Hypergraph Cuts with General Splitting Functions
图中的最小$s$ - $t$割问题是组合优化中最基本的问题之一，并且图割是贯穿离散数学、理论计算机科学、运筹学和数据科学的算法的基础。虽然图是成对关系的标准模型，但超图提供了建模多路关系的灵活性，现在是复杂数据和系统的标准模型。然而，当从图推广到超图时，“切割超边”的概念不太清楚，因为超边的节点可以以多种方式分裂。在这里，我们通过考虑以最小化分裂超边处的惩罚之和的方式分离超图中的两个终端节点的问题，开发了超图切割的框架。在我们的设置中，不同的方法分裂相同的超边有不同的惩罚，惩罚是由我们所谓的分裂函数编码的。我们的框架在超图切割的基础上打开了一个丰富的空间。我们首先确定一个自然类的基数为基础的超边缘分裂功能，只依赖于分裂的每一侧的节点数。在这种情况下，我们表明，一般超图$s$ - $t$切割问题可以减少到一个易处理的图$s$ - $t$切割问题当且仅当分裂功能是子模。我们还确定了一个广泛的制度，非次模分裂函数的问题是NP-困难的。我们还分析了扩展到多路切割至少有三个终端节点，并确定一个自然类的分裂功能，该问题可以减少在一个近似保持的方式在图中的节点加权多路切割问题，再次受到子模块属性。最后，我们概述了一般超图割问题的几个开放性问题。
2020-01-09 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight Approximation Bounds for Vertex Cover on Dense k-Partite Hypergraphs
我们建立了稠密k部超图顶点覆盖问题的几乎紧的上、下近似界。
2011-07-11 cs.DS
Finding Cheeger Cuts in Hypergraphs via Heat Equation
Cheeger不等式指出，可以使用与$G$相关联的归一化拉普拉斯算子的特征向量从图$G$中提取紧密连接的子集。更具体地，我们可以计算具有电导$O(\sqrt{ϕ_G})$的子集，其中$ϕ_G$是$G$中的集合的最小电导。最近的研究表明，Cheeger不等式可以推广到超图。然而，由于超图的归一化拉普拉斯算子不再是矩阵，我们只能近似其特征向量;这导致所获得的子集的电导损失。为了解决这个问题，我们在这里考虑超图上的热方程，这是一个利用归一化拉普拉斯算子的微分方程。我们表明，热方程有一个唯一的解决方案，我们可以提取一个子集的电导$\sqrt{ϕ_G}$从解决方案。一个类似的结果也适用于有向图。
2019-09-11 cs.DM cs.DS cs.NA
Hypergraph Partitioning through Vertex Separators on Graphs
超图提供的建模灵活性已经引起了组合科学界的极大兴趣，导致了新的模型和算法，它们的应用以及相关工具的开发。超图现在是组合科学计算中的标准工具。然而，超图的建模灵活性是有代价的：超图上的算法本质上比图上的算法更复杂，这有时会转化为处理时间的非平凡增加。超图的建模灵活性和图算法的运行效率都不容忽视。因此，新的研究重点应该是如何在两者之间巧妙地权衡。这项工作解决了一种方法，这种权衡解决超图分区问题，找到顶点分离器的图形。具体来说，我们研究如何解决超图的划分问题，寻求一个顶点分离器在其网络交叉图（NIG），其中每个网络的超图是由一个顶点，和两个顶点共享一条边，如果他们的网络有一个共同的顶点。由于NIG模型不能保持节点平衡信息，我们提出了一种顶点加权方案来获得良好的节点平衡超图。顶点删除和顶点分裂技术被描述为优化割网和连通性指标，分别在递归二分范式。我们还通过采用和修改最先进的GPVS工具onmetis，开发了基于GPVS的HP公式的实现。大量的稀疏矩阵上进行的实验证实了我们所提出的技术的有效性。
2011-03-01 cs.DS
Augmented Sparsifiers for Generalized Hypergraph Cuts with Applications to Decomposable Submodular Function Minimization
