Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
The Number of Minimum $k$-Cuts: Improving the Karger-Stein Bound
给定一个边赋权图，它能有多少个最小$k$ -割？这是算法、极值组合学和图论交叉领域的一个基本问题。特别有趣的是，最著名的边界是算法的：它们源于计算最小$k$ -cut的算法。1994年，Karger和Stein得到了一个随机收缩算法，该算法可以在$O(n^{(2-o(1))k})$时间内找到最小$k$ -cut。它还可以在同一运行时间内枚举所有这样的$k$ -割，建立$O(n^{(2-o(1))k})$的相应极值界。从那时起，算法方面的最小$k$ -削减问题已经看到了很大的进展，导致一个确定性的算法的基础上的树包装结果的Thorup，它列举了所有最小$k$ -削减在相同的渐近运行时间，并给出了另一种证明的$O(n^{(2-o(1))k})$界。然而，即使是为了计算一个最小的$k$ -cut，也仍然无法超越Karger-Stein界。本文给出了一个在$O(n^{(1.981+o(1))k})$时间内枚举所有最小$k$ -割的算法，打破了枚举最小$k$ -割的算法障碍和极值障碍.为了得到我们的结果，我们结合了Karger-Stein和Thorup结果的思想，并在最小$k$ -割和极值集理论之间建立了一个新的联系。特别是，我们给出并使用更严格的界限上的大小与有界的双VC维，这可能是独立的兴趣集系统。
2019-06-02 cs.DS
A Simple Algorithm for Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们考虑无向加权图的最小割问题。我们给出了一个简单的算法，以找到一个最小割，$2$ -尊重（削减两个边缘）的生成树$T$的图$G$。这个过程可以用来代替Karger的近似线性时间最小割算法（J. ACM，2000）中给出的复杂子程序。我们给出了一个自包含的版本的Karger的算法与新的程序，这是很容易的状态和相对简单的实现。它在$O(m \log^3 n)$时间内以高概率在$m$ -边，$n$ -顶点图上产生最小割，与Karger方法的复杂性相匹配。
2020-06-10 cs.DS
Finding Diverse Minimum s-t Cuts
本研究首次开展k-多样化最小s-t割的算法研究，针对三种多样性度量分析问题复杂度，证明前两种度量下可通过子模函数最小化在强多项式时间求解，第三种在k=3时即为NP难，部分解答了长期开放问题。
2024-09-18 cs.DS
Computing exact minimum cuts without knowing the graph
我们给查询有效的算法的全球最小割和s-t割问题的无权，无向图。我们的预言机模型的灵感来自于次模函数最小化问题：在查询$S \subset V$上，预言机返回$S$和$V \setminus S$之间的切割的大小。我们提供的算法计算一个确切的最小$s$ - $t$削减$G$与$\tilde{O}(n^{5/3})$查询，并计算一个确切的全球最小削减$G$只有$\tilde{O}(n)$查询（而学习的图形需要$\tildeΘ(n^2)$查询）。
2019-08-05 cs.DS
An FPT Algorithm for Diverse Minimum s-t Cuts
University of Bergen（卑尔根大学）
研究在有向加权图中寻找多样最小边s-t割的问题，给定整数k和d，判断图中是否存在k个最小s-t割满足特定条件。证明该问题以k + d为参数时是固定参数可解的，基于多样最小s-t割的新结构特性和流增强技术。
2026-07-07 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Minimum Cuts in Surface Graphs
我们描述的算法，有效地计算最小$(s,t)$ -削减和全球最小削减的无向表面嵌入图。给定一个边权无向图$G$，$n$顶点嵌入在亏格$g$的可定向曲面上，我们的算法可以在$g^{O(g)} n \log \log n$或$2^{O(g)} n \log n$时间内解决任一问题，以较优者为准.当$g$是一个常数，我们的$g^{O(g)} n \log \log n$时间算法匹配的最佳运行时间已知计算平面图中的最小割。我们的算法最小切割依赖于减少的问题，找到一个最小的重量子图在一个给定的$\mathbb{Z}_2$ -同源类，我们给有效的算法后一个问题，以及。如果$G$嵌入到具有$b$边界组件的曲面上，则这些算法将在$(g + b)^{O(g + b)} n \log \log n$和$2^{O(g + b)} n \log n$时间内运行。我们还证明，找到一个最小的重量子图同源的一个单一的输入周期是NP-难的，显示它可能是不可能的，以改善后一个问题的指数依赖$g$。
