The Number of Minimum $k$-Cuts: Improving the Karger-Stein Bound
给定一个边赋权图，它能有多少个最小$k$ -割？这是算法、极值组合学和图论交叉领域的一个基本问题。特别有趣的是，最著名的边界是算法的：它们源于计算最小$k$ -cut的算法。1994年，Karger和Stein得到了一个随机收缩算法，该算法可以在$O(n^{(2-o(1))k})$时间内找到最小$k$ -cut。它还可以在同一运行时间内枚举所有这样的$k$ -割，建立$O(n^{(2-o(1))k})$的相应极值界。从那时起，算法方面的最小$k$ -削减问题已经看到了很大的进展，导致一个确定性的算法的基础上的树包装结果的Thorup，它列举了所有最小$k$ -削减在相同的渐近运行时间，并给出了另一种证明的$O(n^{(2-o(1))k})$界。然而，即使是为了计算一个最小的$k$ -cut，也仍然无法超越Karger-Stein界。本文给出了一个在$O(n^{(1.981+o(1))k})$时间内枚举所有最小$k$ -割的算法，打破了枚举最小$k$ -割的算法障碍和极值障碍.为了得到我们的结果，我们结合了Karger-Stein和Thorup结果的思想，并在最小$k$ -割和极值集理论之间建立了一个新的联系。特别是，我们给出并使用更严格的界限上的大小与有界的双VC维，这可能是独立的兴趣集系统。
2019-06-02 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via $\sqrt{n}$ Max-Flows
我们给出了一个在$n$ -顶点，$m$ -边加权有向图中使用$\tilde O(\sqrt{n})$调用任何maxflow子程序来寻找mincut的算法。使用最先进的maxflow算法，这产生了在$\tilde O(m\sqrt{n} + n^2)$时间内运行的定向mincut算法。这改善了30岁的界限$\tilde O(mn)$郝和Orlin获得这个问题。
2021-04-16 cs.DS
A Simple Algorithm for Minimum Cuts in Near-Linear Time
我们考虑无向加权图的最小割问题。我们给出了一个简单的算法，以找到一个最小割，$2$ -尊重（削减两个边缘）的生成树$T$的图$G$。这个过程可以用来代替Karger的近似线性时间最小割算法（J. ACM，2000）中给出的复杂子程序。我们给出了一个自包含的版本的Karger的算法与新的程序，这是很容易的状态和相对简单的实现。它在$O(m \log^3 n)$时间内以高概率在$m$ -边，$n$ -顶点图上产生最小割，与Karger方法的复杂性相匹配。
2020-06-10 cs.DS
Fast Computation of Small Cuts via Cycle Space Sampling
我们描述了一种新的基于采样的方法来确定无向图中的割。对于一个图（V，E），它的圈空间是E的所有子集的族，这些子集在每个顶点都有偶数度。我们证明，以高概率，采样的循环空间确定的削减的图。这导致了简单的新的线性时间顺序算法，找到所有的切割边缘和切割对（一组2个边缘，形成一个切割）的图。在图G=（V，E）中的分布式计算模型中，我们的方法对几个问题产生了更快的算法。G的直径用Diam表示，最大度用Delta表示。我们得到简单的O（直径）时间分布算法，找到所有的切割边缘，2-边连接组件，并削减对，匹配或改进以前的时间界限。在自然条件下，这些新算法是普遍最优的-即一个欧米茄（直径）时间下界举行的每一个图。我们得到了一个O（直径+Delta/log V）-时间分布式算法寻找割顶点，这是快于最好的以前的算法时，三角洲，直径= O（sqrt（V））。一个简单的扩展，我们的工作产生的第一个分布式算法与3-边连接组件的次线性时间。基本的分布式算法是蒙特卡洛，但它们可以在不增加渐近复杂性的情况下被拉斯维加斯。在EREW PRAM上的并行计算模型中，我们的方法产生了一个简单的算法，具有最佳的时间复杂度O（log V），用于寻找割对和3-边连接组件。
2010-07-21 cs.DC cs.DS
Computing exact minimum cuts without knowing the graph
我们给查询有效的算法的全球最小割和s-t割问题的无权，无向图。我们的预言机模型的灵感来自于次模函数最小化问题：在查询$S \subset V$上，预言机返回$S$和$V \setminus S$之间的切割的大小。我们提供的算法计算一个确切的最小$s$ - $t$削减$G$与$\tilde{O}(n^{5/3})$查询，并计算一个确切的全球最小削减$G$只有$\tilde{O}(n)$查询（而学习的图形需要$\tildeΘ(n^2)$查询）。
2019-08-05 cs.DS
An FPT Algorithm for Diverse Minimum s-t Cuts
University of Bergen（卑尔根大学）
研究在有向加权图中寻找多样最小边s-t割的问题，给定整数k和d，判断图中是否存在k个最小s-t割满足特定条件。证明该问题以k + d为参数时是固定参数可解的，基于多样最小s-t割的新结构特性和流增强技术。
2026-07-07 cs.DS
Minimum Cuts in Directed Graphs via Partial Sparsification
本文给出了一个在$\tilde O(n\cdot \max(m^{2/3}, n))$时间内求具有$n$顶点和$m$边的边加权有向图的最小割的算法。这提高了30岁的界限$\tilde O(nm)$郝和Orlin获得这个问题。我们的主要技术是减少定向mincut问题的$\tilde O(\min(n/m^{1/3}, \sqrt{n}))$调用{ \em任何} maxflow子程序。使用最先进的maxflow算法，这将产生上述运行时间。我们的技术也产生快速{ \em近似}算法寻找最小切割有向图。对于边和顶点加权图，我们给出了$(1+ε)$ -近似算法，运行在$\tilde O(n^2 / ε^2)$时间。
2021-11-17 cs.DS
