Fast Computation of Small Cuts via Cycle Space Sampling
我们描述了一种新的基于采样的方法来确定无向图中的割。对于一个图（V，E），它的圈空间是E的所有子集的族，这些子集在每个顶点都有偶数度。我们证明，以高概率，采样的循环空间确定的削减的图。这导致了简单的新的线性时间顺序算法，找到所有的切割边缘和切割对（一组2个边缘，形成一个切割）的图。在图G=（V，E）中的分布式计算模型中，我们的方法对几个问题产生了更快的算法。G的直径用Diam表示，最大度用Delta表示。我们得到简单的O（直径）时间分布算法，找到所有的切割边缘，2-边连接组件，并削减对，匹配或改进以前的时间界限。在自然条件下，这些新算法是普遍最优的-即一个欧米茄（直径）时间下界举行的每一个图。我们得到了一个O（直径+Delta/log V）-时间分布式算法寻找割顶点，这是快于最好的以前的算法时，三角洲，直径= O（sqrt（V））。一个简单的扩展，我们的工作产生的第一个分布式算法与3-边连接组件的次线性时间。基本的分布式算法是蒙特卡洛，但它们可以在不增加渐近复杂性的情况下被拉斯维加斯。在EREW PRAM上的并行计算模型中，我们的方法产生了一个简单的算法，具有最佳的时间复杂度O（log V），用于寻找割对和3-边连接组件。
2010-07-21 cs.DC cs.DS
Deterministic Graph Cuts in Subquadratic Time: Sparse, Balanced, and k-Vertex
我们研究计算图割的确定性算法，重点关注两个基本问题：平衡稀疏割和$k$-小$k$（$k=O(\polylog n)$）的顶点连通性。这两个问题都可以用随机算法在近似线性的时间内解决，但它们以前的确定性问题至少需要二次时间。在本文中，我们打破了这两个问题的界限。有趣的是，一个问题的解决关键取决于另一个问题的解决。特别地，通过分而治之的论点，切割匹配游戏的变体[Khandekar et al. 07]和[Nanongkai et al. STOC'19]的局部顶点连通度算法，利用计算稀疏图上平衡稀疏割的次二次时间算法，给出了计算$k$ -顶点连通度的次二次时间算法.为了实现后者，我们改进了以前最好的$mn$界近似平衡稀疏切割的整个范围的$m$。这从（1）打破密集图上的$n^3$障碍到$n^{ω+ o(1)}$开始（其中$ω< 2.372$）使用PageRank矩阵，但不显式地扫描以找到稀疏切割;（2）通过将[Madry FOCS '10]的$J$树与上面的$n^{ω+ o(1)}$界限组合来获得$\tilde O(m^{1.58})$界限，最后;到（3）通过结合基于扩展器的图稀疏化递归地调用第二界限来获得$m^{1.5 + o(1)}$界限。有趣的是，我们的最终$m^{1.5 + o(1)}$边界降落在一个自然的停止点，在这个意义上，多项式打破它将导致动态连接问题的突破。
2019-10-18 cs.DS
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Fast Dynamic Cuts, Distances and Effective Resistances via Vertex Sparsifiers
我们提出了一个通用的框架，设计有效的动态近似算法优化无向图。特别是，我们开发了一种技术，任何问题，承认一定的概念顶点稀疏，给出数据结构，保持近似的解决方案，在次线性更新和查询时间。我们说明了我们的范例的适用性，以下列问题。(1)一个完全动态的算法，近似所有对最大流量/最小切割到一个接近对数的因子在$\tilde{O}(n^{2/3})$摊销时间对一个不经意的对手，和$\tilde{O}(m^{3/4})$时间对自适应对手。(2)一种增量数据结构，它以$n^{o(1)}$时间为单位维护$O(1)$ -近似最短路径，以$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)})$分摊时间为单位维护全动态近似所有对最短路径和转运。(3)一种全动态算法，可将所有对的有效电阻近似为$\tilde{O}(n^{2/3+o(1)} ε^{-O(1)})$中的$(1+ε)$因子，每个操作的分摊更新时间。结果（1）背后的关键工具是Madry [FOCS' 10]算法构造的动态维护，它将图划分为更简单的图结构（称为j树）的集合，并近似捕获图的割流和度量结构。（2）的$O(1)$近似保证是通过[Thorup-Zwick JACM '05]调整距离预言。结果（3）是通过以分层方式调用[Durfee et al. STOC `19]的基于随机游走的谱顶点稀疏器，同时仔细跟踪分层中的级别之间的追索权而获得的。
2020-05-05 cs.DS
Vertex Sparsifiers for c-Edge Connectivity
我们证明了存在O（f（c）k）大小的顶点稀疏因子，它们在一组k个终端顶点之间保持所有的边连通性值，其中f（c）是一个只依赖于c的函数，即边连通性值。这种构造是算法性的：我们还提供了一种算法，其运行时间线性依赖于k，但在c中呈指数关系。这意味着对于c的常数值，可以在每次操作的polylog时间内回答边缘插入/删除和c-边缘连接查询的离线序列。这些结果是通过结合最小终端分离割无向图的结构结果与最近的发展，在扩展分解为基础的方法，找到小顶点/边割图。
2019-10-23 cs.DS
Approximate minimum cuts and their enumeration
我们证明了连通图中的每个$α$ -近似最小割是唯一的最小$(S,T)$ -终端割，对于某些顶点子集$S$和$T$，每个顶点的大小至多为$\lfloor2α\rfloor+1$。这导致了另一种证明，$α$-顶点连通图中的$α$ -近似最小割的数目是$n^{O(α)}$，并且它们都可以在常数$α$的确定性多项式时间内被枚举。
2022-11-30 cs.DS
Hypergraph Cuts with Edge-Dependent Vertex Weights
我们开发了一个框架，将边相关的顶点权重（EDVWs）到超图最小的s-t切割问题。这些权重能够反映超边内顶点的不同重要性，从而导致更好地表征切割属性。更确切地说，我们引入了一类新的超边分裂函数，我们称之为EDVWS为基础的，其中分裂超边的惩罚只取决于与分裂的每一侧的顶点相关联的EDVWS的总和。此外，我们提供了一种方法来构建子模EDVWS为基础的分裂功能，并证明了超图配备这样的分裂功能可以减少到一个图共享相同的切割性能。在这种情况下，超图最小s-t割问题可以使用图最小s-t割问题的成熟解决方案来解决。此外，我们表明，现有的稀疏化技术可以很容易地扩展到我们的情况下，使减少图更小，更稀疏，从而进一步加快算法应用到减少图。使用真实数据的数值实验表明，我们提出的基于EDVWS的分裂函数的有效性相比，全或无分裂函数和基数为基础的分裂函数通常采用现有的工作。
2022-08-04 cs.DS cs.SI
A Distributed $(2+ε)$-Approximation for Vertex Cover in $O(\logΔ/ε\log\logΔ)$ Rounds
本文提出了一个简单的确定性分布式$(2+ε)$ -近似算法，该算法对任意至多为$O(1)$的$ε>0$，分$O(\logΔ/ε\log\logΔ)$轮完成，其中$Δ$是图中的最大度.对于恒定的$ε$，这意味着$O(\logΔ/\log\logΔ)$轮中的恒定近似，这与[KMW 10]的下限相矛盾。
2016-02-12 cs.DC cs.DS