2019-10-09 cs.CG cs.DS
Work-Optimal Parallel Minimum Cuts for Non-Sparse Graphs
我们提出了第一个工作最优的多线程深度并行算法的最小割问题的非稀疏图。对于$m\geq n^{1+ε}$，对于任何恒定的$ε>0$，我们的算法需要$O(m \log n)$工作和$O(\log^3 n)$深度，并以高概率成功。其工作与顺序算法的最佳$O(m \log n)$运行时匹配[MN STOC 2020，GMW SOSA 2021]。这通过$O(\log^3 n)$因子改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA 2018]之前的最佳工作，同时匹配其算法的深度。为此，我们设计了一种高效的近似算法，并将最近的顺序算法[MN STOC 2020; GMW SOSA 2021]并行化，这些算法利用了2-尊重最小割和2维正交范围搜索之间的联系。
2021-02-18 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Near-Optimal Minimum Cuts in Hypergraphs at Scale
针对超图最小割问题，提出可扩展算法HeiCut，通过精确归约与启发式收缩缩减规模并求解松弛BIP，在500多个真实超图上实现近优解，速度最高快五个数量级。
2025-04-30 cs.DS
Thin Trees for Near Minimum Cuts
Boston University（波士顿大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在考虑近最小割集合时，存在O(1/k)薄的生成树，解决了强细树猜想的特定情况。
2026-05-12 cs.DS
Mapping Matchings to Minimum Vertex Covers: Kőnig's Theorem Revisited
二部图中最大匹配的大小等于最小顶点覆盖的大小，这是早期组合数学中的一个著名结果。柯尼希的证明这一事实给出了一个算法，找到一个最小的顶点覆盖从最大匹配。在本文中，我们重新审视了这两种类型的结构之间的算法诱导的连接。我们发现，所有的最小顶点覆盖可以找到通过应用该算法的一些匹配，然后分类匹配时，该算法应用于他们的最小顶点覆盖。
2020-04-18 cs.DS math.CO
Parallel Minimum Cuts in Near-linear Work and Low Depth
我们提出了第一个近线性的工作和多对数深度算法计算的最小割图，而以前的并行算法与多对数深度需要至少二次工作的顶点数。在具有$n$顶点和$m$边的图中，我们的算法在$O(m {\log}^4 n)$工作和$O({\log}^3 n)$深度中以高概率计算正确结果。这一结果是通过并行化一个数据结构，聚集沿着路径的权重在一棵树，并利用最小切割和近似最大包装的生成树之间的连接。此外，我们的算法改进后的边界上的高速缓存未命中的数量计算的最小切割。
2020-07-02 cs.DC cs.DS
Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex
我们研究计算图割的确定性算法，重点关注两个基本问题：平衡稀疏割和$k$-小$k$（$k=O(\polylog n)$）的顶点连通性。这两个问题都可以用随机算法在近似线性的时间内解决，但它们以前的确定性问题至少需要二次时间。在本文中，我们打破了这两个问题的界限。有趣的是，一个问题的解决关键取决于另一个问题的解决。特别地，通过分而治之的论点，切割匹配游戏的变体[Khandekar et al. 07]和[Nanongkai et al. STOC'19]的局部顶点连通度算法，利用计算稀疏图上平衡稀疏割的次二次时间算法，给出了计算$k$ -顶点连通度的次二次时间算法.为了实现后者，我们改进了以前最好的$mn$界近似平衡稀疏切割的整个范围的$m$。这从（1）打破密集图上的$n^3$障碍到$n^{ω+ o(1)}$开始（其中$ω< 2.372$）使用PageRank矩阵，但不显式地扫描以找到稀疏切割;（2）通过将[Madry FOCS '10]的$J$树与上面的$n^{ω+ o(1)}$界限组合来获得$\tilde O(m^{1.58})$界限，最后;到（3）通过结合基于扩展器的图稀疏化递归地调用第二界限来获得$m^{1.5 + o(1)}$界限。有趣的是，我们的最终$m^{1.5 + o(1)}$边界降落在一个自然的停止点，在这个意义上，多项式打破它将导致动态连接问题的突破。
2019-10-18 cs.DS
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Shared-memory Exact Minimum Cuts