近年来，许多图割问题的超图推广已经被引入和分析，作为一种更好地探索和理解以多向关系为特征的复杂系统和数据集的方法。最近的工作已经利用了一个广义超图切割功能，其中对于超图$\mathcal{H} = (V,E)$，可以通过将每个超边$e \in E$与分裂功能${\bf w}_e$相关联来定义，该分裂功能将惩罚分配给分离$e$的节点的每种方式。当每个${\bf w}_e$是一个基于基数的子模分裂函数时，这意味着${\bf w}_e(S) = g(|S|)$对于某个凹函数$g$，以前的工作表明，广义超图割问题可以归结为增广节点集上的有向图割问题。然而，现有的约简过程通常导致密集图，即使超图是稀疏的，这导致在约简图上运行的算法的运行时间缓慢。我们引入了一个新的超图到图的约简的稀疏化框架，其中由基于子模基数的分裂函数定义的超图切割是$(1+\varepsilon)$ -近似于有向图上的切割。我们的技术是基于近似凹函数使用分段线性曲线。对于$\varepsilon > 0$，我们最多需要$O(\varepsilon^{-1}|e| \log |e|)$边来减少任何超边$e$，这导致更快的运行时间来近似广义超图$s$ - $t$切割问题。对于团分裂函数的机器学习启发式，我们的方法只需要$O(|e| \varepsilon^{-1/2} \log \log \frac{1}{\varepsilo…
2021-07-02 cs.DM cs.DS
Sparse Cuts in Hypergraphs from Random Walks on Simplicial Complexes
本研究衔接超图研究的两大分支，分析单纯复形上不同游走的谱隙与超图扩张、电导率的关联，证明部分游走谱隙无法推导超图电导率界，给出类Cheeger不等式，并验证链环扩张无法以类Cheeger方式界超图扩张。
2023-10-03 cs.DS math.CO
Approximate Hypergraph Vertex Cover and generalized Tuza's conjecture
图扎的一个著名猜想指出，覆盖图中所有三角形所需的最小边数至多是边不相交三角形最大数的两倍。这个猜想是由Aharoni和Zerbib在更广泛的背景下提出的，他们提出了这个猜想的超图版本，并且还研究了它的隐含分数版本。我们建立了分数版本的Aharoni-Zerbib猜想的低阶项。具体来说，我们给出了一个因素$t/2+ O(\sqrt{t \log t})$近似LP舍入的超图图兰问题（ATTP）的算法版本的基础上。ATTP的目标是从输入的$t$ -均匀超图中选取最小的$(t-1)$大小的顶点子集集合，使得每个超边都包含这些子集中的一个。Aharoni和Zerbib还提出了图扎猜想及其超图版本是否可以从超图上的顶点覆盖和匹配之间的非平凡对偶间隙中推导出来，这些超图排除了某些子超图，例如，三角形和边的发生率中不会出现的“帐篷”结构。我们给出了一个强有力的否定回答这个问题，展示帐篷免费超图，并确实$\mathcal{F}$ -免费超图的任何有限家庭$\mathcal{F}$排除子超图，其顶点覆盖必须包括几乎所有的顶点。在上述研究中出现的算法问题可以表述为简单超图上的顶点覆盖的例子，其超边可以两两共享至多一个顶点。证明了对于简单的$t$ -一致超图，平凡因子$t$逼近的顶点覆盖是难以改进的.然而，对于简单的$n$ -顶点超图的集合覆盖，贪心算法实现了一个因子$(\ln n)/2$，优于一般超图的…
2020-11-10 cs.DM cs.DS
The Structure of Minimum Vertex Cuts
在本文中，我们将继续一长串的工作，表示图的切割结构。对最小割的类型进行了分类，并讨论了多个最小割之间可能存在的关系.作为这些调查的结果，我们表现出一个简单的$O(κn)$空间的数据结构，可以快速回答成对的$(κ+1)$连接查询的$κ$连接图。我们还展示了如何计算“最近的”$κ$ -切到每个顶点在近线性$\tilde{O}(m+poly(κ)n)$时间。