Fast Approximations for Rooted Connectivity in Weighted Directed Graphs
我们考虑计算有向图中最小加权割的近似。我们考虑有根和全局最小割，边割和顶点割。对于这些问题，我们给随机蒙特卡罗算法计算$(1+ε)$ -近似最小割$\tilde{O}(n^2 / ε^2)$时间。这些结果扩展并建立在最近的工作[4]上，该工作在具有小整数容量的有向图中获得了具有相似运行时间的精确算法。
2021-04-14 cs.DS
Work-Optimal Parallel Minimum Cuts for Non-Sparse Graphs
我们提出了第一个工作最优的多线程深度并行算法的最小割问题的非稀疏图。对于$m\geq n^{1+ε}$，对于任何恒定的$ε>0$，我们的算法需要$O(m \log n)$工作和$O(\log^3 n)$深度，并以高概率成功。其工作与顺序算法的最佳$O(m \log n)$运行时匹配[MN STOC 2020，GMW SOSA 2021]。这通过$O(\log^3 n)$因子改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA 2018]之前的最佳工作，同时匹配其算法的深度。为此，我们设计了一种高效的近似算法，并将最近的顺序算法[MN STOC 2020; GMW SOSA 2021]并行化，这些算法利用了2-尊重最小割和2维正交范围搜索之间的联系。
2021-02-18 cs.DS
Thin Trees for Near Minimum Cuts
Boston University（波士顿大学）；London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）
本文证明了在考虑近最小割集合时，存在O(1/k)薄的生成树，解决了强细树猜想的特定情况。
2026-05-12 cs.DS
Multicritera Cuts and Size-Constrained $k$-cuts in Hypergraphs
我们解决超图中的多准则全局最小割和大小受限的最小- $k$ -割的计数和优化问题。1.对于一个具有$t$超边代价函数的$r$ -秩$n$ -顶点超图，我们证明了多目标最小割的个数为$O(r2^{tr}n^{3t-1})$ .特别地，这表明对于常数数量的标准，常秩超图中的参数最小割的数量是强多项式的，从而解决了Aissi，Mahjoub，McCormick和Queyranne的公开问题（数学编程，2015）。此外，我们给出了强多项式时间内枚举所有多目标最小割和Pareto最优割的随机算法。2.我们还解决节点预算的多目标最小割：对于一个$n$顶点超图赋予$t$顶点权重函数，我们表明，节点预算的多目标最小割的数量是$O(r2^{r}n^{t+2})$，其中$r$是超图的秩，和节点预算的$b$ -多目标最小割的数量为固定的向量$b$是$O(n^2)$。3.我们证明了超图的min- $k$ -cut在部分大小为常数下界的情况下，对于常数$k$在多项式时间内是可解的，从而解决了Queyranne提出的一个公开问题.我们的技术还表明，最优解的数量是多项式。我们所有的结果都建立在Karger（SODA，1993）的随机收缩方法上。我们的技术说明了多功能性的随机收缩的方法来解决计数和算法问题的多目标最小切割和大小受限的$k$ -超图切割。
2020-06-20 cs.DM cs.DS
Min cost flow on unit capacity networks and convex cost K-flow are as easy as the assignment problem with All-Min-Cuts algorithm
本文揭示时间—费用权衡与最小费用流的联系，提出 all-min-cuts 过程，以平均 O(m+n log n) 枚举相邻断点间的所有最优解，并得到单位容量最小费用流的快速强多项式算法。
2025-07-29 cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
Finding Most Shattering Minimum Vertex Cuts of Polylogarithmic Size in Near-Linear Time
本研究提出首个近线性时间随机算法，用于列出多对数规模的碎纸机割集并找到最具破碎性的最小顶点割集，打破了保持二十余年的二次时间界，消除了顶点连通性增强问题的算法瓶颈。
2024-07-11 cs.DS
Near-Optimal Distributed Computation of Small Vertex Cuts
本文提出在CONGEST模型中检测小顶点割的近似最优算法，通过线性图素描和重-轻树分解绕过最大度障碍，实现$\widetilde{O}(D)$轮计算所有割点和割对，改进现有结果。
2023-06-20 cs.DC cs.DS
Solving Routing Problems via Important Cuts
我们介绍了一种使用重要切割的新方法，该方法允许我们为以下路由问题设计明显更快的固定参数易处理（FPT）算法：由有向边的数量参数化的混合中国邮递员问题（Gutin等人，JCSS 2017），由两个指定顶点之间的路径的数量p参数化的最小共享边问题（MSE）（Fluschnik等人，JCSS 2019）和加权最小切割预防问题（Gruttemeier等人，WG 2021）。最小脆弱性问题（MV）是MSE的推广（Assadi等人，2014年）。用于由p参数化的MV（与MSE的参数相同）的唯一已知FPT算法是用于弦图（Aoki等人，JCO 2018）。我们设计了一个FPT算法，用于所有无向图上的MV。
2022-06-08 cs.DS
Parameterized complexity of length-bounded cuts and multi-cuts
我们表明，最小长度有界的L-But问题可以在线性时间内计算L和输入图的树宽度作为参数。在这个问题中，任务是找到一组边的图，这样删除这一组后，两个指定的顶点之间的最短路径是至少L长。我们推导出一个FPT算法更一般的多商品的长度有界切割问题时，参数终端的数量也。对于前一个问题，我们证明了当参数化仅由路径宽度（而不是树宽度）完成时的W[1]-硬度结果，并且当参数化为树宽度和L时，该问题不允许多项式核。我们还推导出一个FPT算法的最小长度有界割问题时，参数化的树的深度。从而显示了这个问题的一个有趣的范例和参数树的深度和路径宽度。