无向边权图的最小割问题要求我们将其节点集分成两个块，同时最小化割边的权和。在本文中，我们工程师已知的最快的精确算法的问题。像Padberg和Rinaldi的算法或Nagamochi、Ono和Ibaraki的算法这样的最先进的算法识别可以收缩以减小图大小的边，使得在收缩的图中保持至少一个最小切割。我们的算法通过多种技术实现了对这些算法的运行时间的改进。首先，我们使用最近开发的快速和并行的\emph{inexact}最小割算法，以获得更好的界限的问题。然后，我们使用依赖于这个界限的约简，以比以前更快地减小图的大小。我们使用改进的数据结构，以进一步提高我们的算法的运行时间。此外，我们并行的收缩例程Nagamochi，小野和茨城。总的来说，我们到达一个系统，性能优于最快的国家的最先进的求解器的\emph{exact}最小切割问题显着。
2018-08-16 cs.DS
Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers
我们提出了一个通用的框架，设计有效的动态近似算法优化无向图。特别是，我们开发了一种技术，任何问题，承认一定的概念顶点稀疏，给出数据结构，保持近似的解决方案，在次线性更新和查询时间。我们说明了我们的范例的适用性，以下列问题。(1)一个完全动态的算法，近似所有对最大流量/最小切割到一个接近对数的因子在$\tilde{O}(n^{2/3})$摊销时间对一个不经意的对手，和$\tilde{O}(m^{3/4})$时间对自适应对手。(2)一种增量数据结构，它以$n^{o(1)}$时间为单位维护$O(1)$ -近似最短路径，以$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)})$分摊时间为单位维护全动态近似所有对最短路径和转运。(3)一种全动态算法，可将所有对的有效电阻近似为$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$中的$(1+ε)$因子，每个操作的分摊更新时间。结果（1）背后的关键工具是Madry [FOCS' 10]算法构造的动态维护，它将图划分为更简单的图结构（称为j树）的集合，并近似捕获图的割流和度量结构。（2）的$O(1)$近似保证是通过[Thorup-Zwick JACM '05]调整距离预言。结果（3）是通过以分层方式调用[Durfee et al. STOC `19]的基于随机游走的谱顶点稀疏器，同时仔细跟踪分层中的级别之间的追索权而获得的。
2020-05-05 cs.DS
Identifying a 3-vertex strongly biconnected directed subgraph with minimum number of edges
一个强连通图是强双连通的，如果在忽略它的边的方向之后，我们有一个没有关节点的无向图。一个3-顶点强双连通图是一个强双连通有向图，它具有删除任意两个顶点后得到一个强双连通子图的性质。Jaberi [11]给出了最小基数2-顶点强双连通有向子图问题的近似算法。我们将集中在本文的多项式时间算法，我们已经实现了生产的生成子图是3-顶点强双连通。
2022-11-26 cs.DS math.CO
Computing minimum cuts in hypergraphs
我们研究超图连通性的算法和结构方面。给定一个超图$H=(V,E)$，其中有$n = |V|$，$m = |E|$和$p = \sum_{e \in E} |e|$，计算$H$中全局最小割的最佳算法对于无能力约束的情况在时间$O(np)$中运行，对于有能力约束的情况在$O(np + n^2 \log n)$时间中运行.我们展示了以下新结果。1.给定一个无容量限制的超图$H$和一个整数$k$，我们描述了一个算法，在$O(p)$时间运行，找到一个子超图$H'$的程度之和$O(kn)$，保持所有的边连通性$k$（$k$ -稀疏）。这将Nagamochi和Ibaraki的相应结果从图推广到超图。使用这种稀疏化，我们得到一个$O(p + λn^2)$时间算法计算的$H$的全球最小切割$λ$是最小的切割值。2.我们将Matula关于图的论证推广到超图，并得到了在$O(\frac{1}ε (p \log n + n \log^2 n))$时间内有容量限制的超图的全局最小割的$(2+ε)$ -逼近. 3.证明了在$O(np + n^2 \log n)$时间和$O(p)$空间中可以计算出一个有能力超图的所有全局最小割的超仙人掌表示。我们利用顶点排序的想法，以获得我们的结果。与图不同，我们观察到超图有几种不同的排序，它们产生不同的见解。
2017-05-14 cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Vertex Sparsifiers for c-Edge Connectivity
