Model-Theoretic Characterizations of Boolean and Arithmetic Circuit Classes of Small Depth
在本文中，我们给出了描述复杂性理论中对数深度的布尔和算术电路类的特征，即，布尔类$\textrm{NC}^1$、$\textrm{SAC}^1$和$\textrm{AC}^1$以及它们的算术对应物$\#\textrm{NC}^1$、$\#\textrm{SAC}^1$和$\#\textrm{AC}^1$。我们建立在Immerman的恒定深度多项式大小电路的表征的一阶逻辑公式，即，$\textrm{AC}^0 = \textrm{FO}$，并且用一个用于以归纳的方式定义关系的运算符来扩充逻辑语言。考虑到新算子的微小变化，我们得到了上述三个布尔类的统一刻画。然后，算术类可以通过计算语义游戏中的获胜策略的函数来表征，这些策略用于表征相应布尔类中的语言的公式。
2017-10-06 cs.CC
Unbalancing Sets and an Almost Quadratic Lower Bound for Syntactically Multilinear Arithmetic Circuits
本文证明了计算显式多线性多项式$f(x_1, \ldots, x_n)$的任意语法多线性算术电路的规模上的$Ω(n^2/\log^2 n)$的一个下界。我们的方法扩展和改进了Raz，Shpilka和Yehudayoff（[RSY 08]）的结果，他们证明了同一多项式的$Ω(n^{4/3}/\log^2 n)$的下界。我们的改进如下从一个渐近最优下界的广义版本的Galvin的极值集理论的问题。
2017-11-02 cs.CC
A hitting set construction, with application to arithmetic circuit lower bounds
多项式同一性测试算法必须确定给定的输入多项式是否完全等于0。给出了一元多项式$\sum_{j=0}^t c_j X^{α_j} (a + b X)^{β_j}$的确定性黑盒恒等式检验算法。从我们的算法中，我们推导出一个指数下界表示的多项式，如$\prod_{i=1}^{2^n} (X^i-1)$在这种形式下。已经证明，这些多项式很难用一般的算术电路来计算。我们的结果表明，“从去随机化的硬度”的方法是可行的，为一类受限制的算术电路的下界。证明是基于代数数论的技术，更确切地说，是基于代数数的高度函数的性质。
2009-12-08 cs.CC
On the power of homogeneous depth 4 arithmetic circuits
我们证明了指数下界的大小均匀深度4算术电路计算显式多项式$VP$。我们的结果适用于{ \it迭代矩阵乘法}多项式-特别是，我们表明，任何均匀的深度4电路计算$n$通用矩阵的尺寸$n^{O(1)}$的产品中的$(1,1)$条目必须有大小$n^{Ω(\sqrt{n})}$。我们的研究结果在两个重要方面加强了以前的工作。我们的下界对$VP$中的多项式成立。在我们的工作之前，Kayal等人[KLSS 14]证明了在$VNP$中计算多项式的齐次深度4电路（特征零域）的指数下界。深度为4的齐次电路在$VP$中计算一个poly的最著名的下界是$n^{Ω(\log n)}$由[LSS，KLSS 14]得到的界，我们的指数下界也给出了一般算术电路和齐次深度为4的算术电路之间的第一个指数分离.特别是，它们意味着Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的深度缩减结果即使对于一般均匀深度4电路的缩减（没有有界底部扇入的限制）也是紧密的。我们的下界对所有域都成立。[KLSS 14]的下界仅适用于特征为零的域。在我们的工作之前，均匀深度4电路在正特性场上的最佳下界是$n^{Ω(\log n)}$ [LSS，KLSS 14]。
2014-04-07 cs.CC
On top fan-in vs formal degree for depth-$3$ arithmetic circuits
我们证明了在复数域上，\emph{every}齐次多项式的次数$d$可以近似（在边界复杂性意义下）的深度$3$算术电路的顶部扇入最多$d+1$。这是相当令人惊讶的，因为在次数$2$的$n$变量上存在齐次多项式$P$，使得计算$P$的任何深度$3$算术电路必须具有至少$Ω(n)$的顶部扇入。作为一个应用，我们在Gupta，Kamath，Kayal和Saptharishi [GKKS 13]的著名深度缩减结果的近似模拟中得到了顶部扇入和形式度之间的新权衡。形式上，我们表明，如果一个程度$d$齐次多项式$P$可以由大小$s$的算术电路计算，然后对于每个$t \leq d$，$P$是在顶部扇入$s^{O(t)}$和正式程度$s^{O(d/t)}$的深度$3$电路的边界。据我们所知，在[GKKS 13]的原始证明中，顶部扇入的上界总是至少为$s^{O(\sqrt{d})}$，而不管形式程度如何。
2018-04-10 cs.CC
Superpolynomial lower bounds for general homogeneous depth 4 arithmetic circuits