2015-11-09 cs.DS
Efficient Enumeration of Unidirectional Cuts for Technology Mapping of Boolean Networks
在工艺映射中，用标准单元代替子电路或切割的枚举是决定解的质量和执行速度的重要步骤。在这项工作中，我们认为削减作为一组边缘，而不是作为一组节点，并在此基础上，提供了一个分类的削减。它表明，如果枚举被限制到一个子类的削减称为单向削减，解决方案的质量不会降低。我们还表明，这样的削减是等价于一个已知的一类削减称为强线削减首次提出[14]。我们提出了一种有效的枚举方法的基础上，一种新的图修剪算法，利用网络流近似最小强线切割。所提出的枚举方法的运行时被证明是相当实用的枚举大量的削减。
2016-03-23 cs.DS
Random Algorithms for the Loop Cutset Problem
Technion（以色列理工学院）；Microsoft Research（微软研究院）
我们展示了如何在贝叶斯网络中以高概率找到最小循环割集。找到这样一个循环割集是Pearl推理条件化方法的第一步。我们的随机算法寻找一个循环割集，称为“重复WGuessI”，输出一个最小循环割集，经过O（c6^kkn）步骤，概率至少为1-（1 over{6^k}）^{c6^k}），其中c>1是由用户指定的常数，k是最小权重循环割集的大小，n是顶点的数量。我们还表明经验，这种算法的一个变种，称为WRA，往往会发现一个循环割集，更接近最小循环割集比已知的最好的确定性算法。
2014-08-07 cs.AI cs.DS
Large Cuts with Local Algorithms on Triangle-Free Graphs
研究了在$d$ -正则无三角形图中寻找大割的问题。在先前的工作中，Shearer（1992）给出了一种随机算法，该算法找到了预期大小为$(1/2 + 0.177/\sqrt{d})m$的切割，其中$m$是边的数量。我们给出了一个更简单的算法，做得更好：它找到了预期大小的削减$(1/2 + 0.28125/\sqrt{d})m$。作为一个推论，这表明在任何$d$ -正则无三角形图中存在至少这个大小的割。我们的算法可以被解释为一个非常有效的随机分布式算法：每个节点只需要产生一个随机位，该算法运行在一个同步通信轮。这项工作也是一个案例研究应用计算技术在分布式算法的设计：我们的算法是由一个计算机程序，搜索最佳算法的小值$d$。
2014-02-11 cs.DC cs.DM cs.DS
LP Relaxation and Tree Packing for Minimum $k$-cuts
Karger使用生成树填充来推导出全局最小割问题的近线性时间随机算法以及近似最小割数的界。这是一种不同于他著名的随机收缩算法的方法。Thorup通过贪婪递归树填充为最小$k$-割问题提出了一种快速确定性算法。在本文中，我们重新讨论的性质的LP松弛$k$-削减提出的Naor和Rabani，并分析了Chekuri，Guha和Naor。我们发现，双LP产生一个树包装，当结合上界的完整性差距的LP，容易和透明的扩展Karger的分析mincut的$k$切割问题。除了简单的算法及其分析，这使我们能够提高运行时间的Thorup的算法的一个因素的$n$。我们还改进了$α$-近似$k$-割的个数的界.其次，给出了线性规划的完整性缺口为$2(1-1/n)$的简单证明。第三，我们表明，LP松弛的最佳解决方案，对于所有值的$k$，是完全由主序列的输入图的分区。这使我们能够与LP松弛的拉格朗日松弛的方法Barahona和拉维和辛哈，它也表明，理想化的递归树包装考虑Thorup给出了一个最佳的对偶解决方案的LP。这项工作产生于努力理解和简化的结果Thorup。
2018-08-17 cs.DS
Brief Announcement: Distributed Unconstrained Local Search for Multilevel Graph Partitioning
本文提出一种适合分布式划分器的无约束局部搜索算法，并将其集成到分布式多层次图划分器中，大幅缩小了分布式与顺序划分器间的质量差距，且在扩展至数千个PE的同时实现了更小的切割和更快的速度。
2024-06-05 cs.DC cs.DS
Isolating Cuts, (Bi-)Submodularity, and Faster Algorithms for Global Connectivity Problems
Li和Panigrahi在最近的工作中，获得了第一个确定性算法的全局最小割的加权无向图，运行在时间$o(mn)$。他们引入了一种优雅而强大的技术，通过少量的$s$ - $t$最小割计算来找到图中终端集的隔离割。在本文中，我们推广他们的隔离切割方法的抽象设置的对称双子模函数（也捕获对称子模函数）。我们推广到双子模的动机是应用到元素连通性和顶点连通性。利用一般的框架和其他想法，我们获得了显着更快的随机算法计算全球（和子集）的连接在一些设置，包括超图，元素连接和顶点连接图，并为对称次模函数。
2021-03-24 cs.DS
Improved Minimum Cuts and Maximum Flows in Undirected Planar Graphs
本文研究平面图的最小割和最大流问题，包括静态和动态两种情况。首先，我们提出了一个算法，给定一个无向平面图计算任何两个给定的顶点之间的最小割在O（n log log n）的时间。其次，我们展示了如何实现相同的O（n log log n）界的问题，计算最大流在无向平面图。据我们所知，这是这两个问题的第一个算法，它打破了O（n log n）的障碍，这个障碍已经存在了超过25年。第三，我们提出了一个完全动态的算法，它能够维护平面图中最小割和最大流的信息（即，我们的算法能够在O（n^（2/3）log^3 n）时间内插入边，删除边，并回答任何一对顶点之间的最小割和最大流查询。这个结果是基于一个新的动态最短路径算法的平面图，这可能是独立的利益。我们注意到，这是第一个已知的非平凡算法的最小切割和最大流问题的动态设置。