2021-02-12 cs.DS math.CO
Approximating Vertex Cover in Dense Hypergraphs
我们考虑超图的最小顶点覆盖问题，其中每个超边的大小为k（也称为最小碰集问题，或元素频率为k的最小集覆盖）。存在提供k-近似的简单算法，并且这被认为是在多项式时间内可实现的最佳可能近似。我们将展示如何利用密度和正则性的输入超图打破这一障碍。特别地，我们提供了一个近似因子为k/（1 +（k-1）d/（k Delta））的随机多项式时间算法，其中d和Delta分别是平均次数和最大次数，并且Delta必须是Omega（n^{k-1}/log n）。该算法推广了Imamura和Iwama（SODA'05）的稠密图顶点覆盖递归采样技术。作为推论，我们得到了次稠密正则超图的一个逼近因子k/（2-1/k），它在唯一对策猜想下是最好的.
2010-12-12 cs.DS
On group feedback vertex set parameterized by the size of the cutset
我们研究了经典反馈顶点集问题的一个鲁棒推广的参数化复杂性，即群反馈顶点集问题;我们给出一个图G，其边用群元素标记，目标是计算最小的顶点集，该顶点集击中G的所有圈，这些圈的值为群的非空元素。该问题不仅推广了反馈点集问题，而且推广了子集反馈点集问题、多路割问题和奇循环变换问题。完成Guillemot的结果[Discr. Opt.2011]，我们提供了一个固定参数的算法参数化的割集的大小。我们的算法的作品，即使该集团是作为一个多项式时间的预言。
2011-12-29 cs.DS
Approximation Algorithms for Hypergraph Small Set Expansion and Small Set Vertex Expansion
超图的扩张是图的扩张概念的自然推广，它定义为超图中所有割的超边数与割的小边之比的最小值。研究超图小集扩张问题，对于一个参数$δ\in (0,1/2]$，要求计算具有最小扩张的割，同时在割的较小侧上的顶点至多具有$δ\in (0,1/2]$分数.我们提出了两个算法。我们的第一个算法给出了一个$\tilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$近似。第二种算法是在最大度一致超图$d_{\text{max}}$（其中$ϕ^*$是最优解的展开）的$r$中寻找一个展开集$\tilde O(δ^{-1}(\sqrt{d_{\text{max}}r^{-1}\log r\, ϕ^*} + ϕ^*))$。利用这些结果，我们还得到了小集顶点扩展问题的算法：我们得到了一个$\tilde O(δ^{-1} \sqrt{\log n})$近似算法和一个算法，找到一个集的顶点扩展$O\left(δ^{-1}\sqrt{ϕ^V \log d_{\text{max}} } + δ^{-1} ϕ^V\right)$（其中$ϕ^V$是顶点扩展的最佳解决方案）。对于$δ=1/2$，超图小集扩张问题等价于超图扩张问题.在这种情况下，我们的近似因子$O(\sqrt{\log n})$在超图中的扩展匹配相应的近似因子在图中的扩展由于ARV。
2014-04-17 cs.DS
Multilevel Hypergraph Partitioning with Vertex Weights Revisited
平衡超图划分问题（HGP）是将超图的顶点集划分为k个不相交的有界权块，同时极小化定义在超边上的目标函数。现实世界的应用程序通常使用顶点和边的权重来准确地建模底层问题，而HGP研究社区通常使用未加权的实例。在本文中，我们认为，在顶点权重的存在下，目前的平衡约束定义要么产生不可行的分割问题，或允许不必要的大的不平衡，并提出了一个新的定义，克服了这些问题。我们表明，国家的最先进的超图分区往往斗争相当加权实例和紧平衡约束（即使与我们的新的平衡定义）。因此，我们提出了一个递归二分技术，能够可靠地计算平衡（因此可行）的解决方案。所提出的方法通过预先分配最重顶点的一个小子集到每个bipartition的两个块（使用最初为作业调度问题开发的算法）来平衡分区，并优化剩余顶点上的实际分区目标。我们将我们的算法集成到多级超图分区KaHyPar，并表明我们的方法是能够计算高质量的平衡分区上的一组不同的基准实例。
