Lower Bounds for Tropical Circuits and Dynamic Programs
热带回路是以最小值和加号或最大值和加号操作作为门的回路。它们的重要性源于它们与动态规划算法的密切关系。热带电路的能力介于单调布尔电路和单调算术电路之间。在本文中，我们提出了一些下界参数热带电路，因此，动态程序。
2014-07-29 cs.CC
Superpolynomial lower bounds for general homogeneous depth 4 arithmetic circuits
本文证明了一类齐次深度为4的算术电路的超多项式下界。我们给出了一个显式多项式在VNP的程度$n$在$n^2$变量，使任何均匀深度4算术电路计算它必须有大小$n^{Ω(\log \log n)}$。我们的结果推广了Nisan-Wigderson [NW 95]的工作（显示了均匀深度3电路的超多项式下限），Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi和Kayal-Saha-Saptharishi [GKKS 13，KSS 13]（其示出了具有有界底部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界），Kumar-Saraf [KS13a]（其显示了具有有界顶部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界）和Raz-Yehudayoff和Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan [RY 08，FLMS 13]（其示出了多线性深度为4的电路的超多项式下界）。事实上，这些结果中有几个显示了指数下界。在我们的证明的主要成分是一个新的复杂性措施{ \it有界支持}移位偏导数。该措施使我们能够证明均匀深度4电路的指数下界，其中在底层计算的所有单项式具有{ \it有界支持}（但可能是无界度/扇入），加强了Gupta等人和Kayal等人的结果[GKKS 13，KSS 13]。这个新的下界结合了一个仔细的“随机限制”过程（将一般的深度为4的齐次电路转换为具有有界支持的深度为4的电路），给…
2013-12-20 cs.CC
A Superpolynomial Lower Bound on the Size of Uniform Non-constant-depth Threshold Circuits for the Permanent
我们表明，永久不能计算DLOGTIME-均匀的阈值或算术电路的深度O（日志日志n）和多项式的大小。
2009-02-11 cs.CC
Cancellation-free circuits: An approach for proving superlinear lower bounds for linear Boolean operators
我们继续研究无抵消线性电路的概念。我们表明，每一个矩阵可以计算一个无抵消电路，几乎所有这些都是最大的一个常数因子大于最佳线性电路计算矩阵。证明无相消线性电路的结构比一般线性电路的结构更容易。我们证明了两个非平凡的超线性下界。我们表明，一个消除免费的线性电路计算的$n\times n$ Sierpinski垫片矩阵必须使用至少1/2 n logn门，这是紧。这支持了Aaronson的一个猜想。此外，我们证明了证明策略证明单调电路的下界几乎可以直接转换为证明无取消线性电路的下界。我们利用这个结果与Andreev的极值图论的结果一起证明了Ω（n^（2- ε））的一个下界，对于无穷多个$n \times n$矩阵，对于每个$ε> 0$，为。这些具体矩阵的下界几乎是最优的，因为所有的矩阵都可以用$O(n^2/\log n)$门来计算。
2012-07-23 cs.CC
Top-Down Lower Bounds for Depth-Four Circuits
本文提出自顶向下下界方法，利用鲁棒向日葵和块不可预测性，为奇偶校验函数需要指数级规模的深度4电路这一经典结论提供了新证明。
2024-05-02 cs.CC
Proof Complexity Lower Bounds from Algebraic Circuit Complexity
我们给上和下界的子系统的电源的理想证明系统（IPS），代数证明系统最近提出的Grochow和Pitassi，其中的电路，包括证明来自各种限制代数电路类。这模仿了一个既定的研究方向，在布尔设置子系统的扩展弗雷格证明，证明线是电路从限制布尔电路类。除了一个，本文考虑的所有子系统都可以模拟研究充分的零星证明系统，在此之前，没有已知的下限时，测量证明大小的多项式的代数复杂性（除了相对于度，或稀疏性）。我们给出了两个一般的方法转换某些代数下界证明复杂性。我们的方法需要更强的概念下界，下界多项式以及整个家庭的多项式定义。我们的技术让人想起现有的方法转换成相关的证明复杂性的结果，如可行的插值布尔电路下界。我们获得了各种类别（稀疏多项式，深度3幂公式，只读一次遗忘代数分支程序和多线性公式）的相关类型的下界，并推断出相关的证明复杂性结果。我们补充我们的下限给出简短的反驳以前研究的子集和公理使用IPS子系统，使我们能够得出结论，这些子系统之间的严格分离。
2016-06-16 cs.CC cs.LO math.LO
New Lower Bounds against Homogeneous Non-Commutative Circuits
本文给出了齐次非对易电路的几个新的尺寸下界。我们提出了一个显式齐次二元多项式的次数$d$，它需要齐次非交换电路的大小$Ω(d/\log d)$。对于具有$n>1$的$n$变量多项式，如果是$d\leq n$，则结果可以改进为$Ω(nd)$，如果是$d\geq n$，则结果可以改进为$Ω(nd \frac{\log n}{\log d})$。在相同的假设下，我们还给出了中心对称多项式的有序版本的二次下界。
2023-01-04 cs.CC
Lower Bounds for Symmetric Circuits for the Determinant
