Hyperelliptic curves covering an elliptic curve twice
本文证明了对特征不等于2和3的域上的任意椭圆曲线（j不变量不为0或1728），存在亏格为5的超椭圆曲线H，H具有两个到给定椭圆曲线的独立映射.我们还表明，如果我们希望这样的曲线是几何超椭圆的，所以有一个度2映射到一个圆锥曲线，那么有一些亏格3。
2013-03-18 math.AG math.NT
On the lattices from elliptic curves over finite fields
在本文中，我们继续了最近的工作，Rehshansky和Maharaj从椭圆曲线在有限域上的格。我们证明了除了一种情况外，这些格都存在由极小向量构成的基。我们还计算了它们的行列式，并得到了覆盖半径的精确界。
2015-01-12 math.NT
Extending Elliptic Curve Chabauty to higher genus curves
将“椭圆曲线Chabauty”方法推广到高亏格曲线及其Jacobian。这种方法有时可以与覆盖技术和修改版本的Mordell-Weil筛结合使用，以提供一个完整的解决方案，以确定代数曲线$Y$的有理点集的问题。
2011-11-23 math.NT
Genus two curves covering elliptic curves: a computational approach
亏格2曲线$C$有椭圆子覆盖，如果存在椭圆曲线$E$的度$n$极大覆盖$ψ: C \to E$。度$n$椭圆子覆盖成对出现$(E, E')$。$C$的雅可比数$J_C$与乘积$E \times E'$的次数$n^2$是同构的。我们说$J_C$是$(n, n)$ -分裂的。$C$的轨迹，记作$Ł_n$，是模空间$\M_2$的代数子簇。空间$Ł_2$在Shaska/Völklein和Gaudry/Schost进行了研究。Shaska（2004）研究了空间$Ł_3$，给出了作为$\M_2$的子轨迹的代数描述。在这项调查中，我们给出了一个简单的描述空间$Ł_n$一般$n$，然后专注于小$n$。我们描述了Shaska/Völklein and Shaska（2004）中跳过的一些计算细节。进一步，我们明确描述了椭圆子覆盖$E$和$E'$之间的关系。我们已经实现了这些关系的计算机程序，很容易检查是否属2曲线有$(2, 2)$或$(3, 3)$分裂雅可比。在每种情况下，椭圆子覆盖可以显式计算。
2012-09-14 math.AG math.NT
Explicit coverings of families of elliptic surfaces by squares of curves
我们证明了，对于每个$n>0$，存在一族椭圆曲面，它们被亏格为$2n+1$的曲线的平方覆盖，并且它们的Hodge结构具有由${\mathbb Q}(\sqrt{-n})$的作用。通过考虑$n=3$的情形，我们证明了一类特殊的K3曲面被亏格$7$的平方所覆盖.利用这一点，我们构造了亏格为$7$的曲线的平方与${\mathbb P}^4$中的一般K3曲面之间的对应关系，该曲面具有直到等距的$15$普通二重点.这给出了这些K3曲面和与它们同构的任何K3曲面的Kuga-Satake-Deligne对应的显式证明，并进一步证明了这些曲面的平方的Hodge猜想。我们的结论是，这些表面的动机是木村有限的。我们的分析给出了一个双有理等价之间的模空间的曲线与额外的数据和模空间的这些K3曲面与特定的椭圆纤维化。
2021-12-01 math.AG math.NT
Higher descents on an elliptic curve with a rational 2-torsion point
设$E$是数域$K$上的椭圆曲线。在$E$上的下降计算可以用来找到Mordell-Weil群的秩的上界，并计算覆盖曲线，以帮助搜索这个群的生成元。在Siksek、Womack和Stamminger的博士论文中开发的4-下降的一般方法已经在Magma中实现（当$K={\mathbb Q}$时），并且对于具有足够小的判别式的椭圆曲线工作良好。通过扩展Bremner和Cassels的工作，我们描述了当$E$有一个有理2-挠点时可以得到的改进。特别是，当$E$有充分的理性2-扭转，我们描述了一种方法，8-下降，是实用的椭圆曲线$E/{\mathbb Q}$与大的判别式。
2015-09-10 math.NT
The rank of elliptic surfaces in unramified abelian towers
设E -> C是定义在数域K上的椭圆曲面。对于定义在K上的每个有限覆盖C' --> C，设E' --> C'是拉回.在C' -> C是非分歧阿贝尔覆盖的情况下，在Tate猜想对E'/K成立的假设下，给出了E '（C'/K）的秩的一个强上界.当C是椭圆曲线，映射C '= C --> C是n乘映射时，E'（C '/K）的秩对于每个e > 0都是O（n^e），这可以与O（n^2）的初等界相比较。
2003-05-01 math.AG math.NT
Lattices from elliptic curves over finite fields
在他们著名的著作Tsfasman和Vladut介绍了建设一个家庭的功能领域格从代数曲线在有限域，其中有渐近良好的包装密度在高维。本文将这种构造应用于椭圆曲线，研究了格的几何性质。特别是，我们确定的生成集，良好的全面性的条件和极小向量的数量的公式。我们还证明了这些格的覆盖半径的一个界，这改进了标准不等式。
