Functional Equations of Tornheim Zeta Function and the alpha-calculus of r-th order derivative of Zeta(s,alpha)
对于Tornheim双zeta函数T利用zeta（s，alpha）的r阶导数作为alpha的函数的微积分，得到了它的新的函数方程（作者[7]）作为工具，我们容易地得到了T（s，s，s）对任意复形s的表达式，并对任意整数n>=1求出了T（n，n，n）的值;对于Tornheim zeta函数，我们得到了zeta（2n）的Euler公式的对应公式及其zeta（2n+1）的类似公式，其中Zeta（s）是黎曼ζ函数.
2011-08-13 math.NT
On Mordell-Tornheim sums and multiple zeta values
我们证明了任何具有正整数参数的Mordell-Tornheim和都可以表示为具有相同权重和深度的多个zeta值的有理线性组合。根据Tsumura的一个结果，任何权值和深度相反的Mordell-Tornheim和都可以表示为深度较低的多个zeta值的乘积的有理线性组合。
2012-04-30 math.NT
Tornheim-like series, harmonic numbers and zeta values
给出了形式为\[ \sum_{n,m=1}^\infty \frac{H_{n+m+s}}{nm\left( n+m+s \right)},\ s\in \mathbb{N\cup } \left\{ 0 \right\} \]的Tornheim型二重级数及其推广的显式估计.此外，系列的类型\[ \sum_{m=1}^\infty \frac{2H_{2m+1}-H_{m}}{2m\left( 2m+1 \right)} \]和一些其他托恩海姆样多重级数的zeta值进行评估。
2020-08-06 math.NT
Reducibility of Signed Cyclic Sums of Mordell-Tornheim Zeta and L-Values
本文证明了Mordell-Tornheim L-值的某些符号循环和是多个较低深度L-值乘积的有理线性组合（即，可还原的）。这同时推广了Subbarao和Sitaramachandrarao以及Matsumoto等人的一些结果.作为直接推论，我们可以证明对任意整数k>2和正整数n，Mordell-Tornheim和zeta_ \MT（\{n\}_k）是可约的.
2009-02-07 math.NT
Analytic properties of generalized Mordell-Tornheim type of multiple zeta-functions and L-functions
Euler-Zagier型、Mordell-Tornheim型和Apostol-Vu型三种类型的多重zeta函数的解析性质已被许多作者研究过。特别地，在Apostol-Vu型多重zeta函数的研究中，引入了广义多重zeta函数，包括Euler-Zagier型和Apostol-Vu型，本文同样考虑了广义多重zeta函数和$ L $ -函数，其中包括Euler-Zagier型和Mordell-Tornheim型作为特殊情况，我们证明了多重亚纯连续维复空间中，并给出了关于可能奇点的结果。
2015-12-18 math.NT
Mordell-Tornheim multiple zeta-functions, their integral analogues, and relations among multiple polylogarithms
Graduate School of Mathematics, Nagoya University（名古屋大学大学院数学研究科）；Center for General Education, Aichi Institute of Technology（爱知工业大学通识教育中心）；Division of Mathematics, Chiba Institute of Technology（千叶工业大学数学系）；Harish-Chandra Research Institute（哈里什-钱德拉研究所）
本文研究了Mordell-Tornheim多重ζ函数及其积分类比在x=0处的渐进行为，并通过比较两种渐近公式建立了多重Polylogarithms之间的非平凡关系。
2026-03-12 math.NT
The Mordell-Tornheim zeta function: Kronecker limit type formula, Series Evaluations and Applications
本文为 Mordell-Tornheim zeta 函数建立 Kronecker 极限型公式，统一多种经典模关系，并由此得到级数求值与新的混合函数方程族。
2025-01-02 math.NT
Mordell--Tornheim zeta function: Kronecker limit type formulas and Special values
本文为广义 Mordell--Tornheim zeta 函数建立了 Kronecker 极限型公式与级数求值，导出混合泛函方程，并研究了变量相等时的零点、特殊值与奇点。
2025-10-11 math.NT
Mordell--Tornheim Zeta Values, Their Alternating Version, and Their Finite Analogs
本文研究经典及交错 Mordell--Tornheim zeta 值生成空间，否证相关猜想，并研究有限和的超同余，推广至有限模拟，提出新猜想。
2024-01-07 math.NT
Identities for Bernoulli polynomials related to multiple Tornheim zeta functions
我们证明了伯努利多项式的高度非线性表达式的双无穷序列的每个成员，它可以被看作是某些高阶卷积的线性组合，是一个特定的线性因子的乘积的倍数。伯努利数的特殊情况在多个Tornheim zeta函数的研究中有重要的应用。主要结果的证明依赖于欧拉多项式和高阶伯努利多项式的性质。
2019-03-28 math.CA math.NT
Evaluation of Tornheim's type of double series
本文研究了具有奇权的某些Tornheim型二重级数的值.从而对Komori，Matsumoto和Tsumura提出的例外李代数$G_2$的根系zeta函数的奇偶性定理的猜想给出了肯定的回答.