我们证明了存在O（f（c）k）大小的顶点稀疏因子，它们在一组k个终端顶点之间保持所有的边连通性值，其中f（c）是一个只依赖于c的函数，即边连通性值。这种构造是算法性的：我们还提供了一种算法，其运行时间线性依赖于k，但在c中呈指数关系。这意味着对于c的常数值，可以在每次操作的polylog时间内回答边缘插入/删除和c-边缘连接查询的离线序列。这些结果是通过结合最小终端分离割无向图的结构结果与最近的发展，在扩展分解为基础的方法，找到小顶点/边割图。
2019-10-23 cs.DS
All-Pairs Minimum Cuts in Near-Linear Time for Surface-Embedded Graphs
对于一个无向的$n$ -顶点图$G$，我们考虑以下类型的查询：给定$G$中的两个顶点$s$和$t$，$G$中的最小$st$ -割的权是多少？我们在预处理时间$O(n\log^3 n)$中解决了有界亏格图的这个问题，给出了这类图的第一个次二次时间算法。我们的结果还通过对数因子改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen（FOCS 2010）以前的算法，该算法仅适用于平面图。我们的算法构造一个Gomory-Hu树为给定的图，提供了一个数据结构的空间$O(n)$，可以回答最小割查询在常数时间。在我们的预处理时间中，对输入图的亏格的依赖是$2^{O(g^2)}$。
2015-12-22 cs.CG cs.DS
On Stable Cutsets in General and Minimum Degree Constrained Graphs
本文提出稳定割集问题的新精确算法，改进运行时间至$O^*(1.2972^n)$，并研究最小度约束下的复杂度，给出多项式算法、核化算法及NP完全性证明，同时改进3-着色算法。
2025-10-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Cactus Representation of Minimum Cuts: Derandomize and Speed up
本文提出首个 $m^{1+o(1)}$ 时间确定性算法构造所有全局最小割的仙人掌表示，并将最快随机算法复杂度从 $Ω(m\log^4 n)$ 降至 $O(m\log^3 n)$。
2024-01-19 cs.DS
Improved Minimum Cuts and Maximum Flows in Undirected Planar Graphs
本文研究平面图的最小割和最大流问题，包括静态和动态两种情况。首先，我们提出了一个算法，给定一个无向平面图计算任何两个给定的顶点之间的最小割在O（n log log n）的时间。其次，我们展示了如何实现相同的O（n log log n）界的问题，计算最大流在无向平面图。据我们所知，这是这两个问题的第一个算法，它打破了O（n log n）的障碍，这个障碍已经存在了超过25年。第三，我们提出了一个完全动态的算法，它能够维护平面图中最小割和最大流的信息（即，我们的算法能够在O（n^（2/3）log^3 n）时间内插入边，删除边，并回答任何一对顶点之间的最小割和最大流查询。这个结果是基于一个新的动态最短路径算法的平面图，这可能是独立的利益。我们注意到，这是第一个已知的非平凡算法的最小切割和最大流问题的动态设置。
2010-11-22 cs.DS
Disconnected Cuts in Claw-free Graphs
一个连通图的不连通割是一个顶点割，它本身也导出一个不连通子图。图是否有不连通割的判定问题称为不连通割。这个问题是密切相关的几个同态和压缩问题，并适合在一个广泛的研究线上的顶点切割与其他性质。已知不连通割在一般图上是NP-困难的，而多项式时间算法已知用于几个图类。然而，无爪图问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题。它与将无爪图收缩为4-顶点圈$C_4$的问题的复杂性的联系导致Ito等人（TCS 2011）明确要求解决这个悬而未决的问题。我们证明了不连通割在无爪图上是多项式时间可解的，回答了Ito等人的问题。我们结果的核心是直径为2的无爪图的一个新的分解定理，我们相信这是独立的兴趣，并扩展了Chudnovsky和Seymour（JCTB 2007-2012）和Hermelin等人（ICALP 2011）发起的研究路线。在我们利用这个分解定理的方式，我们描述了如何断开切割与某些cobipartite子图的相互作用，并证明了两个新的算法结果，即断开切割是多项式时间可解的圆弧图和线图。
2018-03-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Hypergraph Cuts with Edge-Dependent Vertex Weights