Brief Announcement: Distributed Unconstrained Local Search for Multilevel Graph Partitioning
本文提出一种适合分布式划分器的无约束局部搜索算法，并将其集成到分布式多层次图划分器中，大幅缩小了分布式与顺序划分器间的质量差距，且在扩展至数千个PE的同时实现了更小的切割和更快的速度。
2024-06-05 cs.DC cs.DS
Dynamic Parallel and Distributed Graph Cuts
Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences（中国科学院自动化研究所）；Zhongyuan University of Technology（中原工学院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；CAS Center for Excellence in Brain Science and Intelligence Technology, Chinese Academy of Sciences（中国科学院脑科学与智能技术卓越创新中心）
图割在计算机视觉中有着广泛的应用。为了加快优化过程并提高大型图的可扩展性，Strandmark和Kahl引入了一种分裂方法，将一个图分裂为多个子图，以便在共享和分布式内存模型中进行并行计算。然而，这种并行算法（并行BK算法）没有一个多项式约束的迭代次数，并发现在某些情况下，由于它的子问题可能有多个最优解的非收敛。为了解决这个不收敛的问题，在这项工作中，我们首先介绍了一种合并方法，能够合并任何数量的那些相邻的子图，很难达到一个协议，它们的重叠区域的并行BK算法。基于图割的伪布尔表示，我们的合并方法能够有效地重用这些子图中的所有计算流。通过分裂和合并，我们进一步提出了一个动态的并行和分布式图切割算法，保证收敛到全局最优解在预定义的迭代次数。从本质上讲，这项工作提供了一个通用的框架，允许更复杂的分裂和合并策略，以进一步提高性能。我们的动态并行算法验证了广泛的实验结果。
2016-09-12 cs.CV cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach
我们重温经典的连接性问题，在分布式计算的CONGEST模型。通过使用容错网络设计的技术，我们展示了改进的结构，其中一些甚至是“本地的”（即，具有$\widetilde{O}(1)$轮）用于与硬全局问题密切相关的问题（即，具有$Ω(Diam+\sqrt{n})$轮的下限）。我们的主要结果是：（1）对于具有常边连通度的$D$ -直径无权图，我们给出了$poly(D)$圈中最小割的精确分布确定性计算。这解决了最近在Daga，Henzinger，Nanongkai和Saranurak，STOC'19中提出的开放问题之一。(2)对于$D$ -直径无权图，我们提出了一个确定性算法，在$poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$轮中计算所有的边连通度直到常数。(3)在$\widetilde{O}(λ)$轮中计算稀疏$λ$连通性证书。先前的构造仅已知用于$λ\leq 3$并且需要$O(D)$轮。这解决了Dori PODC'18提出的问题。
2020-08-03 cs.DC cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
Large Cuts with Local Algorithms on Triangle-Free Graphs
研究了在$d$ -正则无三角形图中寻找大割的问题。在先前的工作中，Shearer（1992）给出了一种随机算法，该算法找到了预期大小为$(1/2 + 0.177/\sqrt{d})m$的切割，其中$m$是边的数量。我们给出了一个更简单的算法，做得更好：它找到了预期大小的削减$(1/2 + 0.28125/\sqrt{d})m$。作为一个推论，这表明在任何$d$ -正则无三角形图中存在至少这个大小的割。我们的算法可以被解释为一个非常有效的随机分布式算法：每个节点只需要产生一个随机位，该算法运行在一个同步通信轮。这项工作也是一个案例研究应用计算技术在分布式算法的设计：我们的算法是由一个计算机程序，搜索最佳算法的小值$d$。
2014-02-11 cs.DC cs.DM cs.DS
A Deterministic Distributed $2$-Approximation for Weighted Vertex Cover in $O(\log n\logΔ/ \log^2\logΔ)$ Rounds
针对CONGEST模型中的最小权顶点覆盖问题，提出了一种确定性的分布式$2$ -近似算法，其轮复杂度为$O(\log n \log Δ/ \log^2 \log Δ)$ .这比[KVY 94]所暗示的当前最知名的确定性2-近似有所改进。我们的解决方案推广了[BCS 17]的$(2+ε)$近似算法，将对$ε^{-1}$的依赖性从线性提高到对数。此外，对于每个$ε=(\log Δ)^{-c}$，其中$c\geq 1$是一个常数，我们的算法计算一个$(2+ε)$ -近似$O(\log Δ/ \log \log Δ)$ ~轮（这是渐近最优的）。
2018-05-23 cs.DC cs.DS
Distributed Connectivity Decomposition
我们提出了时间有效的分布式算法分解图与大边或顶点连接到多个生成或支配树，分别。作为它们的主要应用，这些分解使我们能够实现信息流的大小接近的连接，通过并行化它沿着树。更具体地说，我们的分布式分解算法如下：（I）分解的每个无向图的顶点连通$k$到（分数）顶点不相交的加权支配树的总重量$Ω(\frac{k}{\log n})$，在$\widetilde{O}(D+\sqrt{n})$轮。(II)在$\widetilde{O}(D+\sqrt{nλ})$轮中，将每个具有边连通性$λ$的无向图分解为具有总权重$\lceil\frac{λ-1}{2}\rceil(1-\varepsilon)$的（分数）边不相交的加权生成树。我们还使用[Das Sarma等人，STOC'11]。此外，我们的顶点连通性分解扩展到集中式算法，并提高了[Censor-Hillel et al.，SODA'14]从$O(n^3)$到接近最佳的$\tilde{O}(m)$。作为推论，我们也得到了分布式不经意路由广播$O(1)$ -竞争的边缘拥塞和$O(\log n)$ -竞争的顶点拥塞。此外，顶点连通性分解导致接近时间最优的$O(\log n)$ -近似顶点连通性：集中式$\widetilde{O}(m)$和分布式$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$。前者走向1974年的猜想Aho，Hopcroft和Ullma…
2013-11-21 cs.DC cs.DS
2-Edge-Connectivity and 2-Vertex-Connectivity of an Asynchronous Distributed Network
非屏蔽容错分布式系统的自稳定性在过去的十年中得到了广泛的研究兴趣。本文提出了一种异步分布式计算机网络2-边连通和2-点连通的自稳定算法。它基于自稳定深度优先搜索，并且不是复合算法，因为它不是由多个并行运行的自稳定算法组成。该算法的时间和空间复杂度与底层自稳定深度优先搜索算法相同，分别为O（dnΔ）轮和O（n \log Δ）位/处理器，其中Δ（<= n）是节点度的上界，d（<= n）是图的直径，n是网络中的节点数.