2017-03-21 math.NT
On generalized harmonic numbers, Tornheim double series and linear Euler sums
广义调和数，线性欧拉和和Tornheim二重级数之间的直接联系建立在一个更清晰的方式比现有文献中发现的。我们证明了每个线性欧拉和都可以分解为相同权的Tornheim二重级数的线性组合。新的封闭形式评估各种欧拉和。最后，某些组合的线性欧拉和可约化的黎曼zeta值被发现。
2016-03-14 math.NT
The evaluation of Tornheim double sums. Part2
我们提供了一个明确的公式Tornheim二重级数T（a，0，c）的积分涉及赫维茨zeta函数。对于参数的整数值，a=m，c=n，我们表明，在最有趣的情况下，甚至重量N：=m+n的托恩海姆和T（m，0，n）可以表示为zeta值和家庭的积分% \int_0^1 loggamma（q）B_{k}（q）Cl_{j+1}（2 πq）dq，%与k+j = N，其中B_{k}（q）是伯努利多项式和\Cl_{j+1}（x）是克劳森函数。
2008-11-04 math.CA math.NT
Mean value theorems for the Apostol-Vu double zeta-function and its application
该研究推导得出Apostol-Vu型及Mordell-Tornheim型双重ζ函数的均方值，为相关数论研究提供了中值定理层面的结果支撑。
2023-07-19 math.NT
The evaluation of Tornheim double sums. Part 1
我们提供了一个明确的公式Tornheim二重级数的积分涉及赫维茨zeta函数。我们还研究了当Tornheim和的参数成为自然数时的极限，并证明了在这种情况下，它可以用伯努利多项式和Bernoulli函数$A_k (q): = kζ'(1 - k,q)$的三重积的定积分来表示.
2005-05-30 math.CA math.NT
A Note on Colored Tornheim's Double Series
在这篇短文中，我们提供了一个显式公式来计算每一个有色的双重Tornheim级数，通过使用单位根处的双重多对数值。当颜色由$\pm 1$给出时，我们的公式不同于Tsumura的公式[On alternating analogues of Tornheim's二重级数II，Ramanujan J. 18（2009），81-90]，尽管数值数据证实两者在几乎所有情况下都是正确的。这种一致性也可以通过使用权重小于8的交替双zeta值的正则化双洗牌关系来严格检查。
2009-07-29 math.CO math.NT
On the parity result for multiple Dirichlet series
本文讨论了多重狄利克雷级数的奇偶性结果，其中包含多重zeta函数的某些特殊值作为特例，多重zeta值的Mordell-Tornheim型，根系的zeta值等，并利用主要定理给出了用下级数表示的显式.