我们开发了一个框架，将边相关的顶点权重（EDVWs）到超图最小的s-t切割问题。这些权重能够反映超边内顶点的不同重要性，从而导致更好地表征切割属性。更确切地说，我们引入了一类新的超边分裂函数，我们称之为EDVWS为基础的，其中分裂超边的惩罚只取决于与分裂的每一侧的顶点相关联的EDVWS的总和。此外，我们提供了一种方法来构建子模EDVWS为基础的分裂功能，并证明了超图配备这样的分裂功能可以减少到一个图共享相同的切割性能。在这种情况下，超图最小s-t割问题可以使用图最小s-t割问题的成熟解决方案来解决。此外，我们表明，现有的稀疏化技术可以很容易地扩展到我们的情况下，使减少图更小，更稀疏，从而进一步加快算法应用到减少图。使用真实数据的数值实验表明，我们提出的基于EDVWS的分裂函数的有效性相比，全或无分裂函数和基数为基础的分裂函数通常采用现有的工作。
2022-08-04 cs.DS cs.SI
On the Complexity of Forcing and Anti-Forcing Minimum Cuts
Hokkaido University（北海道大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文研究全局最小割和最小s–t割的强制集与反强制集计算问题，对每个变体给出多项式算法或NP完全性证明。
2026-09-29 cs.DS
Parallel Minimum Cuts in $O(m \log^2(n))$ Work and Low Depth
我们提出了一个随机的$O(m \log^2 n)$工作，$O(\text{polylog } n)$深度并行算法的最小割。该算法与Gawrychowski，Mozes和Weimann [ICALP'20]最近的顺序算法的工作范围相匹配，并改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA'18]以前最好的并行算法，该算法在$O(\text{polylog } n)$深度上执行$O(m \log^4 n)$工作。我们的算法使用了三个可能独立感兴趣的组件。首先，我们设计了一个并行数据结构，有效地支持批量混合查询和更新的树。它推广和改进了Geissmann和Gianinazzi以前的数据结构的工作范围，并且相对于最好的顺序算法是有效的。其次，我们设计了一个近似最小割的并行算法，改进了Karger和Motwani以前的结果。我们用这个算法给一个工作效率高的程序，以产生一个树包装，在Karger的顺序算法的最小切割。最后，我们设计了一个求解最小$2$相关割问题的高效并行算法。
2021-12-28 cs.DC cs.DS
Minimum Cuts and Shortest Cycles in Directed Planar Graphs via Noncrossing Shortest Paths
设$G$是具有非负边权的$n$ -结点简单有向平面图.本文研究了计算（1）具有最小权的$G$的整体割和（2）具有最小权的$G$的~圈的基本问题。前一个问题的最佳已知算法，在$O(n\log^3 n)$时间内运行，可以从\Lacki，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen的单源全汇最大流算法中获得。最好的先前已知的结果为后者的问题是$O(n\log^3 n)$时间算法的武尔夫尼尔森。通过利用平面图中两个问题之间的对偶性，我们通过分治算法找到最短的非退化循环，在$O(n\log n\log\log n)$时间内解决了这两个问题。我们的结果的核心是一个$O(n\log\log n)$ -时间算法计算节点之间的非交叉最短路径，以及有序的公共面上的有向平面图，这是从Italiano，Nussbaum，Sankowski，和Wulff-Nilsen算法的无向平面图。
2017-03-23 cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Near-Optimal Distributed Computation of Small Vertex Cuts
本文提出在CONGEST模型中检测小顶点割的近似最优算法，通过线性图素描和重-轻树分解绕过最大度障碍，实现$\widetilde{O}(D)$轮计算所有割点和割对，改进现有结果。
2023-06-20 cs.DC cs.DS
Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut
在无向图中，$k$ -割是一组边，其移除将图至少分解为$k$连通分量。最小权重$k$ -cut可以在$O(n^{O(k)})$时间内计算，但当$k$被视为输入的一部分时，计算最小权重$k$ -cut是NP困难的[Holdschmidt and Hochbaum 1994]。对于$\operatorname{poly}(m,n,k)$时间算法，在小集合扩展假设下，最佳可能近似因子基本上为2 [Manurangsi 2017]。Saran和Vazirani [1995]表明，$(2 - 2/k)$ -近似最小权重$k$ -割可以通过$O(k)$最小割来计算，这意味着通过Karger [2000]的近似线性时间随机最小割算法的$\tilde{O}(mk)$随机运行时间。Nagamochi和Kamidoi [2007]表明，可以在$O(mn + n^2 \log n)$时间内确定性地计算最小权重$k$ -cut。这些结果引发了两个基本问题。第一个是关于随机化的作用。是否有一个确定性算法的2近似$k$切割匹配随机运行时间的$\tilde{O}(mk)$？第二个问题定性地比较了最小切割与2-近似最小$k$ -切割。2-近似$k$ -切割的计算速度能否与随机时间内的（精确）最小切割$\tilde{O}(m)$一样快？我们在这些问题上取得了进展，与一个确定性的近似算法，计算$(2 + ε)$ -最…
2018-11-18 cs.DS
Min cost flow on unit capacity networks and convex cost K-flow are as easy as the assignment problem with All-Min-Cuts algorithm
本文揭示时间—费用权衡与最小费用流的联系，提出 all-min-cuts 过程，以平均 O(m+n log n) 枚举相邻断点间的所有最优解，并得到单位容量最小费用流的快速强多项式算法。
2025-07-29 cs.DS
Min-cuts and Shortest Cycles in Planar Graphs in O(n log log n) Time
我们提出了一个确定性的O（nlog log n）时间算法寻找平面图中的最短圈和最小割。该算法将Italiano等人在STOC'11中的已知最快算法改进了log n倍。这种加速是通过使用密集距离图结合分治方法获得的。
2011-04-26 cs.DS
On Mimicking Networks Representing Minimum Terminal Cuts
给定一个具有一组终端$K \subset V$的容量限制无向图$G=(V,E)$，模仿网络是一个更小的图$H=(V_H,E_H)$，它精确地保留了终端之间的所有最小割。具体地，稀疏化器$V_H$的顶点集包含终端$K$的集合，并且对于终端$K$的每个二分区$U, K-U $，在$G$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小正好等于在$H$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小。Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde（1995）提出了模仿网络的概念，他们还展示了一个大小为$2^{2^{k}}$的模仿网络，每个图都有$k$终端。最为人所知的模仿网络规模的下限是终端数量的线性。更准确地说，对于具有$k$终端的图，最著名的下界是$k+1$（Chaudhuri等人，2000）。在这项工作中，我们提高了上限和下限，减少了它们之间的双指数差距到一个单指数差距。具体地说，我们得到了模仿网络的如下上、下界：1）给定图$G$，我们给出了一个顶点数至多为$(|K|-1)$的Dedekind数（$\approx 2^{{(k-1)} \choose {\lfloor {{(k-1)}/2} \rfloor}}$）（与$V$的大小无关）的模仿网络的构造.此外，我们表明，该结构是最佳的所有{ \it限制模仿网络} -一个自然类的模仿网络，通过将顶点聚集在一起。2)存在具有$k$终…
2012-07-26 cs.DS
Minimum+1 Steiner Cuts and Dual Edge Sensitivity Oracle: Bridging the Gap between Global cut and (s,t)-cut
本文研究了容量为minimum+1的Steiner割，提出了用于查询割的数据结构和对偶边敏感性预言机，并证明了空间下界，弥合了全局割与(s,t)-割之间的研究空白。
2024-06-21 cs.DS
Minimum $2$-vertex-twinless connected spanning subgraph problem
给定一个$2$ -无点孪生连通有向图$G=(V,E)$，最小$2$ -无点孪生连通生成子图问题是寻找一个最小基数边子集$E^{t} \subseteq E$，使得子图$(V,E^{t})$是$2$ -无点孪生连通的.设$G^{1}$是$G$的最小$2$ -点连通子图.本文给出了求解最小$2$ -无孪生点连通生成子图问题的一个$(2+a_{t}/2)$ -近似算法，其中$a_{t}$是$G^{1}$中无孪生铰接点的个数.
