Graded covering of a supermanifold I. The case of a Lie supergroup

Graded covering of a supermanifold

We introduce and investigate the notion of a $\mathbb Z$-graded covering for a supermanifold. More precisely, Donagi and Witten suggested a construction of the first obstruction class for splitting of a supermanifold via differential operators. We prove that an infinite prolongation of this construction satisfies some universal properties and can be seen as a covering of a supermanifold in the category of graded manifolds.

超流形的H覆盖

$H$-covering of a supermanifold

本文提出了一种基于有限阿贝尔群的超流形H-分层覆盖理论，结合表示论工具进行研究。

Quillen超联络与超流形上的联络

Quillen superconnections and connections on supermanifolds

给定一个超向量丛$E = E_0\oplus E_1 \to M$，利用Cartan-Koszul超流形$(M;Ω(M))$上的分次联络给出了$E = E_0\oplus E_1 \to M$上Quillen超联络的参数化.详细讨论了这两种联络的曲率之间的关系，以及它们对应的陈类。特别地，我们发现在分裂超流形上分次向量丛的Chern类可以通过相关的Quillen超联络来计算。

齐次超流形上的不变Berezin积分

Invariant Berezin integration on homogeneous supermanifolds

设G是李超群，H是闭子超群.研究了齐次超流形G/H的幺模性，即Berezinian线丛的G-不变截面的存在性.为此，我们将这个线丛表示为G/H上的主H-丛G的G-等变配丛。我们还研究了Berezinians在定向纤维丛上的纤维积分。作为应用，我们证明了一个“Fubini”型公式：G上的不变积分可以表示为H和G/H上的一个递归不变积分（直到符号）.此外，我们还得到了么模齐性超空间G/H和S/T的局部同构下以及李群的子超群的乘积下的变换的类似积分公式.这些公式的经典对应公式在调和分析中有许多应用。

关于经典超流形的体积

On volumes of classical supermanifolds

我们考虑经典超流形的体积，如超球，复射影超空间，Stiefel和Grassmann超流形，相对于自然度量或辛结构。我们证明，体积的公式，在一定的普遍规范化，可以得到一个解析延拓从相应的普通流形的体积的公式。非平凡超流形的幂零可以恒同地为零。20世纪70年代，Berezin发现酉超群$\un(n|m)$的全Haar测度为零，除非$m=0$或$n=0$，即，除非它简化为普通的酉群$\un(n)$或$\un(m)$。Witten最近提出，紧致偶辛超流形的（刘维尔）体积应该总是零，如果它不是普通流形。我们的计算为这个猜想提供了反例。另一方面，我们对Berezin的陈述给出了一个简单的解释，并将其推广到Stiefel超流形$\st_{r|s}(\C{n|m})$上.也有可能与最近的工作Mkrtchyan和Veselov的“通用公式”在李代数理论。

超流形上无穷小作用的整体化

Globalizations of infinitesimal actions on supermanifolds

设$\mathcal G$是一个李超群，其上有李超代数$\mathfrak g$，$\mathcal M$是一个超流形，$\mathrm{Vec}(\mathcal M)$是$\mathcal M$上的向量场集合.设$λ:\mathfrak g\rightarrow \mathrm{Vec}(\mathcal M)$是无限小作用，即李超代数的同态.我们证明了在$\mathcal M$上存在一个局部$\mathcal G$ -作用，它诱导无穷小作用$λ$，并找到了Palais意义下全球化存在的充要条件.

关于复齐次超流形的分裂问题

On the splitting problem for complex homogeneous supermanifolds

任何复解析李群$\mathcal{G}$都是分裂的\cite{kosz}，即它的结构层同构于某个向量丛的结构层，这是一个经典的结果.然而，确实存在非分裂复解析齐次超流形。研究了如何判定复解析齐次超流形是可裂的还是不可裂的问题。我们的主要结果是用$\mathcal{H}$ -不变量刻画了复解析齐次超流形$\mathcal{G}/\mathcal{H}$上的左不变分次.作为我们研究的一个推论，我们得到了复解析齐次超流形用李代数分裂的一些简单的充分条件。