2010-11-22 cs.DS
Shared-memory Exact Minimum Cuts
无向边权图的最小割问题要求我们将其节点集分成两个块，同时最小化割边的权和。在本文中，我们工程师已知的最快的精确算法的问题。像Padberg和Rinaldi的算法或Nagamochi、Ono和Ibaraki的算法这样的最先进的算法识别可以收缩以减小图大小的边，使得在收缩的图中保持至少一个最小切割。我们的算法通过多种技术实现了对这些算法的运行时间的改进。首先，我们使用最近开发的快速和并行的\emph{inexact}最小割算法，以获得更好的界限的问题。然后，我们使用依赖于这个界限的约简，以比以前更快地减小图的大小。我们使用改进的数据结构，以进一步提高我们的算法的运行时间。此外，我们并行的收缩例程Nagamochi，小野和茨城。总的来说，我们到达一个系统，性能优于最快的国家的最先进的求解器的\emph{exact}最小切割问题显着。
2018-08-16 cs.DS
Cactus Representation of Minimum Cuts: Derandomize and Speed up
本文提出首个 $m^{1+o(1)}$ 时间确定性算法构造所有全局最小割的仙人掌表示，并将最快随机算法复杂度从 $Ω(m\log^4 n)$ 降至 $O(m\log^3 n)$。
2024-01-19 cs.DS
Small Cuts and Connectivity Certificates: A Fault Tolerant Approach
我们重温经典的连接性问题，在分布式计算的CONGEST模型。通过使用容错网络设计的技术，我们展示了改进的结构，其中一些甚至是“本地的”（即，具有$\widetilde{O}(1)$轮）用于与硬全局问题密切相关的问题（即，具有$Ω(Diam+\sqrt{n})$轮的下限）。我们的主要结果是：（1）对于具有常边连通度的$D$ -直径无权图，我们给出了$poly(D)$圈中最小割的精确分布确定性计算。这解决了最近在Daga，Henzinger，Nanongkai和Saranurak，STOC'19中提出的开放问题之一。(2)对于$D$ -直径无权图，我们提出了一个确定性算法，在$poly(D)\cdot 2^{O(\sqrt{\log n\log\log n})}$轮中计算所有的边连通度直到常数。(3)在$\widetilde{O}(λ)$轮中计算稀疏$λ$连通性证书。先前的构造仅已知用于$λ\leq 3$并且需要$O(D)$轮。这解决了Dori PODC'18提出的问题。
2020-08-03 cs.DC cs.DS
Minimum Cuts in Surface Graphs
我们描述的算法，有效地计算最小$(s,t)$ -削减和全球最小削减的无向表面嵌入图。给定一个边权无向图$G$，$n$顶点嵌入在亏格$g$的可定向曲面上，我们的算法可以在$g^{O(g)} n \log \log n$或$2^{O(g)} n \log n$时间内解决任一问题，以较优者为准.当$g$是一个常数，我们的$g^{O(g)} n \log \log n$时间算法匹配的最佳运行时间已知计算平面图中的最小割。我们的算法最小切割依赖于减少的问题，找到一个最小的重量子图在一个给定的$\mathbb{Z}_2$ -同源类，我们给有效的算法后一个问题，以及。如果$G$嵌入到具有$b$边界组件的曲面上，则这些算法将在$(g + b)^{O(g + b)} n \log \log n$和$2^{O(g + b)} n \log n$时间内运行。我们还证明，找到一个最小的重量子图同源的一个单一的输入周期是NP-难的，显示它可能是不可能的，以改善后一个问题的指数依赖$g$。
2019-10-09 cs.CG cs.DS
Computing minimum cuts in hypergraphs
我们研究超图连通性的算法和结构方面。给定一个超图$H=(V,E)$，其中有$n = |V|$，$m = |E|$和$p = \sum_{e \in E} |e|$，计算$H$中全局最小割的最佳算法对于无能力约束的情况在时间$O(np)$中运行，对于有能力约束的情况在$O(np + n^2 \log n)$时间中运行.我们展示了以下新结果。1.给定一个无容量限制的超图$H$和一个整数$k$，我们描述了一个算法，在$O(p)$时间运行，找到一个子超图$H'$的程度之和$O(kn)$，保持所有的边连通性$k$（$k$ -稀疏）。这将Nagamochi和Ibaraki的相应结果从图推广到超图。使用这种稀疏化，我们得到一个$O(p + λn^2)$时间算法计算的$H$的全球最小切割$λ$是最小的切割值。2.我们将Matula关于图的论证推广到超图，并得到了在$O(\frac{1}ε (p \log n + n \log^2 n))$时间内有容量限制的超图的全局最小割的$(2+ε)$ -逼近. 3.证明了在$O(np + n^2 \log n)$时间和$O(p)$空间中可以计算出一个有能力超图的所有全局最小割的超仙人掌表示。我们利用顶点排序的想法，以获得我们的结果。与图不同，我们观察到超图有几种不同的排序，它们产生不同的见解。
2017-05-14 cs.DS
A tight example for approximation ratio 5 for covering small cuts by the primal-dual method
The Open University of Israel（以色列开放大学）
该研究通过构造一个例子证明，对偶算法在小割覆盖问题中的近似比5是紧的。
2025-12-21 cs.DS
Counting small cuts in a graph
我们研究的最小割问题中存在的不确定性，并展示如何应用一种新的鲁棒优化方法，其目的是利用在随后的图形测量或类似的图形实例的相似性，而不构成任何假设的方式，他们已经获得。通过实验，我们表明，与其他方法相比，该方法工作得很好，这些方法也不注意输入数据集之间的关系。
2013-04-29 cs.DS
When can $l_p$-norm objective functions be minimized via graph cuts?
