Finding Diverse Minimum s-t Cuts
本研究首次开展k-多样化最小s-t割的算法研究，针对三种多样性度量分析问题复杂度，证明前两种度量下可通过子模函数最小化在强多项式时间求解，第三种在k=3时即为NP难，部分解答了长期开放问题。
2024-09-18 cs.DS
Computing exact minimum cuts without knowing the graph
我们给查询有效的算法的全球最小割和s-t割问题的无权，无向图。我们的预言机模型的灵感来自于次模函数最小化问题：在查询$S \subset V$上，预言机返回$S$和$V \setminus S$之间的切割的大小。我们提供的算法计算一个确切的最小$s$ - $t$削减$G$与$\tilde{O}(n^{5/3})$查询，并计算一个确切的全球最小削减$G$只有$\tilde{O}(n)$查询（而学习的图形需要$\tildeΘ(n^2)$查询）。
2019-08-05 cs.DS
An FPT Algorithm for Diverse Minimum s-t Cuts
University of Bergen（卑尔根大学）
研究在有向加权图中寻找多样最小边s-t割的问题，给定整数k和d，判断图中是否存在k个最小s-t割满足特定条件。证明该问题以k + d为参数时是固定参数可解的，基于多样最小s-t割的新结构特性和流增强技术。
2026-07-07 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Semi-Random Graphs with Planted Sparse Vertex Cuts: Algorithms for Exact and Approximate Recovery
计算图的顶点扩张问题是一个NP难问题。用于计算图的顶点扩展的当前最佳最坏情况近似保证是由Feige、Hajiaghayi和Lee提出的$O(\sqrt{\log n})$ -近似算法[SIAM J. Comp.，2008]，并且由于Louis、Raghavendra和Vempala [FOCS 2013]，$O(\sqrt{OPT \log d})$界于顶点度最多为$d$的图中。研究了具有稀疏割点的自然半随机图模型。在一定的参数范围内，我们给出了一个算法，以恢复种植的稀疏顶点割。对于更大的参数范围，我们给出了一个常数因子双准则近似算法来计算图的平衡点展开。我们的算法是基于研究一个半定规划松弛的平衡顶点扩张的图。除了作为一个家庭的实例，这将有助于我们更好地理解计算的复杂性的顶点扩展，我们的模型也可以用于社区发现的研究，只有少数节点从每个社区与其他社区的节点进行交互。关于具有稀疏边割的随机图和半随机图的研究已经有很多。据我们所知，我们的模型的半随机图种植稀疏顶点割还没有被研究过。
2018-05-24 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
Near-Optimal Minimum Cuts in Hypergraphs at Scale
针对超图最小割问题，提出可扩展算法HeiCut，通过精确归约与启发式收缩缩减规模并求解松弛BIP，在500多个真实超图上实现近优解，速度最高快五个数量级。
2025-04-30 cs.DS
Thin Trees for Near Minimum Cuts
Boston University（波士顿大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在考虑近最小割集合时，存在O(1/k)薄的生成树，解决了强细树猜想的特定情况。
2026-05-12 cs.DS
Finding Most Shattering Minimum Vertex Cuts of Polylogarithmic Size in Near-Linear Time
本研究提出首个近线性时间随机算法，用于列出多对数规模的碎纸机割集并找到最具破碎性的最小顶点割集，打破了保持二十余年的二次时间界，消除了顶点连通性增强问题的算法瓶颈。
2024-07-11 cs.DS
The Structure of Minimum Vertex Cuts
在本文中，我们将继续一长串的工作，表示图的切割结构。对最小割的类型进行了分类，并讨论了多个最小割之间可能存在的关系.作为这些调查的结果，我们表现出一个简单的$O(κn)$空间的数据结构，可以快速回答成对的$(κ+1)$连接查询的$κ$连接图。我们还展示了如何计算“最近的”$κ$ -切到每个顶点在近线性$\tilde{O}(m+poly(κ)n)$时间。
2021-02-12 cs.DS math.CO
Maintaining Expander Decompositions via Sparse Cuts
