel modular forms
在整个20世纪80年代，库德洛和第二个命名的作者研究了积分变换从迅速减少封闭微分形式的算术代数的对称空间的正交和酉群空间的经典西格尔和埃尔米特模形式。这些变换来自对偶约化对理论和θ对应。他们计算了这些变换的傅里叶展开，这些变换是以某些全测地周期为单位的。这也引起了实现这些“特殊”的循环与循环的相交数与紧凑的支持傅里叶系数的模形式。本文的目的是通过考虑双曲空间的有限体积项来自有理数上迷向二次型的单位群的情况，对非速减微分形式的这种变换进行系统的研究。我们预计，这种情况下的许多技术和功能将延续到更一般的情况。
New applications of the Mellin transform to automorphic L-fuctions
设L（s）= L（s，π）是GL（m，A）的尖点表示π的标准L-函数，其中A表示有理数域的顶点.我们考虑L（s）/s的平方绝对值在实直线Re（s）= 1/2上的积分。在早期的论文中，部分与P. Sarnak（arxiv：2203.12475），我们得到了一个普遍的下界这个积分，独立于m。本文对m固定的情形，首先得到了区间[-AlogC，AlogC]上积分的一个泛下界，其中C是π的解析导体，这个下界的阶为c（logC）^{-1/2}，A，c是m固定的绝对正常数.在移位区间[X-T，X+T]上也有一个绝对下界，其中T的数量级为log X。本文的第二部分利用Mellin变换，对Gal（E/F）的一个不可约的非平凡伽罗瓦表示ρ，E和F是数域，我们估计了F的一个素理想P的最小范数，在P处ρ是非分歧的，ρ（Frob）是非平凡的，Frob是P处的Frobenius.
Superstring Amplitudes as a Mellin Transform of Supergravity
在树的层次上，已知在开超弦理论中N个规范玻色子和在超引力中N个引力子的最大螺旋度破坏振幅具有简单的树图表示。对于超弦，图形编码的运动学不变量的某些广义高斯超几何函数的积分表示，而对于超引力，它们表示特定的运动学表达式构造的旋量螺旋变量。我们建立了超弦/超引力对应这一类的振幅，通过构建一个映射的规范玻色子顶点的位置之间的磁盘边界和螺旋旋量与引力子。在用一组更大的N（N-3）/2坐标替换顶点位置后，超弦振幅变成了超引力振幅的（多重）梅林变换，从射影空间到N（N-3）/2运动学不变量的对偶梅林空间。类似地，逆梅林将开超弦转化为超引力。我们详细阐述了超弦/超引力对应框架下的多重梅林变换和逆梅林变换的性质。
Mean value theorems for the S-arithmetic primitive Siegel transforms
本文发展了本原幺模 $S$-算术格的理论，给出了 $S$-本原 Siegel 变换的均值与二阶矩公式，并将其应用于格点计数、定量 Khintchine--Groshev 定理及幂流的 $S$-算术对数律。
Moment formulas of Siegel transforms with congruence conditions in dimension 2
本文计算了带同余条件的二维 Siegel 变换的一阶和二阶矩公式，并据此导出了 Schmidt 随机计数定理的类比及对向量施加同余约束的定量 Khintchine 定理。
Integrability of Siegel transforms and an application
本文建立了半单代数$\mathbb{Q}$-群有理表示场景下推广Siegel变换的$L^p$可积性精确代数准则，并结合有效等分布估计推导了秩一旗簇上实点有理逼近个数的有效渐近公式。
On $p$-adic incomplete Mellin transforms and $p$-adic incomplete gamma-functions
本文提出了一种在更弱条件下构造 $p$-adic 不完整 gamma 函数的方法，利用 $p$-adic 积分变换，适用于所有除了有限多个素数外的素数。
Asymptotic expansions for the Laplace-Mellin and Riemann-Liouville transforms of Lerch zeta-functions
对于复变量$s$和具有$a>0$的实参数$a$和$λ$，令$ϕ(s,a,λ)$表示具有复变量的Lerch zeta函数，$ϕ^{\ast}(s,a,λ)$是通过提取$ϕ(s,a,λ)$在$s=1$处的（可能的）奇异性，以及对于任何$m\in\mathbb{Z}$的$(ϕ^{\ast})^{(m)}(s,a,λ)$，如果$m\geq0$，而如果$m\leq0$是以$s+\infty$为初始点定义的第$|m|$个原语。本文的目的是研究$(ϕ^{\ast})^{(m)}(s,a,λ)$的渐近方面，通过Laplace-Mellin和Riemann-Liouville算子（即，$\mathcal{LM}_{z;τ}^α$和$\mathcal{RL}_{z;τ}^{α,β}$，分别）的变量$s$。我们将证明，如果$a>1$对于$\mathcal{LM}_{z;τ}^α(ϕ^{\ast})^{(m)}(s+τ,a,λ)$和$\mathcal{RL}_{z;τ}^{α,β}(ϕ^{\ast})^{(m)}(s+τ,a,λ)$（定理1- 4），以及对于它们的迭代变体（定理5- 10）都存在完全渐近展开式，则当（变换的）“关键”参数$z$通过适当的扇区趋向于$0$和$\infty$时。我们的大多数结果包括任何垂直射线在其有效区域，这使我们能够推导出完整的渐近展开沿垂直线$(s,z)=(σ,it)$为$…