2019-09-26 math.NT
On an analog of the Arakawa-Kaneko zeta function and relations of some multiple zeta values
T.伊藤定义了一个类似的Arakawa-Kaneko zeta函数，以获得Mordell-Tornheim多重zeta值之间的关系。在本文中，我们开发了两个与Arakawa-Kaneko zeta函数类似的东西。一个是寻找Miyagawa型的Arakawa-Kaneko zeta函数的类似物（由T. Miyagawa），并获得Miyagawa型MZV之间的关系。另一种方法是寻找一类zeta函数，它与广义指数情形的Ito zeta函数有关。
2018-03-30 math.NT
Mean values of the Barnes double zeta-function
在黎曼ζ函数$ ζ(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} $的阶估计研究中，Lindelöf假设的求解是一个重要的课题。作为关系式之一，研究了均值的渐近性态。在此基础上，还研究了双zeta函数的均值理论，并对Euler-Zagier型双zeta函数和Mordell-Tornheim型双zeta函数的均值进行了研究.本文证明了Barnes双ζ-函数$ ζ_2 (s, α; v, w ) = \sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty (α+vm+wn)^{-s} $关于$ \mathrm{Im}(s) $为$ \mathrm{Im}(s) \rightarrow + \infty $的均方值的渐近公式.
2017-09-20 math.NT
Mordell-Tornheim zeta functions and functional equations for Herglotz-Zagier type functions
本文通过推广Mordell-Tornheim ζ函数特例$Θ(z,x)$，建立其与Herglotz-Zagier函数的联系，导出长期 sought 的$Φ_k(x)$函数方程，并借助Gauss和、Fekete多项式给出无穷多Herglotz型积分方程。
2024-05-13 math.CA math.NT
Truncated $t$-adic symmetric multiple zeta values and double shuffle relations
我们研究的对称多重zeta值，称为$t$ -adic对称多重zeta值，通过考虑其有限截断的细化。更精确地说，两种正则化（调和和混洗）给出了两种$t$ -adic对称多重zeta值，因此我们相应地引入了两种截断。然后我们证明了我们的截断趋向于相应的$t$ -adic对称多重zeta值，并分别满足调和关系和混洗关系。这给出了$t$ -adic对称多重zeta值的双重混洗关系的一个新的证明，Jarossay首先证明了这一点。为了证明混洗关系，我们发展了与$2$ -着色有根树相关的截断$t$ -adic对称多重zeta值理论.最后讨论了Kaneko-Zagier猜想的一个改进和Mordell-Tornheim型的$t$ -adic对称多重zeta值.
2021-01-09 math.NT
Desingularization of multiple zeta-functions of generalized Hurwitz-Lerch type and evaluation of p-adic multiple L-functions at arbitrary integers
研究了广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数的解析性质。首先，作为一类特殊的广义Euler-Zagier-Lerch型zeta函数，我们研究了它们的解析性质，这些性质在我们的前一篇文章中已经被揭示。其次，我们给出了广义Hurwitz-Lerch型多重zeta函数（包括广义Euler-Zagier-Lerch型多重zeta函数、Mordell-Tornheim型多重zeta函数等）的“去奇异化”，从而证明了去奇异化后的多重zeta函数是一个整函数，并且可以表示为同一类型的普通多重zeta函数的有限和。作为应用，我们显式地计算了Euler-Zagier型去奇异化双zeta函数的特殊值。我们还扩展了我们以前的结果之间的关系$p$ -进多$L$ -功能和$p$ -进多星多项式更一般的指数与任意（不一定都是正的）整数。
2015-10-23 math.NT
On algebra of big zeta values