本文针对行列式计算提出更严格的对称算术电路要求，基于支撑定理和双人受限双射博弈开发了下界证明框架，并证明在此对称性下计算行列式存在指数级下界。
2024-08-30 cs.CC cs.DM cs.LO
Lower Bounds for Monotone Counting Circuits
一个{+，x}-电路对一个给定的多元多项式f进行计数，如果它在0-1输入上的值与f的值相同;在其他输入上，电路可以输出任意值。这样的电路通过给定的0-1输入向量（具有由其系数给出的多重性）来计算f的被评估为1的单单项式的数量。电路决定$f$是否与f具有相同的0-1根。我们首先表明，一些多线性多项式可以指数更容易计数比计算它们，可以指数更容易决定比计数它们。然后，我们给出一般的下限计数电路的大小。
2015-02-06 cs.CC
Algorithms versus Circuit Lower Bounds
不同的技术已被用来证明几个转移定理的形式“非平凡算法的电路类C产量电路下界对C”。在这次调查中，我们重新审视了其中的许多结果。我们讨论如何电路下界可以从去随机化，压缩，学习和可满足性算法。我们还涵盖了电路下界和有用的属性之间的连接，一个概念，原来是基本的背景下，这些转移定理。在此过程中，我们获得了一些新的结果，简化了几个证明，并显示了涉及不同框架的连接。我们希望，我们的介绍将作为一个独立的介绍，为那些有兴趣在这一领域进行研究。
2013-09-01 cs.CC cs.DM cs.DS
Circuit Depth Reductions
针对无限制电路的最佳已知尺寸下限保持在$3n$附近几十年。此外，唯一已知的技术，证明在这个模型中的下限，门消除，是固有的限制，证明下限小于$5n$。在这项工作中，我们提出了一个非门消除方法获得电路下界，通过一定的深度三个下界。我们证明了每一个（无界深度）电路的大小$s$可以表示为一个或$2^{s/3.9}$ $16$-CNFs。对于德摩根公式，最著名的大小下限几十年来一直停留在$n^{3-o(1)}$附近。在概率多项式的合理假设下，我们证明了$n^{4-\varepsilon}$大小的DeMorgan公式具有$2^{n^{1-Ω(\varepsilon)}}$大小的深度为3的回路，它们是${\mathbb F}_2$上的$n^{1-Ω(\varepsilon)}$次数多项式的近似和.虽然这些结构性结果不会立即导致新的下界，但它们确实建议了对这些长期存在的下界问题进行攻击的新途径。我们的结果补充了Valiant的经典深度- $3$约化结果，该结果表明线性尺寸的离散深度电路可以通过$2^{\varepsilon n}$ $n^δ$ -CNFs的OR来计算，并且对于串并联电路的结果略强。众所周知，没有纯粹的图论简化可以从超对数深度的电路中产生有趣的深度3电路。我们克服了这一限制（小尺寸电路），考虑到电路和公式的图论和功能特性。我们发现，以下伪随机结构的改进意味着新的电路下界：分散剂的品种…
2020-12-07 cs.CC
Algorithms and Lower Bounds for Comparator Circuits from Shrinkage
比较器电路是研究有界扇出计算的一种自然电路模型，其性能介于不确定分支程序和一般电路之间。尽管已经研究了近三十年，但直到最近Gál和Robere（ITCS 2020）才证明了第一个针对比较器电路的超线性下限，他们建立了计算$n$位的显式函数的比较器电路大小的$Ω((n/\log n)^{1.5})$下限。本文主要研究比较器电路的平均情况复杂度和电路分析算法。从以前的方法出发，我们利用随机约束下的收缩技术，获得了各种新的结果，这个模型。其中，我们显示-平均情况下的下限。对于每一个具有$k \geq \log n$的$k = k(n)$，在$n$位上存在一个多项式时间可计算函数$f_k$，使得对于每一个具有最多$n^{1.5}/O(k\cdot \sqrt{\log n})$门的比较器电路$C$，我们有\[ \text{Pr}_{x\in\left\{ 0,1 \right\}^n}\left[C(x)=f_k(x)\right]\leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{Ω(k)}}. \]这个平均情况下的下限通过让$k=O(\log n)$匹配Gál和Robere的最坏情况下的下限。- #SAT算法存在一种算法，该算法针对任何$k\leq n/4$，在时间$2^{n-k}\cdot\text{poly}(n)$上对具有最多$n^{1.5}/O\!\left(k\cd…
2021-11-29 cs.CC
Unbalancing Sets and an Almost Quadratic Lower Bound for Syntactically Multilinear Arithmetic Circuits
本文证明了计算显式多线性多项式$f(x_1, \ldots, x_n)$的任意语法多线性算术电路的规模上的$Ω(n^2/\log^2 n)$的一个下界。我们的方法扩展和改进了Raz，Shpilka和Yehudayoff（[RSY 08]）的结果，他们证明了同一多项式的$Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$的下界。我们的改进如下从一个渐近最优下界的广义版本的Galvin的极值集理论的问题。
2017-11-02 cs.CC
On Lower Bounds for Constant Width Arithmetic Circuits
本文的动机是研究恒定宽度算术电路的复杂性。我们的主要结果如下。1.对于每一个k > 1，我们提供了一个显式多项式，它可以由宽度为2k的线性大小的单调电路计算，但没有宽度为k的次指数大小的单调电路。从多项式的定义可以得出，单调算术电路的常宽和常深的谱系在可交换和非可交换的情况下都是无限的。2.我们证明了类似于[KI 03，DSY 08]的恒定宽度交换电路的身份测试的硬度-随机性权衡。
2009-08-14 cs.CC