分次几何、$Q$ -流形与微形式几何

Graded Geometry, $Q$-Manifolds, and Microformal Geometry

我们给出了分次和微形式几何的阐述，以及$Q$ -流形的语言。$Q$ -流形是具有一个平方为零的奇向量场的超流形。它们可以被看作是李代数的非线性类似物（与偶数和奇数泊松流形平行），“非线性同调代数”的基础，以及描述代数和几何结构的强大工具。这种语言与分次流形，这是一个额外的$\mathbb{Z}$ -分次在结构层的超流形。“微形式几何”是一个新概念，指的是“厚”或“微形式”态射，它推广了普通的光滑映射，但其关键特征是相应的函数的拉回是非线性的。特别地，同伦泊松超流形的“泊松厚态射”诱导同伦泊松括号的$L_{\infty}$ -态射。有一个量子版本的基础上特殊类型的傅里叶积分算子和适用于Batalin-Vilkovisky几何。虽然文本主要是暂时的，一些结果是新的或以前没有发表。

超流形上的辛标量曲率

Symplectic scalar curvature on supermanifolds

本文在 Fedosov 流形上的超流形中研究辛标量曲率，提出两族奇超 Fedosov 结构，并证明分次非对称联络可产生非平凡曲率，以环面为例给出具体计算。

关于流形和超流形上的Einstein方程

On Einstein equations on manifolds and supermanifolds

爱因斯坦方程是实Minkowski空间M上黎曼张量的确定条件。在扭量图中，经过复化和紧化之后，M成为四维复空间中的二维子空间的格拉斯曼$Gr_{2}^{4}$。在这里，我们回答的经典域被认为是流形的G-结构，它是可能的，以施加类似的条件在某种意义上EE。上述调查有其对应的超域：一个类似的黎曼张量定义为任何超流形的G-结构与任何李超群G。我们也得到类似的类似物的EE上的超流形。我们的EE类似物不是物理学家认为的SUGRA（超重力），因为SUGRA见\cite{GL4,LP2}。

超轨道

Superorbits

我们研究行动的李群，特别是迄今难以捉摸的概念轨道通过奇数（或更一般）点。继分类原则，我们推导出一个概念框架，他们的治疗和证明一般存在定理的各向同性（或稳定）超群和轨道通过一般点。在这种情况下，我们表明，余伴随轨道总是承认一个（相对）超辛结构的Kirillov-Kostant-Souriau型。应用家庭版本的Kirillov的轨道方法，我们分解的正则表示的奇阿贝尔超群到一个奇的直接积分的字符和构造的普遍家庭的表示，参数化的一个超流形，两个不同的超变量的海森堡群。

关于复齐次超流形的结构

On the Structure of Complex Homogeneous Supermanifolds

对于一个李群$G$和一个闭李群$H\subset G$，已知陪集空间$G/H$可以具有在$G$下齐次的流形的结构，并且任何$G$ -齐次流形都同构于这类流形.一个有趣的问题是在超流形的情况下找到一个类似的结果。在经典的情况下，$G$是一个实李群或复李群，而$G/H$分别是一个实流形和一个复流形。现在，如果$G$是一个实李超群，而$H\subset G$是一个闭李子超群，那么就有一种自然的方式将$G/H$看作是一个超流形。此外，任何$G$ -齐次实超流形都可以用这种方法得到，参见\cite{Kostant}。本文的目的是在复杂的情况下给出这个结果的证明。