本文证明了一类齐次深度为4的算术电路的超多项式下界。我们给出了一个显式多项式在VNP的程度$n$在$n^2$变量，使任何均匀深度4算术电路计算它必须有大小$n^{Ω(\log \log n)}$。我们的结果推广了Nisan-Wigderson [NW 95]的工作（显示了均匀深度3电路的超多项式下限），Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi和Kayal-Saha-Saptharishi [GKKS 13，KSS 13]（其示出了具有有界底部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界），Kumar-Saraf [KS13a]（其显示了具有有界顶部扇入的均匀深度4电路的超多项式下界）和Raz-Yehudayoff和Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan [RY 08，FLMS 13]（其示出了多线性深度为4的电路的超多项式下界）。事实上，这些结果中有几个显示了指数下界。在我们的证明的主要成分是一个新的复杂性措施{ \it有界支持}移位偏导数。该措施使我们能够证明均匀深度4电路的指数下界，其中在底层计算的所有单项式具有{ \it有界支持}（但可能是无界度/扇入），加强了Gupta等人和Kayal等人的结果[GKKS 13，KSS 13]。这个新的下界结合了一个仔细的“随机限制”过程（将一般的深度为4的齐次电路转换为具有有界支持的深度为4的电路），给…
2013-12-20 cs.CC
Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials
受矩阵的Hadamard积的启发，本文定义了多元多项式的Hadamard积，并研究了它的运算电路和分支程序的复杂性。我们还提供了多项式身份测试的应用程序和连接。我们的主要结果如下。1.我们表明，非交换多项式身份测试代数分支程序的有理数是完整的对数空间计数类$\ceql$，并在领域的特征$p$的问题是在$\ModpL/\Poly$。2.给出了Raz-Yehudayoff多项式表示为两个单调多线性多项式的Hadamard积的指数下界。相比之下，恒量可以表示为两个二次型单调多线性公式的Hadamard乘积。
2009-07-23 cs.CC
The Limits of Depth Reduction for Arithmetic Formulas: It's all about the top fan-in
近年来，提出了一种非常令人兴奋和有前途的方法来证明算术电路的下界。该方法结合了Agrawal-Vinay [AV 08]、Koiran [Koi 12]和Tavenas [Tav 13]的工作中开发的{ \it深度缩减}方法，以及Kayal [Kay 12]和Gupta等人[GKKS 13 a]的工作中开发的移位偏导数复杂性度量的使用。这些结果激发了其他各种算术电路的美丽结果和强下界的热潮，特别是Kayal等人[KSS 13]最近的工作，通过这些公式的{\it改进的深度约简}显示了{ \it正则}算术公式的超多项式下界。这是一个有趣的问题，如果这些方法可以证明一般（齐次）算术公式的超多项式下界，如果是这样，这将确实是一个突破算术电路复杂性。在本文中，我们研究的权力和限制的深度减少和移位偏导数的算术公式。我们通过研究深度为4的同构算术电路类来实现。我们证明了：（1）具有顶部扇入$o(\log n)$的齐次深度为4的电路类的第一个{ \it超多项式下界}。我们的结果的核心是显示这些电路的{ \it改进的深度减少}。(2)我们表明，改进的深度减少{ \it是不可能的}时，顶部扇入是$Ω(\log n)$。特别是，这表明Koiran和Tavenas [Koi 12，Tav 13]的深度缩减程序即使对于齐次公式也无法改进，因此加强了Fournier等人[FLMS 13]的结果，Fournie…
2013-11-26 cs.CC
Parallel Identity Testing for Skew Circuits with Big Powers and Applications
介绍了功能强大的时滞算术电路。这些是带有变量的偏斜算术电路，其中输入门可以用二进制编码数$n$的幂$x^n$来标记。证明了高性能扭斜算术电路的多项式恒等式测试属于$\mathsf{coRNC}^2$，推广了标准扭斜电路的相应结果。这一结果的两个应用：（i）等价的高维直线程序可以测试在$\mathsf{coRNC}^2$ ;这一结果甚至是新的一维情况下，直线程序产生字符串。(ii)一类由交换群生成的环积的压缩字问题（或电路求值问题）属于$\mathsf{coRNC}^2$。
2015-02-16 cs.CC
Semidefinite programming and arithmetic circuit evaluation
一个有理数可以很自然地用算术运算（AC）来表示：从一个固定常数（比如1）开始的一系列基本算术运算。例如，在任意域上的代数复杂性理论的框架下，研究了这种表示的渐近复杂性问题。在这里，我们研究了一个相关的问题的复杂性进行算术运算和计算基本谓词，例如"=“或"”，有理数由AC。首先，我们证明了AC可以有效地模拟精确半定规划（SDP）。其次，我们给出了等式谓词的BPP算法。第三，我们把“”-谓词放入复杂性类PSPACE中。我们猜想"“-谓词是很难计算的。这个猜想，如果是真的，将澄清的复杂性状态的确切SDP -一个众所周知的开放问题，在数学规划领域。