2019-06-22 cs.DC cs.DS
A note on small cuts for a terminal
给定图$G = (V,E)$和终端$s\in V$，$s$的割$X$是包含$s$的顶点集。我们寻找在两种意义上小的切口，即，在$X$中不超过$k$顶点，并且不超过离开$X$的$t$边。通过回答Fomin等人提出的一个问题（arXiv：1304.6189），我们证明了该问题是由$k$或$t$参数化的固定参数可处理的。
2014-03-04 cs.DS
On the parameterized complexity of cutting a few vertices from a graph
研究了用一个小的顶点分离器从图中分离一小部分顶点的参数化复杂性。也就是说，给定图$G$和整数$k$、$t$，任务是找到具有$|X| \le k$和$|N(X)| \le t$的顶点集$X$。我们表明，-问题是固定参数易处理（FPT）时，$t$参数化，但W[1]-硬$k$参数化时，和-终端的问题，其中$X$必须包含一个给定的顶点$s$，是W[1]-硬$k$或$t$单独参数化时，但FPT时，参数化$k + t$。我们还表明，如果我们考虑边割，而不是顶点割，终端变体是NP-难的。
2013-10-01 cs.DS
Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们显着改善已知的时间界限解决无向图的最小割问题。我们使用的“半对偶”之间的最小切割和最大生成树包装与我们以前开发的随机抽样技术相结合。我们给出了一个随机算法，它以高概率在O（mlog^3 n）时间内找到一个m-边，n-顶点图的最小割。我们还给出了一个更简单的随机算法，找到所有的最小切割高概率在O（n^2 log n）的时间。该变体具有最佳RNC并行化。时间复杂度为O（n^2 log^3 n）。树包装方法的其他应用是新的，几乎紧边界上的近最小割图可能有一个新的数据结构，用于表示它们在一个空间有效的方式。
1998-12-08 cs.DS
Disconnected Cuts in Claw-free Graphs
一个连通图的不连通割是一个顶点割，它本身也导出一个不连通子图。图是否有不连通割的判定问题称为不连通割。这个问题是密切相关的几个同态和压缩问题，并适合在一个广泛的研究线上的顶点切割与其他性质。已知不连通割在一般图上是NP-困难的，而多项式时间算法已知用于几个图类。然而，无爪图问题的复杂性仍然是一个悬而未决的问题。它与将无爪图收缩为4-顶点圈$C_4$的问题的复杂性的联系导致Ito等人（TCS 2011）明确要求解决这个悬而未决的问题。我们证明了不连通割在无爪图上是多项式时间可解的，回答了Ito等人的问题。我们结果的核心是直径为2的无爪图的一个新的分解定理，我们相信这是独立的兴趣，并扩展了Chudnovsky和Seymour（JCTB 2007-2012）和Hermelin等人（ICALP 2011）发起的研究路线。在我们利用这个分解定理的方式，我们描述了如何断开切割与某些cobipartite子图的相互作用，并证明了两个新的算法结果，即断开切割是多项式时间可解的圆弧图和线图。
2018-03-09 cs.CC cs.DM cs.DS
A Faster Local Algorithm for Detecting Bounded-Size Cuts with Applications to Higher-Connectivity Problems
考虑以下有向图中的“局部”切割检测问题：我们被给予起始顶点$s$，并且需要检测是否存在具有至多$k$条边的切割与切割交叉，使得切割的包含$s$的一侧具有至多$Δ$内部边。如果我们被给予对输入图的查询访问，那么这个问题原则上可以在次线性时间内解决，而无需读取整个图，并且查询复杂度取决于$k$和$Δ$。我们设计了一个优雅的随机化过程，通过$O(k^2 Δ)$查询解决了这个问题的松弛变体，特别是改进了Escherhik等人[SODA 2017]之前的$O((2(k+1))^{k+2} Δ)$边界。在该松弛变体中，如果存在包含至多具有$k$外边缘和$Δ$内边缘的$s$的分量，则该过程必须成功地检测这样的分量，但是它实际检测的分量可以具有至多$O(k Δ)$内边缘。除了其本身的兴趣，这种切割检测程序已被用于许多算法应用程序的更高的连接性问题。因此，我们的新的割检测过程几乎容易地暗示（1）更快的顶点连通性算法，其特别地对于顶点连通性的多对数值具有接近线性的运行时间，（2）用于计算最大$k$ -边连通子图的更快的算法，以及（3）用于更高边和顶点连通性的更快的属性测试算法，其解决了两个公开问题，一个是Goldreich和Ron [STOC '97]，另一个是Orenstein和Ron [TCS 2011]。
2019-04-22 cs.DS
Fast Distributed Vertex Splitting with Applications
我们提出了${\rm poly\log\log n}$轮随机分布式算法来计算顶点分裂，一个分区的顶点到$k$部分，使一个节点的度$d(u)$有$\approx d(u)/k$邻居在每个部分的图。我们的技术可以被看作是第一个进展，一般${\rm poly\log\log n}$轮算法的Lovász局部引理。作为我们结果的主要应用，我们得到了一个随机的${\rm poly\log\log n}$ -轮CONGEST算法，用于$(1+ε)Δ$ -边着色$n$ -节点图的足够大的常数最大度$Δ$，对于任何$ε>0$ .此外，我们的结果提高了计算缺陷着色和某些紧列表着色问题。所有的结果都以指数方式提高了最先进的轮复杂度，即使在Round-Model中也是如此。
2022-08-17 cs.DC cs.DS
Deterministic Distributed Vertex Coloring: Simpler, Faster, and without Network Decomposition