本文所介绍的大zeta值代数是介于多重zeta值和多重zeta动机周期之间的一个中间对象。它由推广多个zeta值的数列组成，最简单的例子，不是多个zeta级数，是Tornheim和。我们证明了收敛的大zeta值是亏格为零的稳定曲线的模空间的周期，也是多zeta值稳定曲线的周期。它给出了另一种方法来证明，任何这样的周期可以表示为一个合理的线性组合的多个zeta值和一个简单的算法，找到这样的表达式。
2020-11-10 math.AG math.NT
Algebraic identities among $q$- analogue of Euler double zeta values
本文探究另一类q-双重zeta函数变体及其星型变体的恒等式，借助q>1的Nielsen反射公式q-模拟，研究相关恒等式，分析参数趋于0的行为并与经典情形对比，还讨论Mordell-Tornheim r重zeta函数q-模拟及其与q-双重zeta函数的关系。
2024-04-11 math.NT
Generalisations of multiple zeta values to rooted forests
该研究证明收敛的洗牌树化zeta值有级数表示，提出多重zeta值到有根森林的新推广并研究其代数性质，推导相关经典结果的初等证明，刻画锥zeta值与树化zeta值的关系并给出显式求值公式。
2023-10-04 math.CO math.NT
A uniformly convergent Series for $ζ(s)$ and closed Formulas, that include Catalan Numbers
存在一个无穷级数的比率，通过它可以从卡塔兰数和出现在级数项中的中心二项式系数导出黎曼ζ函数$ζ(s)$。虽然不可否认的推导并不深入，但它确实表明了黎曼ζ函数的一些组合方面。但我们实际上也发现了四个新的闭公式，其中包括一个公式，通过该公式可以计算$ζ(s)$为一个可数无穷多个离散正值的$s$，其中该公式包含加泰罗尼亚数不是在无穷级数。黎曼ζ函数在物理学中有应用，例如在与卡西米尔效应相关的计算中。我们的结果表明，在一定条件下，黎曼ζ函数，组合数学，加泰罗尼亚数，中心二项式系数和内容的超球之间的联系。
2010-08-20 math.NT
Some sums over the non-trivial zeros of the Riemann zeta function
我们证明了一些恒等式，其中涉及到黎曼ζ函数的非平凡零点。由此我们得到了与Cramér的工作有关的一些收敛的渐近展开，以及一些数论函数关于非平凡零点的新表示.
2014-06-19 math.NT
Divergent Integrals of Certain Analytical Functions In the Sense of Zeta Regularization
本文推广了Zeta函数正则化技术，使其能有效地求解发散幂级数，从而使某些超越函数$f(x)$的发散积分具有有限值.假设这些函数是解析的，因此它们有一个收敛的麦克劳林级数，其收敛半径为无穷大收敛半径。利用马克劳林级数和二项式展开式，将发散积分等价地转化为一个由黎曼ζ函数表示的无穷级数。证明了无穷级数在一定条件下是收敛的，从而发散积分的解成为$\int_0^{\infty} f(x) dx = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(k+2)!} f^{(k)}(0)$。这种Zeta正则化技术的优点是它不需要引入任何截止函数来计算这种发散积分。应用该公式计算了几种常见超越函数的发散积分。
2021-10-11 math.NT
Accurate estimation of sums over zeros of the Riemann zeta-function
我们考虑$\sum ϕ(γ)$形式的总和，其中$ϕ$是一个给定的功能，$γ$范围内的坐标的非平凡零的黎曼ζ函数在一个给定的时间间隔。我们展示了如何通过一个简单的设备可以加速这种总和的数值估计，并给出了涉及收敛和发散的无限总和的例子。
2020-09-29 math.NT
A renormalization approach to the Riemann zeta function at -1, 1+2+3+... ~ -1/12
