The CM class number one problem for curves of genus $2$
椭圆曲线的CM类数一问题要求求出所有定义在有理数上的具有非平凡自同态环的椭圆曲线。对于亏格2曲线，问题是确定定义在反射场上的亏格$2$的所有CM曲线。我们解决了这个问题，表明在Bouyer和Streng [LMS J. COMPUT.数学，18（1）：507{538，2015}已完成。
2018-06-13 math.NT
Minimisation and reduction of 5-coverings of elliptic curves
我们考虑模型的亏格一曲线的程度5，这出现在明确的5下降的椭圆曲线。证明了与雅可比椭圆曲线的极小模型具有相同不变量的极小模型的存在性定理，并给出了计算这类模型的算法。最后，我们描述了如何减少亏格1模型的5度定义在Q。
2011-12-21 math.NT
Factorization with genus 2 curves
椭圆曲线方法（ECM）是最好的因式分解方法之一。可以使用超椭圆曲线来代替椭圆曲线，但理论上它更慢。我们使用特殊的超椭圆曲线和Kummer曲面来降低算法的复杂度。我们的实现GMP-HECM比GMP-ECM更快地分解大数字。
2009-05-14 math.NT
Regulator proofs for Boyd's identities on genus 2 curves
我们使用椭圆调节器恢复一些恒等式之间的马勒措施涉及某些家庭的亏格2曲线，由博伊德和Bertin和Zudilin证明，通过区分马勒措施和使用超几何身份。由于我们的证明涉及监管机构，他们产生光到预期的关系，每个马勒措施的特殊值的$L$ -功能的某些椭圆曲线。
2018-11-13 math.NT
On Possible Genus 0 adelic Galois Images of non CM Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$
本文研究了定义在有理数域上的非 CM 椭圆曲线的 adelic Galois 表示，分类了当 $\pm ρ_E$ 的像具有亏格 0 时由 $ρ_E$ 的像与 $-I$ 生成的群的可能形式，但给出的列表并非最小。
2023-07-06 math.NT
Elliptic subfields and automorphisms of genus 2 function fields
研究了亏格为2的函数域的2次椭圆子域.这些域的轨迹$Ł_2$是亏格为2的域的模空间$\mathcal M_2$的2维子簇。$Ł_2$的一个方程已经在Clebsch和Bolza的工作中。利用仿射2-空间对$Ł_2$进行双有理参数化，研究了2次椭圆子域的j-不变量之间的关系.这扩展了Geyer，Gaudry，Stichtenoth和其他人的工作。我们发现一个1维家庭的亏格2曲线有两个同构的椭圆子域的程度2，这个家庭是参数化的j-不变的这些子域。
2001-07-19 math.AG math.NT
The Hessian of a genus one curve
我们继续发展亏格1曲线的不变理论，目的是计算由模曲线X（n）（n = 2，3，4，5）参数化的通用椭圆曲线族的某些扭曲。我们的构造利用了一个我们称之为Hessian的协变，推广了存在于2度和3度的经典Hessian。特别是，我们给出明确的公式和算法计算的Hessian度4和5。这导致一个实用的算法计算方程的可见元素的顺序n在泰特-Shafarevich组的椭圆曲线。以雅可比矩阵，我们也恢复鲁宾和Silverberg的公式为家庭的n-全等椭圆曲线。
2010-11-30 math.NT
Non-elliptic Shimura curves of genus one
本文给出了由约化判别式D的不定四元数代数产生的具有Gamma 0（N）-水平结构的非椭圆亏格Shimura曲线X 0（D，N）的显式模型，以及它们的Atkin-Lehner等价式.此外，我们还讨论和推广了Jordan博士论文中关于Shimura曲线上具有复乘的点的工作。
2008-04-25 math.AG math.NT
Bigness of Canonical Quadratic Points on Curves of Genus 4
研究四次非双有理曲线的典范二次点，通过模形式和贝蒂映射建立标准条件，证明其在三自映射区域和某些CM族上为大，从而获得非 torsion 理性点和北特里特有限性结果。
2026-05-14 math.NT
Genus 2 fields with degree 3 elliptic subfields