在这篇文章中，我们表明，保持扩张器分解的算法进行边删除直接删除稀疏削减重复可以有效的。形式上，对于一个$m$ -边无向图$G$，如果$|E_G(S, \overline{S})| < ϕ\cdot \min\{vol_G(S), vol_G(\overline{S})\}$，我们称一个割$(S, \overline{S})$是$ϕ$ -稀疏的. $G$的$ϕ$ -扩展器分解是将$V$划分为集合$X_1, X_2, \ldots, X_k$，使得每个簇$G[X_i]$不包含具有在簇之间交叉的$\tilde{O}(ϕm)$边缘的$ϕ$ -稀疏切割（意味着它是$ϕ$ -扩展器）.计算$ϕ$ -扩展器分解的一种自然方法是通过$ϕ$ -稀疏切割来分解簇，直到任何簇中都不包含这样的切割。我们表明，即使在图中进行边缘删除，这个元算法可以有效地实现与摊销更新时间$m^{o(1)}/ϕ^2$稍微放松。我们的方法自然延伸到维护定向$ϕ$ -扩展器分解和$ϕ$ -扩展器层次结构，从而给出了一个统一的框架，同时具有比以前的最先进的工作更简单的证明。在所有的设置中，我们的算法匹配以前的算法的运行时间子多项式的因素。此外，我们的算法提供了更强的保证$ϕ$ -扩展分解。例如，对于经历边缘删除的图，我们的方法是第一个保持动态扩展器分解的方法，其中每个更新的分解是对先前分解的细化，并且我们的方法是第一个保证在整个动…
2023-01-22 cs.DS
Finding Small Sparse Cuts Locally by Random Walk
研究了在无向图中寻找一个小的稀疏割的问题。给定一个无向图G=（V，E），参数k <= |E|，小稀疏割问题是在所有体积不超过k的集合中寻找一个电导最小的顶点子集S.利用局部图划分算法中的思想，我们得到了小稀疏割问题的双准则近似算法：-如果存在一个电导率为0且vol（U）<= k的子集U，则存在一个多项式时间算法来找到一个电导率为O（\sqrt{ϕ/ε}）且vol（S）<= k^{1+ε}的集合S，对于任意ε> 1/k. - 如果有一个电导率为0的子集U，且vol（U）<= k，则存在一个多项式时间算法来找到一个电导率为O（\sqrt{ϕln(k)/ε}）且vol（S）<=（1+ε）k的集合S，其中任何ε> 2ln（k）/k。这些算法可以使用截断随机游走在本地实现，运行时间与输出大小几乎呈线性关系。这提供了一种局部图划分算法，当k是次线性时，该算法具有更好的电导保证。
2012-04-20 cs.DS
Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex
我们研究计算图割的确定性算法，重点关注两个基本问题：平衡稀疏割和$k$-小$k$（$k=O(\polylog n)$）的顶点连通性。这两个问题都可以用随机算法在近似线性的时间内解决，但它们以前的确定性问题至少需要二次时间。在本文中，我们打破了这两个问题的界限。有趣的是，一个问题的解决关键取决于另一个问题的解决。特别地，通过分而治之的论点，切割匹配游戏的变体[Khandekar et al. 07]和[Nanongkai et al. STOC'19]的局部顶点连通度算法，利用计算稀疏图上平衡稀疏割的次二次时间算法，给出了计算$k$ -顶点连通度的次二次时间算法.为了实现后者，我们改进了以前最好的$mn$界近似平衡稀疏切割的整个范围的$m$。这从（1）打破密集图上的$n^3$障碍到$n^{ω+ o(1)}$开始（其中$ω< 2.372$）使用PageRank矩阵，但不显式地扫描以找到稀疏切割;（2）通过将[Madry FOCS '10]的$J$树与上面的$n^{ω+ o(1)}$界限组合来获得$\tilde O(m^{1.58})$界限，最后;到（3）通过结合基于扩展器的图稀疏化递归地调用第二界限来获得$m^{1.5 + o(1)}$界限。有趣的是，我们的最终$m^{1.5 + o(1)}$边界降落在一个自然的停止点，在这个意义上，多项式打破它将导致动态连接问题的突破。
2019-10-18 cs.DS
Shared-memory Exact Minimum Cuts
无向边权图的最小割问题要求我们将其节点集分成两个块，同时最小化割边的权和。在本文中，我们工程师已知的最快的精确算法的问题。像Padberg和Rinaldi的算法或Nagamochi、Ono和Ibaraki的算法这样的最先进的算法识别可以收缩以减小图大小的边，使得在收缩的图中保持至少一个最小切割。我们的算法通过多种技术实现了对这些算法的运行时间的改进。首先，我们使用最近开发的快速和并行的\emph{inexact}最小割算法，以获得更好的界限的问题。然后，我们使用依赖于这个界限的约简，以比以前更快地减小图的大小。我们使用改进的数据结构，以进一步提高我们的算法的运行时间。此外，我们并行的收缩例程Nagamochi，小野和茨城。总的来说，我们到达一个系统，性能优于最快的国家的最先进的求解器的\emph{exact}最小切割问题显着。
2018-08-16 cs.DS
Computing minimum cuts in hypergraphs