分级流形上的流

Flows on Graded Manifolds

本文定义了Z-分级流形上向量场的流，证明了每个向量场（奇数情形下要求是同调的）存在唯一最大流，并研究了流的交换性及相关向量场的相互作用。

李双代数胚的分次流形与Drinfeld双

Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids

我们定义\textit{graded manifolds}作为一个版本的超流形赋予额外的$\mathbb Z$ -分级的结构层，称为\textit{weight}（不与宇称）。例子是普通的supermanifold，向量丛的supermanifold，双向量丛，迭代结构，如$TTM$等，我给\textit{doubles}的\textit{graded} $QS$ -和\textit{graded $QP$-manifolds}（分次流形赋予同调向量场和Schouten/泊松括号）的建设。用Drinfeld的李双代数及其双代数解释了这种关系。分次$QS$ -流形可以粗略地认为是“广义李双代数胚”。它们的二重化与Roytenberg最近提出的李双代数胚的Drinfeld二重化的类似物密切相关。李双代数胚是李双代数在基流形上的推广，由Mackenzie和P. Xu定义。分次$QP$ -流形给出了所有这一切的{奇数版本}，特别是，它们包含李双代数，Manin三元组和Drinfeld的双重的“奇数类比”。

齐次自旋流形的超化与齐次超流形的几何

Superization of Homogeneous Spin Manifolds and Geometry of Homogeneous Supermanifolds

设M_0=G_0/H是（伪）-黎曼齐次自旋流形，其约化分解为g_0=h+m，S（M_0）是稳定子H的旋量表示Ad：H-> \GL_R（S）所定义的自旋丛.本文研究M_0的超化，即它到齐次超流形M=G/H的扩张，其超函数层同构于Lambda（S^*（M_0））.这里G是通过Kostant-Koszul构造将对称性为g_0的李代数扩张为超对称性为g=g_0+g_1=g_0+S的李超群。每个超对称代数自然地决定了自旋丛S（M_0）中的一个平坦联络nabla^{S}。Killing向量与广义Killing旋量（即nabla^{S}-平行旋量）一起被解释为M的适当几何对称性的值，即偶数和奇数Killing场。给出了超对称代数的Killing表示的一个显式公式，推广了Koszul的一些结果。广义自旋联络nabla^{S}通过Wang的一个定理的超版本定义了M上的一个超联络。

超流形上测地线到非分次differential geometry的无损约化

A lossless reduction of geodesics on supermanifolds to non-graded differential geometry

设$\mathcal M= (M,\mathcal O_\mathcal M)$是连通$\nabla$和Batchelor模型$\mathcal O_\mathcal M\congΓ_{ΛE^\ast}$的光滑超流形.从$(\mathcal M,\nabla)$我们构造了向量丛$E\to{M}$的全空间上的联络。$\nabla$的这种还原是独立于同构$\mathcal O_\mathcal M \cong Γ_{ΛE^\ast}$而定义的。它删除了信息，但事实证明，$\mathcal M$中的超曲线（从$ \mathbb R^{1|1}$到$\mathcal M$的映射）与$E$中的曲线的自然识别仅限于测地线上的1对1对应。这种双射是由$\mathcal M$上测地线的初始条件的自然识别引起的。$E$。进一步地，$\mathcal M$上的黎曼度量约化为流形$E$上的对称双线性形式.假设$\mathcal M$上的连接与度量兼容，无扭转，$E$上的简化连接继承了这些特性。对于奇数度量，$\mathcal M$上的Levi-Civita联络的约化结果是$E$上的Levi-Civita联络.

格雷德超几何中的等价函子

Equivalence functors in graded supergeometry

本文通过构造性几何方法，将N-流形的去超化等价函子作为标准等价的组合，揭示了N-流形与n元向量超向量包之间的等价关系。

适用于非负梯度结构的连接

Connections Adapted to Non-Negatively Graded Structures

分次丛是分次流形的一个特别好的类别，并且代表了向量丛的自然推广。利用超流形的形式来描述李代数胚，我们定义了分次丛上的加权$A$ -联络的概念。在自然意义上，加权$A$ -连接以与线性$A$ -连接适应于向量丛的结构相同的方式适应于分次丛的基本几何结构。这个概念直接推广到多阶化丛，特别是我们提出了双向量丛上的双加权$A$ -联络的概念。我们证明了这种适应的连接的存在性，并使用它们来定义（准）分次丛上的李代数胚的行动。

超流形上Riemann张量和Penrose张量的类似

The analogs of Riemann and Penrose tensors on supermanifolds

完全计算了一类分次李超代数的Spencer上同调。这种上同调被解释为类似于黎曼张量和彭罗斯张量的超流形。结果表明Borel-Weil-Bott定理在李超代数上没有简单的推广。

