Two-descent on some genus two curves
Tim Evink, Gert-Jan van der Heiden, Jaap Top
对于满足方程y ^2 =x（x-2 p）（x-p）（x+p）（x+2 p）的超椭圆曲线C_p，讨论了它在Q上的Jacobian秩的界，在相应的Shafarevich-Tate群中发现了许多2-挠的情形，并给出了C_p的有理点的一些结果.
For the hyperelliptic curve C_p with equation y^2=x(x-2p)(x-p)(x+p)(x+2p) with p a prime number, we discuss bounds for the rank of its Jacobian over Q, find many cases having 2-torsion in the associated Shafarevich-Tate group, and we present some results on rational points of C_p.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Descent via (3,3)-isogeny on Jacobians of genus 2 curves
我们给出了亏格为2的曲线C在J[3]中具有最大迷向（ZZ/3）^2的参数化，其中J是C的雅可比簇，并发展了通过（3，3）-等距进行下降所需的理论。我们应用这几个例子，它可以表明，不可约雅可比有非平凡的3-部分的Tate-Shafarevich群。
Explicit two-cover descent for genus 2 curves
给定数域上定义有有理Weierstrass点的亏格$2$曲线$C$，构造了一类通过$C$的极大非分歧阿贝尔双覆盖下降的亏格$5$曲线，并将其Jacobian的等距类的显式模型描述为椭圆曲线的标量限制.本文的所有构造都附有明确的公式，并在Magma和/或SageMath中实现。我们应用这些算法结合椭圆Chabauty的数据集的7692属$2$五次曲线在$\mathbb{Q}$的Mordell-Weil秩$2$或$3$的有理点的集合以前没有被证明计算。我们分析了这种方法在计算有理点集时成功的频率，以及在某些情况下导致它失败的障碍。
Generalized explicit descent and its application to curves of genus 3
我们介绍了一个共同的推广，基本上所有已知的方法显式计算塞尔默群，这是用来绑定的行列阿贝尔簇在全球领域。我们还简化和扩展的证明有关的计算cohomologically定义的Selmer组。自20世纪90年代以来，Selmer群计算已经适用于Q上的曲线的Jacobian直到2，但我们的方法是第一个适用于一般曲线的3。我们表明，我们的方法成功的一些属3的例子定义的多项式与小系数。
Geometric primality tests using curves of genus 1 & 2
我们回顾和推广了一些几何技术背后的确定性素性测试的一些整数序列使用曲线的亏格1有限环。随后，我们开发了一个类似的素性测试使用的雅可比矩阵的亏格2曲线。
Shimura curves of genus at most two
本文列举了亏格不超过两个的所有Shimura曲线X^D_0（N）。
Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication
本文给出了亏格为2的曲线族，其Jacobian的$\sqrt2$乘被Rosati对合固定，并在此基础上得到了几个结果，包括曲线的Jacobian与四元数乘曲线的Jacobian的同构性.
Computer search for curves with many points among abelian covers of genus 2 curves
利用类域理论，我们将有限域上的每一条曲线C及其除子类群的每一个子群G联系起来，得到C的非分歧阿贝尔覆盖，其亏格由G的指数决定。通过列出小亏格的曲线的类群，可以得到具有多个点的曲线的例子;我们对基数为5，7，9，11，13和16的域上的亏格2的所有曲线都这样做，为具有多个点的曲线表提供新的条目（www.manYPoints.org）。
Extending Elliptic Curve Chabauty to higher genus curves
将“椭圆曲线Chabauty”方法推广到高亏格曲线及其Jacobian。这种方法有时可以与覆盖技术和修改版本的Mordell-Weil筛结合使用，以提供一个完整的解决方案，以确定代数曲线$Y$的有理点集的问题。
Distortion maps for genus two curves
失真映射是基于配对的密码学的有用工具。与椭圆曲线相比，亏格g > 1的超椭圆曲线的情形更为复杂，因为全挠子群的秩为2g。本文证明了亏格g>1的超奇异曲线的畸变映射总是存在的，并构造了亏格2的畸变映射（嵌入度分别为4，5，6，12）.