A higher moment formula for the Siegel--Veech transform over quotients by Hecke triangle groups
利用Hecke三角形群计算了Siegel-Veech变换在$SL(2,\mathbb{R})$的导数上的高阶矩.在固定的规范化的Haar措施$SL(2,\mathbb{R})$，我们使用几何结果和线性代数创建明确的积分公式，给出信息的密度$k$ -元组的矢量离散子集的$\mathbb{R}^2$出现作为轨道的赫克三角形群。这推广了W.~ Schmidt关于$SL(2,\mathbb{R})/SL(2,\mathbb{Z})$上Siegel变换的方差。
Mellin transforms with only critical zeros: Legendre functions
我们认为梅林变换的某些勒让德函数的基础上，普通的和相关的勒让德多项式。我们表明，变换的多项式因子的零点都在临界线Re $s=1/2$。仅在临界线上为零的多项式被确定为某些$_3F_2(1)$超几何函数。这些多项式具有函数方程$p_n(s)=(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} p_n(1-s)$。其他超几何表示，以及某些梅林变换的分数部分和分数部分整数部分的功能。结果应该感兴趣的特殊功能理论，组合几何，解析数论。
Mellin transforms with only critical zeros: Chebyshev and Gegenbauer functions
我们考虑基于切比雪夫多项式的某些切比雪夫函数的梅林变换。我们表明，变换的多项式因子的零点都在临界线或实直线上。仅在临界线上为零的多项式被确定为某些$_3F_2(1)$超几何函数。此外，我们将这一结果推广到一个单参数族的多项式与零的临界线上。这些多项式具有函数方程$p_n(s;β)=(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor} p_n(1-s;β)$。然后，我们提出了推广到梅林变换的某些Gegenbauer功能。结果应感兴趣的特殊功能理论，组合数学和解析数论。
Generalization of Siegel's Method to theta 1
本文用Siegel方法证明了theta函数在全模群生成元作用下的变换律，推广了Siegel方法的应用。
Bernoulli identities, zeta relations, determinant expressions, Mellin transforms, and representation of the Hurwitz numbers
黎曼zeta恒等式在偶数的Lettington，随着他的其他伯努利和zeta关系，推广。其他相应的递归和行列式关系的说明。另一个结果是应用于双zeta值的总和。给出了拉马努金多项式和广义拉马努金多项式的一组恒等式。另一种证明Lettington的身份提供，连同其推广的Hurwitz和Lerch zeta函数，因此狄利克雷$L$系列，爱森斯坦系列，和一般梅林变换。Hurwitz数$\tilde{H}_n$出现在关于正方形晶格的某个Weierstrass $\wp$函数的原点的Laurent展开中，并且与Bernoulli数高度相似。给出了一般$\wp$函数，特别是这些数的罗朗系数关于原点的整表示.作为推论，确定了Hurwitz数的渐近形式.此外，给出了Hurwitz数的一个级数表示，以及一个新的递推式。
Spiraling of approximations and spherical averages of Siegel transforms
我们考虑的问题，如何近似满足狄利克雷定理螺旋周围的向量在$\mathbb{R}^d$。我们给逐点的几乎处处结果（只使用Birkhoff遍历定理的空间格）。此外，我们还证明了对于$\textit{every}$么模格，平均而言，在$d-1$维单位球面上，近似螺旋的方向是均匀分布的.对于第二个结果，我们采用了Marklof和Strömbergsson \cite{MS3}的最近证明，以显示$\operatorname{SL}_{d+1}(\mathbb{R})/\operatorname{SL}_{d+1}(\mathbb{Z})$上西格尔变换的球形平均结果。我们的技术是初级的。这类结果可以追溯到Eskin-Margulis-Mozes \cite{EMM}和Kleinbock-Margulis \cite{KM}的工作，并具有广泛的应用。我们还明确地构造了方向不均匀分布的例子。
Spectral decomposition and Siegel-Veech transforms for strata: The case of marked tori
本文研究带两个标记点的环面层，给出其谱分解，并利用复合 Laplace 算子弥补叶状 Laplace 算子连续谱过大的问题。
Siegel-Radon transforms of transverse dynamical systems
本文将广义 Radon 变换推广至带横截面的非齐性 $G$-动力系统，建立其有界与可积判据及表示嵌入，并给出 cut-and-project 与 Heisenberg 群中的显式应用。
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