本文研究亏格为2的函数域K的3次椭圆子域.我们证明了K的这类子域的Aut（K）-类的个数为0，1，2或4.并计算了亏格为2的曲线在模空间中的轨迹方程。
2001-09-21 math-ph math.AG math.MP
Monodromy groups of indecomposable coverings of bounded genus
本文分类了亏格为 $g$ 的复曲线不可分解覆盖的分歧类型和单演群，并证明了 Guralnick 及 Guralnick 和 Shareshian 的相关猜想。
2024-03-25 math.AG math.GR math.NT
Minimisation and reduction of 2-, 3- and 4-coverings of elliptic curves
在本文中，我们考虑模型的亏格1曲线的次数n（n = 2，3和4），这出现在显式n下降的椭圆曲线。我们证明定理的存在性极小模型具有相同的不变量的最小模型的雅可比椭圆曲线，并提供简单的算法，最小化一个给定的模型，有效的一般数域。最后，对于定义在Q上的亏格1模型，我们发展了一个约简理论，并再次给出了n = 2，3，4的显式算法。
2009-08-12 math.NT
Curves of genus two with maps of every degree to a fixed elliptic curve
本文分类了所有亏格2曲线C和椭圆曲线E对，使得对每个整数n>1都存在从C到E的n次映射，并证明每条亏格2曲线都存在一个不超过59的整数n使得没有最小n次映射到椭圆曲线。
2026-08-28 math.AG math.NT
Mathieu Moonshine in the elliptic genus of K3
最近证明了K3的椭圆亏格可以用Mathieu群M24表示的维数来表示。这个想法的一些进一步的证据随后被发现，通过研究从椭圆亏格中获得的缠绕亏格，在用它们的特征标替换马蒂厄群表示的维数后。在本文中，我们发现明确的公式，所有（剩余）twining一般由受过教育的猜测其一般模块化的性质。这使我们能够识别M24-表示的维度方面的所有展开系数的分解。对于前500个系数，我们验证了这些表示出现的多重性确实都是非负整数。这是支持这个猜想的非常令人信服的证据。
2011-06-08 hep-th math.NT
Elliptic multiple zeta values, modular graph functions and genus 1 superstring scattering amplitudes
在这篇博士论文中，我们研究了多重zeta值的全纯和非全纯椭圆类似物，即椭圆多重zeta值和模图函数。这两类函数都是最近才发现的，并且涉及到亏格1超弦振幅的计算。特别是，我们得到了新的结果，这些功能，使我们能够执行明确的计算，并指出属零和属一振幅之间的类比。
2018-04-21 hep-th math-ph math.MP
Invariant theory for the elliptic normal quintic, II. The covering map
亏格为1的5次曲线C由P^4上的线性型的5 × 5交替矩阵的4 × 4 Pfuman定义。我们证明了一个结果，这些模型的协变量的限制，以家庭的参数曲线的模曲线X（5）。然后，我们构造了描述从C到其雅可比矩阵的25度覆叠映射的协变量，并给出了一个计算它们的实用算法。
2013-03-11 math.NT
-1-Phenomena for the pluri $χ_y$-genus and elliptic genus
几篇独立的文章已经观察到Hirzebruch $χ_y$ -亏格有一个重要的特征，作者称之为-1-现象，并告诉我们$χ_y$ -亏格在$y=-1$的泰勒展开式的系数有明确的表达式。Hirzebruch的原始$χ_y$ -亏格可以向两个方向扩展：复数情形和椭圆亏格情形。本文分两部分分别研究了这两种广义情形下的-1-现象，证明了在每种情形下都存在适当意义下的-1-现象。我们在第一部分中的主要结果有一个应用，它指出流形上的所有示性数（Chern数和Pontrjagin数）都可以非常明确地表示为某些椭圆算子的指数的某些有理线性组合。这对示性数作了一个解析的解释，肯定地回答了作者几年前提出的一个问题。第二部分包含了我们试图将这一-1-现象推广到椭圆亏格，一个现代版本的$χ_y$ -亏格。我们首先将殆复流形的椭圆亏格推广到包含额外复向量丛的扭曲流形，并证明了在一定的假设下它是弱Jacobi形式。对Jacobi形式理论进行适当的处理，可以从这个弱Jacobi形式中产生新的模形式，从而得到许多与底层流形有关的算术信息，其中隐藏了原始$χ_y$ -亏格的-1-现象.