我们提出了一个简单的确定性分布式算法，计算一个$(Δ+1)$ -顶点着色$O(\log^2 Δ\cdot \log n)$轮。该算法可以用$O(\log n)$位消息来实现。该算法也可以推广到更一般的$(degree+1)$ -列表着色问题。自20世纪80年代以来，获得$(Δ+1)$ -顶点着色的多项式时间确定性算法一直是分布式图算法领域的一个中心开放问题，直到最近Rozhoregon和Ghaffari的网络分解算法[STOC'20]。现有技术是基于其分解的改进变体，其导致用于$(Δ+1)$顶点着色的$O(\log^5 n)$轮算法。我们的着色算法是完全不同的，相当简单和快速。它解决了着色问题，在一个直接的方式，而不使用网络分解，通过逐步四舍五入某一分数的颜色分配，直到达到一个整体的颜色分配。此外，通过Chang，Li和Pettie [STOC'18]的方法，这种改进的确定性算法也导致了$(Δ+1)$着色的随机算法的复杂性的改善，现在达到了$O(\log^3\log n)$轮的界限。作为进一步的应用，我们还提供了更快的确定性分布式算法的顶点着色问题的以下变种。在荫度$a$图中，我们证明了$(2+ε)a$ -顶点着色可以在$O(\log^3 a\cdot\log n)$轮中计算。我们还证明了对于$Δ\geq 3$，$Δ$ -可着色图$G$的$Δ$ -着色可以在$O(\log^2 Δ\…
2021-09-04 cs.DC cs.DS
A Simple Algorithm for Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们考虑无向加权图的最小割问题。我们给出了一个简单的算法，以找到一个最小割，$2$ -尊重（削减两个边缘）的生成树$T$的图$G$。这个过程可以用来代替Karger的近似线性时间最小割算法（J. ACM，2000）中给出的复杂子程序。我们给出了一个自包含的版本的Karger的算法与新的程序，这是很容易的状态和相对简单的实现。它在$O(m \log^3 n)$时间内以高概率在$m$ -边，$n$ -顶点图上产生最小割，与Karger方法的复杂性相匹配。
2020-06-10 cs.DS
Smaller Cuts, Higher Lower Bounds
本文证明了在CONGEST模型中分布式计算的强下界，提出了位-gadget：一种新的技术，用于构建图与小割。比特小工具的贡献是双重的。首先，开发仔细的稀疏图结构与小切口扩展已知的技术，以显示一个近线性的下限计算的直径，以前只知道密集的图形的结果。此外，构造的稀疏性在将其应用于各种距离计算问题的近似中起着至关重要的作用，大大改善了使用稠密图时可以获得的效果。其次，小的切割是必不可少的证明超线性下限，没有一个是已知的这项工作之前。事实上，他们允许我们显示近二次下界的几个问题，如确切的最小顶点覆盖或最大独立集，以及着色图的色数。这样的强下界并不限于NP难问题，如P中的两个简单的图问题所给出的，它们需要二次和近二次的轮数。以上所有都是最佳的对数因子。此外，在这种情况下，所有对最短路径问题的复杂性进行了讨论。最后，它表明，图构造CONGEST下界转化为下界的半流模型，尽管在其性质上是非常不同的。
2019-01-14 cs.DC cs.DS
Compression with wildcards: All spanning trees with prescribed vertex-degrees
通过处理图G的所有最小割集，并使用新的通配符，G的所有生成树可以被压缩编码。令人惊讶的是，Winter在1986年提出的算法似乎实现了（猜想2）完全相同的压缩，尽管是以完全不相关的方式！虽然Winter的算法更快，但我们的方法适用于任务的相关变化，例如仅枚举那些遵守规定度条件的生成树
2022-02-13 cs.DS
Sublogarithmic Distributed Vertex Coloring with Optimal Number of Colors
Aalto University（阿尔托大学）；Reykjavik University（雷克雅未克大学）；TU Graz（格拉茨工业大学）
本文提出一种分布式LOCAL算法，能够在亚对数轮次内完成Δ-k着色，优于现有方法，并在Δ较大时进一步提升效率。
2026-04-01 cs.DC cs.DS
Õptimal Vertex Fault-Tolerant Spanners in Õptimal Time: Sequential, Distributed and Parallel
我们（几乎）解决的时间复杂度计算顶点容错（VFT）空间的最佳稀疏（多对数因子）。VFT空间是稀疏的子图，保留距离信息，直到一个小的乘法拉伸，在顶点故障的存在。这些结构是由[Escherhik et al.，2009年]，从那时起就受到了广泛的关注。我们提供了用于计算任何$n$ -顶点$m$ -边图的接近最优的$f$-VFT空间的算法，在几个计算模型中具有接近最优的运行时间：-具有$\widetilde{O}(m)$的运行时间的随机顺序算法（即，与故障的数量无关（$f$）。最先进的时间范围是[Bodwin，Dinitz and Robelle，SODA 2021]的$\widetilde{O}(f^{1-1/k}\cdot n^{2+1/k}+f^2 m)$。- 一种$\widetilde{O}(1)$轮的分布式拥塞算法。改进[Dinitz和Robelle，PODC 2020]，在$\widetilde{O}(f^{2})$轮中获得具有接近最佳稀疏性的FT空间。- 具有$\widetilde{O}(m)$功和$\widetilde{O}(1)$深度的PRAM（CRCW）算法。由[Dinitz and Krauthgamer，PODC 2011]暗示的先验边界使用$\widetilde{O}(f^3m)$功和$\widetilde{O}(f^3)$深度获得次优FT空间。一个直接的推论提…
2022-09-07 cs.DC cs.DS
Distributed Vertex Cover Reconfiguration