2005-12-09 cs.CC
Some Lower Bound Results for Set-Multilinear Arithmetic Computations
本文研究了集-多线性算术电路和集-多线性分支程序的结构，目的是给出下界结果。我们定义了这些模型的一些自然限制，我们能够显示下界结果。我们的一些结果扩展了现有的下限，而另一些是新的，并提出了开放的问题。（1）我们观察到集合多线性算术电路可以有效地转化为浅集合多线性电路，类似于[VSBR 83，RY 08]对更一般的交换电路的深度约简结果。因此，我们注意到，多项式规模集多线性电路有准多项式规模集多线性分支程序。我们发现，\emph{narrow}集多线性ABP（有限数量的集合类型）计算永久多项式$\mathrm{PER}_n$需要$2^{n^{Ω(1)}}$大小。一个类似的结果，一般集多线性ABP出现困难，因为它将意味着永久需要超多项式大小集多线性电路。这也意味着，非交换永久需要超多项式大小的非交换算术电路。(2)事实上，我们还表明，集多线性分支程序是指数更强大的比\emph{interval}多线性电路（其中每个门的索引集被限制为一个区间w.r.t.\”（《易经》）：“君子之道，焉可诬也？有始有终。这进一步强调了集合多线性分支程序的强大功能。(3)最后，我们考虑了集多线性回路，并对单项式的证明树的个数进行了限制，证明了指数下界的结果。这就提出了一些新的下限问题。
2015-11-07 cs.CC
Arithmetic Circuits with Division
该研究探讨带元素级整数除法的自然数算术电路成员问题的复杂度，分析不同运算子集的复杂度边界，发现含除法的两类运算集仍为PSPACE完全，{并，/}集为NP难，补充了多个复杂度界结果。
2025-02-18 cs.CC
Balancing Bounded Treewidth Circuits
小树宽图的数学工具被用来解决复杂性理论中的问题。对于算术和布尔电路，它表明，任何电路的大小$n^{O(1)}$和树宽$O(\log^i n)$可以模拟的电路宽度$O(\log^{i+1} n)$和大小$n^c$，其中$c = O(1)$，如果$i=0$，和$c=O(\log \log n)$否则。对于我们的主要结构，我们证明了大小为$n^{O(1)}$和树宽为$k$的乘法不相交算术电路可以用深度为$O(k^2\log n)$的有界扇入算术公式来模拟。从这一点上，我们得出类似的语句语法多线性算术电路，加强了一个定理的马哈詹和饶。作为另一个应用，我们得出的恒定宽度的算术电路的大小$n^{O(1)}$可以平衡到深度$O(\log n)$，提供一定的限制，使用迭代乘法。同样从我们的主要结构，我们得出，大小$n^{O(1)}$和树宽$k$的布尔有界扇入电路可以模拟的深度$O(k^2\log n)$的有界扇入公式。这在非均匀设置中加强了已知的包含物$SC^0 \subseteq NC^1$。最后，我们应用我们的建设表明，{ \sc可达性}有界树宽的有向图是在$LogDCFL$。
2009-10-08 cs.CC
Lower bounds for planar Arithmetic Circuits
本文研究平面算术电路，证明了计算显式双线性形式和线性变换的尺寸下界，并揭示了平面计算模型间的精细分离及与Baur-Strassen定理的对比。
2025-09-14 cs.CC
Identity Testing for +-Regular Noncommutative Arithmetic Circuits
对于由非交换算术电路给出的非交换多项式，一个有效的随机多项式恒等式检验仍然是一个悬而未决的问题。应用已知技术的主要瓶颈是大小为$s$的非交换电路可以计算具有双指数数目的非零单项式的$s$中的次数指数的多项式。在本文中，我们报告了一些进展，通过处理两个自然的子情况（都允许多项式的指数次数和单项式的双指数数）：（1）我们考虑\emph{$+$-regular}非交换电路：这些都是齐次非交换电路的附加性质，所有的$+$ -门是分层的，并在每个$+$ -层的所有门有相同的语法程度。我们给出了这种电路的\emph{white-box}多项式时间确定性多项式恒等式测试。我们的算法结合了$+$ -正则电路的一些新的结构结果与已知的非交换ABP恒等式测试[RS 05 PIT]，交换深度3恒等式的秩界[SS 13]和字的等价测试问题[Loh 15，MSU 97，Pla 94]的结果。(2)接下来，我们考虑$ΣΠ^*Σ$非交换电路：这些是具有分层$+$门的非交换电路，使得只有两层$+$门。这些$+$层是输出$+$门和底层的线性形式;在$+$层之间，电路可以有任何数量的$\times$门。给出了$ΣΠ^*Σ$电路的一个有效的随机\emph{black-box}恒等式测试问题.特别是，我们表明，如果$f\in F<Z>$是一个非零的非交换多项式计算的$ΣΠ^*Σ$电路的大小$s$，那么$f$不能是一个多项…
2016-11-22 cs.CC
A Model-Theoretic Characterization of Constant-Depth Arithmetic Circuits