2014-09-09 math.AT math.DG math.NT
Hilbert modular surfaces for square discriminants and elliptic subfields of genus 2 function fields
通过将Hilbert模曲面与椭圆K3曲面的模空间相连接，计算了它们对应于平方判别式的显式有理模型.由于它们参数化了可分解的主极化阿贝尔曲面，它们也是亏格2曲线通过固定次数映射覆盖椭圆曲线的模空间。从而我们扩展了雅可比、埃尔米特、博尔扎等的经典工作，和最近的工作库恩，弗雷，卡尼，沙斯卡，Völklein，Magaard和其他人，生产明确的家庭可约雅可比。特别地，我们给出了亏格为2的曲线C和椭圆曲线E的模对（C，E）的模空间的双有理模型，该模型具有从C到E的n次映射，以及基上的重言式族，其中2 <= n <= 11.我们还从算术几何的角度分析了生成的模型，并在其上生成了几条有趣的曲线。
2016-09-26 math.AG math.NT
Fast, uniform, and compact scalar multiplication for elliptic curves and genus 2 Jacobians with applications to signature schemes
我们给出了一个通用的框架，均匀的，恒定时间的一维和二维标量乘法算法的椭圆曲线和Jacobian的属2曲线，通过投影到x线或库默尔表面，在那里我们可以利用更快，更均匀的伪乘法，恢复正确的“签署”输出回曲线或Jacobian。这将L{ó}pez和Dahab、Okeya和Sakurai、Brier和Joye的工作扩展到亏格2，也扩展到二维标量乘法。我们的研究结果表明，许多现有的快速伪乘法实现（迄今为止仅限于Diffie-Hellman密钥交换中的应用）可以包装简单，高效的前和后计算，产生竞争力的全标量乘法算法，准备用于更一般的基于离散余弦变换的密码系统，包括签名方案。这对于亏格2是特别有趣的，其中库默尔曲面可以胜过可比的椭圆曲线系统。作为一个例子，我们构造了一个由Kummer曲面算法驱动的Schnorr签名方案的实例。
2015-10-22 cs.CR math.NT
Genus two curves covering elliptic curves: a computational approach
亏格2曲线$C$有椭圆子覆盖，如果存在椭圆曲线$E$的度$n$极大覆盖$ψ: C \to E$。度$n$椭圆子覆盖成对出现$(E, E')$。$C$的雅可比数$J_C$与乘积$E \times E'$的次数$n^2$是同构的。我们说$J_C$是$(n, n)$ -分裂的。$C$的轨迹，记作$Ł_n$，是模空间$\M_2$的代数子簇。空间$Ł_2$在Shaska/Völklein和Gaudry/Schost进行了研究。Shaska（2004）研究了空间$Ł_3$，给出了作为$\M_2$的子轨迹的代数描述。在这项调查中，我们给出了一个简单的描述空间$Ł_n$一般$n$，然后专注于小$n$。我们描述了Shaska/Völklein and Shaska（2004）中跳过的一些计算细节。进一步，我们明确描述了椭圆子覆盖$E$和$E'$之间的关系。我们已经实现了这些关系的计算机程序，很容易检查是否属2曲线有$(2, 2)$或$(3, 3)$分裂雅可比。在每种情况下，椭圆子覆盖可以显式计算。
2012-09-14 math.AG math.NT
Easy scalar decompositions for efficient scalar multiplication on elliptic curves and genus 2 Jacobians
基于标量分解的椭圆曲线标量乘法算法，包括Gallant-Lambert-Vanstone（GLV）和Galbraith-Lin-Scott（GLS）乘法，以及高维和高亏格的构造，其第一步是产生包含自同态特征值的整数格的短基.基向量越短，分解的标量系数越短，并且得到的标量乘法越快。通常情况下，特征值的知识允许我们写下一个长基，然后我们使用欧几里德算法，高斯约简，LLL，甚至更专门的算法来约简。在这项工作中，我们使用有关二次环的基本事实，立即写下一个简短的基础上的格的GLV，GLS，GLV+GLS，和Q-曲线结构的椭圆曲线，并为亏格2实乘结构。我们并不认为这代表了标量乘法中的一个重要优化，因为格约简步骤总是一个离线的预先计算-但它确实让我们更好地了解标量分解的结构。在任何情况下，使用现成的短基总是比计算新的短基更方便。