重新配置时间表，即，已经广泛地研究了将问题的一个解决方案逐渐转换为另一个解决方案同时始终保持可行性的序列。大多数研究都涉及到了重构调度是否存在的决策问题，以及找到重构调度的复杂性。一个主要的例子是顶点覆盖的重构。我们开始批量顶点覆盖重构的研究，它允许同时重新配置多个顶点，同时要求在一批中的任何对抗性的重新配置顺序保持可行性。后者提供了鲁棒性，例如，如果不能保证批次的同时重新配置，调度的质量通过直到所有节点被重新配置的批次的数量来衡量，并且其成本，即，中间顶点覆盖的最大大小。为了设置一个基线批重新配置，我们表明，对于属于类之一的图$\{\mathsf{cycles, trees, forests, chordal, cactus, even\text{-}hole\text{-}free, claw\text{-}free}\}$，有时间表，使用$O(\varepsilon^{-1})$批次，并招致只有$1+\varepsilon$乘法增加成本超过最好的顺序时间表。我们的主要贡献是在$O(\varepsilon^{-1}\log^* n)$分布时间，我们也证明是紧计算这样的批处理时间表。此外，我们表明，一旦我们走出这些图类，我们面临着一个非常不同的情况。有图类，没有有效的分布式算法可以获得最好的（或几乎最好的）现有的时间表。此外，有一类有界度图，不承认任何重新配置的时间表，而不会招致…
2021-09-14 cs.DC cs.DS
Approximating Small Sparse Cuts
本文针对稀疏割和小集扩张问题，提出基于样本集扩展与割匹配博弈的多项式时间近似算法，达到 polylog k 近似，并改进相关推论。
2024-03-13 cs.DS
Faster Algorithms for All-Pairs Bounded Min-Cuts
所有对最小割问题（又称所有对最大流）要求为所有顶点对$s,t$计算最小$s$-$t$割（或仅计算其值）。我们在有向图中研究这个问题，单位边/顶点容量（对应于边/顶点连通性）。我们的重点是在$k$有界的情况下，该算法必须找到所有对最小割值小于$k$，并报告只有这些。最基本的情况$k=1$是传递闭包（TC）问题，该问题可以在具有$n$顶点和$m$边的图中按时间$O(mn)$组合求解，也可以按时间$O(n^ω)$求解，其中$ω<2.38$是矩阵相乘指数。这些时间界限被证明是最优的。我们提出了新的算法和条件下界，推进边境较大的$k$，如下：（一）一个随机算法的顶点容量，运行时间$O((nk)^ω)$。(ii)两个确定性算法的边缘容量（这是更普遍的），工作在DAG和进一步报告每对的最小切割。第一种算法是组合的（不涉及矩阵乘法），并且在时间$O(2^{O(k^2)}\cdot mn)$中运行。第二种算法在密集DAG上可以更快，并且在时间上运行$O((k\log n)^{4^k+o(k)} n^ω)$。(iii)在$4$ -Clique猜想下，$n^{ω-1-o(1)} k^2$时间的第一个超立方下界，即使在最简单的单位顶点容量的DAG情况下也成立。它改进了以前的（基于SETH的）下限，即使在无界设置$k=n$。对于组合算法，我们的减少意味着一个$n^{2-o(1)} k^2$条件下界。因此，我…
2019-02-21 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
A Primal-Dual Parallel Approximation Technique Applied to Weighted Set and Vertex Cover
本文描述了最小权顶点覆盖问题及其对偶（边/元填充）的一个简单的确定性并行/分布式（2+ n）-近似算法。
2002-05-18 cs.DC cs.DS
A Nearly Time-Optimal Distributed Approximation of Minimum Cost $k$-Edge-Connected Spanning Subgraph
最小代价$k$ -边连通生成子图（$k$ -ECSS）问题是最小代价生成树（MST）问题的推广和加强.虽然分布式计算后者的轮复杂性已经很好地理解，但前者仍然是开放的，特别是一旦$k\geq 3$。在本文中，我们提出了第一个分布式算法，计算近似的$k$ -ECSS在次线性时间一般$k$。具体地说，我们描述了一个随机分布式算法，在$\tilde{O}(k(D+k\sqrt{n}))$轮，计算$k$ -边连接的生成子图的成本是在一个最佳的$O(\log n\log k)$因素。这里，$n$和$D$分别表示图的顶点数和直径。这个时间复杂度对于任何$k=poly(\log n)$来说几乎是最优的，几乎匹配$\tildeΩ(D+\sqrt{n/k})$的下限。我们的算法是第一个实现次线性轮复杂度为$k\geq 3$。我们注意到，这种情况下是相当多的更具挑战性的研究和充分理解的$k=1$的情况下-更好地称为MST -和密切相关的$k=2$的情况下。我们的算法是基于减少$k$ -ECSS问题的$k$集覆盖的情况下，我们逐渐增加的连接的生成子图。为了解决每个集合覆盖实例，我们结合了新的结构观察最小割与图形素描的想法。在我们的算法中的一个关键成分是一个新的结构引理，使我们能够压缩到一个简洁的表示，这是在一个分散的方式计算图中的所有最小切割的信息。我们希望这种简洁的表示可以在其他计算环境或其他问题中找到…
2022-11-09 cs.DC cs.DS
Finding cuts of bounded degree: complexity, FPT and exact algorithms, and kernelization
匹配割是将图的顶点集划分为两个集合$A$和$B$，使得每个顶点在割的另一侧最多有一个邻居。匹配割问题是关于一个图是否有匹配割的问题，已经在文献中得到了深入的研究。受Komusiewicz等人[IPEC 2018]提出的一个问题的启发，我们引入了这个问题的一个自然推广，我们称之为$d$ -割：对于正整数$d$，$d$ -割是图的顶点集分为两个集$A$和$B$，使得每个顶点在割上至多有$d$邻居。我们推广（并在某些情况下，改善）匹配切割问题的一些结果。也就是说，我们开始与NP-硬度减少$d$ -切割$(2d+2)$ -正则图和多项式算法的最大程度最多$d+2$的图。硬度结果中的度界限不太可能得到改善，因为它将反驳内部分区上下文中的一个长期存在的猜想。然后，我们给FPT算法的几个参数：最大数量的边缘交叉切割，树宽，距离集群，距离共同集群。特别地，树宽算法改进了用于MATCHING CUT的最佳已知算法的运行时间。基于Komusiewicz等人[IPEC 2018]的技术，我们的主要技术贡献是针对每个正整数$d$的$d$ -CUT的多项式核，通过到聚类图的距离进行参数化。我们还排除了多项式核的存在时，同时参数化的边缘交叉切割，树宽，和最大程度的数量。最后，我们提供了一个精确的指数算法略快于天真的蛮力方法运行的时间$O^*(2^n)$。