研究了由无限扇入加法和乘法门的常数深度多项式大小算术电路计算的函数类$\textrm{AC}^0$。到目前为止，没有数学电路类的模型理论表征。受Immerman的布尔类$\textrm{AC}^0$的表征的启发，我们补救这种情况，并开发这样的表征$\textrm{AC}^0$。我们的特征可以解释如下：功能在$\textrm{AC}^0$正是那些功能计数获胜的策略在一阶模型检验游戏。我们的结果的一个后果是一个新的模型理论表征的$\textrm{TC}^0$，接受的语言类的常数深度多项式大小的多数电路。
2017-10-05 cs.CC cs.LO
A Compilation of Succinctness Results for Arithmetic Circuits
算术电路（AC）是一种输入变量为0/1的实数电路，其门计算其输入的和或积。正AC -即代表非负函数的AC-衍生了许多有趣的概率模型，如指标变量的概率概率决策图（PSDD）或和积网络（SPN）。这些模型的概率推理中有用的许多操作的有效算法严重依赖于对底层AC施加结构限制。一般来说，增加结构限制会产生新的易处理的操作，但会增加AC的大小。在本文中，我们研究了相对简洁的类AC与不同的组合的共同限制。布尔电路的现有成果的基础上，我们推导出一个无条件简洁映射类单调AC -也就是说，AC的常数标签是非负实数-尊重相关的组合，我们考虑的限制。我们扩大了一小部分的地图类积极的交流。这些通常被称为是指数更简洁比单调对应，但我们在这里观察到，对于所谓的确定性电路之间没有区别的单调和积极的设置，这使我们能够提升我们的一些结果。我们结束了一些见解的相对简洁的积极AC显示指数下界的某些功能的表示，在积极的AC尊重结构化分解。
2021-10-25 cs.CC
On fixed-polynomial size circuit lower bounds for uniform polynomials in the sense of Valiant
假设广义黎曼假设（GRH），我们表明，对于所有的k，存在多项式的系数在$\MA$没有算术电路的大小为O（n^k）的复杂领域（允许任何复常数）。我们还建立了一个家庭的多项式，可以评估在AM没有算术电路的大小为O（n^k）。然后，我们调查固定多项式大小的电路边界的布尔和算术设置之间的联系。在特征零点，证明了$\NP \not\subset \size(n^k)$，或$\MA \subset \size(n^k)$，或NP=MA隐含了复数域上VNP类n元均匀多项式的电路大小的下界，假设GRH.在正特征p下，VNP中的一致多项式有固定多项式长度的回路当且仅当VP=VNP和Mod_pP都有固定多项式长度的回路.
2013-04-22 cs.CC
Arithmetic Circuits, Structured Matrices and (not so) Deep Learning
University at Buffalo（布法罗大学）
本调查对算术电路复杂性、结构化矩阵和深度学习交叉点的结果进行了不完整（且有偏见）的概述。最近有一些研究活动在用结构化权重矩阵替换神经网络中的非结构化权重矩阵（目的是减少相应的深度学习模型的大小）。这项工作大部分都是实验性的，在这项调查中，我们将研究问题形式化，并展示了最近结合算术电路复杂性，结构化矩阵和深度学习的工作如何从根本上回答这个问题。本调查针对的是复杂性理论家，他们可能会喜欢阅读关于在算术电路复杂性方面开发的工具如何帮助设计（据我们所知）一个新的结构化矩阵家族，这反过来又非常适合深度学习的应用。然而，我们希望那些对深度学习感兴趣的人也能欣赏与复杂性理论的联系。
2022-10-31 cs.CC cs.LG
Recurrent Graph Neural Networks and Arithmetic Circuits
Institut für Theoretische Informatik, Leibniz Universität Hannover, Germany（汉诺威莱布尼茨大学理论计算机研究所）；School of Computing Science, University of Glasgow, UK（格拉斯哥大学计算机科学学院）
本文提出递归算术电路模型，通过建立递归GNN与算术电路之间的精确对应关系，揭示了递归GNN在处理标记图时的计算能力。
2026-03-05 cs.AI cs.CC cs.LG
Symmetric Arithmetic Circuits
本文提出对称算术电路模型，证明计算积和式需指数规模，而特征零域上行列式可用多项式规模对称电路计算。
2024-01-19 cs.CC cs.DM cs.LO
Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications
在80年代的一系列开创性结果中，Kaltofen证明了复杂性类VP在取因子下是封闭的。在这种情况下，一个自然的问题是要理解，如果其他自然类的多元多项式，例如，算术公式，代数分支程序，有界深度算术电路或类VNP，是封闭的采取因素。本文证明了多项式的次数至多为$\log^a n$的所有因子都有深度至多为$O(k + a)$的Poly（n）规模的$k$回路.这部分回答了Shpilka-Yehudayoff的问题，并应用于有界深度算术电路的硬度-随机性权衡。更准确地说，这表明，一个超多项式下界有界深度算术电路，为一个家庭的显式多项式的次数多$(\log n)$意味着确定性的次指数时间算法多项式身份测试（PIT）有界深度算术电路。这与Dvir等人的一个美丽的结果是无法比拟的，其中，他们表明，对于任何显式多项式族（潜在的高次数），恒定深度算术电路的超多项式下限意味着有界个体次数的有界深度电路的次指数时间确定性PIT。因此，我们删除了[DSY 09]中的“有界个体度”条件，代价是加强了对低次多项式的硬度假设。作为我们的技术的直接应用，我们还证明了复杂性类VNP在取因子下是封闭的，从而证实了Bürgisser的一个猜想，并得到了这一事实的另一个证明（首先由Dutta等人证明）。如果次数至多为$d$的多项式$Q$除以可由大小为$s$的公式计算的多项式$P$，则$Q$具有大小至多为poly $(s, …
2018-03-15 cs.CC
Arithmetic Circuits with Locally Low Algebraic Rank
近年来，有一系列的活动证明了均匀深度4算术电路的下界，这使我们非常接近于隐含$\textsf{VP} \neq \textsf{VNP}$的语句。它是开放的，如果这些技术可以超越同质性，在本文中，我们在这个方向上取得了一些进展，考虑深度4电路的低代数秩，这是一个自然的扩展同质深度4电路。深度4电路是$N$变量、次数$n$多项式$P$的表示，即\[ P = \sum_{i = 1}^T Q_{i1}\cdot Q_{i2}\cdot \cdots \cdot Q_{it} \; , \]，其中$Q_{ij}$由它们的单项展开给出.同质性为每个$i \in [T]$添加约束，即$\sum_{j} \operatorname{deg}(Q_{ij}) = n$。我们研究的扩展，其中，对于每个$i \in [T]$，多项式的集合$\{Q_{i1}, Q_{i2}, \ldots ,Q_{it}\}$的代数秩至多是一些参数$k$。对于$k = n$，这些电路是均匀深度4电路类的推广，其中特别是$t \leq n$（因此是$k \leq n$）。我们研究了这类电路的下界和多项式恒等式检验，并证明了以下结果。我们显示了一个$\exp{(Ω(\sqrt{n}\log N))}$下界，这样的电路的显式$N$变量度$n$多项式家庭时，$k \leq n$。当每个$Q_{ij}$和$k$的次数至多为$\…
2018-06-15 cs.CC
Functional lower bounds for restricted arithmetic circuits of depth four
最近，Forbes，Kumar和Saptharishi [CCC，2016]证明了存在显式的$d^{O(1)}$ -变量和次数$d$多项式$P_{d}\in VNP$，使得如果任何有界形式次数$d$的深度4电路$C$计算有界个体次数$O(1)$的多项式，即在功能上等价于$P_d$，则$C$必须具有大小$2^{Ω(\sqrt{d}\log{d})}$。他们工作的动机来自于布尔电路复杂性。基于Yao [FOCS，1985]和Beigel和Tarui [CC，1994]对$ACC^0$电路的表征，Forbes，Kumar和Saptharishi [CCC，2016]观察到$ACC^0$中的函数也可以通过代数$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路计算（即，形式的电路--多项式的幂和）大小为$2^{\log^{O(1)}n}$。因此，他们认为，一个显式多项式$Q$对$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路的$2^{ω(\log^{O(1)}{n})}$“函数”下界将意味着一个$Q$对非均匀$ACC^0$的“相应布尔函数”的下界。在他们的工作中，他们问他们的下限是否可以扩展到$Σ\mathord{\wedge}ΣΠ$电路。对大整数$n$和$d$，使得$ω(\log^2n)\leq d\leq n^{0.01}$，证明了任意次数至多为$O\left(\frac{d}{k^2}\ri…
2021-07-20 cs.CC
Graph Neural Networks and Arithmetic Circuits
Institute for Theoretical Computer Science（理论计算机科学研究所）；Leibniz University Hanover（汉诺威莱布尼茨大学）；School of Computer Science（计算机科学学院）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文建立了图神经网络表达能力与实数算术电路之间的精确对应关系，将激活函数映射为电路门类型，并证明该对应在常数深度及均匀与非均匀情形下对所有常见激活函数成立。
2024-11-21 cs.AI cs.CC cs.LG
Low-depth arithmetic circuit lower bounds via shifted partials