我们研究超图连通性的算法和结构方面。给定一个超图$H=(V,E)$，其中有$n = |V|$，$m = |E|$和$p = \sum_{e \in E} |e|$，计算$H$中全局最小割的最佳算法对于无能力约束的情况在时间$O(np)$中运行，对于有能力约束的情况在$O(np + n^2 \log n)$时间中运行.我们展示了以下新结果。1.给定一个无容量限制的超图$H$和一个整数$k$，我们描述了一个算法，在$O(p)$时间运行，找到一个子超图$H'$的程度之和$O(kn)$，保持所有的边连通性$k$（$k$ -稀疏）。这将Nagamochi和Ibaraki的相应结果从图推广到超图。使用这种稀疏化，我们得到一个$O(p + λn^2)$时间算法计算的$H$的全球最小切割$λ$是最小的切割值。2.我们将Matula关于图的论证推广到超图，并得到了在$O(\frac{1}ε (p \log n + n \log^2 n))$时间内有容量限制的超图的全局最小割的$(2+ε)$ -逼近. 3.证明了在$O(np + n^2 \log n)$时间和$O(p)$空间中可以计算出一个有能力超图的所有全局最小割的超仙人掌表示。我们利用顶点排序的想法，以获得我们的结果。与图不同，我们观察到超图有几种不同的排序，它们产生不同的见解。
2017-05-14 cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Minimum Cuts in Surface Graphs
我们描述的算法，有效地计算最小$(s,t)$ -削减和全球最小削减的无向表面嵌入图。给定一个边权无向图$G$，$n$顶点嵌入在亏格$g$的可定向曲面上，我们的算法可以在$g^{O(g)} n \log \log n$或$2^{O(g)} n \log n$时间内解决任一问题，以较优者为准.当$g$是一个常数，我们的$g^{O(g)} n \log \log n$时间算法匹配的最佳运行时间已知计算平面图中的最小割。我们的算法最小切割依赖于减少的问题，找到一个最小的重量子图在一个给定的$\mathbb{Z}_2$ -同源类，我们给有效的算法后一个问题，以及。如果$G$嵌入到具有$b$边界组件的曲面上，则这些算法将在$(g + b)^{O(g + b)} n \log \log n$和$2^{O(g + b)} n \log n$时间内运行。我们还证明，找到一个最小的重量子图同源的一个单一的输入周期是NP-难的，显示它可能是不可能的，以改善后一个问题的指数依赖$g$。
2019-10-09 cs.CG cs.DS
Random Algorithms for the Loop Cutset Problem
Technion（以色列理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
我们展示了如何在贝叶斯网络中以高概率找到最小循环割集。找到这样一个循环割集是Pearl推理条件化方法的第一步。我们的随机算法寻找一个循环割集，称为“重复WGuessI”，输出一个最小循环割集，经过O（c6^kkn）步骤，概率至少为1-（1 over{6^k}）^{c6^k}），其中c>1是由用户指定的常数，k是最小权重循环割集的大小，n是顶点的数量。我们还表明经验，这种算法的一个变种，称为WRA，往往会发现一个循环割集，更接近最小循环割集比已知的最好的确定性算法。
2014-08-07 cs.AI cs.DS
Approximating Small Sparse Cuts
本文针对稀疏割和小集扩张问题，提出基于样本集扩展与割匹配博弈的多项式时间近似算法，达到 polylog k 近似，并改进相关推论。
2024-03-13 cs.DS
Finding Sparse Cuts Locally Using Evolving Sets
{ \em局部图分割算法}通过从指定顶点开始自适应地探索大图$G$的一部分来找到具有小传导性（即，稀疏切割）的顶点的集合。为了使算法是局部的，其复杂性必须以其输出的集合的大小为界，至多弱依赖于$G$中顶点的数目$n$。先前的局部分割算法使用随机游走和个性化PageRank来找到稀疏切割。在本文中，我们介绍了一个随机的局部分割算法，找到一个稀疏切割模拟{ \em体积偏置的进化集过程}，这是一个马尔可夫链的顶点集。我们证明，对于任何一组顶点$A$，具有电导在最$ϕ$，至少有一半的起始顶点在$A$我们的算法将输出（概率至少一半），一组电导$O(ϕ^{1/2} \log^{1/2} n)$。我们证明，对于一个给定的运行的算法，其计算复杂性和它输出的集合的体积之间的预期比率是$O(ϕ^{-1/2} polylog(n))$。相比之下，Andersen、Chung和Lang提出的最佳局部分割算法具有相同的近似保证，但复杂度和输出量之间的$O(ϕ^{-1} polylog(n))$比率更大。使用我们的局部分割算法作为一个子程序，我们构造了一个快速算法寻找平衡削减。给定$ϕ$的固定值，所得到的算法具有复杂度$O((m+nϕ^{-1/2}) polylog(n))$，并且返回具有电导$O(ϕ^{1/2} \log^{1/2} n)$和体积至少为$v_ϕ/2$的切割，其中$v_ϕ$是电导至多为$ϕ$的…
2008-11-23 cs.DS
Cactus Representation of Minimum Cuts: Derandomize and Speed up
本文提出首个 $m^{1+o(1)}$ 时间确定性算法构造所有全局最小割的仙人掌表示，并将最快随机算法复杂度从 $Ω(m\log^4 n)$ 降至 $O(m\log^3 n)$。
2024-01-19 cs.DS
Improved Minimum Cuts and Maximum Flows in Undirected Planar Graphs