一个缩放和重整化方法的黎曼ζ函数，$ζ$，评估$-1$提出了两种方式。在第一种情况下，取$U_{n}:=\sum_{q=1}^{n}q$和$4U_{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }$之间的差，其中$\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor $是最大整数函数。使用Cesaro平均值两次，即，$\left( C,2\right) $，收敛到适当的值。对于zeta函数由收敛的无穷和表示的$z$的值，双重Cesaro平均也产生$ζ\left( z\right) ,$，这表明这可以用作从$z.$的收敛区域延伸的替代方法。在第二种方法中，$U_{n}$和特定平均值$\bar{U}_{n/k}$之间的差$U_{n}-k^{2}\bar{U}_{n/k}$，对于所有的$k<n$，涉及高达$k<n$并由$k^{2}$缩放的项的值被示出为精确地等于$-\frac{1}{12}\left( 1-k^{2}\right) $。这就引出了解释$ζ\left( -1\right) $的另一个视角
2018-06-16 math.NT
Multiple Stieltjes constants and Laurent type expansion of the multiple zeta functions at integer points
本文研究了重zeta函数在整数点处的局部性态，并给出了重zeta函数在整数点处的Laurent型展开式。这样的扩展涉及到一个收敛的幂级数，其系数是通过正则化过程获得的，类似于用于定义经典的黎曼ζ函数的Stieltjes常数。因此，我们称这些系数为{ \it多重Stieltjes常数}。上述洛朗型展开的其余部分则表示为在较小深度处产生的多个斯蒂尔捷斯常数。
2019-02-12 math.NT
A rigidity theorem for translates of uniformly convergent Dirichlet series
众所周知，黎曼ζ函数，以及其他几个$L$ -函数，在带$1/2<σ<1$中是通用的;这当然不是真的$σ>1$。讨论了Bubieri和Ghosh的一个问题，给出了绝对收敛半平面上解析函数可由$L$ -函数平移逼近的一个简单刻画.实际上，这是狄利克雷级数平移的一般刚性定理在一致收敛性半平面上的一个特例。我们的结果与玻尔的等价定理密切相关。
2017-02-06 math.NT
A new expansion of the Riemann zeta function
Université Côte d’Azur, CNRS, LJAD (UMR 7351)（蔚蓝海岸大学、法国国家科学研究中心、拉让热力学与概率实验室）
本文引入一族超几何多项式，其根位于临界线上，并给出Dirichlet eta函数和Riemann zeta函数在临界带内的多项式展开，以及限制在临界线上的正交展开，系数由log(2)、欧拉常数γ和zeta值线性表示。
2026-06-25 math.NT
The Laplace and Mellin transforms of powers of the Riemann zeta-function
本文综述了关于拉普拉斯变换$$ L_k(s) := \int_0^\infty |ζ(1/2+ ix)|^{2k}{\rm e}^{-sx}{\rm d} x \qquad(k \in N, \R s > 0), $$和（修正的）Mellin变换$$ {\cal Z}_k(s) := \int_1^\infty|ζ(1/2+ ix)|^{2k}x^{-s}{\rm d} x\qquad(k\in N), $$（其中积分对$\R s \ge c(k) > 1$是绝对收敛的）的已知结果。同时给出了$|ζ(1/2+ ix)|^{2k}$的这些积分变换的一些新结果，这些结果与黎曼ζ函数$ζ(s)$的幂矩有着重要的联系.
2006-06-02 math.NT
The Riemann Hypothesis: A Qualitative Characterization of the Nontrivial Zeros of the Riemann Zeta Function Using Polylogarithms
构造了一个参数化的一致绝对全局收敛的$ζ$（s）级数，记为Z（s，x）.当以封闭形式表示时，它由Z（s，x）=（s - 1）$ζ$（s）+ 1 x Li s z z- 1 dz给出，其中Li s（x）是多对数函数。作为新的参数化级数的直接第一应用，$ζ$（s）的新表达式如下：（s - 1）$ζ$（s）= - 1 0 Li s z z- 1 dz。作为第二个重要的应用，使用函数方程并利用定义Z（s，x）的级数的一致收敛性，我们对于任何非平凡零点s
2016-08-24 math.NT
Two arguments that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function are irrational. II