2021-02-02 cs.DS
Complexity and Algorithm for the Matching vertex-cutset Problem
本文证明了匹配顶点割集的存在性判定是NP完全的，给出了2-近似算法，并证明了平面图中存在大小至多3的匹配顶点割集且界紧。
2025-01-22 cs.DS math.CO
Semi-Random Graphs with Planted Sparse Vertex Cuts: Algorithms for Exact and Approximate Recovery
计算图的顶点扩张问题是一个NP难问题。用于计算图的顶点扩展的当前最佳最坏情况近似保证是由Feige、Hajiaghayi和Lee提出的$O(\sqrt{\log n})$ -近似算法[SIAM J. Comp.，2008]，并且由于Louis、Raghavendra和Vempala [FOCS 2013]，$O(\sqrt{OPT \log d})$界于顶点度最多为$d$的图中。研究了具有稀疏割点的自然半随机图模型。在一定的参数范围内，我们给出了一个算法，以恢复种植的稀疏顶点割。对于更大的参数范围，我们给出了一个常数因子双准则近似算法来计算图的平衡点展开。我们的算法是基于研究一个半定规划松弛的平衡顶点扩张的图。除了作为一个家庭的实例，这将有助于我们更好地理解计算的复杂性的顶点扩展，我们的模型也可以用于社区发现的研究，只有少数节点从每个社区与其他社区的节点进行交互。关于具有稀疏边割的随机图和半随机图的研究已经有很多。据我们所知，我们的模型的半随机图种植稀疏顶点割还没有被研究过。
2018-05-24 cs.DS
Tight Algorithms for Vertex Cover with Hard Capacities on Multigraphs and Hypergraphs
本文给出了f-超图上具有硬容量约束的最小无权顶点覆盖问题（VCHC）的f-近似算法。这个问题推广了标准顶点覆盖，其中最好的近似比也是f，并且假设唯一的博弈猜想不能得到改进。因此，我们的结果基本上是最好的。这改进了以前的2.155（f=2）和2f-近似算法的张，Goemans和黄（CGW）。在我们的方法的核心是应用迭代舍入的问题与来自以前的几个作品的想法。我们还给出了一个更快的实现方法的基础上，某些迭代舍入的解决方案，某些CGW风格的覆盖LP。我们注意到，独立于这项工作，Kao [#kao2017iterative]最近也获得了相同的结果。
2017-01-22 cs.DS
Finding Most Shattering Minimum Vertex Cuts of Polylogarithmic Size in Near-Linear Time
本研究提出首个近线性时间随机算法，用于列出多对数规模的碎纸机割集并找到最具破碎性的最小顶点割集，打破了保持二十余年的二次时间界，消除了顶点连通性增强问题的算法瓶颈。
2024-07-11 cs.DS
Improved Hardness and Approximations for Cardinality-Based Minimum $s$-$t$ Cuts Problems in Hypergraphs
针对超图中基于基数的最小 $s$-$t$ 割问题，证明了其在已知子模区域外为 NP-hard，并设计了将非子模惩罚投影至子模区域的最优近似策略。
2025-04-07 cs.CC cs.DS
Co-clustering Vertices and Hyperedges via Spectral Hypergraph Partitioning
Rice University（莱斯大学）