本文研究平面图的最小割和最大流问题，包括静态和动态两种情况。首先，我们提出了一个算法，给定一个无向平面图计算任何两个给定的顶点之间的最小割在O（n log log n）的时间。其次，我们展示了如何实现相同的O（n log log n）界的问题，计算最大流在无向平面图。据我们所知，这是这两个问题的第一个算法，它打破了O（n log n）的障碍，这个障碍已经存在了超过25年。第三，我们提出了一个完全动态的算法，它能够维护平面图中最小割和最大流的信息（即，我们的算法能够在O（n^（2/3）log^3 n）时间内插入边，删除边，并回答任何一对顶点之间的最小割和最大流查询。这个结果是基于一个新的动态最短路径算法的平面图，这可能是独立的利益。我们注意到，这是第一个已知的非平凡算法的最小切割和最大流问题的动态设置。
2010-11-22 cs.DS
On the Complexity of Forcing and Anti-Forcing Minimum Cuts
Hokkaido University（北海道大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文研究全局最小割和最小s–t割的强制集与反强制集计算问题，对每个变体给出多项式算法或NP完全性证明。
2026-09-29 cs.DS
Minimum Cuts and Shortest Cycles in Directed Planar Graphs via Noncrossing Shortest Paths
设$G$是具有非负边权的$n$ -结点简单有向平面图.本文研究了计算（1）具有最小权的$G$的整体割和（2）具有最小权的$G$的~圈的基本问题。前一个问题的最佳已知算法，在$O(n\log^3 n)$时间内运行，可以从\Lacki，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen的单源全汇最大流算法中获得。最好的先前已知的结果为后者的问题是$O(n\log^3 n)$时间算法的武尔夫尼尔森。通过利用平面图中两个问题之间的对偶性，我们通过分治算法找到最短的非退化循环，在$O(n\log n\log\log n)$时间内解决了这两个问题。我们的结果的核心是一个$O(n\log\log n)$ -时间算法计算节点之间的非交叉最短路径，以及有序的公共面上的有向平面图，这是从Italiano，Nussbaum，Sankowski，和Wulff-Nilsen算法的无向平面图。
2017-03-23 cs.DS
Parallel Minimum Cuts in Near-linear Work and Low Depth
我们提出了第一个近线性的工作和多对数深度算法计算的最小割图，而以前的并行算法与多对数深度需要至少二次工作的顶点数。在具有$n$顶点和$m$边的图中，我们的算法在$O(m {\log}^4 n)$工作和$O({\log}^3 n)$深度中以高概率计算正确结果。这一结果是通过并行化一个数据结构，聚集沿着路径的权重在一棵树，并利用最小切割和近似最大包装的生成树之间的连接。此外，我们的算法改进后的边界上的高速缓存未命中的数量计算的最小切割。
2020-07-02 cs.DC cs.DS
Many Sparse Cuts via Higher Eigenvalues
Cheeger的基本不等式指出，任何边加权图都有一个顶点子集$S$，使得它的扩展（a.k.a.其中$w$是子集或割的总边权重，$λ_2$是图的归一化拉普拉斯算子的第二小特征值。在这里，我们证明了以下自然推广：对于任何整数$k \in [n]$，存在$ck$不相交子集$S_1, ..., S_{ck}$，使得\[ \max_i ϕ(S_i) \leq C \sqrt{λ_{k} \log k} \]其中$λ_i$是规范化拉普拉斯算子的$i^{th}$最小特征值，$c<1,C>0$是合适的绝对常数。我们的证明是通过一个多项式时间算法来找到这样的子集，包括频谱投影和随机舍入。因此，我们得到了相同的上界的小集扩展问题，即对于任何$k$，有一个子集$S$的重量是最多的$\bigO(1/k)$分数的总重量和$ϕ(S) \le C \sqrt{λ_k \log k}$。这两个结果是最好的可能常数的因素。基本的算法问题，即寻找$k$子集，使最大扩展最小化，除了扩展稀疏削减到一个以上的子集，似乎是一个自然的聚类问题本身。
2011-11-03 cs.DS
Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut
在无向图中，$k$ -割是一组边，其移除将图至少分解为$k$连通分量。最小权重$k$ -cut可以在$O(n^{O(k)})$时间内计算，但当$k$被视为输入的一部分时，计算最小权重$k$ -cut是NP困难的[Holdschmidt and Hochbaum 1994]。对于$\operatorname{poly}(m,n,k)$时间算法，在小集合扩展假设下，最佳可能近似因子基本上为2 [Manurangsi 2017]。Saran和Vazirani [1995]表明，$(2 - 2/k)$ -近似最小权重$k$ -割可以通过$O(k)$最小割来计算，这意味着通过Karger [2000]的近似线性时间随机最小割算法的$\tilde{O}(mk)$随机运行时间。Nagamochi和Kamidoi [2007]表明，可以在$O(mn + n^2 \log n)$时间内确定性地计算最小权重$k$ -cut。这些结果引发了两个基本问题。第一个是关于随机化的作用。是否有一个确定性算法的2近似$k$切割匹配随机运行时间的$\tilde{O}(mk)$？第二个问题定性地比较了最小切割与2-近似最小$k$ -切割。2-近似$k$ -切割的计算速度能否与随机时间内的（精确）最小切割$\tilde{O}(m)$一样快？我们在这些问题上取得了进展，与一个确定性的近似算法，计算$(2 + ε)$ -最…