除代数、超对称性与高次规范理论

Division Algebras, Supersymmetry and Higher Gauge Theory

从四个赋范除代数-实数，复数，四元数和八元数，维数k=1，2，4和8，分别-一个系统的程序给出了一个3-上循环的Poincare超代数维数k+2=3，4，6和10，和一个4-上循环的Poincare超代数维数k+3=4，5，7和11。这些上圈的存在性是由旋量恒等式得出的，旋量恒等式只在这些维中成立，并且与k+2维中超弦和k+3维中超2-膜的存在性密切相关。一般来说，李超代数上的一个（n+1）-上圈产生一个“李n-超代数”：也就是说，粗略地说，一个n项链复形配备了一个括号，满足李超代数直到链同伦的公理。从而得到了在k+2维上扩展Poincare超代数的Lie 2-超代数和在k+3维上扩展Poincare超代数的Lie 3-超代数。我们目前的证据，工作的基础上，Sati，Schreiber和Stasheff，这些李n-超代数描述无穷小的“更高的对称性”的超弦和2-膜。一般地，将一个李n-超代数积分到一个李n-超群会产生一个无限维的“李n-超群”。然而，当李n-超代数是由幂零李超代数上的（n+1）-上圈得到时，有一个几何过程将上圈积分为相应幂零李超群上的上圈。一般来说，一个超群上的光滑（n+1）-上圈产生一个“李n-超群”：也就是说，一个在超流形内部的弱n-群。利用我们的几何方法对k+2维的3-上圈进行积分，我们得到一个推广Poincare超群的Lie 2-超群，同样对k+3维的4-上圈…

黎曼超几何

Riemannian Supergeometry

受Zirnbauer的一篇论文的启发，我们发展了一个黎曼超流形的理论，定义了黎曼对称超空间。从黎曼和李理论的角度研究这些空间所需的各种基本概念都被引入，例如测地线，等距群和李超群和齐性超空间上的不变度量。

混合对称张量的分次微分几何

The Graded Differential Geometry of Mixed Symmetry Tensors

我们展示了如何理论的$\mathbb{Z}_2^n$ -流形-这是一个非平凡的推广的超流形-可能是有用的几何方法混合对称张量，如对偶引力子。这种张量场的几何方面的平坦和弯曲的时空进行了讨论。

分次丛的线性扩张与（李）代数胚的高级类似

Linear duals of graded bundles and higher analogues of (Lie) algebroids

分次丛是一类分次流形，它是向量丛的自然推广，包括高阶切丛作为典型例子。我们提出并研究了分次丛的线性化的概念，这使我们能够定义分次丛的线性对偶的概念。它们是双重结构、分次线性（$\mathcal{GL}$）丛的例子，包括双重向量丛作为特殊情况。在$\mathcal{GL}$ -丛上，我们定义了我们称之为加权代数胚的东西，它可以理解为分次丛范畴中的代数胚。它们可以作为高阶拉格朗日力学的几何框架。典型的例子是李群胚的高切丛的约化。加权代数胚也表示Gracia-Saz & Mehta定义的$\mathcal{VB}$ -代数胚和Mackenzie的$\mathcal{LA}$ -丛的推广。由此产生的结构是惊人的相似Voronov的高李代数胚，但我们的方法不需要初始结构上定义的超流形。

分次切触流形与切触Courant代数胚

Graded contact manifolds and contact Courant algebroids

我们发展了一个系统的方法来接触和Jacobi结构的分次超流形。在这个框架中，切触结构被解释为辛主GL（1，R）-丛。与GL（1，R）作用相容的分次导致分次接触流形的概念，特别是线性（更一般地，n-线性）切触结构。证明了线性切触结构是线丛第一射流上的正则切触结构。它们提供了线性Kirillov（或Jacobi）括号，并产生了Kirillov代数胚的概念，这是李代数胚的类似物，其相应的上同调算子不是由向量场（德拉姆导数）表示，而是由一阶微分算子表示。它表明，人们可以查看Kirillov或Jacobi括号作为同调哈密顿线性接触流形。接触流形的程度2的研究，以及接触类似物的柯朗代数胚。我们定义提升程序，为我们提供了建设的典型例子的结构问题。