我们延长我们以前的计算机实验的结果进行的前2600个非平凡的零$γ_l$的黎曼ζ函数计算1000位数的准确性，以40000个十进制数字的准确性的40000第一个零。我们计算了这些零点的连分数展开式的扩张因子的几何平均值，在所有情况下，我们得到的值非常接近于欣钦常数，这表明$γ_l$是无理数。接下来，我们已经计算了$n$ -th平方根的转换器$Q_n$的连分数获得值非常接近的欣钦-L{é}vy常数，再次支持共同的意见，即$γ_l$是不合理的。
2020-05-12 math.NT
Full asymptotics and log-periodicity for coefficients in representations of the Riemann zeta function
本文给出在复平面上几何级数快速收敛到Riemann zeta函数的级数，通过满足线性递推的序列表达，并得到索引整数逆幂的全阶渐近展开。
2026-08-05 math.NT
On the Taylor Coefficients of the Hurwitz Zeta Function
我们找到了Hurwitz zeta函数的Maclaurin系数的一个表示，它是用包含伯努利多项式和第一类Stirling数的半收敛级数表示的.特别地，这给出了黎曼ζ函数的系数的表示。我们的主要工具是一定的级数变换公式。一个类似的结果也证明了麦克劳林系数的Lerch zeta函数。
2008-12-06 math.CA math.NT
Five families of rapidly convergent evaluations of zeta values
本文提出五族结合 π 的幂与 Lambert 级数的快速收敛方法，用于计算奇 zeta 值，其中 a≥7 的整数优值优于 Ramanujan 的 a=4 结果，并借助拟模变换与多对数展开给出证明。
2024-04-03 hep-th math.NT
Series expansions for the Riemann zeta function
该研究证明了含临界线的复垂直带形区域内黎曼ζ函数的收敛无穷级数表示结论，据此重推已知展开式并发现了基于不完全伽马函数等的新级数表示。
2024-04-17 math.CV math.NT
Generalized coefficients of the Dirichlet series
本文讨论了一种将发散的狄利克雷级数转化为收敛的狄利克雷级数的方法，即直接变换原Riemann Zeta函数级数$1\rightarrowδ_{n}(s)$的系数。本文第一部分研究了区间$Δ{H}$上有限狄利克雷级数逼近Riemann Zeta函数的系数$δ^*_n$的性质。一般来说，有限狄利克雷级数的系数$δ^*_n$是复数。建立了有限狄利克雷级数的系数$δ^*_n$对系数$n$的序数的依赖关系，该依赖关系可由S形函数设定，对于每个$N$，存在一个满足条件的sigmoid $\hatδ_n$和一个满足条件的区间$Δ{H}$ $$\Big|\sum\limits_{n}^{N}\{δ^*_n- \hatδ_n\}\Big| < ε;$$。本文第二部分给出了用sigmoid计算广义系数$δ_{n}(s)$的结果黎曼Zeta函数的狄利克雷级数。为了计算的准确性，通过对所得到的收敛狄利克雷级数求和，建立了黎曼Zeta函数的$\log_{10}(1/ε)$值虚部的幂$t=Im(s)$。据推测，sigmoid可以用来渐近计算由狄利克雷级数定义的任何函数的解析延拓的值。假设对于任何发散级数，广义求和法适用于它，它是可能找到一个发散级数的系数的直接变换，使所得的级数与变换系数将收敛到相同的函数作为一系列的变换部分和。
2021-08-03 math.NT
Quadratic Irrationals, Closed Geodesics on the Modular Surface and Dynamical Zeta Functions
我们表明，与二次无理数的收敛序列相关的生成函数以自然的方式与2-环面的双曲自同构的动态zeta函数相关。作为推论，这表明二次无理数的Lévy常数自然地表现为这类映射的拓扑熵。
2018-05-03 math.CO math.DS math.NT
On $p$-adic Hurwitz-type Euler zeta functions
利用$\mathbb Z_p$上的费米$p$-adic积分，给出了$p$-adic Hurwitz型Euler zeta函数的定义.通过计算这类$p$ -adic zeta函数在负整数处的值，证明了它对欧拉多项式$p$ -adic插值.给出了$p$ -adic Hurwitz型Euler zeta函数的许多性质，包括收敛的洛朗级数展开式、分布公式、函数方程、反射公式、导数公式、$p$ -adic Raabe公式等，并利用$p$-adic Hurwitz型Euler zeta函数给出了$p$-adic Euler $L$ -函数的定义.