2014-02-12 math.NT
On quantum cohomology ring of elliptic $\mathbb{P}^1$ orbifolds
利用轨道曲线计数方法计算了椭圆$\mathbb{P}^1$轨道折叠的量子上同调环。主要技术是分类定理，它涉及全纯轨道曲线与某些orbifold覆盖。轨道曲线的计数与丢番图方程的整数解有关。这通过不同的方法再现了Satake和Takahashi在$\mathbb{P}^1_{3,3,3}$情况下的计算。
2014-06-15 math.NT math.SG
Computation of the Unipotent Albanese Map on Elliptic and Hyperelliptic Curves
研究了Minhyong Kim的非交换Chabauty方法中出现的幂幺Albanese映射。特别是，我们探讨了显式计算的$p$ -进德拉姆周期映射$j^{dr}_n$椭圆曲线和超椭圆曲线通过其泛幂幺连接数域$\mathcal{U}$。几个算法形成的计算有限水平版本$j^{dr}_n$的幂幺Albanese映射的一部分。$\mathcal{U}$的对数扩张的计算一般需要用开覆盖来描述，并且可以被视为计算下降理论的一个简单例子。我们还证明了一个建设性的版本的Hadian引理中使用的Hodge过滤$\mathcal{U}$上的仿射椭圆和奇超椭圆曲线的计算。我们使用这些算法提出了一些新的例子来描述这些周期图的坐标。该描述将以迭代$p$ -adic Coleman积分的形式给出。我们还考虑了用切向基点代替有理基点时坐标的计算，并给出了一些新的例子。
2019-10-10 math.NT
The Heisenberg covering of the Fermat curve
本文给出第N个海森堡曲线作为费马曲线覆盖的模型，证明N=3时Manin-Drinfeld原理成立、N=5时不成立，解释了费马曲线尖点子群描述，并研究了雅可比簇态射像及X'_N同调。
2022-10-10 math.NT
Torsion groups of elliptic curves that appear infinitely often over septic, octic and nonic fields
University of Zagreb, Faculty of Science（萨格勒布大学理学院）
本文确定了在七、八、九次数域上，无限多条椭圆曲线（在Q̅同构意义下）的挠群集合Φ^∞(n)，通过模曲线X_1(m,n)的低次点约化、模单位构造、有限域上属数计算及低属模曲线映射等方法证明。
2026-06-23 math.NT
Descent on elliptic curves
设E是Q上的一条椭圆曲线（或者更一般地说，是一个数域）。然后，一方面，我们有一个生成的阿贝尔群E（Q），另一方面，我们有Shafarevich-Tate群Sha（Q，E）.下降法是一种获取这两个对象信息的通用方法--理想情况下是关于Mordell-Weil群E（Q）的完全信息，而通常是关于Sha（Q，E）的部分信息。下降法所做的是计算（对于给定的n > 1）n-Selmer群Sel^（n）（Q，E）;它位于精确序列0 --> E（Q）/nE（Q）--> Sel^（n）（Q，E）--> Sha（Q，E）[n] --> 0中，因此包含E（Q）和Sha（Q，E）的组合信息。我想在这个“短期课程”中讨论的主要问题是如何明确地做到这一点，重点是获得Selmer群的元素作为E的显式覆盖空间的表示。这些显式表示在两个方面是有用的-它们允许搜索有理点（如果成功，这证明元素在上面左手地图的图像中），并且它们提供了执行“更高”下降的起点（例如，将p-下降计算扩展为p^2-下降计算）。
2006-11-22 math.NT
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
2022-09-23 math.AG math.NT
Short arithmetic terms for the cardinality of elliptic curves over rings of remainder classes and over finite fields
University of Bucharest（布加勒斯特大学）；Simion Stoilow Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院西蒙·斯托伊洛数学研究所）
该研究改进了椭圆曲线计数的算术项构造方法，降低了中间整数位数，对素模p≥17时大幅减少了运算次数，提升了有限域上魏尔斯特拉斯标准形式椭圆曲线基数的计算效率。
2026-09-22 math.NT
Effective Bounds on the Dimensions of Jacobians Covering Abelian Varieties
我们证明了在有限域上的任何极化阿贝尔簇都被一个雅可比矩阵所覆盖，该雅可比矩阵的维数由一个显式常数所限定。我们这样做，首先证明一个有效的版本Poonen的贝尔蒂尼定理在有限域，这使我们能够显示存在的平滑曲线产生的超曲面部分的有界度和属。此外，我们表明，简单的阿贝尔簇一个更好的界限是可能的。作为这些结果的一个应用，我们证明了：如果$E$是有限域上的椭圆曲线，那么对于任何$n\in \mathbb{N}$，都存在有界亏格的平滑曲线，其雅可比矩阵有一个与$E^n$同构的因子.