我们使用移位偏分测度[Gupta-Kamath-Kayal-Saptharishi，CCC 2013]，[Kayal，ECCC 2012]和偏分测度的仿射投影[Garg-Kayal-Saha，FOCS 2020]，[Kayal-Nair-Saha，STACS 2016]证明了低深度算术电路的超多项式下界。Limaye，Srinivasan和Tavenas最近的突破性工作[FOCS 2021]通过证明低深度集合多线性电路的下界证明了这些下界。我们的证明的一个有趣的方面是，它不需要一个电路的集合多线性电路的转换，也不涉及随机限制。我们能够直接上界齐次公式的措施，而不通过集多重线性。我们的下界保持迭代矩阵乘法以及Nisan-Wigderson设计多项式。我们还定义了一个子类的齐次公式，我们称之为独特的解析树（UPT）公式，并证明这些超多项式下界。这推广了[Kayal-Saha-Saptharishi，STOC 2014]，[Fournier-Limaye-Malod-Srinivasan，STOC 2014]中正则公式的超多项式下界。
2022-11-14 cs.CC cs.SC
A Superpolynomial Lower Bound on the Size of Uniform Non-constant-depth Threshold Circuits for the Permanent
我们表明，永久不能计算DLOGTIME-均匀的阈值或算术电路的深度O（日志日志n）和多项式的大小。
2009-02-11 cs.CC
The Power of Depth 2 Circuits over Algebras
研究了矩阵代数上深度为2的算术电路的多项式恒等式测试问题。我们证明了域F上深度为3的（Sigma-Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试是多项式时间等价于域U_2（F）上深度为2的（Pi-Sigma）算术电路的恒等式测试。这样的联系是有点令人惊讶的，因为我们还表明，作为计算模型，在U_2（F）上的Pi-Sigma电路严格“弱”于在F上的Sigma-Pi-Sigma电路。该等价性进一步表明，深度为3的算术电路的PIT可退化为宽度为2的平面交换代数分支程序的PIT。因此，即使在宽度为2的情况下，交换ABP的身份测试也是有趣的。进一步，我们给出了F上任意常维交换代数上Pi-Sigma电路的确定性多项式时间恒等式检验算法。而在多项式维数的交换代数上，恒等式检验至少和F上的Sigma-Pi-Sigma电路一样困难。
2009-04-14 cs.CC cs.DS
Small hitting-sets for tiny arithmetic circuits or: How to turn bad designs into good
我们证明了如果我们能为大小为$s$的$Σ\wedge^aΣΠ^{O(\log s)}$电路设计poly（$s$）-时间命中集，其中$a=ω(1)$是任意小的，变量数或元数$n$是$O(\log s)$，那么我们就能在拟多项式时间内对一般电路的黑盒PIT进行去随机化.这还确定E $\not\subseteq$ \#P/poly或VP $\ne$ VNP。事实上，我们表明，一个只需要一个多（$s$）-时间击中集对个人度$a'=ω(1)$多项式是可计算的大小- $s$ arity- $(\log s)$ $ΣΠΣ$电路（注：$Π$扇入可能是$s$）。或者，我们声称，要理解VP，只需要找到命中集，深度$3$，有一个小的参数化的复杂性。另一个有趣的小族是当我们限制元数$n=ω(1)$为任意小时。我们证明了如果我们能为大小- $s$元- $n$ $ΣΠΣ\wedge$电路（分别为~ $Σ\wedge^aΣΠ$），其中函数$μ$是任意的，则我们可以在拟多时间内求解VP的PIT，并证明了相应的下界。我们的方法是强大的，足以证明一个令人惊讶的{ \em arity reduction}为PIT-完全解决一般的问题，它足以找到一个黑盒PIT的时间复杂性$sd2^{O(n)}$。我们给出了几个（$\log s$）变量电路的例子，其中一个新的测量（称为锥大小）有助于设计多时间命中集，但对于它们的$s$变量…
2017-02-23 cs.CC
The Chasm at Depth Four, and Tensor Rank : Old results, new insights
Agrawal和Vinay [AV08]展示了如何将任何多项式大小的算术电路视为次指数大小的深度4算术电路。Korian [Koiran]和随后的Tavenas [Tav 13]更仔细地分析了该模拟中产生的电路大小。我们提供了一个简单的证明这个结果链。然后，我们抽象的主要成分，将其应用到公式和恒定深度电路，并显示更多的结构化深度减少。在一个先验的令人惊讶的结果中，Raz [Raz10]表明，对于任何$n$和$d$，使得$ ω(1) \leq d \leq O\left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)$，构造足够高秩的显式张量$T:[n]^d \rightarrow F$将意味着域$F$上算术公式的超多项式下界。使用额外的结构，我们从我们的证明的深度减少算术公式，我们给出了一个新的，可以说是更简单的证明这种连接。我们还扩展了齐次公式的结果，表明，事实上，连接持有任何$d$，使$ω(1) \leq d \leq n^{o(1)}$。
2017-08-01 cs.CC