Circuit Lower Bounds, Help Functions, and the Remote Point Problem
我们调查的权力代数分支程序（ABP）增强帮助多项式，和恒定深度的布尔电路增强帮助功能。我们将这两个模型中证明显式下界的问题与远程点问题（由Alon、Panigrahy和Yekhanin（RANDOM '09）引入）联系起来。更确切地说，证明下界的ABP与帮助多项式有关的远程点问题w.r.t.的秩度量，并为帮助功能的恒定深度电路，它是有关的远程点问题w.r.t.海明度量。对于代数分支程序的帮助多项式与一定程度的限制，我们显示指数大小的下界显式多项式。
2009-11-23 cs.CC
On the power of homogeneous depth 4 arithmetic circuits
我们证明了指数下界的大小均匀深度4算术电路计算显式多项式$VP$。我们的结果适用于{ \it迭代矩阵乘法}多项式-特别是，我们表明，任何均匀的深度4电路计算$n$通用矩阵的尺寸$n^{O(1)}$的产品中的$(1,1)$条目必须有大小$n^{Ω(\sqrt{n})}$。我们的研究结果在两个重要方面加强了以前的工作。我们的下界对$VP$中的多项式成立。在我们的工作之前，Kayal等人[KLSS 14]证明了在$VNP$中计算多项式的齐次深度4电路（特征零域）的指数下界。深度为4的齐次电路在$VP$中计算一个poly的最著名的下界是$n^{Ω(\log n)}$由[LSS，KLSS 14]得到的界，我们的指数下界也给出了一般算术电路和齐次深度为4的算术电路之间的第一个指数分离.特别是，它们意味着Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的深度缩减结果即使对于一般均匀深度4电路的缩减（没有有界底部扇入的限制）也是紧密的。我们的下界对所有域都成立。[KLSS 14]的下界仅适用于特征为零的域。在我们的工作之前，均匀深度4电路在正特性场上的最佳下界是$n^{Ω(\log n)}$ [LSS，KLSS 14]。
2014-04-07 cs.CC
Lower Bounds Against Sparse Symmetric Functions of ACC Circuits: Expanding the Reach of $\#$SAT Algorithms
我们继续利用电路可满足性算法证明电路下界的程序。到目前为止，这个程序已经产生了几个具体的结果，证明功能在$\text{Quasi-NP} = \text{NTIME}[n^{(\log n)^{O(1)}}]$和$\text{NEXP}$没有小电路从各种电路类${\cal C}$，通过显示${\cal C}$承认非平凡的可满足性和/或$\#$ SAT算法击败穷举搜索的一个小数额。本文给出了电路类${\mathcal C}$的非平凡$\#$ SAT算法的一个新的强下界结果。假设一个对称布尔函数$f(x_1,\ldots,x_n)$是稀疏的，如果它输出$1$对$\sum_i x_i$的$O(1)$值。我们发现，对于每一个稀疏的$f$，并为所有“典型的”${\cal C}$，更快的$\#$ SAT算法的${\cal C}$电路实际上意味着对电路类$f \circ {\cal C}$，这可能是强于${\cal C}$本身的下限。特别是：在$2^n/n^k$时间内运行的$n^k$ -大小的${\cal C}$ -电路的$\#$ SAT算法（对于所有$k$）意味着$\text{NEXP}$不具有多项式大小的$f \circ {\cal C}$ -电路。在$2^{n-n^ε}$时间内运行的$2^{n^ε}$大小的${\cal C}$电路的$\#$ SAT算法（对于某些$ε> 0$）意味着$\te…
2020-01-21 cs.CC
Low-depth arithmetic circuit lower bounds via shifted partials
我们使用移位偏分测度[Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi，CCC 2013]，[Kayal，ECCC 2012]和偏分测度的仿射投影[Garg-Kayal-Saha，FOCS 2020]，[Kayal-Nair-Saha，STACS 2016]证明了低深度算术电路的超多项式下界。Limaye，Srinivasan和Tavenas最近的突破性工作[FOCS 2021]通过证明低深度集合多线性电路的下界证明了这些下界。我们的证明的一个有趣的方面是，它不需要一个电路的集合多线性电路的转换，也不涉及随机限制。我们能够直接上界齐次公式的措施，而不通过集多重线性。我们的下界保持迭代矩阵乘法以及Nisan-Wigderson设计多项式。我们还定义了一个子类的齐次公式，我们称之为独特的解析树（UPT）公式，并证明这些超多项式下界。这推广了[Kayal-Saha-Saptharishi，STOC 2014]，[Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan，STOC 2014]中正则公式的超多项式下界。
2022-11-14 cs.CC cs.SC
Convergent Gate Elimination and Constructive Circuit Lower Bounds
MIT-IBM Watson AI Lab（麻省理工学院-IBM沃森人工智能实验室）；Boston University（波士顿大学）
本文通过收敛项图重写系统，给出了构造性电路下界证明，推广了Schnorr的经典结果，并展示了构造性在复杂性理论中的核心作用。
2026-02-20 cs.CC
Circuit complexity, proof complexity, and polynomial identity testing