2020-08-15 math.CA math.NT
On $p$-adic multiple Barnes-Euler zeta functions and the corresponding log gamma functions
设$ω_1,\ldots,ω_N$为正实数，$x$为正实部复数.带参数向量$\barω=(ω_1,\ldots,ω_N)$的多重Barnes-Euler zeta函数$ζ_{E,N}(s,x;\barω)$是Barnes多重zeta函数的变形，定义如下：$$ ζ_{E,N}(s,x;\barω)=\sum_{t_1=0}^\infty\cdots\sum_{t_N=0}^\infty \frac{(-1)^{t_1+\cdots+t_N}}{(x+ω_1t_1+\cdots+ω_Nt_N)^s}. $$本文基于费米子$p$-adic积分，定义了多重Barnes-Euler zeta函数$ζ_{E,N}(s,x;\barω)$的$p$-adic模拟，记为$ζ_{p,E,N}(s,x;\barω).$，证明了$ζ_{p,E,N}(s,x; \barω)$的若干性质，包括收敛的Laurent级数展开，分布公式、差分方程、反射函数方程和导数公式。通过计算这类$p$ -adic zeta函数在非正整数处的值，证明了它对高阶Euler多项式$E_{N,n}(x;\barω)$ $p$ -adic进行插值.此外，我们定义了相应的多重$p$-adic Diamond-Euler Log Gamma函数。证明了多重$p$-adic Diamond-Euler Log Gamma函数${\rm Log…
2018-09-13 math.NT
Ramanujan Series for Epstein Zeta Functions
在Ramanujan的思想下，我们得到了Hecke同余群$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的Epstein zeta函数$ E^{\varGamma_0(N)}(z,s)$的指数快速收敛级数，其中$z$是上半平面$ \mathfrak H$上的任意点，而$s\in\mathbb Z_{>1}$是上半平面$ \varGamma_0(N),N\in\mathbb Z_{>0}$上的任意点.在Eichler积分的框架下，这些Ramanujan级数可以被重新表述为模形式的积分。这些Eichler积分的特殊情况恢复了Wan和Zucker（arXiv：1410.7081v1）最近报道的部分结果。
2015-03-28 math.CA math.NT
Iterated integrals, multiple zeta values and Selberg integrals
经典的多重zeta值可以被看作是从$0$到$1$的微分$\frac{dt}{t}, \frac{dt}{1-t}$的迭代积分。本文重新证明了Brown定理：对于$a_i, b_i, c_{ij}\in \mathbb{Z}$，如果收敛，则形式为\[ \mathop{\int\cdots \int}\limits_{0<t_1<\cdots<t_N<1}\prod_i t_i^{a_i}(1-t_i)^{b_i} \prod_{i<j}(t_j-t_i)^{c_{ij}}dt_1\cdots dt_N \]的迭代积分是$\mathbb{Q}$ -权$\leq N$的多个zeta值的线性组合.进一步证明了：若$p_i(t), 1\leq i\leq N, $在由多个多项式及其对偶生成的$\mathbb{Q}\left[t,1/t, 1/(1-t)\right]$ -代数中，且$q_{ij}(t), 1\leq i<j\leq N$在由对数生成的$\mathbb{Q}\left[ t,1/t\right]$ -代数中，则迭代积分\[ \mathop{\int\cdots \int}\limits_{0<t_1<\cdots<t_N<1}\prod_i p_i(t_i)\prod_{i<j}q_{ij}(t_j-t_i)dt_1\cdots dt_N \]是多个zeta值的$\mathbb…
2023-02-23 math.NT
Two arguments that the nontrivial zeros of the Riemann zeta function are irrational