2013-10-19 cs.CR math.NT
BPS Saturated String Amplitudes: K3 Elliptic Genus and Igusa Cusp Form
我们研究了K3 × T^2上紧化的II型弦论中的BPS饱和单圈振幅。我们考虑的振幅类只对内部K3流形的非常基本的拓扑数据敏感。因此，前者的被积函数与K3的椭圆亏格有关，可以分解为内部N=4超共形代数的表示。取决于外部状态的精确选择，这些振幅要么只捕获短多重峰的贡献，要么捕获包括中间多重峰在内的完整系列。在后一种情况下，我们可以为整个类定义一个生成泛函，我们证明它是由Sp（4，Z）的权十Igusa尖点形式chi_{10}给出的。我们推测可能的代数含义，我们的结果对BPS态的N=4的II型紧化。
2011-11-15 hep-th math.NT
Equidistribution on Kuga-Sato Varieties of Torsion Points on CM Elliptic Curves
连通Kuga-Sato簇$\mathbf{W}^r$参数化椭圆曲线（具有水平结构）上的$r$点的元组。$\mathbf{W}^r$的一个特殊点是CM椭圆曲线上的扭点元组。一个特殊点序列是严格的，如果任何CM椭圆曲线出现最多1000次，并且元组中的点之间的关系不满足无限经常。特殊点的亏格轨道是$\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}})$ -轨道。我们证明了严格序列中特殊点的亏格轨道在$\mathbf{W}^r(\mathbb{C})$中均匀分布，假设在两个固定素数处的同余条件。在完整的伽罗瓦轨道中，亏格轨道可能非常稀疏。特别地，在亏格轨道中的每个椭圆曲线上的挠点的数目不受挠阶的限制。亏格轨道对应于$\mathbf{SL}_2$的矢量表示扩展中的toral包。这些数据包也出现在研究阿卡，艾因西德勒和Shapira的网格正交格点上的$2$球。作为应用，我们建立了两个分裂素数的联合等分布猜想。
2019-11-26 math.DS math.NT
Hyperelliptic curves covering an elliptic curve twice
本文证明了对特征不等于2和3的域上的任意椭圆曲线（j不变量不为0或1728），存在亏格为5的超椭圆曲线H，H具有两个到给定椭圆曲线的独立映射.我们还表明，如果我们希望这样的曲线是几何超椭圆的，所以有一个度2映射到一个圆锥曲线，那么有一些亏格3。
2013-03-18 math.AG math.NT
Dressed elliptic genus of heterotic compactifications with torsion and general bundles
本文定义并计算了K3曲面上N = 2的带挠的杂优紧化的dressed椭圆亏格。我们考虑最一般的规范丛兼容超对称，一个稳定的全纯向量丛的基础上的阿贝尔丛在整个空间，推广的计算以前所做的作者在没有后者。从一个有挠的（0，2）规范线性σ模型出发，我们利用超对称局部化方法得到了这个结果。我们还提供了一个数学定义的修饰椭圆亏格作为修改后的欧拉特征，并证明了这两个表达式同意在加权射影空间的超曲面。最后，我们表明，它承认一个自然的分解N = 4超共形字符，这可能是有用的调查月光现象，这类广泛的N = 2真空，其中包括K3*T2紧化作为特殊情况。
2016-09-09 hep-th math.AG math.NT
Siegel modular forms of genus 2 attached to elliptic curves