Mahler measure of polynomials defining genus 2 and 3 curves
本文研究了500多个亏格为2和亏格为3的倒数多项式曲线族的Mahler测度。数值上我们发现这些多项式的Mahler测度与$L$ -函数的特殊值之间的关系。我们还发现了100多个身份之间的马勒措施，涉及不同的家庭的多项式定义属2和属3曲线。进一步研究了亏格为2的几类非互易多项式的Mahler测度，并通过数值计算找到了这几类非互易多项式的Mahler测度与椭圆曲线的$L$ -函数的特殊值之间的关系.我们还发现这些非互易家庭和回火多项式定义属1曲线的马勒措施之间的身份。我们将通过考虑由这些多项式定义的曲线的$K_2$中的某些元素的推进和拉回，并将Beilinson猜想应用于曲线的$K_2$来解释这些关系。我们证明了亏格2和亏格3曲线族的$K_2$中存在两个和三个显式线性无关元。
Infinitely many hyperelliptic curves of small genus and small fixed rank, and of any genus and rank two
本文证明了对于任何数域K和固定亏格g≥2，存在无穷多个非同构的亏格为g的双曲曲线，其雅可比曲线的秩为0、1或2。
Uniqueness of low genus optimal curves over F_2
一条定义在有限域F_q上的亏格为g的射影光滑绝对不可约代数曲线X称为最优的，如果对F_q上的每一条亏格为g的曲线Y都有$\#Y(F_q)\le \#X(F_q)$ .本文证明了F_2上$g\le 5$存在唯一的最优亏格g曲线。当g=6时，恰好有两个，当g=7时，至少有两个。
The maximum number of rational points for a genus 4 curve over F_7 is 24
本文证明了有限域F_7上的光滑、射影、绝对不可约亏格为4的曲线的最大可能有理点个数为24。已知F_7上亏格为4的曲线最多可以有25个点。在本文中，我们证明了这样的曲线可以有至多24。另一方面，我们给出了F_7上亏格为4的曲线有24个点的一个显式例子。
Period and index of genus one curves over number fields
曲线的周期是Galois-不变因子类的最小正次数。该指数是有理因子的最小正度。我们构造了给定数域上具有指定周期和指数的亏格为1的曲线的例子。
The CM class number one problem for curves of genus $2$
椭圆曲线的CM类数一问题要求求出所有定义在有理数上的具有非平凡自同态环的椭圆曲线。对于亏格2曲线，问题是确定定义在反射场上的亏格$2$的所有CM曲线。我们解决了这个问题，表明在Bouyer和Streng [LMS J. COMPUT.数学，18（1）：507{538，2015}已完成。
Some genus 3 curves with many points
利用一类显式的平面四次曲线，证明了特征为3的有限域上存在亏格为3的曲线，且该曲线的有理点的个数与Hasse-Weil-Serre上界的距离不超过一定.我们还提供了一个内在的特性，所谓的勒让德椭圆曲线。
Triangular modular curves of low genus
三角形模曲线是由上半平面的同余子群与双曲三角形群的同余子群所产生的模曲线的推广。这些曲线也自然地作为具有单值$\text{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$或$\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$的Belyi映射的源而出现。提出了一种计算Borel型三角模曲线的方法，并对素数水平和小亏格的Borel型三角模线进行了计数。
$E_8$ and the average size of the 3-Selmer group of the Jacobian of a pointed genus-2 curve
证明了亏格为2的曲线的3-Selmer群的平均尺寸为4。
The Mordell-Weil rank of the Jacobian of a curve of genus 2 with multiplication by a square root of 2
我们提出了一种方法来计算的Mordell-Weil秩的雅可比曲线的亏格2乘以2的平方根，基于下降通过isogenies度2，并将其应用到一个家庭的曲线。
On different expressions for invariants of hyperelliptic curves of genus 3
本文给出亏格为3的超椭圆曲线的不同不变量之间的一个通项公式，特别是Tsuyumine和Shioda不变量之间的通项公式.这需要得到Shioda不变量的模表达式，即，例如，用于证明CM亏格3超椭圆曲线的数值计算方程的正确性。另一方面，我们还得到了用定义超椭圆曲线的方程的根的差描述的Shioda不变量，它在研究曲线的约化类型方面有应用。在其雅可比矩阵满足一定条件的情况下，给出亏格为3的超椭圆曲线坏约化类型的判定准则。