提出了一种新的边依赖顶点权重超图顶点和超边的共聚类方法。在该超图模型中，每个顶点对其每个关联超边的贡献通过边依赖权重来表示，赋予模型比经典超图更高的表达能力。在我们的方法中，我们利用随机游走与EDVW构建一个超图拉普拉斯算子，并使用其频谱特性嵌入顶点和超边在一个共同的空间。然后，我们聚类这些嵌入，以获得我们提出的共同聚类方法，在应用程序中需要同时聚类的数据实体和功能，特别相关。使用真实世界的数据的数值实验表明，我们所提出的方法相比，国家的最先进的替代品的有效性。
2021-02-19 cs.DS cs.LG cs.SI
Hypergraph Clustering Based on PageRank
RIKEN AIP（日本理化学研究所革新智能综合研究中心）；University of Tokyo（东京大学）；National Institute of Informatics（国立信息学研究所）
超图是一种有用的组合对象，用于建模实体之间的三元或高阶关系。超图聚类是网络分析中的一项基本任务。在这项研究中，我们开发了两个基于个性化PageRank的超图聚类算法。第一个是局部的，因为它的目标是找到一个紧连通的顶点集，该顶点集具有包含指定顶点的有界体积。第二个是全局的，因为它的目标是找到一个紧密连接的顶点集。对于这两种算法，我们讨论的理论保证的输出顶点集的电导。此外，我们的实验表明，我们的聚类算法优于现有的方法在解决方案的质量和运行时间。据我们所知，我们是第一个实用的算法超图的理论保证的电导的输出集。
2020-06-15 cs.DS cs.LG cs.SI
Computing the Union Join and Subset Graph of Acyclic Hypergraphs in Subquadratic Time
研究了无圈超图及其子类的并连接图和子集图的计算问题。在无圈超图$H$的并连接图$G$中，$G$的每个顶点表示$H$的一个超边，如果存在$H$的连接树$T$使得$T$中对应的超边相邻，则$G$的两个顶点相邻.超图$H$的子集图是有向图，其中每个顶点表示$H$的超边，并且如果对应于$u$的超边是对应于$v$的超边的子集，则存在从顶点$u$到顶点$v$的有向边。对于给定的超图$H = (V, \mathcal{E})$，设$n = |V|$、$m = |\mathcal{E}|$和$N = \sum_{E \in \mathcal{E}} |E|$。我们表明，如果强指数时间假设是真的，这两个问题不能解决在$\mathcal{O} \bigl( N^{2 - \varepsilon} \bigr)$时间的$α$ -无环超图和任何常数$\varepsilon > 0$，即使创建的图是稀疏的。此外，我们提出了解决这两个问题的算法，在$\mathcal{O} \bigl( N^2 / \log N + |G| \bigr)$时间为$α$ -无环超图，在$\mathcal{O} \bigl( N \log (n + m) + |G| \bigr)$时间为$β$ -无环超图，并在$\mathcal{O} \bigl( N + |G| \bigr)$时间为$γ$ -无环超图以及区间超图，其中$|G|$…
2021-04-14 cs.DS
Towards Tight Bounds for Spectral Sparsification of Hypergraphs
图的切割和谱稀疏化有许多应用，包括例如加速切割算法和拉普拉斯求解器。这些强大的概念最近被扩展到超图，这是更丰富，并可能提供新的应用。然而，目前超图稀疏器的大小界限并不像图的相应界限那样严格。我们的第一个结果是一个多项式时间算法，给定一个超图的$n$顶点的最大超边大小$r$，输出一个$ε$ -频谱稀疏与$O^*(nr)$超边，其中$O^*$抑制$(ε^{-1} \log n)^{O(1)}$因素。该大小界限改进了先前的两个界限：$O^*(n^3)$ [Soma和Yoshida，SODA'19]和$O^*(nr^3)$ [Bansal，Svensson和Trevisan，FOCS'19]。我们的主要技术工具是一个新的方法证明浓度的非线性模拟的二次形式的拉普拉斯超图扩展。我们补充这一点上的任何压缩方案，$(1+ε)$ -近似在一个给定的超图中的所有削减的位复杂性的下限，因此也对每个$ε$ -削减/频谱稀疏的位复杂性。这些下界基于Ruzsa-Szemerédi图，并且特定的实例化即使对于固定常数$ε$也会产生比特复杂度的$Ω(nr)$下界。这是紧到多对数因子在$n$，由于最近超图削减稀疏的[陈，Khanna和Nagda，FOCS'20]。最后，对于有向超图，我们提出了一个算法，计算一个$ε$ -谱稀疏与$O^*(n^2r^3)$超弧，其中$r$是一个超弧的最大尺寸。对于小$r$，这比从[S…