Uppsala University（乌普萨拉大学）
基于最小图割的技术已经成为解决图像处理和计算机视觉应用中出现的组合优化问题的标准工具。这些技术可以用来最小化目标函数，目标函数写为一组一元项和成对项的和，只要目标函数是子模的。这可以解释为最小化包含所有成对项和一元项的向量的$l_1$范数。通过将每个项提升到幂$p$，同样的技术也可以用于最小化向量的$l_p$范数。不幸的是，一个$l_1$ -范数目标函数的次模性并不保证相应的$l_p$ -范数目标函数的次模性。本文的贡献是提供有用的条件下，$l_p$ -范数的目标函数是submodular的所有$p\geq 1$，从而确定一个大类的$l_p$ -范数的目标函数，可以通过最小的图形切割。
2019-09-09 cs.CV cs.DS
Approximation Algorithms for the Loop Cutset Problem
Technion（以色列理工学院）
我们展示了如何在贝叶斯网络中找到一个小循环curser。寻找这样的循环割集是条件推理方法的第一步。我们的算法找到一个循环割集，称为MGA，找到一个循环割集，这是保证在最坏的情况下，包含小于两倍的最小循环割集所包含的变量的数量。我们在随机生成的图上测试MGA，发现与算法输出相关的实例数与与最小解相关的实例数之间的平均比率为1.22。
2013-02-27 cs.AI cs.DS
Minimum Cuts and Shortest Cycles in Directed Planar Graphs via Noncrossing Shortest Paths
设$G$是具有非负边权的$n$ -结点简单有向平面图.本文研究了计算（1）具有最小权的$G$的整体割和（2）具有最小权的$G$的~圈的基本问题。前一个问题的最佳已知算法，在$O(n\log^3 n)$时间内运行，可以从\Lacki，Nussbaum，Sankowski和Wulff-Nilsen的单源全汇最大流算法中获得。最好的先前已知的结果为后者的问题是$O(n\log^3 n)$时间算法的武尔夫尼尔森。通过利用平面图中两个问题之间的对偶性，我们通过分治算法找到最短的非退化循环，在$O(n\log n\log\log n)$时间内解决了这两个问题。我们的结果的核心是一个$O(n\log\log n)$ -时间算法计算节点之间的非交叉最短路径，以及有序的公共面上的有向平面图，这是从Italiano，Nussbaum，Sankowski，和Wulff-Nilsen算法的无向平面图。
2017-03-23 cs.DS
Complexity of Source-Sink Monotone 2-Parameter Min Cut
最大流的容量依赖于一个或多个参数，有许多应用。这些应用程序中的许多都属于“Source-Sink Monotone”框架，这是Topkis单调优化框架的一个特例，这意味着参数最小割是嵌套的。当有一个单一的参数，这个属性意味着不同的最小割的数量是线性的节点数，这是非常有用的构造算法，以确定所有可能的最小割。当有多个Source-Sink Monotone参数并且参数的向量在通常的向量意义上排序时，所得到的最小割仍然是嵌套的。然而，不同的最小切割的数量是一个悬而未决的问题。我们表明，即使只有两个参数，不同的最小切割的数量可以是指数的节点数。
2022-01-06 cs.DM cs.DS math.OC
Parallel Minimum Cuts in Near-linear Work and Low Depth
我们提出了第一个近线性的工作和多对数深度算法计算的最小割图，而以前的并行算法与多对数深度需要至少二次工作的顶点数。在具有$n$顶点和$m$边的图中，我们的算法在$O(m {\log}^4 n)$工作和$O({\log}^3 n)$深度中以高概率计算正确结果。这一结果是通过并行化一个数据结构，聚集沿着路径的权重在一棵树，并利用最小切割和近似最大包装的生成树之间的连接。此外，我们的算法改进后的边界上的高速缓存未命中的数量计算的最小切割。
2020-07-02 cs.DC cs.DS
Refined Vertex Sparsifiers of Planar Graphs
我们研究以下版本的切割稀疏化。给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，将其压缩为具有相同终端的较小网络$H$，使得$H$中的每个最小终端割近似于$G$中的对应最小终端割，直到称为质量的因子$q\geq 1$。(The情况$q=1$也被称为模仿网络）。我们提供了新的见解最小终端切割的结构，导致新的结果切割稀疏平面图。我们的第一个贡献确定了一个子集的最小终端削减，我们称之为小学，产生所有其他的。因此，$H$是割稀疏化子当且仅当它保留所有的基本终端割（直到这个因子$q$）。这种结构表征导致$H$的大小的改进的界限。例如，它将平面图的模仿网络大小的界提高到一个近似最优的界。我们的第二个和主要的贡献是完善已知的界限方面的$γ=γ(G)$，这是定义为最小数量的面是入射到所有终端的平面图$G$。我们证明了初等终端割的数目是$O((2k/γ)^{2γ})$（与$O(2^k)$终端割相比），并进一步得到了一个大小为$O(γ2^{2γ} k^4)$的模仿网络，它是$γ$的函数。在分析中，我们将基本的终端切割分成碎片，并仔细计数。我们的第三个贡献是切割稀疏化和距离稀疏化的某些平面图之间的对偶，当稀疏$H$要求是一个小的$G$。这种对偶性连接了以前分别研究的问题，这意味着新的结果，已知结果的新证明，以及开放间隙之间的等价性。