本文的目的是构造一类有算术意义的亏格为2的全纯Siegel尖点形式F，它们既不是Saito-Kurokawa型，也不是Yoshida型，在Saito-Kurokawa型的情况下，4次旋量L-函数L（s，F）可被交换L-函数整除，在Yoshida型的情况下，L（s，F）是一对椭圆尖点形式的L-级数的乘积.两个关键的例子是由有理数上的非CM椭圆曲线E的对称立方定义的形式F，以及由这样的E到虚二次域K的基变化的反分圆扭曲（偶非零权重）定义的形式F。其中一个主要成分是GL（4）上的尖点形式π到GSp（4）的转移，尽管是间接的，但具有许多预期的性质，这可能是独立的兴趣。当π是正则的并且与一个\ell -adic伽罗瓦表示相关联时，转移信息是完整的.我们还呼吁（独立）的结果Laumon和Weissauer的zeta函数的西格尔模块化的三倍。
2006-09-16 math.AG math.NT
Genus 3 curves with many involutions and application to maximal curves in characteristic 2
设k=F_q是特征为2的有限域.亏格为3的曲线C/k有许多对合，如果k-自同构群允许C_2 \times C_2子群H（如果C是超椭圆的，则不包含超椭圆对合）.则C是三条椭圆曲线的Artin-Schreier覆盖，C的Jacobian与这三条椭圆曲线的乘积k-同构.本文给出了具有多个对合的亏格为3的曲线的显式模型，并计算了椭圆曲线的显式方程。然后，我们刻画了三组（E_1，E_2，E_3）椭圆曲线允许亏格为3的曲线的Artin-Schreier覆盖，并将这个结果应用于极大曲线的构造.当q为非平方数且m= \lfloor 2 sqrt（q）\rfloor = 1，5，7 mod 8时，得到N_q（3）=1+q+3 m.我们还表明，这发生在无限数量的q nonsquare值。
2009-05-05 math.AG math.NT
Towards closed strings as single-valued open strings at genus one
我们涉及的低能量展开的开弦和闭弦状态的genus-one振幅的世界片积分。相应的展开系数是开弦情况下的椭圆多重zeta值和闭弦的非全纯模形式，称为“模图形式”。通过检查微分方程和退化限制的适当生成系列的genus-one积分，我们确定正式的替代规则映射的椭圆多重zeta值的开放字符串的模图形式的封闭字符串。基于这些规则的属性，我们将它们称为椭圆单值映射，它概括了单值映射作用于开弦和闭弦之间的树级关系中的多个zeta值的亏格零概念。
2021-06-14 hep-th math.NT
Primitive divisors of elliptic divisibility sequences over function fields with constant j-invariant
在椭圆曲线的$j$ -不变量为常数的情况下，证明了函数域上椭圆整除序列的最优Zsigmondy界.更详细地，给定具有无限阶的点$P$的椭圆曲线$E$，$P$的倍数$P$、$2P,\ldots$的分解子的序列$D_1$、$D_2, \ldots$在$\gcd(D_m, D_n) = D_{\gcd(m,n)}$的意义上是强整除序列。这是零属Fibonacci，Lucas和Lehmer序列的一属类似物。一个数$N$被称为序列的Zsigmondy界，如果每一项$D_{n}$和$n>N$代表一个新的素因子。在$\mathbf{Q}$上亏格零序列的最优一致Zsigmondy界是Bilu-Hanrot-Eschertier的$30$，2000，但是在亏格1上找到这样的界仍然是一个开放的问题，无论是在$\mathbf{Q}$上还是在函数域上。证明了函数域上一般椭圆可除序列的最优Zsigmondy界是$2$，如果$j$ -不变量是常数.在超奇异的情况下，我们给出了一个完整的分类，哪些条款可以和不能有一个新的素因子。
2019-12-22 math.AG math.NT
Splitting Brauer classes by genus one curves over number fields