2018-11-18 cs.DS
Min cost flow on unit capacity networks and convex cost K-flow are as easy as the assignment problem with All-Min-Cuts algorithm
本文揭示时间—费用权衡与最小费用流的联系，提出 all-min-cuts 过程，以平均 O(m+n log n) 枚举相邻断点间的所有最优解，并得到单位容量最小费用流的快速强多项式算法。
2025-07-29 cs.DS
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Solving Routing Problems via Important Cuts
我们介绍了一种使用重要切割的新方法，该方法允许我们为以下路由问题设计明显更快的固定参数易处理（FPT）算法：由有向边的数量参数化的混合中国邮递员问题（Gutin等人，JCSS 2017），由两个指定顶点之间的路径的数量p参数化的最小共享边问题（MSE）（Fluschnik等人，JCSS 2019）和加权最小切割预防问题（Gruttemeier等人，WG 2021）。最小脆弱性问题（MV）是MSE的推广（Assadi等人，2014年）。用于由p参数化的MV（与MSE的参数相同）的唯一已知FPT算法是用于弦图（Aoki等人，JCO 2018）。我们设计了一个FPT算法，用于所有无向图上的MV。
2022-06-08 cs.DS
Min-cuts and Shortest Cycles in Planar Graphs in O(n log log n) Time
我们提出了一个确定性的O（nlog log n）时间算法寻找平面图中的最短圈和最小割。该算法将Italiano等人在STOC'11中的已知最快算法改进了log n倍。这种加速是通过使用密集距离图结合分治方法获得的。
2011-04-26 cs.DS
On Mimicking Networks Representing Minimum Terminal Cuts
给定一个具有一组终端$K \subset V$的容量限制无向图$G=(V,E)$，模仿网络是一个更小的图$H=(V_H,E_H)$，它精确地保留了终端之间的所有最小割。具体地，稀疏化器$V_H$的顶点集包含终端$K$的集合，并且对于终端$K$的每个二分区$U, K-U $，在$G$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小正好等于在$H$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小。Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde（1995）提出了模仿网络的概念，他们还展示了一个大小为$2^{2^{k}}$的模仿网络，每个图都有$k$终端。最为人所知的模仿网络规模的下限是终端数量的线性。更准确地说，对于具有$k$终端的图，最著名的下界是$k+1$（Chaudhuri等人，2000）。在这项工作中，我们提高了上限和下限，减少了它们之间的双指数差距到一个单指数差距。具体地说，我们得到了模仿网络的如下上、下界：1）给定图$G$，我们给出了一个顶点数至多为$(|K|-1)$的Dedekind数（$\approx 2^{{(k-1)} \choose {\lfloor {{(k-1)}/2} \rfloor}}$）（与$V$的大小无关）的模仿网络的构造.此外，我们表明，该结构是最佳的所有{ \it限制模仿网络} -一个自然类的模仿网络，通过将顶点聚集在一起。2)存在具有$k$终…
2012-07-26 cs.DS
Minimum+1 Steiner Cuts and Dual Edge Sensitivity Oracle: Bridging the Gap between Global cut and (s,t)-cut
本文研究了容量为minimum+1的Steiner割，提出了用于查询割的数据结构和对偶边敏感性预言机，并证明了空间下界，弥合了全局割与(s,t)-割之间的研究空白。
2024-06-21 cs.DS
Counting small cuts in a graph
我们研究的最小割问题中存在的不确定性，并展示如何应用一种新的鲁棒优化方法，其目的是利用在随后的图形测量或类似的图形实例的相似性，而不构成任何假设的方式，他们已经获得。通过实验，我们表明，与其他方法相比，该方法工作得很好，这些方法也不注意输入数据集之间的关系。