本文利用1000位精度计算的黎曼ζ函数的前2600个非平凡零点gamma_l，将它们展开成连分数。我们计算了这些连分数的因子的几何平均值，并且对于所有情况，我们得到的值都接近于欣钦常数，这表明γ_l是无理数。其次，我们计算了连分数的收敛性的乘积q_n的n平方根，得到了接近欣钦-列维常数的值，再次支持了一般认为γ_l是无理数的观点。
2010-02-28 math.GM math.NT
Double shuffle relations and renormalization of multiple zeta values
在本文中，我们提出了一些最新的进展，多重zeta值（MZVs）。我们回顾了收敛MZVs的双重洗牌关系，总结了MZVs的欧拉求和公式和分解公式的推广。然后，我们讨论了如何应用从量子场论中的重整化和伪微分学中借用的方法来部分地将双洗牌关系扩展到发散的MZV。
2009-05-30 math-ph math.CA math.MP
Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions
本文研究zeta函数的Ser与Hasse级数表示，证明二者等价，推导了涉及多种特殊数与多项式的zeta函数、Hurwitz zeta函数及Dirichlet级数的新级数表示，还得到Stieltjes常数等的新展开式。
2018-03-20 math.NT
Empirically determined Apery-like formulae for zeta(4n+3)
给出了黎曼ζ函数特殊值的快速收敛公式。我们得到了zeta（4n+3）的一个生成函数公式，它推广了Awesley关于zeta（3）的级数，并且似乎给出了这种类型的最佳可能级数关系，至少当n<12时。该公式减少到一个有限的，但显然是非平凡的组合身份。该恒等式等价于中心二项式系数的一个有趣的新积分估计。我们概述了一种新的技术转换和求和某些无穷级数。我们还得到了一个美丽的公式，它提供了一个新的大型非终止超几何级数的奇怪的评价。我们的主要结果被证明是等价的。当这篇文章在1996年提交出版时，这些结果还只是假设，但它们随后被证明是Gert Almkvist和Andrew Granville的工作结果。
2005-05-07 math.CA math.NT
On the zeta function of divisors for projective varieties with higher rank divisor class group
给定一个定义在有限域上的投射簇X，因子的zeta函数试图计算X的所有不可约的、余维数为1的子簇，每个子簇都由它们的投射度来度量。当X的维数大于1时，这是一个纯p-adic函数，收敛于开单位圆盘。当X的除子类群（除子模线性等价）秩为1时，则这四个定理都成立.在本文中，我们讨论了高秩的情况。特别地，我们证明了一个p-adic亚纯延拓定理，它适用于一大类品种。这类变体的例子是定义在有限域上的射影非奇异曲面（其有效幺半群是双曲生成的）和所有射影复曲面变体（光滑或奇异）。
2008-08-04 math.AG math.NT
Renormalization of multiple zeta values
通常意义上的多重zeta值（MZVs）是多元zeta函数在正整数处的特殊值。他们的广泛研究在数学和物理学方面都很重要，具有广泛的联系和应用。与此相反，很少有人知道的特殊值的多个zeta函数在非正整数，因为值通常是奇异的。采用量子场论中的重整化方法，并遵循Connes和Kreimer的霍普夫代数方法，定义并研究了任意整数值的多重zeta函数.这种重整化MZVs的定义与收敛MZVs一致，推广了Ihara-Kaneko-Zagier关于正变元MZVs重整化的工作。我们进一步表明，通常的MZVs的重要准洗牌（填充）关系仍然是真实的重整化MZVs。
2006-12-11 math-ph math.MP math.NT
Infinite order linear difference equation satisfied by a refinement of Goss zeta function
本文将无限阶线性微分方程推广到正特征情形，引入 Goss zeta 函数的 Hurwitz 型细化 ζ_∞ 和差分算子 L，证明其满足一个无限阶线性差分方程。
2024-10-03 math.NT
The Zetafast algorithm for computing zeta functions
Tokuyama College of Technology（德山工业高等专门学校）
该算法通过三个绝对收敛级数表达黎曼ζ函数，能以高精度计算ζ(s)及其导数，适用于多种ζ函数类型。
2017-06-08 cs.NA math.CV math.NA