2019-05-08 cs.CC cs.DS
A Distributed Minimum Cut Approximation Scheme
本文研究了分布式消息传递模型CONGEST模型中最小割的近似问题。最小割问题已经在集中式算法的上下文中得到了很好的研究。然而，在Ghaffari和Kuhn最近的工作之前，在分布式模型中没有已知的非平凡算法。他们给出了分别在$O(D)+\tilde{O}(n^{1/2+ε})$轮和$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$轮中寻找大小为$O(ε^{-1}λ)$和$(2+ε)λ$的割的算法，其中$λ$是最小割的大小。这与他们提供的下限匹配，直到多对数因子。然而，还没有已知的实现$(1+ε)$近似比的方案。我们给出了一个分布式算法，发现切割的大小$(1+ε)λ$在$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$时间，这是最佳的多对数因子。
2014-01-21 cs.DC cs.DS
Deterministic Distributed (Delta + o(Δ))-Edge-Coloring, and Vertex-Coloring of Graphs with Bounded Diversity
我们考虑着色问题的分布式消息传递设置。以前已知的边着色的确定性算法至少使用（2Delta - 1）种颜色，即使任何图都允许用Delta + 1种颜色进行边着色[V64]。此外，以前已知的最多使用O（Delta）颜色的确定性算法需要超对数时间[B15，BE 10，BE 11，FHK 15]。在目前的文件中，我们设计确定性的边着色算法，只采用三角洲+ o（三角洲）的颜色，一个非常广泛的图形。具体来说，只要荫度是a = O（Delta^{1 - ε}），对于常数ε> 0，我们的算法在{多对数}确定性时间内计算这样的着色。我们还设计了显着改进的确定性边着色算法的{一般图}的参数范围很广。具体来说，对于范围[4 Delta，2^{o（log Delta）} \cdot Delta]中的任何值$χ$，我们的x-边着色算法具有比先前已知的最好的x-边着色算法更小的运行时间。我们的算法实际上更一般，因为边着色等价于线图的顶点着色。我们的方法适用于具有{有界分集}的图族的顶点着色，其中包括线图、超图的线图以及许多其他图。我们的研究结果是使用一种新的技术，以某种方式连接顶点或边，减少集团的大小。我们称之为{连接器}的结果结构可以比原始图更有效地着色。此外，颜色类构成更简单的子图，可以使用适当的连接器更有效地着色。因此，我们递归，直到我们得到足够简单的结构，直接着色。我们将介绍几种类型的连接器，它们适用…
2016-10-21 cs.DC cs.DS
Cuts in Graphs with Matroid Constraints
本文研究了顶点割和多路割问题的拟阵推广，证明了以解大小为参数时这些问题是固定参数可解的，并推广至奇环横截等变体。
2024-06-27 cs.DM cs.DS math.CO
Distributed CONGEST Approximation of Weighted Vertex Covers and Matchings
本文在CONGEST模型中为加权顶点覆盖和最大加权匹配问题设计了多对数时间的确定性近似算法，并给出了LOCAL模型下的下界，推广了多个已有无权情形结果。
2021-11-20 cs.DC cs.DS
A scalable clustering algorithm to approximate graph cuts
针对图割计算复杂度高的问题，提出基于 $st$-MinCut 划分和 Gomory-Hu 树的 Xist 算法，在加权无向图中高效近似原始图割，实现顶点上线性、边上二次的运行时间，并在大型数据集上优于谱聚类。
2024-10-12 cs.DM cs.DS
All-Pairs Minimum Cuts in Near-Linear Time for Surface-Embedded Graphs
对于一个无向的$n$ -顶点图$G$，我们考虑以下类型的查询：给定$G$中的两个顶点$s$和$t$，$G$中的最小$st$ -割的权是多少？我们在预处理时间$O(n\log^3 n)$中解决了有界亏格图的这个问题，给出了这类图的第一个次二次时间算法。我们的结果还通过对数因子改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen（FOCS 2010）以前的算法，该算法仅适用于平面图。我们的算法构造一个Gomory-Hu树为给定的图，提供了一个数据结构的空间$O(n)$，可以回答最小割查询在常数时间。在我们的预处理时间中，对输入图的亏格的依赖是$2^{O(g^2)}$。
2015-12-22 cs.CG cs.DS
Vertex Sparsifiers and Abstract Rounding Algorithms
在\cite{M}中引入了顶点稀疏化的概念，其中示出了对于任何图$G = (V, E)$和$k$终端$K \subset V$的子集，存在多项式时间算法来仅在终端集上构造图$H = (K, E_H)$，使得同时对于所有切割$(A, K-A)$，将$A$与$K -A$分开的$G$中的最小切割值与$H$中的相应切割值大致相同。我们给出了第一个超常数下界如何以及切割稀疏$H$可以同时近似所有最小切割$G$。我们证明了一个下界的$Ω(\log^{1/4} k)$ -这是多项式相关的$O(\log k/\log \log k)$已知的上界。这是对\cite{LM}中给出的$Ω(\log \log k)$界的指数级改进，该界实际上是为了更强的顶点稀疏化保证，并且不适用于切割稀疏器。尽管有这个负面的结果，我们表明，对于许多自然问题，我们不需要招致我们的减少乘法处罚。得到了最优的$O(\log k)$竞争Steiner不经意路由方案，推广了\cite{R}中的结果.我们还表明，对于广泛的图包装问题（其中包括最大并发流，最大多流和组播路由，除其他外，作为一个特殊情况），线性规划的完整性差距总是在最多$O(\log k)$倍的完整性差距限制树。这一结果有助于解释$O(\log k)$对此类问题的保证的普遍性。最后，我们使用我们的想法，给出一个有效的顶点稀疏匹配当前最好的存在结果的构造-这是以前开放的。…