2013-04-29 cs.DS
Approximation Algorithms for the Loop Cutset Problem
Technion（以色列理工学院）
我们展示了如何在贝叶斯网络中找到一个小循环curser。寻找这样的循环割集是条件推理方法的第一步。我们的算法找到一个循环割集，称为MGA，找到一个循环割集，这是保证在最坏的情况下，包含小于两倍的最小循环割集所包含的变量的数量。我们在随机生成的图上测试MGA，发现与算法输出相关的实例数与与最小解相关的实例数之间的平均比率为1.22。
2013-02-27 cs.AI cs.DS
All-Pairs Minimum Cuts in Near-Linear Time for Surface-Embedded Graphs
对于一个无向的$n$ -顶点图$G$，我们考虑以下类型的查询：给定$G$中的两个顶点$s$和$t$，$G$中的最小$st$ -割的权是多少？我们在预处理时间$O(n\log^3 n)$中解决了有界亏格图的这个问题，给出了这类图的第一个次二次时间算法。我们的结果还通过对数因子改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen（FOCS 2010）以前的算法，该算法仅适用于平面图。我们的算法构造一个Gomory-Hu树为给定的图，提供了一个数据结构的空间$O(n)$，可以回答最小割查询在常数时间。在我们的预处理时间中，对输入图的亏格的依赖是$2^{O(g^2)}$。
2015-12-22 cs.CG cs.DS
Deterministic Near-Linear Time Minimum Cut in Weighted Graphs
本文提出了首个针对加权图的确定性近线性时间最小割算法，通过构建具有 $o(1)$ 误差的稀疏聚类结构并解决多对数近似降至 $1+o(1/\log n)$ 近似的挑战，实现了对 Karger 随机算法的去随机化。
2024-01-11 cs.DS
Graph Wavelets via Sparse Cuts: Extended Version
在从社交网络到物联网的许多实际应用中，对驻留在大型图的顶点上的信息进行建模是一个关键问题。图上的信号处理，特别是图小波可以利用这些数据集的内在平滑性，以便以紧凑和准确的方式表示它们。然而，如何发现小波基，捕捉相对于信号的数据的几何形状以及图形结构仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们研究的问题，计算图小波基通过稀疏削减，以产生低维编码的数据驱动的基础。这个问题与图论中已知的困难问题（例如多路切割）有关，因此需要一个有效的启发式算法。我们将基础发现任务制定为向量优化问题的松弛，这导致了作为正则化特征值计算的优雅解决方案。此外，我们提出了几种策略，以扩大我们的算法到大型图。实验结果表明，该算法可以有效地编码的图形结构和信号，产生压缩和准确的表示在广泛的数据集（如传感器和基因网络）的顶点值，并显着优于最佳基线。
2016-06-13 cs.DS cs.SI
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Parallel Minimum Cuts in $O(m \log^2(n))$ Work and Low Depth
我们提出了一个随机的$O(m \log^2 n)$工作，$O(\text{polylog } n)$深度并行算法的最小割。该算法与Gawrychowski，Mozes和Weimann [ICALP'20]最近的顺序算法的工作范围相匹配，并改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA'18]以前最好的并行算法，该算法在$O(\text{polylog } n)$深度上执行$O(m \log^4 n)$工作。我们的算法使用了三个可能独立感兴趣的组件。首先，我们设计了一个并行数据结构，有效地支持批量混合查询和更新的树。它推广和改进了Geissmann和Gianinazzi以前的数据结构的工作范围，并且相对于最好的顺序算法是有效的。其次，我们设计了一个近似最小割的并行算法，改进了Karger和Motwani以前的结果。我们用这个算法给一个工作效率高的程序，以产生一个树包装，在Karger的顺序算法的最小切割。最后，我们设计了一个求解最小$2$相关割问题的高效并行算法。
2021-12-28 cs.DC cs.DS
On Stable Cutsets in General and Minimum Degree Constrained Graphs
本文提出稳定割集问题的新精确算法，改进运行时间至$O^*(1.2972^n)$，并研究最小度约束下的复杂度，给出多项式算法、核化算法及NP完全性证明，同时改进3-着色算法。
2025-10-10 cs.CC cs.DM cs.DS
Solving $(k-1)$-Stable Instances of k-Terminal Cut with Isolating Cuts