积分无穷小（超）作用量

Integrating infinitesimal (super) actions

本文将Richard Palais的一些结果推广到李超群和李超代数的情况。更精确地说，令$G$是一个李超群，$\mathfrak g$是它的李超代数，令$ρ$是$M$上的$\mathfrak g$的无穷小作用（表示）。我们将证明在$M$上总是存在$G$的局部（光滑左）作用，使得$ρ$是将$M$上的基本向量场关联到代数元素的映射（我们将说该作用对$ρ$进行积分）。证明了若$ρ$是单价的，则存在唯一的$G$对积分为$ρ$的$M$的极大局部作用.最后我们证明，如果$G$是单连通的并且所有（光滑、偶数）向量场$ρ(X)$都是完整的，那么存在$G$对$M$积分$ρ$的全局（光滑左）作用。省略所有对超级设置的引用将使我们的校样变成宫殿的变体。

分级流形上齐次Pfaffian形式的Darboux分类

A Darboux classification of homogeneous Pfaffian forms on graded manifolds

研究超流形上关于给定齐次结构齐次的微分Pfaffian形式的局部分类问题，证明存在齐次Darboux坐标，从而得到齐次Pfaffian形式的Darboux型标准形。

与GL $_q(1| 1)$相关的Gr $_q(1| 1)$的霍普夫代数结构

Hopf algebra structure of Gr$_q(1| 1)$ related to GL$_q(1| 1)$

证明了Grassmann超群Gr $_q(1| 1)$上的函数代数具有与GL $_q(1| 1)$相关的分次霍普夫代数结构.

$\mathbb{Z}_2^n$-流形范畴中的主丛

Principal bundles in the category of $\mathbb{Z}_2^n$-manifolds

本文将经典主丛理论推广到$\mathbb{Z}_2^n$-流形范畴，定义并研究了主$\mathbb{Z}_2^n$-丛，以$\mathbb{Z}_2^n$-向量丛的标架丛为典型例子，并系统介绍了$\mathbb{Z}_2^n$-流形的基础理论。

The higher-algebraic skeleton of the superstring -- a case study

A novel Lie-superalgebraic description of the superstring in the super-Minkowskian background is extracted from the Cartan-Eilenberg super-1-gerbe geometrising the higher gauge field (the Green-Schwarz super-3-cocycle) that couples to the supercharge carried by the superstring. The description assumes the form of a hierarchy of Lie superalgebras integrable to a hierarchy of Lie supergroups and provides a manifestly supersymmetric model of a family of supermanifolds defining a trivialisation of the super-1-gerbe over the embedded superstring worldsheet. The trivialisation, obtained in a purely …

Jacobi结构再探

Jacobi structures revisited

引入了Jacobi代数胚，即与向量丛相关的Grassmann代数上的分次李括号，它满足与Jacobi括号类似的性质.它们在伊格莱西亚斯和马雷罗意义上等价于广义李代数胚，并且也可以看作是与向量丛相关的超流形上的奇Jacobi括号。Jacobi双代数胚也以同样的方式定义。在保持相应括号的向量丛的全空间上，给出了Grassmann代数的元素到多向量场的提升过程。这就给出了在Kirillov意义下正则地将一个李代数胚与任何局部李代数联系起来的可能性。

Riemannian structures on $\mathbb{Z}_2^n$-manifolds

Very loosely, $\mathbb{Z}_2^n$-manifolds are `manifolds' with $\mathbb{Z}_2^n$-graded coordinates and their sign rule is determined by the scalar product of their $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. A little more carefully, such objects can be understood within a sheaf-theoretical framework, just as supermanifolds can, but with subtle differences. In this paper, we examine the notion of a Riemannian $\mathbb{Z}_2^n$-manifold, i.e., a $\mathbb{Z}_2^n$-manifold equipped with a Riemannian metric that may carry non-zero $\mathbb{Z}_2^n$-degree. We show that the basic notions and tenets of Riemannian geometr…