我们引入了一个新的代数证明系统，它与（代数）电路复杂性有着紧密的联系。特别是，我们证明了在我们的证明系统中，任何布尔重言式上的超多项式下界意味着永久不具有多项式大小的代数电路（VNP不等于VP）。作为一个推论的证明，我们还表明，超多项式下界上的多项式微积分证明（而不是通常的措施单项式的数量）的线的数量意味着永久与行列式猜想。请注意，在我们的工作之前，没有证明系统，其中任意重言式的下界意味着任何计算下界。我们的证明系统有助于澄清以前的代数证明系统之间的关系，并开始阐明为什么证明复杂性下限的各种证明系统已经这么难比相应的电路类的下限。在此过程中，我们强调了多项式身份测试（PIT）对于理解证明复杂性的重要性。更具体地说，我们引入某些命题公理满足任何布尔电路计算PIT。我们使用这些PIT公理来阐明AC^0[p]-弗雷格下界，它已经开放了近30年，对于它们明显的困难没有令人满意的解释。我们表明，或者：a）证明AC^0[p]-Frege上的超多项式下界意味着VNP不具有深度为d的多项式大小的电路-一个众所周知的公开问题，d至少为4 -从而解释了AC^0[p]-Frege上的下界的困难，或者b）AC^0[p]-Frege不能有效地证明深度为d的PIT公理，因此我们有AC^0[p]-Frege上的下界。使用我们的证明系统的代数结构，我们提出了一种新的方法来扩展技术从代数电路复杂性证明证明复杂性的下…
2014-04-15 cs.CC cs.LO math.LO
A Quadratic Lower Bound for Noncommutative Circuits
The Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India（金奈数学科学研究所）；Homi Bhabha National Institute, Training School Complex,Anushakti Nagar, Mumbai, India（霍米·巴巴国立学院）
该研究证明了非交换算术电路计算回文多项式时的大小下界为Ω(nd)，当d=n时得到Ω(n²)的下界，方法基于并改进了之前的工作。
2026-11-06 cs.CC
Explicit lower bounds on strong simulation of quantum circuits in terms of $T$-gate count
研究了具有少量$T$门的Clifford+ $T$量子线路.使用稀疏化引理，我们确定的时间复杂度下限的$T$门计数低于一个强大的模拟器将提高国家的最先进的$3$ -SAT解决。
2019-02-25 cs.CC quant-ph
Succinct Hitting Sets and Barriers to Proving Algebraic Circuits Lower Bounds
我们形式化的代数电路的代数自然下界的框架。正如Razborov和Rudich的布尔电路下界的自然证明概念一样，我们的代数自然下界概念几乎涵盖了所有已知的下界技术。然而，与布尔设置不同的是，没有具体的证据表明这是获得一般代数电路的超多项式下界的障碍，因为很少有人了解代数电路是否有足够的表达能力来支持“密码学”对代数电路的安全。根据Williams在布尔环境中的类似结果，我们证明了代数自然证明障碍的存在等价于多项式身份测试问题的简洁去随机化的存在。也就是说，polylog（N）-度polylog（N）-规模电路的系数向量是否是poly（N）-度poly（N）-规模电路类的命中集。此外，我们给出了一个明确的普遍结构，表明如果这样一个简洁的碰集存在，那么我们的普遍结构就足够了。此外，我们评估现有的文献构造命中集的限制类代数电路，并观察到，他们都不是简洁的。然而，我们展示了如何修改这些结构，以获得简洁的命中集。这构成了第一个证据支持存在一个代数自然证明障碍。我们的框架类似于Mulmuley和Sohoni的几何复杂性理论（GCT）程序，除了在这里我们强调证明的建设性，而GCT程序强调对称性。然而，我们简洁的命中集有相关的GCT程序，因为它们意味着下限的复杂性定义的多项式方程计算的小电路。
2018-07-22 cs.CC
Monotone Circuit Lower Bounds from Robust Sunflowers
鲁棒向日葵是组合向日葵的推广，在单调电路复杂性、DNF稀疏化、随机性提取器以及Erdens-Rado向日葵猜想的最新进展中有应用。Alweiss、Lovett、Wu和Zhang最近的突破给出了排除健壮向日葵的$w$ -集系统的最大尺寸的改进的界。在本文中，我们使用这个结果得到一个$\exp(n^{1/2-o(1)})$下界的单调电路大小的显式$n$变量单调函数，提高以前最好的已知$\exp(n^{1/3-o(1)})$由于Andreev和Harnik和拉兹。我们还显示了一个$\exp(Ω(n))$下界的单调算术电路的大小的相关多项式。最后，我们引入了一个强大的candle-sunflowers的概念，并使用这个证明$n^{Ω(k)}$下界的单调电路大小的CLIQUE功能的所有$k \le n^{1/3-o(1)}$，加强了阿隆和Boppana的界限。
2022-08-05 cs.CC
Simple general magnification of circuit lower bounds
我们提出一种简单通用的电路下界放大方法，利用区分器稀疏矩阵，推广并加强现有结果，实现低于已知下界的阈值，并给出MCSP的统一放大结果。
2025-06-21 cs.CC
On fixed-polynomial size circuit lower bounds for uniform polynomials in the sense of Valiant
假设广义黎曼假设（GRH），我们表明，对于所有的k，存在多项式的系数在$\MA$没有算术电路的大小为O（n^k）的复杂领域（允许任何复常数）。我们还建立了一个家庭的多项式，可以评估在AM没有算术电路的大小为O（n^k）。然后，我们调查固定多项式大小的电路边界的布尔和算术设置之间的联系。在特征零点，证明了$\NP \not\subset \size(n^k)$，或$\MA \subset \size(n^k)$，或NP=MA隐含了复数域上VNP类n元均匀多项式的电路大小的下界，假设GRH.在正特征p下，VNP中的一致多项式有固定多项式长度的回路当且仅当VP=VNP和Mod_pP都有固定多项式长度的回路.