Rational and isolated quadratic points on hyperelliptic curves of rank 0 and small genus
本文提出一种利用Kummer簇上Mordell-Weil群像来计算秩0超椭圆曲线有理点和孤立二次点的方法，并用Magma实现，在大量曲线上验证。
Twists of non-hyperelliptic curves of genus 3
在本文中，我们显式计算方程的所有光滑平面四次曲线定义在一个数域k上的扭曲。由于平面四次曲线是亏格为3的非超椭圆曲线，我们可以应用作者在前一篇文章中提出的方法。本文的出发点是Henn对具有非平凡自同构群直到C-同构的平面四次曲线的分类。
On genus one curves violating the local-global principle
对于任何不包含$\QQ(i),$的数域，我们给出一个显式构造来证明存在一条定义在该数域上的椭圆曲线，使得其Shafarevich-Tate群是非平凡的。
On the average number of rational points on curves of genus 2
基于计算证据，我们用方程y ^2 = f（x）>的系数的大小来表示亏格为2的曲线上的有理点在有理数上的分布。
Hypergeometric Properties of Genus 3 Generalized Legendre Curves
受Manin的一个结果的启发，研究了亏格为3的广义Legendre曲线的Frobenius迹与某些周期积分的关系.我们表明，这两个属性可以计算的“匹配”的经典和有限域超几何函数，这种现象也被观察到在椭圆曲线和许多高维品种。
3-torsion and conductor of genus 2 curves
本文提出了一种计算 genus 2 曲线 conductor 的算法，基于 Jacobian 的 3-torsion 分析。
L-functions of Genus Two Abelian Coverings of Elliptic Curves over Finite Fields
本文从Anabel几何与Artin的L函数的关系出发，研究了有限域上椭圆曲线亏格为2的阿贝尔覆盖的ζ-函数列表.我们的目标是提供这样一个列表的完整描述。
Factorization with genus 2 curves
椭圆曲线方法（ECM）是最好的因式分解方法之一。可以使用超椭圆曲线来代替椭圆曲线，但理论上它更慢。我们使用特殊的超椭圆曲线和Kummer曲面来降低算法的复杂度。我们的实现GMP-HECM比GMP-ECM更快地分解大数字。
Quickly constructing curves of genus 4 with many points
有限域上的曲线的“缺陷”是曲线上的有理点的数目与曲线的Weil-Serre界之间的差。给出了有限域上亏格为2的曲线的亏格为4的双覆盖的构造，使得双覆盖的亏格不比亏格为2的曲线的亏格多.我们给出了一个算法，使用这种结构来产生亏格为4的曲线与小缺陷。启发式地，对于所有足够大的素数和几乎所有的素数幂q，该算法预计将产生一个亏格为4的曲线在F_q上的时间q^{3/4}，最多为对数因子。作为算法分析的一部分，我们提出了一个重新解释的结果Hayashida上的一些亏格-2曲线的雅可比同构的平方给定的椭圆曲线的复乘的极大序模。我们证明了这样一条椭圆曲线的平方上的一类主极化等价于某个四元数阶的一类右理想。
On some algebras associated to genus one curves
Haile，Han和Kuo研究了与二元四次型或三元三次型相关的某些非交换代数.我们将它们的构造推广到四个变量的二次型对，并猜想进一步推广到任意度的亏格曲线。这些构造给出了与椭圆曲线的Weil-Chatelet群和Brauer群相关的同构的明确实现。
Counting points on some genus zero Shimura curves
本文利用零维 Shimura 曲线上有界高度点的计数，研究数域 $K$ 上具潜在四元数乘法的阿贝尔曲面数量。
A formula for the Jacobian of a genus one curve of arbitrary degree
本文将经典不变理论中亏格为一的$n \le 4$次曲线的雅可比矩阵的公式推广到任意次曲线。要做到这一点，我们关联到每个属一个正态曲线的程度$n$，一个$n \times n$交替二次型的矩阵的$n$变量，代表不变的微分。然后，我们展示了我们需要的不变量作为该矩阵的项的系数中的次数为$4$和$6$的齐次多项式。
Quadratic forms and Genus Theory : a link with 2-descent and an application to non-trivial specializations of ideal classes
本文将 Genus Theory 扩展至系数在任意 PID 上的扭曲二次型，证明其与超椭圆曲线上 2-descent 映射的关联，并应用于解决除子类特化问题，证明非平凡特化集合密度为 1。