2019-10-04 cs.DS
Fast and Deterministic Approximations for $k$-Cut
在无向图中，$k$ -割是一组边，其移除将图至少分解为$k$连通分量。最小权重$k$ -cut可以在$O(n^{O(k)})$时间内计算，但当$k$被视为输入的一部分时，计算最小权重$k$ -cut是NP困难的[Holdschmidt and Hochbaum 1994]。对于$\operatorname{poly}(m,n,k)$时间算法，在小集合扩展假设下，最佳可能近似因子基本上为2 [Manurangsi 2017]。Saran和Vazirani [1995]表明，$(2 - 2/k)$ -近似最小权重$k$ -割可以通过$O(k)$最小割来计算，这意味着通过Karger [2000]的近似线性时间随机最小割算法的$\tilde{O}(mk)$随机运行时间。Nagamochi和Kamidoi [2007]表明，可以在$O(mn + n^2 \log n)$时间内确定性地计算最小权重$k$ -cut。这些结果引发了两个基本问题。第一个是关于随机化的作用。是否有一个确定性算法的2近似$k$切割匹配随机运行时间的$\tilde{O}(mk)$？第二个问题定性地比较了最小切割与2-近似最小$k$ -切割。2-近似$k$ -切割的计算速度能否与随机时间内的（精确）最小切割$\tilde{O}(m)$一样快？我们在这些问题上取得了进展，与一个确定性的近似算法，计算$(2 + ε)$ -最…
2018-11-18 cs.DS
Mimicking Networks and Succinct Representations of Terminal Cuts
给定一个具有$k$终端顶点的大边加权网络$G$，我们希望压缩它并使用很少的内存存储每个终端二分之间的最小割（或等价地，最大流）的值。实现$G$的压缩的一种吸引人的方法是构造\emph{mimicking network}：具有相同$k$终端的小型网络$G'$，其中终端的每个二分区之间的最小切割值与$G$中的相同。这个概念是由Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde [JCSS '98]引入的，他们证明了这样的$G'$的大小最多为$2^{2^k}$总是存在的。显然，通过访问较小的网络$G'$，可以更有效地执行涉及切割的某些计算。我们提供了几个新的界限，一起缩小了以前已知的差距，从双指数，只有单指数，平面和一般的图形。我们的第一个和主要的结果是，每个$k$终端平面网络承认一个模仿网络$G'$的大小$O(k^2 2^{2k})$，而且是一个次要的$G$。另一方面，某些平面网络$G$需要$|E(G')| \ge Ω(k^2)$。对于一般的网络，我们表明，某些二部图只承认模仿网络的大小$|V(G')| \geq 2^{Ω(k)}$，而且，每个数据结构，存储的最小割值之间的所有bipartition的终端必须使用$2^{Ω(k)}$机器字。
2012-07-26 cs.DS
Local Guarantees in Graph Cuts and Clustering
相关聚类是一个优雅的模型，它可以捕获基本的图切割问题，例如组合优化中广泛研究的最小$s-t$切割，多路切割和多切割。这里，我们给出一个图，其边标记为$+$或$-$，目标是产生尽可能与标签一致的聚类：聚类内的$+$边和聚类间的$-$边。相关聚类（和其他图切割问题）的经典方法是优化全局目标。我们离开这一点，并研究当地的目标：最大限度地减少分歧的边缘事件在一个单一的节点，和类似的最大最小协议的目标。这自然会产生一个家庭的基本最小最大图切割问题。一个典型的代表是最小最大$s-t$切割：找到一个$s-t$切割，最大限度地减少任何节点上的切割边的最大数量。我们提出以下结果：$(1)$是求解最小化任意结点上不一致边的最大总权问题的一个$O(\sqrt{n})$ -近似（从而提供了第一个已知的近似上述家庭的最小最大图切割问题），$(2)$一个非常简单的$7$ -近似最小化局部分歧完全图（在$48$的先前最佳已知近似的基础上进行改进），以及$(3)$是用于最大化入射在任何节点上的一致边的最小总权重的$1/(2+\varepsilon)$近似，从而改进了$1/(4+\varepsilon)$ -近似，该近似是从切割和政党联盟博弈中的近似纯纳什均衡的研究中得出的。
2017-04-02 cs.DS
Constrained Cuts, Flows, and Lattice-Linearity
The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
本文提出了一种基于格线性谓词的并行算法，用于解决带约束的最小割问题，并引入k-过渡谓词和强推进以提升算法效率。
2025-12-19 cs.DC cs.DS
On Mimicking Networks Representing Minimum Terminal Cuts