2013-04-22 cs.CC
Arithmetic Circuit Lower Bounds via MaxRank
我们引入多项式系数矩阵，并确定此矩阵的最大秩变量替换下的多元多项式的复杂性措施。我们使用我们的技术来证明几类非多线性算术电路的超多项式下界。特别是，我们得到了以下结果：作为我们的主要结果，我们证明了任何均匀的深度3电路计算的产品的$d$矩阵的尺寸$n \times n$需要$Ω(n^{d-1}/2^d)$大小。这改进了Nisan和Wigderson（1995）在$d=ω(1)$ .存在关于$n$变量和次数至多$\frac{n}{2}$的显式多项式，对于该多项式，乘积维数至多为$\frac{n}{10}$（馈送到每个乘积门的仿射形式的空间的维数）的任何深度3电路$C$需要大小$2^{Ω(n)}$。这推广了Saxena（2007）证明的对角电路的下界。对角电路的乘积维数为1。证明了乘积稀疏公式的一个$n^{Ω(\log n)}$下界。根据定义，任何多重线性公式都是乘积稀疏公式。因此，我们的结果扩展了Raz（2006）关于多重线性公式大小的已知超多项式下界。本文证明了分块算术分支程序规模的一个$2^{Ω(n)}$下界。这个结果扩展了Jansen（2008）给出的有序算术分支程序的规模的指数下界。
2013-02-14 cs.CC
Circuit metaconstruction in logspace for Rice-like complexity lower bounds in ANs and SGRs
本文提出结合有限模型理论与动力系统的新证明技术，详细构造对数空间可行的电路元归约，为自动机网络及简洁图表示的类Rice动力学问题提供通用复杂度下界。
2025-04-15 cs.CC
Lower bounds for Choiceless Polynomial Time via Symmetric XOR-circuits
无选择多项式时间（CPT）是用于捕获PTIME的少数剩余候选逻辑之一。在本文中，我们取得了进展，分离CPT从多项式时间，首先建立了CPT的表达能力和某些对称电路族的存在性之间的联系，其次，证明这些电路的下界。我们专注于无序Cai-Fürer-Immerman-graphs（CFI-query）的同构问题，作为一个潜在的候选人，用于分离CPT从P.结果Dawar，Richerby和Rossman，随后由Pakusa，Schalthöfer和Selman表明，CFI-query是CPT-可定义的线性有序和预排序的基础图与小的颜色类。我们定义了一类CPT算法，我们称之为“CFI对称算法”，它概括了所有已知的，并表明，这样的算法只能定义在给定的一类基图的CFI查询，如果存在一个家庭的对称异或电路具有一定的属性。这些性质包括电路具有与基图相同的对称性，具有多项式大小，并且满足某些扇入限制。然后，我们证明了这种电路略有加强的要求（即更强的对称性和扇入和扇出限制）不存在的n维超立方体作为基图。这几乎将CFI-对称算法与多项式时间分开-直到我们目前可以证明其存在的电路与其存在对于CFI-查询的可定义性是必要的电路之间的间隙。
2023-02-08 cs.CC cs.LO
Derandomizing the Isolation Lemma and Lower Bounds for Circuit Size
Mulmuley等人的隔离引理\cite{MVV87}是随机算法设计中的一个重要工具，在若干非平凡复杂度上界中发挥了重要作用。另一方面，多项式身份测试是一个研究得很好的算法问题，有效的随机算法和获得有效的\emph{deterministic}身份测试的问题，最近受到了很多关注。本文的目的是比较隔离引理与多项式恒等式测试：1。我们表明，去随机化合理限制版本的隔离引理意味着电路尺寸下限。我们推导出的电路下界通过检查之间的连接的隔离引理和多项式身份测试。基于隔离引理，给出了多项式次数非对易电路的随机多项式时间恒等式检验。使用这个结果，我们表明，去随机化的隔离引理意味着非交换电路大小的下限。我们考虑的隔离引理的限制版本是自然的，并且足以满足隔离引理的标准应用。2.从Klivans-Spielman \cite{KS01}的结果中我们观察到对于多项式次数的可交换电路存在随机多项式时间恒等式检验，并且也基于线性形式的更一般的隔离引理。因此，去随机化（一个合适的版本）这个隔离引理也意味着在交换设置的电路大小下限。
2008-04-24 cs.CC
A Near-Quadratic Lower Bound for the Size of Quantum Circuits of Constant Treewidth
我们表明，任何树宽$t$量子电路，从$r$量子比特门，至少需要$Ω(\frac{n^{2}}{2^{O(r\cdot t)}\cdot \log^4 n})$门计算元素的独特性函数。我们的结果推广了Roychowdhury和Vatan [SIAM J. on Computing，2001]获得的量子公式大小的近二次下界。我们的下界的证明如下扩展Nečiporuk的方法的上下文的量子电路的恒定树宽。这种扩展是通过结合结构图理论、张量网络理论和连通分量计数法（这是代数几何中的经典工具）的技术来实现的。
2016-09-30 cs.CC quant-ph
On Lifting Lower Bounds for Noncommutative Circuits using Automata
本文用自动机理论给出了Carmosino等人关于将非交换算术电路下界提升为指数级下界这一结果的一个更简单且更具概念性的证明。
2023-08-09 cs.CC
Derandomizing Polynomial Identity over Finite Fields Implies Super-Polynomial Circuit Lower Bounds for NEXP
我们表明，去随机化多项式身份测试在任意有限域意味着NEXP没有多项式大小的布尔电路。换句话说，对于任何大小为q的有限域F（q），$PIT_q\in NSUBEXP\Rightarrow NEXP\not\subseteq P/poly$，其中$PIT_q$是F（q）上的多项式恒等式测试问题，NSUBEXP是语言的非确定性子时间类。我们的结果是在合同Kabanets和Impagliazzo的现有定理，去随机化的多项式身份测试在整数环Z意味着NEXP确实有多项式大小的布尔电路或永久在Z上没有多项式大小的算术电路。
2013-11-11 cs.CC