2020-01-11 cs.DS
A note on small cuts for a terminal
给定图$G = (V,E)$和终端$s\in V$，$s$的割$X$是包含$s$的顶点集。我们寻找在两种意义上小的切口，即，在$X$中不超过$k$顶点，并且不超过离开$X$的$t$边。通过回答Fomin等人提出的一个问题（arXiv：1304.6189），我们证明了该问题是由$k$或$t$参数化的固定参数可处理的。
2014-03-04 cs.DS
Counting small cuts in a graph
我们研究的最小割问题中存在的不确定性，并展示如何应用一种新的鲁棒优化方法，其目的是利用在随后的图形测量或类似的图形实例的相似性，而不构成任何假设的方式，他们已经获得。通过实验，我们表明，与其他方法相比，该方法工作得很好，这些方法也不注意输入数据集之间的关系。
2013-04-29 cs.DS
On the parameterized complexity of cutting a few vertices from a graph
研究了用一个小的顶点分离器从图中分离一小部分顶点的参数化复杂性。也就是说，给定图$G$和整数$k$、$t$，任务是找到具有$|X| \le k$和$|N(X)| \le t$的顶点集$X$。我们表明，-问题是固定参数易处理（FPT）时，$t$参数化，但W[1]-硬$k$参数化时，和-终端的问题，其中$X$必须包含一个给定的顶点$s$，是W[1]-硬$k$或$t$单独参数化时，但FPT时，参数化$k + t$。我们还表明，如果我们考虑边割，而不是顶点割，终端变体是NP-难的。
2013-10-01 cs.DS
A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems
考虑以下有向图中的“局部”切割检测问题：我们被给予起始顶点$s$，并且需要检测是否存在具有至多$k$条边的切割与切割交叉，使得切割的包含$s$的一侧具有至多$Δ$内部边。如果我们被给予对输入图的查询访问，那么这个问题原则上可以在次线性时间内解决，而无需读取整个图，并且查询复杂度取决于$k$和$Δ$。我们设计了一个优雅的随机化过程，通过$O(k^2 Δ)$查询解决了这个问题的松弛变体，特别是改进了Escherhik等人[SODA 2017]之前的$O((2(k+1))^{k+2} Δ)$边界。在该松弛变体中，如果存在包含至多具有$k$外边缘和$Δ$内边缘的$s$的分量，则该过程必须成功地检测这样的分量，但是它实际检测的分量可以具有至多$O(k Δ)$内边缘。除了其本身的兴趣，这种切割检测程序已被用于许多算法应用程序的更高的连接性问题。因此，我们的新的割检测过程几乎容易地暗示（1）更快的顶点连通性算法，其特别地对于顶点连通性的多对数值具有接近线性的运行时间，（2）用于计算最大$k$ -边连通子图的更快的算法，以及（3）用于更高边和顶点连通性的更快的属性测试算法，其解决了两个公开问题，一个是Goldreich和Ron [STOC '97]，另一个是Orenstein和Ron [TCS 2011]。
2019-04-22 cs.DS
Linear-time approximation schemes for planar minimum three-edge connected and three-vertex connected spanning subgraphs
我们提出了第一个多项式时间近似方案，即，对任意常数ε > 0，给出了无向平面图的最小三边连通生成子图问题和最小三点连通生成子图问题的（1 + ε）-近似算法.两种近似方案都在线性时间内运行。
2017-01-28 cs.DS
Deterministic Near-Linear Time Minimum Cut in Weighted Graphs
本文提出了首个针对加权图的确定性近线性时间最小割算法，通过构建具有 $o(1)$ 误差的稀疏聚类结构并解决多对数近似降至 $1+o(1/\log n)$ 近似的挑战，实现了对 Karger 随机算法的去随机化。
2024-01-11 cs.DS
Cuts in Graphs with Matroid Constraints
本文研究了顶点割和多路割问题的拟阵推广，证明了以解大小为参数时这些问题是固定参数可解的，并推广至奇环横截等变体。
2024-06-27 cs.DM cs.DS math.CO
Performance evaluation of approximation algorithms for the minimum size 2-vertex strongly connected subgraph problem
Jaberi [7]提出了计算有向图中最小2-顶点强双连通子图的近似算法。我们已经实现了[7]中提出的近似算法，并在一些图上测试了该实现。实验结果表明，这些算法在实际应用中取得了良好的效果.