给定一个具有一组终端$K \subset V$的容量限制无向图$G=(V,E)$，模仿网络是一个更小的图$H=(V_H,E_H)$，它精确地保留了终端之间的所有最小割。具体地，稀疏化器$V_H$的顶点集包含终端$K$的集合，并且对于终端$K$的每个二分区$U, K-U $，在$G$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小正好等于在$H$中将$U$与$K-U$分开的最小割的大小。Hagerup、Katajainen、Nishimura和Ragde（1995）提出了模仿网络的概念，他们还展示了一个大小为$2^{2^{k}}$的模仿网络，每个图都有$k$终端。最为人所知的模仿网络规模的下限是终端数量的线性。更准确地说，对于具有$k$终端的图，最著名的下界是$k+1$（Chaudhuri等人，2000）。在这项工作中，我们提高了上限和下限，减少了它们之间的双指数差距到一个单指数差距。具体地说，我们得到了模仿网络的如下上、下界：1）给定图$G$，我们给出了一个顶点数至多为$(|K|-1)$的Dedekind数（$\approx 2^{{(k-1)} \choose {\lfloor {{(k-1)}/2} \rfloor}}$）（与$V$的大小无关）的模仿网络的构造.此外，我们表明，该结构是最佳的所有{ \it限制模仿网络} -一个自然类的模仿网络，通过将顶点聚集在一起。2)存在具有$k$终…
2012-07-26 cs.DS
Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut
本文研究第二最小容量 (s,t)-割，提出仅需 O(√n) 次最大流计算的有向图算法，并给出 O(m) 时间计算 Minimum+1 (s,t)-割及 O(m) 空间 DAG 刻画方法，进而在简单图上突破对偶边敏感性预言机的 Ω(n^2) 空间下界。
2025-07-02 cs.DS
Near-Linear Time Approximations for Cut Problems via Fair Cuts
我们引入{ \em公平切割}的概念，作为一种方法来利用近似$(s,t)$ -mincut（相当于$(s,t)$ -maxflow）算法在无向图中获得几个切割问题的近线性时间近似算法。非正式地，对于任何$α\geq 1$，$α$ -公平$(s,t)$ -切割是$(s,t)$ -切割，使得存在使用切割中的\emph{every}边的容量的$1/α$部分的$(s,t)$ -流. (So，任何$α$ -平切也是$α$ -近似平切，但不是相反。）我们给出了在$\tilde{O}(m)$时间内$(1+ε)$ -公平$(s,t)$ -切割的算法，从而匹配$(1+ε)$ -近似$(s,t)$ -mincut的最佳运行时间[Peng，SODA '16]。然后，我们证明了这种方法的力量，表明这一结果几乎立即导致几个应用程序：-第一近线性时间$(1+ε)$ -近似算法，计算所有对最大流值（通过构建一个近似Gomory-Hu树）。在我们的工作之前，这样的结果甚至对于Steiner mincut的特殊情况也是未知的[Dinitz和Vainstein，STOC '94; Cole和Hariharan，STOC '03]; -用于计算所有对最大流值的$(1+ε)$近似的第一个几乎线性工作子多项式深度并行算法- 第一个近线性时间扩展器分解算法，即使当扩展参数多项式小时也能工作;这包含了以前的无与伦比的算法[Nan…
2023-01-12 cs.DS
Edge-cuts Optimized for Average Weight: a new alternative to Ford and Fulkerson
令$G$是与权重$w: E(G) \rightarrow R^+$相关联的有向图。对于$G$的边缘切割$Q$，$Q$的平均权重表示并定义为$w_{ave}(Q)=\frac{\sum_{e\in Q}w(e)}{|Q|}$。最优平均权重的边割是边割$Q$，使得$w_{ave}(Q)$在所有边割中最大（或对称地最小）。在本文中，这个问题的多项式算法被证明为找到这样的最佳边切割在一个有根树，分离的根和所有叶子的集合。该算法使我们能够开发一种自动聚类方法，更准确地检测嵌入在层次树结构中的社区。
2020-02-24 cs.DS
All-Pairs Minimum Cuts in Near-Linear Time for Surface-Embedded Graphs
对于一个无向的$n$ -顶点图$G$，我们考虑以下类型的查询：给定$G$中的两个顶点$s$和$t$，$G$中的最小$st$ -割的权是多少？我们在预处理时间$O(n\log^3 n)$中解决了有界亏格图的这个问题，给出了这类图的第一个次二次时间算法。我们的结果还通过对数因子改进了Borradaile，Sankowski和Wulff-Nilsen（FOCS 2010）以前的算法，该算法仅适用于平面图。我们的算法构造一个Gomory-Hu树为给定的图，提供了一个数据结构的空间$O(n)$，可以回答最小割查询在常数时间。在我们的预处理时间中，对输入图的亏格的依赖是$2^{O(g^2)}$。
2015-12-22 cs.CG cs.DS
Generalized max-flows and min-cuts in simplicial complexes