k-终端切割问题，也称为多路切割问题，定义在具有称为“终端”的$k$不同顶点的边加权图上。“我们的目标是从图中删除最小权重的边集合，这样任何一对终端之间都没有路径。这个问题是NP难的。隔离切口是将一个端子与其余端子分开的最小切口。所有隔离切割的并集（最大的除外）是最佳k-末端切割的$(2-2/k)$ -近似。这是目前已知的唯一一种不需要求解线性规划的用于k-端子切割的近似算法。一个k-末端切割的实例是$γ$ -稳定的，如果切割中的边最多可以乘以$γ$而不改变唯一的最优解。在本文中，我们表明，在任何$(k-1)$ -稳定的情况下，k-终端切割，源集的隔离切割是唯一的最优解的k-终端切割实例的源集。我们的结论是，$(2-2/k)$近似算法返回的最优解$(k-1)$稳定的情况下。我们是第一个结果表明，这种$(2-2/k)$ -近似是一类特殊的图的精确优化算法。我们还表明，我们的$(k-1)$ -稳定性的结果是紧密的。我们构造了k-终端割问题的$(k-1-ε)$ -稳定实例，这些实例只有平凡的隔离割：也就是说，每个终端的隔离割的源集就是终端本身.因此，$(2-2/k)$近似不返回最优解。
2019-10-02 cs.DS
Distributed Computation of Sparse Cuts
寻找稀疏割是分析大规模分布式网络（如Internet和Peer-to-Peer网络）以及大规模图（如Web图、在线社交社区和VLSI电路）的重要工具。在分布式通信网络中，它们对于拓扑维护和设计更好的搜索和路由算法是有用的。在本文中，我们专注于开发快速分布式算法计算稀疏削减网络。给定一个电导为$ϕ$的无向$n$ -节点网络$G$，目标是找到电导接近$ϕ$的割集。我们提出了两个分布式算法，找到一个稀疏的割集$\tilde O(\sqrtϕ)$（$\tilde{O}$隐藏$\polylog{n}$因素）。我们的两个算法都工作在CONGEST分布式计算模型中，并且在$\tilde O(\sqrtϕ)$轮中以最高概率输出电导的切割，其中$b$是给定电导的切割的平衡。特别是，要找到一个稀疏的削减恒定的平衡，我们的算法采取$\tilde O(\frac{1}ϕ + n)$轮。我们的算法还可以用于输出{ \em本地}集群，即，给定源节点附近的顶点子集，其电导在指定节点周围的最佳可能群集的二次因子内。我们的分布式算法都可以在不知道最佳$ϕ$值的情况下工作，因此可以用于找到全局和相对于给定源节点的近似电导值。我们还给出了一个下界的时间为任何分布式算法计算任何非平凡稀疏割-任何分布式近似算法（对于任何非平凡的近似比）计算稀疏割将采取$\tilde Ω(\sqrt{n} + D)$轮，其中$D$是直径的图…
2013-10-21 cs.DC cs.DS
Region growing for multi-route cuts
本文研究了若干多路割问题：给定图G =（V，E）和节点对的连通度阈值k_（u，v），目标是找到一个最小代价的边或顶点集，删除这些边或顶点使每对（u，v）之间的连通度严格地低于给定的阈值。这些问题出现在通信网络的可靠性背景下;它们是传统最小割问题的自然推广，其中阈值为1（我们希望完全分离对）或无穷大（我们不关心对的连通性）。我们提供了第一个非平凡的近似的问题，包括节点不相交和边缘不相交的连通性阈值的一些变种。我们的工作的一个主要贡献是一个扩展的区域增长技术近似最小多路设置。当连通性阈值为2或无穷大（“2-路由切割”的情况下），我们得到多项式近似，同时满足阈值。对于任意的连通性阈值，这种方法导致双准则近似，我们近似地满足阈值，并近似地最小化成本。我们提出了一些不同的算法，实现不同的成本连接权衡。
2009-08-03 cs.DS
Mimicking Networks and Succinct Representations of Terminal Cuts
给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，我们希望压缩它并使用很少的内存存储每个终端二分之间的最小割（或等价地，最大流）的值。实现$G$的压缩的一种吸引人的方法是构造\emph{mimicking network}：具有相同$k$终端的小型网络$G'$，其中终端的每个二分区之间的最小切割值与$G$中的相同。这个概念是由Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde [JCSS '98]引入的，他们证明了这样的$G'$的大小最多为$2^{2^k}$总是存在的。显然，通过访问较小的网络$G'$，可以更有效地执行涉及切割的某些计算。我们提供了几个新的界限，一起缩小了以前已知的差距，从双指数，只有单指数，平面和一般的图形。我们的第一个和主要的结果是，每个$k$终端平面网络承认一个模仿网络$G'$的大小$O(k^2 2^{2k})$，而且是一个次要的$G$。另一方面，某些平面网络$G$需要$|E(G')| \ge Ω(k^2)$。对于一般的网络，我们表明，某些二部图只承认模仿网络的大小$|V(G')| \geq 2^{Ω(k)}$，而且，每个数据结构，存储的最小割值之间的所有bipartition的终端必须使用$2^{Ω(k)}$机器字。
2012-07-26 cs.DS
Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut
本文研究第二最小容量 (s,t)-割，提出仅需 O(√n) 次最大流计算的有向图算法，并给出 O(m) 时间计算 Minimum+1 (s,t)-割及 O(m) 空间 DAG 刻画方法，进而在简单图上突破对偶边敏感性预言机的 Ω(n^2) 空间下界。
2025-07-02 cs.DS
Deterministic Min-cut in Poly-logarithmic Max-flows
我们给出了一个确定性的算法，找到最小（重量）削减的$n$顶点和$m$边缘使用$\text{polylog}(n)$调用任何最大流子程序的无向图。使用目前最好的确定性最大流算法，这产生的总运行时间为$\tilde O(m \cdot \min(\sqrt{m}, n^{2/3}))$的加权图，和$m^{4/3+o(1)}$的非加权（多）图。这标志着第一次改善这个问题，因为运行时间界的$\tilde O(mn)$是由几篇论文在20世纪90年代初建立。我们的全球最小切割算法得到的最小施泰纳切割算法的推论，其中最小施泰纳切割是一个最小（重量）的边缘，其删除断开至少一对顶点之间的指定的一组终端顶点。我们的确定性最小Steiner切割算法的运行时间匹配的全局最小切割算法上述。使用随机化，运行时间提高到$m^{1+o(1)}$，因为一个更快的最大流子程序;这也提高了最小Steiner切割问题的最佳已知随机化算法。我们主要的技术贡献是一种新的工具，我们称之为“隔离切割”。给定一组顶点$R$，这需要找到将每个单独的顶点$v\in R$与其余顶点$R\setminus \{v\}$分开（或隔离）的最小权重的切割。简单地说，这可以使用$|R|$最大流调用，但我们表明，只要$O(\log |R|)$足以找到隔离切割的任何一组顶点$R$。我们称之为“孤立割引理”（isolating cut lemma）。
2022-05-28 cs.DS
Recovering Communities in Structured Random Graphs
EPFL（洛桑联邦理工学院）；Bocconi University（博科尼大学）
在结构随机图中，研究了在存在大量重叠稀疏切割时如何恢复社区结构，并证明在特定条件下可近似恢复所有切割。
2026-01-23 cs.DS
Complexity and Algorithm for the Matching vertex-cutset Problem
本文证明了匹配顶点割集的存在性判定是NP完全的，给出了2-近似算法，并证明了平面图中存在大小至多3的匹配顶点割集且界紧。
2025-01-22 cs.DS math.CO
Recursive Random Contraction Revisited
在这篇文章中，我们重新回顾了Karger和Stein的递归随机收缩算法，用于寻找图中的最小割。我们的重访是由福克斯，Panigrahi，张，其中给出了一个扩展的Karger-Stein算法的超图中的最小割和最小$k$ -割。当专门用于图的情况下，该算法与原始的Karger-Stein算法有些不同。我们表明，在这种情况下，分析变得特别干净：我们可以证明，概率，一个固定的最小切割的$n$节点图中返回的算法是有界以下的$1/(2H_n-2)$，其中$H_n$是$n$次谐波数。我们还考虑其他类似的算法的变种，并表明，没有这样的算法可以实现一个渐近更好的概率找到一个固定的最小切割。
2020-10-29 cs.DS
Edge-cuts Optimized for Average Weight: a new alternative to Ford and Fulkerson
令$G$是与权重$w: E(G) \rightarrow R^+$相关联的有向图。对于$G$的边缘切割$Q$，$Q$的平均权重表示并定义为$w_{ave}(Q)=\frac{\sum_{e\in Q}w(e)}{|Q|}$。最优平均权重的边割是边割$Q$，使得$w_{ave}(Q)$在所有边割中最大（或对称地最小）。在本文中，这个问题的多项式算法被证明为找到这样的最佳边切割在一个有根树，分离的根和所有叶子的集合。该算法使我们能够开发一种自动聚类方法，更准确地检测嵌入在层次树结构中的社区。
2020-02-24 cs.DS
Efficient Enumerations for Minimal Multicuts and Multiway Cuts
设$G = (V, E)$是一个无向图，$B \subseteq V \times V$是一组终端对。节点/边多割是$G$的顶点/边的子集，其移除将破坏$B$中每个端子对之间的所有路径。计算{ \em minimum}节点/边多割的问题是NP困难的，并且从几个观点进行了广泛的研究。本文研究了枚举所有{ \em minimal}节点多割的问题。我们给出了一个最小结点多割的增量多项式延迟枚举算法，它扩展了Khachiyan等人的最小边多割的枚举算法。节点/边多割的重要特殊情况是节点/边{ \em multiway cuts}，其中终端对的集合包含某个子集$T \subseteq V$（即$B = T \times T$）中的每对顶点。我们改进了这种特殊情况下的运行时间界：我们设计了一个多项式延迟和指数空间枚举算法的最小节点多路切割和多项式延迟和空间枚举算法的最小边多路切割。
2020-06-29 cs.DS