2021-04-12 cs.DS
Improved Multilayered PCPs and Hypergraph Vertex Cover
Rutgers University（罗格斯大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
通过两个改进的多层PCP构造，分别实现拟线性大小和2对2约束，证明了超图顶点覆盖的紧NP难度及指数时间假说下的下界。
2026-09-09 cs.CC cs.DS
Cut Sparsification and Succinct Representation of Submodular Hypergraphs
本文研究子模超图的割稀疏化与简洁表示，提出了多项式级稀疏器及新参数 spread 以缩小规模，并引入变形概念证明放宽子超图限制可获得更紧凑的割编码。
2024-02-18 cs.DS
Quasi-polynomial Algorithms for List-coloring of Nearly Intersecting Hypergraphs
一个在$n$顶点和$m$边上的超图$\mathcal{H}$称为{ \it近交}，如果$\mathcal{H}$的每条边与所有但至多多对数地（在$m$和$n$中）多条边相交。给定颜色列表$\mathcal{L}(v)$，对于每个顶点$v\in V$，如果每个顶点可以从其列表中分配一种颜色，使得$\mathcal{H}$中没有边是单色的，则称$\mathcal{H}$是$\mathcal{L}$ -（列表）可着色的。我们证明，任何几乎相交超图以及从一组恒定大小的列表中绘制的列表的列表可着色性都可以在$m$和$n$中在准多项式时间内检查。
2019-04-04 cs.CC cs.DS
Cheeger Inequalities for Directed Graphs and Hypergraphs Using Reweighted Eigenvalues
University of Waterloo（滑铁卢大学）
我们推导出Cheeger不等式的有向图和超图使用的加权特征值的方法，最近开发的顶点扩张无向图[OZ22，KLT22，JPV22]。目标是开发有向图的新谱理论和超图的替代谱理论。第一个主要结果是一个Cheeger不等式，它将有向图$G$的顶点扩展$\vecψ(G)$与顶点容量限制的最大加权第二特征值$\vecλ_2^{v*}$联系起来：\[ \vecλ_2^{v*} \lesssim \vecψ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{v*} \cdot \log (Δ/\vecλ_2^{v*})}. \]这提供了一个由顶点扩展得到的有向图的最快混合时间的组合特征，并建立了有向图的加权特征值、顶点扩展和最快混合时间之间的新联系。第二个主要结果是将有向图$G$的边电导$\vecϕ(G)$与边容量限制的最大重加权第二特征值$\vecλ_2^{e*}$相关联的更强的Cheeger不等式：\[ \vecλ_2^{e*} \lesssim \vecϕ(G) \lesssim \sqrt{\vecλ_2^{e*} \cdot \log (1/\vecλ_2^{e*})}. \]这为有向图提供了作为扩展器的证书和在有向图中找到稀疏切割的谱算法，在证明图的扩展和无向图的谱划分算法中，扮演着与Cheeger不等式类似的角色。我们还利用这种重加权特征值方法导出了有向图的改进的Cheeger…
2022-11-17 cs.DM cs.DS cs.LG