On the Prym variety of genus 3 covers of genus 1 curves
本文针对亏格1曲线的非超椭圆亏格3覆盖，构造显式亏格2曲线，使雅可比簇同源于原曲线与覆盖曲线的雅可比簇乘积，推广了Nils Bruin的结果。
Two-coverings of Jacobians of curves of genus two
我们找到了特征不同于2的任意基域上亏格为2的Jacobian的两个覆盖的显式方程。
Optimal curves of genus 1,2 and 3
本文讨论了有限域上亏格为1，2，3的曲线的最大点数问题
Genus one half stacky curves violating the local-global principle
对任意数域，我们证明了存在亏格为1/2的Stacky曲线，它定义在其整数环上，违反了整点的局部-整体原理。
A database of nonhyperelliptic genus 3 curves over Q
我们报告的建设数据库的非超椭圆亏格3曲线在Q的小判别。
A census of all genus 4 curves over the field with 2 elements
我们解释了我们如何计算方程的所有属4曲线定义的领域与2个元素，直到同构，和一些数据，我们得到的。我们也给出了描述的好模型的属4曲线的特征2字段，在超椭圆的情况下，三角形的情况下。
Modular forms of degree two and curves of genus two in characteristic two
利用亏格为2的曲线与二次模形式环的关系，刻画了特征为2的二次模形式环。
Genus formula for modular curves of $D$-elliptic sheaves
证明了$D$ -椭圆层的模曲线的亏格公式。我们利用这个公式证明了当$D$的判别式的阶趋于无穷大时，$D$ -椭圆层的模曲线的约化达到Drinfeld-Vladut界.
Curves of genus 3 over small finite fields
给出了基数为q的域上亏格为3的曲线上的最大有理点个数表，其中q<100。同时，对有限域上的Frobenius非经典四次型也作了一些注记.
The Number of Rational Points On Genus 4 Hyperelliptic Supersingular Curves in Characteristic 2
有限域上曲线领域的一个大问题是关于点的个数的分布：在亏格为$g$的曲线上，哪些数是点的个数？同样的问题也可以问到曲线的各种子类。本文对$2^n$，$n$奇阶有限域上亏格为4的超奇异超椭圆曲线上点数的可能性进行了分类.
Genus-2 curves and Jacobians with a given number of points
研究了有限域F上亏格为2的曲线C的有效构造问题，其中曲线C或其Jacobian具有给定数目N的F-有理点.在雅可比矩阵的情况下，我们表明，任何'CM建设'，以产生所需的属-2曲线必然需要时间指数的大小，其输入。另一方面，我们提供了一个算法，用于产生一个给定数量的点，多项式时间为大多数输入值的属2曲线。我们通过构造一条恰好有10^2014 + 9703（素数）点的亏格2曲线和两条恰好有10^2013点的亏格2曲线来说明该算法的实用性。在附录中，我们提供了一个完整的参数化，在一个任意的基域k的特征既不2也不3，家庭的亏格2曲线在k上，有k-有理度3映射到椭圆曲线，包括公式亏格2曲线，相关的椭圆曲线，和度3映射。
Admissible Invariants of genus 3 Curves
最近研究了极化度量化图的几个不变量及其在算术几何中的应用。本文对亏格$3$中的所有曲线，明确地计算了这些容许不变量。对于亏格为$3$的所有极化度量化图，我们找到了不变量$φ$、$λ$和$ε$的最小下界.这改进了有效Bogomolov猜想的下界。
The Euler characteristic of local systems on the moduli of curves and abelian varieties of genus three
我们展示了如何计算的欧拉示性数的局部系统相关联的不可约表示的辛群的亏格3上的模空间的曲线的亏格3和模空间的主要极化阿贝尔簇的3维。
The Geometric Bogomolov Conjecture for Small Genus Curves
博戈莫洛夫猜想是关于定义在整体域上的光滑完备曲线上的小高度代数点的有限性陈述。证明了特征为零的函数域上亏格至多为4的曲线的Bogomolov猜想的一个有效形式。我们恢复了已知的结果亏格2曲线，并在许多情况下，改进了已知的亏格3曲线的界限。对于亏格为4且约化坏约化的曲线，该猜想以前未被证明。
Optimal curves of low genus over finite fields
通过对最优曲线的研究，改进了有限域上低亏格曲线判别式在{-3，-4，-7，-8，-11，-19}的Hasse-Weil-Serre界.