Arithmetic circuit lower bounds from sumset expansion
研究通过构造难以捉摸的函数证明算术电路下界。新方法将坐标映射限于单项式，利用和集扩张及切博塔廖夫定理分析构造，解决相关开放问题，改进拉兹超线性界，为算术电路下界研究提供新思路。
2026-07-20 cs.CC
Constant-Depth Arithmetic Circuits for Linear Algebra Problems
Cheriton School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学 Cheriton 计算机科学学院）；School of Mathematics, Institute for Advanced Study（高等研究院数学学院）
本文提出了一种常深算术电路方法，用于高效解决多项式最大公约数、判别式、结果式等线性代数问题。
2025-09-22 cs.CC cs.SC
Deterministic Identity Testing for Sum of Read-Once Oblivious Arithmetic Branching Programs
只读不经意算术分支程序（ROABP）是一种算术分支程序（ABP），其中每个变量最多出现在一层中。我们给出了第一个多项式时间白盒身份测试的多项式计算的总和不断许多ROABP。我们还给出了相应的具有拟多项式时间复杂度的黑盒算法$n^{O(\log n)}$ .在这两种情况下，我们的时间复杂度是ROABP数量的双指数。ROABP是集合多线性深度$3$电路的推广。先前的结果总和不断多集多线性深度$3$电路只是略好于蛮力，即指数时间。我们的技术是一个新的相互作用的三个概念的ROABP：低评价维度，基础隔离权重分配和低支持等级浓度。我们的基础隔离等级浓度，并将其扩展到两个ROABPs使用评估维度（或偏导数）的总和。
2015-05-16 cs.CC
Tractable Boolean and Arithmetic Circuits
Computer Science Department, University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校计算机科学系）
易处理的布尔和算术电路在人工智能中已经被广泛研究了二十多年。这些电路最初被提议为“编译对象”，旨在促进逻辑和概率推理，因为它们允许以线性时间和前馈方式（如神经网络）执行各种类型的推理。近年来，易处理电路的作用显著扩大，因为它们成为一些旨在整合知识，推理和学习的方法的计算和语义骨干。在这篇文章中，我们回顾了易处理电路的基础和一些相关的里程碑，同时关注它们的核心属性和技术，使它们对神经符号AI的广泛目标特别有用。
2022-02-07 cs.AI cs.CC cs.LG
Closure of VP under taking factors: a short and simple proof
本文对Kaltofen [Kal86，Kal87，Kal89]的一个经典结果给出了一个简短的、几乎完全自含的证明，证明了如果$n$变次数$d$多项式$f$可以由大小为$s$的算术电路计算，那么它的每个因子都可以由大小至多为$\textsf{poly}\left(s, n, d\right)$的算术电路计算.然而，与Kaltofen的论点，我们的证明并没有直接给出一个有效的算法来计算电路的$f$的因素。
2019-04-19 cs.CC
Notes on Boolean Read-k and Multilinear Circuits
本文定义了布尔 Read-k 电路，并证明 read-1 电路不弱于多种算术和多重线性电路且与 tropical 电路能力相当，同时指出 read-2 电路可比 read-1 电路呈指数级更小。
2023-11-21 cs.CC
Shallow Circuits with High-Powered Inputs
多项式同一性测试算法必须确定输入多项式（例如由算术电路给出）是否完全等于0。在本文中，我们表明，一个确定性的黑盒身份测试算法（高次）一元多项式将意味着一个下界的算术复杂性的永久。已知从（低度）多变量同一性检验的去随机化得出的下界较弱。为了得到我们的下界，对一个非常特定的范数的多项式的身份测试进行去随机化就足够了：稀疏系数的稀疏多项式的乘积之和。这一观察导致新版本的舒布-Smale τ-猜想的整数根的一元多项式。特别是，我们表明，下界的永久将遵循，如果一个人可以给一个足够好的约束的数量上的实根的总和的产品稀疏多项式（笛卡尔规则的迹象给出这样的约束稀疏多项式及其产品）。在这第三个版本中，我们的文件，我们表明，同样的下限将遵循即使只能证明一个稍微超多项式上界的数量的真正的根。这是一个后果的一个新的结果减少到深度4算术电路，我们建立在一个配套文件。我们还表明，一个更弱的实际根的数量上的界限将足以获得一个下界的深度4电路计算永久的大小。
2010-07-30 cs.CC
Negations are powerful even in small depth
University of Oxford（牛津大学）；University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）