NQ-流形表示的Wilson线

Wilson Lines from Representations of NQ-Manifolds

一个NQ-流形是一个具有1次同调向量场的非负分次超流形。本文的重点是在NQ-流形的背景下定义Wilson环/线，并研究它们的性质。Wilson环/线，给出了完整性或平行运输，是常见的对象在通常的微分几何，我们分析的微妙之处，在推广到NQ-设置，我们还勾勒出我们的建设的一些可能的应用。

齐性作用、N-流形与Frobenius定理

Homogeneity actions, N-manifolds, and the Frobenius theorem

研究由齐性作用诱导的N-分次超流形，证明h_0是到子流形的光滑收缩且构成纤维丛，给出齐性Frobenius定理的简单证明，并推广到N-流形。

Realization of Lie superalgebras G(3) and F(4) as symmetries of supergeometries

For every parabolic subgroup $P$ of a Lie supergroup $G$ the homogeneous superspace $G/P$ carries a $G$-invariant supergeometry. We address the quesiton whether $\mathfrak{g}=\operatorname{Lie}(G)$ is the maximal symmetry of this supergeometry in the case of exceptional Lie superalgebras $G(3)$ and $F(4)$. Our approach is to consider the negatively graded Lie superalgebras for every choice of parabolic, and to compute the Tanaka-Weisfeiler prolongations, with reduction of the structure group when required (2 resp 3 cases), thus realizing $G(3)$ and $F(4)$ as symmetries of supergeometries. This…

关于某些幺半群作用的注记

A note on actions of some monoids

实数的乘法幺半群$(\mathbb{R},\cdot)$在流形上的光滑作用导致了另一种，并且由于某些原因更简单，向量丛，双重向量丛和相关结构如分次丛的定义[Grabowski和Rotkiewicz，J. Geom. Phys. 2011]。由于这些原因，研究某些与幺半群$(\mathbb{R},\cdot)$密切相关的幺半群的光滑作用是很自然的。也就是说，我们讨论了与以下几个方面有关的几何结构：乘性复数幺半群的光滑作用和全纯作用，穿孔映射$(\mathbb{R},0)\rightarrow (\mathbb{R},0)$的第二喷流幺半群的光滑作用，实2 × 2矩阵幺半群的光滑作用以及乘性实在超流形上的光滑作用.在特殊情况下，我们恢复的概念的全纯向量丛，一个复杂的向量丛和非负分次流形。

${\mathbb Z}_{2}^{n}$ -流形的Schwarz-Voronov嵌入

The Schwarz-Voronov Embedding of ${\mathbb Z}_{2}^{n}$-Manifolds

非正式地，${\mathbb Z}_2^n$ -流形是具有${\mathbb Z}_2^n$ -分次坐标和由它们的${\mathbb Z}_2^n$ -度的标准标量积确定的符号规则的“流形”。这样的流形可以在层理论的框架中理解，就像超流形一样，但有显着的差异，特别是在积分理论中。本文通过点的函子在范畴框架内重新定义了${\mathbb Z}_2^n$ -流形的概念。我们表明，它是足够的考虑${\mathbb Z}_2^n$ -点，即，平凡的${\mathbb Z}_2^n$ -流形，其中约化流形只是一个单一的点，作为“探针”时，采用函子的点。这使得我们可以构造一个完全忠实的限制Yoneda嵌入的范畴的${\mathbb Z}_2^n$ -流形到一个子范畴的逆变函子从范畴的${\mathbb Z}_2^n$ -点的范畴的Fréchet流形代数。我们把这种嵌入称为Schwarz-Voronov嵌入。进一步证明了${\mathbb Z}_2^n$ -流形范畴等价于前一个局部平凡函子范畴的全子范畴。

李超代数 D(2,1;a) 的几何实现

Geometric realizations of the Lie superalgebra D(2,1;a)

本文通过抛物子代数对应的负分次李子代数的 Tanaka–Weisfeiler 延拓，构造了例外李超代数 D(2,1;a) 的 6 个互不等价超几何实现，并显式给出各情形下的超对称。