A hitting set construction, with application to arithmetic circuit lower bounds
多项式同一性测试算法必须确定给定的输入多项式是否完全等于0。给出了一元多项式$\sum_{j=0}^t c_j X^{α_j} (a + b X)^{β_j}$的确定性黑盒恒等式检验算法。从我们的算法中，我们推导出一个指数下界表示的多项式，如$\prod_{i=1}^{2^n} (X^i-1)$在这种形式下。已经证明，这些多项式很难用一般的算术电路来计算。我们的结果表明，“从去随机化的硬度”的方法是可行的，为一类受限制的算术电路的下界。证明是基于代数数论的技术，更确切地说，是基于代数数的高度函数的性质。
2009-12-08 cs.CC
Observations on Symmetric Circuits
我们研究了对称算术电路，并改进了Dawar和Wilsenach（ArXiv 2020）给出的下界。他们的结果表明，对称电路计算的永久的指数下界。我们扩展这个结果，以显示一个更简单的证明永久的下限，并表明，一个大类的多项式在这个模型中的指数下界。事实上，我们证明了在对称计算模型中，所有包含至少一个永久单项式的多项式都有指数大小的下界。我们还显示了超多项式下界较小的群体。我们支持我们的结论，即组是更重要的多项式，通过显示，在一个随机的过程中选择多项式，不遇到超多项式下限的概率是指数低。
2020-09-23 cs.CC
An exponential lower bound for homogeneous depth-5 circuits over finite fields
本文给出了有限域上齐次深度$5$电路类的指数下界。更正式地说，我们表明，有一个明确的家庭$\{P_d : d \in \mathbb{N}\}$的多项式在$\mathsf{VNP}$，其中$P_d$的程度$d$在$n = d^{O(1)}$变量，这样，在所有有限域$\mathbb{F}_q$，任何均匀的深度$5$电路计算$P_d$必须有至少$\exp(Ω_q(\sqrt{d}))$的大小。据我们所知，这是第一个超多项式下界，这类任何领域$\mathbb{F}_q \neq \mathbb{F}_2$。我们的证明建立在证明齐次深度$4$电路[GKKS13，FLMS13，KLSS14，KS14]和有限域上非齐次深度$3$电路[GK98，GR00]的下界的方法上。我们的关键见解是将多项式的移位偏导数空间视为来自$\mathbb{F}_q^n \rightarrow \mathbb{F}_q$的函数空间，而不是将它们视为形式多项式空间，并建立在Kumar和Saraf [KS 14]下界的更严格分析之上。
2015-07-01 cs.CC
Quantum circuit lower bounds in the magic hierarchy
本文提出魔法层级电路模型，统一多种量子电路框架，并利用稳定子码的传染性性质证明第一层中显式量子态无法被 Clifford 加 QNC^0 电路近似制备，建立了连接电路复杂性与凝聚态物理的新框架。
2025-08-28 cs.CC quant-ph
Polynomial Lower Bounds for Arithmetic Circuits over Non-Commutative Rings
Princeton University（普林斯顿大学）
研究非交换环上算术电路计算多项式所需的乘法门数下界，证明了对于特定多项式，乘法门数需为Ω(n^1.5)。
2026-04-23 cs.CC
Lower bounds for the circuit size of partially homogeneous polynomials
在本文中，我们关联到每个多元多项式$f$是齐次相对于它的变量的一个子集的一系列的多项式家庭$P_λ(f)$的$m$ -元组的齐次多项式的次数相等，使电路大小的任何成员在$P_λ(f)$是有界的电路大小从上面的$f$。这提供了一种通过证明与$P_λ(f)$相关联的多项式映射的$(s,r)$ -（弱）隐匿性来获得$f$的电路大小的下界的方法。讨论了证明$(s,r)$ -（弱）逃避性的一些代数方法.我们还提高了估计在正常的算术电路的形式得到拉兹在\cite{Raz2009}的结果在更好的电路大小的下限（引理\ref{lem:cor38}，备注\ref{rem:cor38}）。我们的方法产生非平凡的几类多元齐次多项式（推论\ref{cor:412}，例\ref{ex:bi}）的电路大小的下限。
2015-03-16 cs.CC math.AC math.LO
Functional lower bounds for restricted arithmetic circuits of depth four
最近，Forbes，Kumar和Saptharishi [CCC，2016]证明了存在显式的$d^{O(1)}$ -变量和次数$d$多项式$P_{d}\in VNP$，使得如果任何有界形式次数$d$的深度4电路$C$计算有界个体次数$O(1)$的多项式，即在功能上等价于$P_d$，则$C$必须具有大小$2^{Ω(\sqrt{d}\log{d})}$。他们工作的动机来自于布尔电路复杂性。基于Yao [FOCS，1985]和Beigel和Tarui [CC，1994]对$ACC^0$电路的表征，Forbes，Kumar和Saptharishi [CCC，2016]观察到$ACC^0$中的函数也可以通过代数$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路计算（即，形式的电路--多项式的幂和）大小为$2^{\log^{O(1)}n}$。因此，他们认为，一个显式多项式$Q$对$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路的$2^{ω(\log^{O(1)}{n})}$“函数”下界将意味着一个$Q$对非均匀$ACC^0$的“相应布尔函数”的下界。在他们的工作中，他们问他们的下限是否可以扩展到$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路。对大整数$n$和$d$，使得$ω(\log^2n)\leq d\leq n^{0.01}$，证明了任意次数至多为$O\left(\frac{d}{k^2}\ri…
2021-07-20 cs.CC
New algorithms and lower bounds for circuits with linear threshold gates