2010-06-23 cs.DS
Near-linear-time, Optimal Vertex Cut Sparsifiers in Directed Acyclic Graphs
令$G$是图，并且$S, T \subseteq V(G)$是终端$|S|=|T|=k$的（可能重叠的）集合。我们感兴趣的是计算$G$中终端割的顶点稀疏因子，即，图$H$上的最小可能数目的顶点，其中$S \cup T \subseteq V(H)$且使得对于每个$A \subseteq S$和$B \subseteq T$，最小$(A,B)$ -顶点割的大小在$G$中与在$H$中相同。我们假设我们的图是未加权的，终端可能是最小割的一部分。在以前的工作中，Kratsch和Wahlström（FOCS 2012/JACM 2020）使用拟阵理论的连接来证明顶点稀疏器$H$与$O(k^3)$顶点可以在随机多项式时间内计算，即使是任意有向图$G$。然而，从那时起，尺寸$O(k^3)$没有改进。在本文中，我们从极值组合学中著名的Bollobás两族定理中得到启发，并将全序引入Kratsch和Wahlström的方法中。这个新的视角允许我们构造一个稀疏的$H$的$Θ(k^2)$顶点的情况下，$G$是一个DAG。我们还展示了如何计算$H$在时间上接近线性的$G$的大小，提高了以前的$O(n^{ω+1})$。此外，$H$为每个分区$(A,B)$恢复$G$中最接近的最小切割，这是以前不知道的。最后，我们表明，一个稀疏的大小$Ω(k^2)$是必需的，无论是DAG和无向边切割。
2021-07-03 cs.DS math.CO
The Sketching Complexity of Graph Cuts
我们研究的问题，素描输入图，使给定的草图，可以估计的权重内的因素$1+ε$的图中的任何削减。我们提出了一个随机草图的大小上下限，专注于依赖的准确性参数$ε>0$。首先，我们证明了，对于每一个$ε> 1/\sqrt n$，每个草图，成功（以恒定的概率）在估计的所有削减$(S,\bar S)$在$n$顶点图（同时）的重量，必须是大小$Ω(n/ε^2)$位。在草图本身是加权图（其可以是或可以不是子图）并且估计量是草图中的切割上的边权重的总和的特殊情况下，即，一个切割稀疏因子，我们证明草图必须有$Ω(n/ε^2)$边，这是最优的。尽管在图稀疏化方面有很长的工作序列，但在切割稀疏因子的大小上没有这样的下限。然后，我们设计一个随机草图，给定$ε\in(0,1)$和边加权$n$顶点图，产生大小为$\tilde O(n/ε)$位的草图，从中可以报告任何切割$(S,\bar S)$的权重，具有高概率，在因子$1+ε$内。之前的上限是$\tilde O(n/ε^2)$位，随后存储一个切割稀疏因子（Bencz{ú}r和Karger，1996）。为了获得这种改进，我们严格使用的草图只需要是正确的每个固定的削减与高概率（而不是在所有的削减），和数据结构的估计过程可以是任意的（而不是一个加权子图）。我们还显示了一个下界的$Ω(n/ε)$位的空间要求的任何数据结构实现这一保证。
2014-11-10 cs.DS
Edge-Cut Width: An Algorithmically Driven Analogue of Treewidth Based on Edge Cuts
分解参数，如树宽，通常用于获得固定参数算法的NP-难图问题。对于W [1]-hard树宽参数化的问题，一个自然的替代方案是使用一个合适的树宽模拟，它基于边切割而不是顶点分隔符。虽然树割宽度已经被创造为树宽的类似物，但它的算法应用经常导致令人失望的结果：在12个问题中，人们希望通过基于边割的树宽类似物来参数化固定参数的易处理性，其中8个被证明是W [1]-hard参数化的树割宽度。作为我们的主要贡献，我们开发了一个基于边缘切割的模拟树宽称为边缘切割宽度。直观地说，切边宽度是基于测量通过图的生成树的圈的密度。它的好处不仅包括一个相对简单的定义，但主要是它有有趣的算法属性：它可以计算一个固定参数的算法，它产生的固定参数算法的所有上述问题的树切割宽度未能做到这一点。
2022-02-28 cs.CC cs.DS
Finding a Small Vertex Cut on Distributed Networks
我们提出了一个算法，分布式网络，有效地找到一个小的顶点切割的CONGEST模型。给定一个正整数$κ$，我们的算法可以以很高的概率找到$κ$的顶点，其删除断开网络或返回这样的$κ$顶点不存在。我们的算法需要$κ^3\cdot \tilde{O}(D+\sqrt{n})$轮，其中$n$是网络中的顶点数，$D$表示网络的直径。这意味着每当$κ=\text{polylog}(n)$时，$\tilde{O}(D+\sqrt{n})$轮复杂度。在我们的结果之前，只有当$κ=1,2$ [Parter，Petruschka DISC'22]时才知道$\tilde{O}(D)$的界。对于$κ\geq 3$，该界限只能通过$O(\log n)$近似算法获得[Censor-Hillel，Ghaffari，Kuhn PODC'14]，并且唯一已知的精确算法需要$O\left((κΔD)^{O(κ)}\right)$轮，其中$Δ$是最大程度[Parter DISC'19]。我们的结果回答了Nanongkai，Saranurak和Yingchareonthawornchai [STOC'19]的一个公开问题。
2023-02-22 cs.DS
Enumeration Kernels of Polynomial Size for Cuts of Bounded Degree