我们在单纯复形的设置中考虑最大流和最小割问题的高维变体，并提供算法和硬度结果。通过观察流和切拓扑的单纯（共）边界算子，我们可以把这些问题作为线性规划，并表明它们是对偶的。与图不同，具有整数容量约束的复形可能具有分数最大流。我们表明，计算最大积分流是NP难的。此外，我们给出了一个组合的定义，似乎更自然的优化问题的背景下，计算这样的削减是NP-难的单纯削减。然而，我们提供的条件时，单纯复杂的线性规划发现的削减是一个组合削减。对于嵌入到$\mathbb{R}^{d+1}$中的$d$维单纯复形，我们提供了在对偶图上操作的算法：计算最大流与计算最短路径是对偶的，计算最小割与计算最小成本循环是对偶的。最后，我们研究了单纯复形上的Ford-Fulkerson算法，证明了它的正确性，并提供了一个启发式，保证它停止。
2021-06-27 cs.DS math.AT
A scalable clustering algorithm to approximate graph cuts
针对图割计算复杂度高的问题，提出基于 $st$-MinCut 划分和 Gomory-Hu 树的 Xist 算法，在加权无向图中高效近似原始图割，实现顶点上线性、边上二次的运行时间，并在大型数据集上优于谱聚类。
2024-10-12 cs.DM cs.DS
Parallel Minimum Cuts in $O(m \log^2(n))$ Work and Low Depth
我们提出了一个随机的$O(m \log^2 n)$工作，$O(\text{polylog } n)$深度并行算法的最小割。该算法与Gawrychowski，Mozes和Weimann [ICALP'20]最近的顺序算法的工作范围相匹配，并改进了Geissmann和Gianinazzi [SPAA'18]以前最好的并行算法，该算法在$O(\text{polylog } n)$深度上执行$O(m \log^4 n)$工作。我们的算法使用了三个可能独立感兴趣的组件。首先，我们设计了一个并行数据结构，有效地支持批量混合查询和更新的树。它推广和改进了Geissmann和Gianinazzi以前的数据结构的工作范围，并且相对于最好的顺序算法是有效的。其次，我们设计了一个近似最小割的并行算法，改进了Karger和Motwani以前的结果。我们用这个算法给一个工作效率高的程序，以产生一个树包装，在Karger的顺序算法的最小切割。最后，我们设计了一个求解最小$2$相关割问题的高效并行算法。
2021-12-28 cs.DC cs.DS
Deterministic Near-Linear Time Minimum Cut in Weighted Graphs
本文提出了首个针对加权图的确定性近线性时间最小割算法，通过构建具有 $o(1)$ 误差的稀疏聚类结构并解决多对数近似降至 $1+o(1/\log n)$ 近似的挑战，实现了对 Karger 随机算法的去随机化。
2024-01-11 cs.DS
Approximating Small Sparse Cuts
本文针对稀疏割和小集扩张问题，提出基于样本集扩展与割匹配博弈的多项式时间近似算法，达到 polylog k 近似，并改进相关推论。
2024-03-13 cs.DS
A Simple and Fast Algorithm for Fair Cuts
针对无向图公平割问题，提出一种简单快速算法，通过在有向残差图上迭代运行Sherman近似最大流/最小割算法，将计算时间从$\tilde O(m/ε^3)$优化至$\tilde O(m/ε)$，与标准近似最小割算法时间复杂度匹配。
2024-11-28 cs.DS
Smaller Cuts, Higher Lower Bounds
本文证明了在CONGEST模型中分布式计算的强下界，提出了位-gadget：一种新的技术，用于构建图与小割。比特小工具的贡献是双重的。首先，开发仔细的稀疏图结构与小切口扩展已知的技术，以显示一个近线性的下限计算的直径，以前只知道密集的图形的结果。此外，构造的稀疏性在将其应用于各种距离计算问题的近似中起着至关重要的作用，大大改善了使用稠密图时可以获得的效果。其次，小的切割是必不可少的证明超线性下限，没有一个是已知的这项工作之前。事实上，他们允许我们显示近二次下界的几个问题，如确切的最小顶点覆盖或最大独立集，以及着色图的色数。这样的强下界并不限于NP难问题，如P中的两个简单的图问题所给出的，它们需要二次和近二次的轮数。以上所有都是最佳的对数因子。此外，在这种情况下，所有对最短路径问题的复杂性进行了讨论。最后，它表明，图构造CONGEST下界转化为下界的半流模型，尽管在其性质上是非常不同的。
2019-01-14 cs.DC cs.DS
Randomized Approximation Schemes for Cuts and Flows in Capacitated Graphs
我们改进了随机抽样技术，用于近似解决涉及图中的切割和流动的问题。我们给出了一个近线性时间的结构，将任何n个顶点的图转换为O（n \log n）-边图在相同的顶点，其削减具有近似相同的值作为原始图的。例如，在这个新的图中，我们可以运行Goldberg和Rao的O（m^{3/2}）时间最大流算法来在O（n^{3/2}）时间内找到s-t最小割。这对应于原始图中的（1+ 1）倍最小s-t切割。在O（log n）的时间内，我们可以用O（n^2）的时间复杂度来计算一个稀疏割。一个相关的方法导致一个随机的分治算法产生一个近似最大流在O（m sqrt{n}）的时间。
2002-07-23 cs.DM cs.DS