令$ACC \circ THR$为一类恒定深度电路，由AND、OR和MOD $m$门（对于某些恒定$m > 1$）组成，底层门计算任意线性阈值函数。这类电路可以被看作是$ACC$（我们知道非平凡下限）和深度2线性阈值电路（非平凡下限保持开放）之间的“中点”。我们给出了一个算法来评估一个任意对称函数的$2^{n^{o(1)}}$ $ACC \circ THR$电路的大小$2^{n^{o(1)}}$，在所有可能的输入，在$2^n \cdot poly(n)$时间。由此产生若干后果：$\bullet$对次指数大小的$ACC \circ THR$电路的满意分配的数量可以在$2^{n-n^{\varepsilon}}$时间内计算（其中$\varepsilon > 0$取决于电路的深度和模数）。$\bullet$ $NEXP$没有准多项式大小的$ACC \circ THR$电路，$NEXP$也没有准多项式大小的$ACC \circ SYM$电路。甚至对于$AND \circ OR \circ THR$电路，也不知道非平凡的大小下限。$\bullet$每一个带有$n$布尔变量和$s$线性约束的0 - 1整数线性规划都有很高的概率在$2^{n-Ω(n/((\log M)(\log s)^{5}))}\cdot poly(s,n,M)$时间内可解，其中$M$上限限制了系数的位复杂度。(For例如，具…
2014-01-10 cs.CC cs.DS
Lower Bounds on Circuit Depth of the Quantum Approximate Optimization Algorithm
量子近似优化算法（QAOA）是一种近似求解组合优化问题的方法。虽然QAOA被开发来解决广泛的一类组合优化问题，但目前还不清楚哪类问题最适合它。证明量子优势的一个因素是问题实例与实现QAOA方法所需的电路深度之间的关系。由于NISQ器件中的误差随电路深度呈指数级增加，因此识别电路深度的下限可以提供对何时量子优势可行的见解。在这里，我们确定如何的问题实例的结构可以用来确定电路深度的下限QAOA的每次迭代，并检查问题结构和电路深度之间的关系，包括MaxCut和MaxIndSet的各种组合优化问题。具体来说，我们展示了如何推导出一个图，$G$，它描述了一个一般的组合优化问题，并显示电路的深度至少是色指数的$G$。通过查看电路深度的缩放，我们认为，MaxCut，MaxIndSet，顶点覆盖和布尔satisifiability问题的一些实例是适合QAOA方法，而背包和旅行销售人员的问题是不。
2020-08-12 cs.CC math.OC quant-ph
Some Results on Circuit Lower Bounds and Derandomization of Arthur-Merlin Problems
我们证明了一个向下分离的$\mathsfΣ_2$时间类。具体来说，我们证明，如果$Σ_2$ E不具有多项式大小的非确定性电路，那么$Σ_2$ SubEXP不具有\textit{fixed}多项式大小的非确定性电路。为了实现这一结果，我们使用Santhanam的技术，Aydinlioetlu和van Melkebeek定义的增强亚瑟-梅林协议。我们表明，增广亚瑟-梅林协议与一位的建议没有固定的多项式大小的非确定性电路。我们还证明了一个弱的无条件去随机化的某种类型的承诺亚瑟-梅林协议。利用Williams的易碰集技术，我们证明了当$c$为固定常数时，$Σ_2$ -promise AM问题可以在带有$n^c$建议的$Σ_2$ SubEXP中判定.
2017-01-16 cs.CC
The complexity of multilayer $d$-dimensional circuits
本文研究了一种具有单一逻辑层的多层电路模型。我们考虑$λ$ -可分图作为电路的支持。我们建立了这类电路的香农函数下界$\max \bigl(\frac{2^n}{n}, \frac{2^n (1 - λ)}{\log k} \bigr)$，其中$k$是层数。对于$d$ -维图，对于$λ= \frac{d - 1}{d}$是$λ$ -可分的，这给出了香农函数下界$\frac{2^n}{\min(n, d \log k)}$ .对于多维矩形电路，证明的下限渐近匹配的上限。
2021-03-13 cs.CC cs.DM
Some Lower Bound Results for Set-Multilinear Arithmetic Computations
本文研究了集-多线性算术电路和集-多线性分支程序的结构，目的是给出下界结果。我们定义了这些模型的一些自然限制，我们能够显示下界结果。我们的一些结果扩展了现有的下限，而另一些是新的，并提出了开放的问题。（1）我们观察到集合多线性算术电路可以有效地转化为浅集合多线性电路，类似于[VSBR 83，RY 08]对更一般的交换电路的深度约简结果。因此，我们注意到，多项式规模集多线性电路有准多项式规模集多线性分支程序。我们发现，\emph{narrow}集多线性ABP（有限数量的集合类型）计算永久多项式$\mathrm{PER}_n$需要$2^{n^{Ω(1)}}$大小。一个类似的结果，一般集多线性ABP出现困难，因为它将意味着永久需要超多项式大小集多线性电路。这也意味着，非交换永久需要超多项式大小的非交换算术电路。(2)事实上，我们还表明，集多线性分支程序是指数更强大的比\emph{interval}多线性电路（其中每个门的索引集被限制为一个区间w.r.t.\”（《易经》）：“君子之道，焉可诬也？有始有终。这进一步强调了集合多线性分支程序的强大功能。(3)最后，我们考虑了集多线性回路，并对单项式的证明树的个数进行了限制，证明了指数下界的结果。这就提出了一些新的下限问题。
2015-11-07 cs.CC
Lower bounds for planar Arithmetic Circuits
本文研究平面算术电路，证明了计算显式双线性形式和线性变换的尺寸下界，并揭示了平面计算模型间的精细分离及与Baur-Strassen定理的对比。
2025-09-14 cs.CC
Conditional Complexity Hardness: Monotone Circuit Size, Matrix Rigidity, and Tensor Rank
Neapolis University Pafos（帕福斯尼阿波利斯大学）；JetBrains Research（JetBrains研究）
本文基于条件复杂性理论，通过非确定性下界构造高复杂度的布尔函数、矩阵和张量，证明了电路大小的下界。