本文针对d-CUT问题的三种枚举变体，基于顶点覆盖数、邻域多样性和团划分数等结构参数，分别提出多项式大小的多项式延迟/全多项式枚举核及双射枚举核，推进了枚举核化在该问题上的研究。
2025-04-20 cs.DM cs.DS
Distributed Minimum Vertex Coloring and Maximum Independent Set in Chordal Graphs
本文给出了弦图最小顶点着色和弦图最大独立集的确定性分布式$(1+ε)$ -近似算法。我们的着色算法在$O(\frac{1}ε \log n)$轮中运行，并且我们的独立集算法具有$O(\frac{1}ε\log(\frac{1}ε)\log^* n)$轮的运行时间。对于着色，现有的下限意味着对$\frac{1}ε$和$\log n$的依赖性是最好的。对于独立集，我们证明了$O(\frac{1}ε)$轮是必要的.我们的两个算法都利用输入弦图的树分解。它们迭代地剥离区间子图，区间子图通过输入图的树分解来识别，从而将顶点集划分为$O(\log n)$层。对于着色，每个区间图被独立着色，这导致层之间的各种着色冲突。然后，这些冲突在一个单独的阶段中解决，使用我们划分的特定结构。对于独立集，仅需要第一$O( \log \frac{1}ε)$层，因为它们已经包含足够大的独立集。我们开发了一个$(1+ε)$近似最大独立集算法的区间图，然后我们应用到这些层。这项工作提出了一个问题，如何有用的树分解是分布式计算。
2018-05-11 cs.DS
Length-Bounded Cuts: Proper Interval Graphs and Structural Parameters
在本文中，我们研究的长度有界割问题的特殊图类，以及从参数化的复杂性的观点。这里，我们给出一个图$G$，两个顶点$s$和$t$，以及正整数$β$和$λ$。任务是找到一组大小至多为$β$的边$F$，使得$G$中长度至多为$λ$的每个$s$ - $t$ -路径包含$F$中的某个边。Bazgan等人证明了当输入图$G$是~真区间图时，长度有界割算法是多项式时间算法.我们证实了这一猜想，通过展示一个动态规划为基础的多项式时间算法。我们加强了Dvokiák和Knop的W[1]-硬度结果。我们的约简更短，似乎更容易描述，并且约简的目标具有更强的结构性质。因此，我们给出了输入图的路宽和最大度的组合参数的W[1]-硬度。最后证明了反馈顶点数的长度有界割是W[1]-难的。我们的硬度结果补充了已知的XP算法。
2019-10-08 cs.DS
Deterministic Edge Connectivity in Near-Linear Time
我们提出了一个确定性的近线性时间算法，计算边连通度，并找到一个简单的无向无权图G的n个顶点和m条边的最小割。这是第一个O（MN）时间确定性算法的问题。在近似线性时间中，我们也可以构造所有最小割的经典仙人掌表示。Gabow在STOC'91中提出的最快确定性算法的时间复杂度为O（m+k^2 n），其中k是边连通度，但k可以是Omega（n）。在STOC'96会议上，Karger提出了一种求解最小割问题的随机近似线性时间MonteCarlo算法。正如他所指出的，没有比使用Gabow的较慢的确定性算法和比较大小更好的方法来证明返回的cut的最小性。我们的主要技术贡献是一个近线性时间算法，合同顶点集的一个简单的输入图G的最小度d，产生一个多重图具有~O（m/d）的边，保持所有的最小切割G的每边至少有2个顶点。在我们的确定性近线性时间算法中，我们将通过使用PageRank a la Brin和Page（1998）发现的低电导切割来分解问题，正如Andersson，Chung和Lang在FOCS'06中所分析的那样。通常，这种低电导切割算法是随机蒙特卡罗算法，因为它们依赖于猜测一个好的开始顶点。然而，在我们的例子中，我们有如此多的结构，不需要猜测。
2018-10-27 cs.DM cs.DS
An $O^*(1.84^k)$ Parameterized Algorithm for the Multiterminal Cut Problem
研究了\emph{multiterminal cut}问题，给定一个边为整数权的$n$ -顶点图和一个端点集，要求对顶点集进行划分，使得每个端点都在一个不同的部分中，且交叉边的总权至多为$k$ .我们的武器应该是几十年来已知的两个经典结果：[Ford和Fulkerson，\emph{Flows in Networks}，1962]的\emph{isolating cuts}和[Dahlhaus等人，\emph{SIAM J. Comp.} 23（4）：864-894，1994]。我们锐化这些旧武器的帮助下，子模函数，并将它们应用到这个问题，这使我们能够设计一个更详细的分支计划，决定是否一个非终端顶点是终端或没有。这种有界搜索树算法可以在$1.84^k\cdot n^{O(1)}$时间内运行，从而打破了$2^k\cdot n^{O(1)}$障碍。作为副产品，给出了$3$ -端割的$1.36^k\cdot n^{O(1)}$时间算法.对非终结点的预处理可以从其他方面对该问题进行研究。
2017-11-17 cs.DS
Graph Wavelets via Sparse Cuts: Extended Version
在从社交网络到物联网的许多实际应用中，对驻留在大型图的顶点上的信息进行建模是一个关键问题。图上的信号处理，特别是图小波可以利用这些数据集的内在平滑性，以便以紧凑和准确的方式表示它们。然而，如何发现小波基，捕捉相对于信号的数据的几何形状以及图形结构仍然是一个悬而未决的问题。在本文中，我们研究的问题，计算图小波基通过稀疏削减，以产生低维编码的数据驱动的基础。这个问题与图论中已知的困难问题（例如多路切割）有关，因此需要一个有效的启发式算法。我们将基础发现任务制定为向量优化问题的松弛，这导致了作为正则化特征值计算的优雅解决方案。此外，我们提出了几种策略，以扩大我们的算法到大型图。实验结果表明，该算法可以有效地编码的图形结构和信号，产生压缩和准确的表示在广泛的数据集（如传感器和基因网络）的顶点值，并显着优于最佳基线。
2016-06-13 cs.DS cs.SI