Computing isogenies between jacobians of hyperelliptic curves of arbitrary genus via differential equations
设$p$为奇素数，且为与$p$互质的整数.本文研究了$p$ -进数域$\mathbb{Q}\_p$的扩张$K$上任意亏格的超椭圆曲线的Jacobian之间的$(\ell,...,\ell)$ -同构的显式有理表示的算法.该算法在$\ell$和曲线的亏格上都具有拟线性复杂度。
Abelian surfaces over finite fields containing no curves of genus $3$ or less
本文研究了有限域上不含曲率3或更小曲线的阿贝尔表面，通过极化度与曲率的关系，完善了同源类的特征化，并描述了相关曲线的性质。
p-torsion of Genus Two Curves Over Prime Fields of Characteristic p
考虑定义在特征为p的素域上具有复乘的超椭圆亏格2曲线的雅可比矩阵。本文证明了Jacobian的p-Sylow子群是平凡的或p阶的。
Classification of genus 3 curves in special strata of the moduli space
我们描述的不变量的平面四次曲线-非超椭圆属3曲线在其典型的模型-由Dixlovan和Ohno确定的，与应用程序的分类与给定的结构曲线。特别是，我们确定模块方程的地层中的模空间$\Me_3$的平面四次曲线至少有7个hyperflexes，并获得计算表征这些地层中的曲线。
The existence of supersingular curves of genus 4 in arbitrary characteristic
证明了在任意特征$p$中存在亏格$4$的超奇异非奇异曲线.对于$p>3$，我们将证明在两条超奇椭圆曲线的$\mathbb{P}^1$上的某种纤维积的去奇异化是超奇异的.
An unusual family of supersingular curves of genus five in characteristic two
本文构造了一族在特征二中的奇异五 genus 曲线，其具有特定的维数、非超椭圆性及双覆盖结构，并提供了显式参数化。
Covering techniques and rational points on some genus 5 curves
我们描述了一种方法，允许，在某些假设下，计算所有的有理点的一些亏格5曲线定义在数域上。这种方法被用来解决一些尚未解决的算术问题。
Gluing Genus 1 and Genus 2 Curves Along $\ell$-torsion
本文提出一种系统搜索方法，寻找沿$\ell$-挠群粘合亏格1与亏格2曲线的素数及曲线候选对，改进了数值粘合算法，并发现了多个满足雅可比行列式同构条件的实例。
Producing supersingular curves of genus five
本文通过亏格三曲线的非分歧二重覆盖构造了特征 p 模四余三时的亏格五超奇异曲线，并对 p 模四余一的情形提出猜想且在 p<100 时计算验证，推广了前人工作。
Weights in Codes and Genus 2 Curves
讨论了一类二元循环码及其对偶码。最小距离是使用代数几何和Weil定理的应用确定的。我们将对偶码中出现的权值与有限域上亏格为2的曲线族上的有理点的个数联系起来。
Explicit models of genus 2 curves with split CM
我们概述了一个通用算法，用于计算亏格2的任何曲线的数域上的显式模型，其（非极化）雅可比矩阵同构于虚二次域中两条具有相同阶CM的椭圆曲线的积。对于序有素判别式且类数为1的情形，给出了详细的说明和一些例子
On genus-change in algebraic curves over nonperfect fields
该研究以概形理论为工具，给出了特征p>0的非完美域上正规几何整曲线亏格差值整除性结论的新证明，推进了相关代数几何结果的论证。
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