该研究证明数域上维数≥2的Severi-Brauer簇含扭曲椭圆正规曲线，进而得出数域上每个Brauer类都被亏格1曲线分裂的结论，所用方法为纤维化方法，核心是证明相关Hilbert概型光滑紧化的有理点在其Brauer-Manin集内稠密。
2026-07-30 math.AG math.NT
Composite Genus One Belyi Maps
基于理论物理对显亏格为1的Belyi映射的需求，本文给出了显亏格为1的Belyi映射的一种有效计算方法：（1）将亏格为0的Belyi映射与较简单的（单变量）亏格为0的椭圆曲线到黎曼球面的覆盖映射合成，以及（2）将亏格为0的Belyi映射与椭圆曲线之间的同构合成.这在双周期平面上给出了许多新的显式描述，其中包括在物理学文献中已经实现的几个，即在规范理论的背景下所谓的brane-tilings。
2016-11-19 hep-th math.AG math.NT
Spanning the isogeny class of a power of an ordinary elliptic curve over a finite field. Application to the number of rational points of curves of genus $\leq 4$
设$E$是有限域上的正常椭圆曲线，$g$是正整数.在一些技术性假设下，我们给出了一个在$E^g$的同构类中生成主极化阿贝尔簇同构类的算法。该品种首先描述为厄米特格（不一定是最大的）二次订单，然后在几何方面的代数θ零点。我们还展示了如何代数计算西格尔模块化的形式，甚至重量作为多项式的θ常数的仿射电梯的θ零点的仔细选择。然后，我们使用这些结果给出一个代数计算的塞尔的主要极化阿贝尔三倍同源的$E^3$和Igusa模块形式的尺寸$4$的障碍。我们说明我们的算法与有限域上的曲线与许多有理点的例子。
2021-06-14 math.AG math.NT
Perfect points on genus one curves and consequences for supersingular K3 surfaces
我们描述了一种方法来表明，某些椭圆形表面不承认纯粹不可分的多节（相当于，在函数域上的一种曲线不承认在基域的完美闭包上的点），并用它来表明，任何非雅可比椭圆结构在一个非常一般的超奇异K3表面上没有纯粹不可分的多节。我们还描述了这种纤维化的具体例子，没有纯粹不可分割的多节。最后，我们讨论的后果，声称证明的阿廷猜想的unirationality的超奇异K3曲面。
2021-12-03 math.AG math.NT
On the Frey-Mazur conjecture over low genus curves
Frey-Mazur猜想指出，$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线由其对$p\geq 17$的$p$ -挠伽罗瓦表示确定到等距.我们研究了这个猜想的几何模拟，并表明，从Isobel类的“假椭圆曲线“--阿贝尔表面与四元数乘法--他们的$p$ -扭转伽罗瓦表示是一对一的功能领域的小亏格复杂曲线足够大的$p$相对于属。
2015-11-17 math.AG math.DG math.NT
Determinant Expressions for Hyperelliptic Functions in Genus Three
本文将Frobenius-Stickelberger公式和Kiepert公式推广到亏格为三的情形。后者是已知的任意椭圆曲线的任意除多项式的行列式表达式。
2001-07-26 math.AG math.NT
Elliptic curves with common torsion $x$-coordinates and hyperelliptic torsion packets
我们建立了扭转包之间的连接曲线的属$2$和椭圆曲线对实现为双覆盖的投影线$\mathbb{P}_{x}^{1}$，有许多共同的扭转$x$坐标。这可以用来表明公共扭转$x$坐标的集合具有至少$22$的大小，并且在某些情况下具有$34$元素。我们还解释了我们如何获得当前记录的例子超椭圆扭转包的亏格$2$曲线。
2022-06-24 math.AG math.NT