2026-03-08 cs.CC
On the complexity of hazard-free circuits
构造无冒险布尔电路的问题可以追溯到20世纪40年代，是电路设计中的一个重要问题。我们的主要下界结果无条件地表明存在的功能，其电路复杂性是多项式有界的，而每一个无风险的实现是可证明的指数大小。以前的无风险复杂度下限仅对深度2电路有效。同样的证明方法得出，布尔矩阵乘法的每一个次立方实现都必须有冒险。这些结果来自一个关键的结构性见解：无风险复杂性是单调复杂性对所有（不一定是单调的）布尔函数的自然推广。因此，我们可以应用已知的单调复杂度下界来找到无风险复杂度的下界。我们还解除这些方法从单调设置证明指数无风险的复杂性下界的非单调函数。作为我们的主要上界结果，我们展示了如何有效地转换成一个有界位的无风险电路，只有一个多项式大爆破的门的数量。以前，最著名的方法在最坏的情况下产生指数级大的电路，所以我们的算法给出了指数级的改进。作为一个侧面的结果，我们建立了几个危险检测问题的NP-完全性。
2018-04-04 cs.CC
Formalizing PARITY Circuit Lower Bounds in Lean
University of Wyoming（怀俄明大学）
在 Lean 中形式化 Håstad 的 PARITY 下界，证明深度受限电路需指数规模，并构造 NC1 非 AC0 子集的见证。
2026-09-22 cs.CC cs.LO
Sumset Structure in Local Computation
Cornell University（康奈尔大学）
本文提出ℓ-局部决策树模型，证明其强下界可蕴含突破性电路下界，并利用和集结构新技术为oblivious变体证明最优下界，同时开创次数为2的决策树研究。
2026-09-22 cs.CC
An Improved Homomorphism Preservation Theorem From Lower Bounds in Circuit Complexity
作者[39]以前的工作表明，经典模型论的同态保持定理在其陈述仅限于有限结构时仍然有效。在本文中，我们给出了一个新的证明，通过减少电路复杂性的下界，特别是在AC $^0$公式大小的着色子图同构问题。在形式上，我们证明了：如果一个一阶句子$Φ$的量词秩$k$在有限结构上的同态下保持不变，那么它在有限结构上等价于一个存在肯定句子$Ψ$的量词秩$k^{O(1)}$ .量化，这改进了[39]的结果，其中$Ψ$的量化器秩的上限是$k$的非初等函数。
2016-12-24 cs.CC
A Top-Down Depth-Four Circuit Lower Bound for Majority
College of Information Engineering, Shanghai Maritime University（上海海事大学信息工程学院）；Shenzhen University of Advanced Technology（深圳先进技术研究院）
该研究扩展了FOCS 2023的工作，针对多数函数构造镜像集以解决翻转多位输入的挑战，得到其自顶向下深度四电路下界。
2026-08-11 cs.CC
Super-Linear Gate and Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-Two and Depth-Three Threshold Circuits
为了正式理解神经计算的能力，我们首先需要破解两层和三层阈值电路的前沿，这是一种令人惊讶的难以分析的机制。我们证明了第一个超线性门下界和第一个超二次线下界的深度为2的线性阈值电路的任意权重，和深度为3的多数电路计算一个显式函数。$\bullet$我们证明了，对于所有的$ε\gg \sqrt{\log(n)/n}$，线性时间可计算的Andreev函数不能计算$(1/2+ε)$分数的$n$位输入的深度2线性阈值电路的$o(ε^3 n^{3/2}/\log^3 n)$门，也不能计算与$o(ε^{3} n^{5/2}/\log^{7/2} n)$线。这为阈值电路建立了一个平均情况下的“大小层次”，因为Andreev函数可以通过$o(n^3)$线性阈值门的均匀深度2电路和$O(n)$多数门的均匀深度3电路来计算。$\bullet$我们提出了一个新的功能，在$P$的基础上小偏置集，我们证明了不能计算的多数表决的深度为2的线性阈值电路与$o(n^{3/2}/\log^3 n)$门，也与$o(n^{5/2}/\log^{7/2}n)$线。$\bullet$我们给出了紧密的平均情况下（门和线）复杂性计算奇偶校验与深度两个阈值电路的结果，答案原来是相同的深度两个多数电路。关键是线性阈值函数的一个新的随机约束引理。我们的主要分析工具是加法组合学中的Littlewood-Offord引理。
2015-11-24 cs.CC cs.NE
Average-Case Lower Bounds and Satisfiability Algorithms for Small Threshold Circuits
$ \newcommand{\cclass}[1]{\normalfont\textsf{##1}} $我们显示平均情况下的显式布尔函数对有界深度阈值电路的超线性导线数的下限。我们表明，对于每一个整数$d > 1$，有一个常数$\varepsilon_d > 0$，使$n$位上的奇偶函数具有相关性最多$n^{-\varepsilon_d}$与深度- $d$阈值电路有最多$n^{1+\varepsilon_d}$线，和$n$位上的广义Andreev函数具有相关性最多$\exp(-{n^{\varepsilon_d}})$与深度- $d$阈值电路有最多$n^{1+\varepsilon_d}$线。以前，在这种情况下，只有最差情况下的下限是已知的（Impagliazzo，Paturi和Saks（SICOMP 1997））。我们用我们的想法在几个相关问题上取得了进展。针对具有超线性导线数的深度$d$阈值电路，给出了击败暴力搜索的可满足性算法.这是第一个深度大于2的算法。我们还表明，$n$位的奇偶校验不能计算多项式大小的$\textsf{AC}^0$电路与$n^{o(1)}$一般阈值门。以前，此设置中的奇偶校验下限不能处理多个$\log(n)$门。这个结果也暗示了在均匀分布下具有$n^{o(1)}$阈值门的$\textsf{AC}^0$的次指数时间学习算法。此外，我们给出了几乎最优的边界的深…
2018-06-16 cs.CC