2019-07-06 math.AG math.NT
Quartic reductions and elliptic obstructions for perfect Euler bricks
本文探讨了完美欧拉砖问题等价于是否存在互质整数a,b,m,n使两个表达式同时为完全平方数，并通过四次方简化和椭圆障碍物分析，验证了参数至10^3时无解。
2026-04-10 math.NT
Hilbert modular surfaces for square discriminants and elliptic subfields of genus 2 function fields
通过将Hilbert模曲面与椭圆K3曲面的模空间相连接，计算了它们对应于平方判别式的显式有理模型.由于它们参数化了可分解的主极化阿贝尔曲面，它们也是亏格2曲线通过固定次数映射覆盖椭圆曲线的模空间。从而我们扩展了雅可比、埃尔米特、博尔扎等的经典工作，和最近的工作库恩，弗雷，卡尼，沙斯卡，Völklein，Magaard和其他人，生产明确的家庭可约雅可比。特别地，我们给出了亏格为2的曲线C和椭圆曲线E的模对（C，E）的模空间的双有理模型，该模型具有从C到E的n次映射，以及基上的重言式族，其中2 <= n <= 11.我们还从算术几何的角度分析了生成的模型，并在其上生成了几条有趣的曲线。
2016-09-26 math.AG math.NT
On the birational anabelian section conjecture
假设数域上的椭圆曲线的Shafarevich-Tate群是有限的，我们对双有理Grotendieck反阿贝尔集猜想作了一些观察.证明了数域上曲线的双有理集猜想可归结为椭圆曲线的情形。在这种情况下，我们证明，作为一个结果的斯托尔，一节的确切序列的绝对伽罗瓦群的椭圆曲线在数域上产生从一个合理的点当且仅当诱导部分相应的（几何abelianised）算术基本群的椭圆曲线产生从一个有理点。我们还证明了给定数域上的任何曲线，存在这条曲线的双重覆盖，双有理集猜想成立。
2012-11-29 math.AG math.NT
Composite Genus One Belyi Maps
基于理论物理对显亏格为1的Belyi映射的需求，本文给出了显亏格为1的Belyi映射的一种有效计算方法：（1）将亏格为0的Belyi映射与较简单的（单变量）亏格为0的椭圆曲线到黎曼球面的覆盖映射合成，以及（2）将亏格为0的Belyi映射与椭圆曲线之间的同构合成.这在双周期平面上给出了许多新的显式描述，其中包括在物理学文献中已经实现的几个，即在规范理论的背景下所谓的brane-tilings。
2016-11-19 hep-th math.AG math.NT
The $p$-rank of the reduction $\rm{mod}\, p$ of jacobians and Jacobi sums
设$Y_K\to X_K$是曲线的分歧循环覆盖，其中$K$是分圆域.本文研究了$Y_K$的雅可比矩阵模型的约化$\rm{mod}\, p$的$p$秩.通过这种方式，我们得到对应的杜林多项式，定义为椭圆曲线，为亏格大于一。此外，我们证明了曲线$Y_K$给出了分圆域的Hecke特征标.为了进行这项研究，我们使用Jacobi和某些$L$ -函数。
2013-02-07 math.AG math.NT