2022-10-14 cs.DS
Solving $(k-1)$-Stable Instances of k-Terminal Cut with Isolating Cuts
k-终端切割问题，也称为多路切割问题，定义在具有称为“终端”的$k$不同顶点的边加权图上。“我们的目标是从图中删除最小权重的边集合，这样任何一对终端之间都没有路径。这个问题是NP难的。隔离切口是将一个端子与其余端子分开的最小切口。所有隔离切割的并集（最大的除外）是最佳k-末端切割的$(2-2/k)$ -近似。这是目前已知的唯一一种不需要求解线性规划的用于k-端子切割的近似算法。一个k-末端切割的实例是$γ$ -稳定的，如果切割中的边最多可以乘以$γ$而不改变唯一的最优解。在本文中，我们表明，在任何$(k-1)$ -稳定的情况下，k-终端切割，源集的隔离切割是唯一的最优解的k-终端切割实例的源集。我们的结论是，$(2-2/k)$近似算法返回的最优解$(k-1)$稳定的情况下。我们是第一个结果表明，这种$(2-2/k)$ -近似是一类特殊的图的精确优化算法。我们还表明，我们的$(k-1)$ -稳定性的结果是紧密的。我们构造了k-终端割问题的$(k-1-ε)$ -稳定实例，这些实例只有平凡的隔离割：也就是说，每个终端的隔离割的源集就是终端本身.因此，$(2-2/k)$近似不返回最优解。
2019-10-02 cs.DS
Randomized Approximation Schemes for Cuts and Flows in Capacitated Graphs
我们改进了随机抽样技术，用于近似解决涉及图中的切割和流动的问题。我们给出了一个近线性时间的结构，将任何n个顶点的图转换为O（n \log n）-边图在相同的顶点，其削减具有近似相同的值作为原始图的。例如，在这个新的图中，我们可以运行Goldberg和Rao的O（m^{3/2}）时间最大流算法来在O（n^{3/2}）时间内找到s-t最小割。这对应于原始图中的（1+ 1）倍最小s-t切割。在O（log n）的时间内，我们可以用O（n^2）的时间复杂度来计算一个稀疏割。一个相关的方法导致一个随机的分治算法产生一个近似最大流在O（m sqrt{n}）的时间。
2002-07-23 cs.DM cs.DS
Region growing for multi-route cuts
本文研究了若干多路割问题：给定图G =（V，E）和节点对的连通度阈值k_（u，v），目标是找到一个最小代价的边或顶点集，删除这些边或顶点使每对（u，v）之间的连通度严格地低于给定的阈值。这些问题出现在通信网络的可靠性背景下;它们是传统最小割问题的自然推广，其中阈值为1（我们希望完全分离对）或无穷大（我们不关心对的连通性）。我们提供了第一个非平凡的近似的问题，包括节点不相交和边缘不相交的连通性阈值的一些变种。我们的工作的一个主要贡献是一个扩展的区域增长技术近似最小多路设置。当连通性阈值为2或无穷大（“2-路由切割”的情况下），我们得到多项式近似，同时满足阈值。对于任意的连通性阈值，这种方法导致双准则近似，我们近似地满足阈值，并近似地最小化成本。我们提出了一些不同的算法，实现不同的成本连接权衡。
2009-08-03 cs.DS
Mimicking Networks and Succinct Representations of Terminal Cuts
给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，我们希望压缩它并使用很少的内存存储每个终端二分之间的最小割（或等价地，最大流）的值。实现$G$的压缩的一种吸引人的方法是构造\emph{mimicking network}：具有相同$k$终端的小型网络$G'$，其中终端的每个二分区之间的最小切割值与$G$中的相同。这个概念是由Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde [JCSS '98]引入的，他们证明了这样的$G'$的大小最多为$2^{2^k}$总是存在的。显然，通过访问较小的网络$G'$，可以更有效地执行涉及切割的某些计算。我们提供了几个新的界限，一起缩小了以前已知的差距，从双指数，只有单指数，平面和一般的图形。我们的第一个和主要的结果是，每个$k$终端平面网络承认一个模仿网络$G'$的大小$O(k^2 2^{2k})$，而且是一个次要的$G$。另一方面，某些平面网络$G$需要$|E(G')| \ge Ω(k^2)$。对于一般的网络，我们表明，某些二部图只承认模仿网络的大小$|V(G')| \geq 2^{Ω(k)}$，而且，每个数据结构，存储的最小割值之间的所有bipartition的终端必须使用$2^{Ω(k)}$机器字。
2012-07-26 cs.DS
Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut
本文研究第二最小容量 (s,t)-割，提出仅需 O(√n) 次最大流计算的有向图算法，并给出 O(m) 时间计算 Minimum+1 (s,t)-割及 O(m) 空间 DAG 刻画方法，进而在简单图上突破对偶边敏感性预言机的 Ω(n^2) 空间下界。
2025-07-02 cs.DS
Minimum $2$-vertex strongly biconnected spanning directed subgraph problem
一个有向图$G=(V,E)$是强双连通的，如果$G$是强连通的，并且它的底层图是双连通的。一个强双连通有向图$G=(V,E)$称为$2$ -顶点-强双连通，如果对每个顶点$w\in V$，$|V|\geq 3$和$V\setminus\left\lbrace w\right\rbrace $上的导出子图都是强双连通的.在本文中，我们研究以下问题。给定一个$2$ -顶点-强双连通有向图$G=(V,E)$，计算一个最小边子集$E^{2sb} \subseteq E$，使得子图$(V,E^{2sb})$是$2$ -顶点-强双连通的.
2020-08-02 cs.DS