该研究通过构造特定多项式族，证明了单调与非单调算术计算的分离，并在布尔设置中获得超多项式下界，同时解决了多个开放问题。
2025-12-22 cs.CC
A Dichotomy Theorem for Homomorphism Polynomials
本文给出了多项式求值复杂性的一个二分法定理。我们将每个图H关联到一个多项式，该多项式对与H同态的固定大小的所有图进行编码。我们表明，这个家庭是可计算的算术电路在恒定的深度，如果H有一个循环或没有边缘，它是困难的，否则（即，完成VNP，与#P相关的算术类）。我们还证明了截消元有理域上的硬度，截消元是Bürgisser定义的一个多项式，已知如果VP不等于VNP，则它在两个元素的域中既不是VP也不是VNP完全的（VP是一类可计算的多项式）通过多项式大小的算术电路）。
2012-10-29 cs.CC
Efficient Identity Testing and Polynomial Factorization over Non-associative Free Rings
本文研究非结合、非交换自由多项式环$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$上的算术计算.在此之前，Hrubes，Wigderson和Yehudayoff [HWY 10]考虑了非关联算术计算，他们给出了下界并证明了完备性结果。我们考虑多项式恒等式检验（PIT）和多项式分解在$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，并显示以下结果。(1)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，我们给出了判定$f$是否为同零多项式的确定性$poly(n,s,d)$算法.我们的结果是通过对Raz-Shpilka [RS 05]的PIT算法进行适当的调整来获得的。(2)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，当$poly(n,s,d)$.在特征$p$的有限域上，我们的算法在时间$poly(n,s,d,p)$上运行。
2017-07-06 cs.CC
Kronecker scaling of tensors with applications to arithmetic circuits and algorithms
本文证明平衡三分张量的低秩假设可使矩阵积和式算术电路及多种计数决策问题获得指数级改进，并通过Steinitz平衡技术建立张量的Kronecker缩放性质，进而将该低秩假设与Strassen渐近秩猜想联系起来。
2025-04-08 cs.CC cs.DS
Generating Matrix Identities and Proof Complexity
受证明复杂性的基本下界问题的启发，我们开始研究矩阵恒等式作为强证明系统的硬实例。域$\mathbb{F}$上的$d \times d$矩阵的矩阵恒等式是$\mathbb{F}$上的非交换多项式$f(x_1,\ldots,x_n)$，使得$f$在每个$d \times d$矩阵对其变量的赋值上为零。我们专注于算术证明，这是证明的多项式恒等式运算算术电路和其公理是多项式环公理（这些证明作为一个代数模拟的扩展弗雷格命题证明系统，并在$GF(2)$，他们正式构成一个子系统的扩展弗雷格[HT12]）。我们引入了一个强度递减的证明系统的算术证明，其中$d$第th级是一个健全的和完整的证明系统，证明$d \times d$矩阵恒等式（在一个给定的字段）。对于每一级$d>2$的层次结构中，我们建立了一个证明大小的下界在矩阵单位证明的变量的数量：我们显示了一个家庭的矩阵单位$f_n$与$n$变量的存在，这样的任何证明$f_n=0$需要$Ω(n^{2d})$行的数量。下界参数使用了多项式恒等式代数理论的基本结果以及[Hru 11]中参数的推广。然后，我们开始研究矩阵恒等式作为（完整）算术证明的硬实例。我们提出了两个apturtures，一个关于非交换算术电路的复杂性和其他有关证明的复杂性，根据指数大小的下界算术证明（在算术电路的大小证明的身份）举行。最后，我们讨论了我们的方法，如扩展弗雷格强命题证明系…
2014-09-03 cs.CC
Lower Bounds for Tropical Circuits and Dynamic Programs
热带回路是以最小值和加号或最大值和加号操作作为门的回路。它们的重要性源于它们与动态规划算法的密切关系。热带电路的能力介于单调布尔电路和单调算术电路之间。在本文中，我们提出了一些下界参数热带电路，因此，动态程序。
2014-07-29 cs.CC
Barriers for Rank Methods in Arithmetic Complexity
算术复杂性被认为比布尔复杂性更容易理解，即通过逻辑门计算布尔函数。事实上，我们似乎有更多的下界技术和结果在算术复杂性比在布尔复杂性。尽管取得了许多成功和快速的进展，但是，像证明显式多项式的电路或公式大小的超多项式下界，或显式三维张量的超线性下界等挑战仍然难以捉摸。与此同时，我们有更多的“障碍结果”，未能证明布尔复杂性的基本下界比算术复杂性。找到算术下限技术的障碍似乎更难，尽管有一些尝试，我们没有类似的借口，这些失败的算术复杂性。本文旨在补充这项研究。我们解决排名的方法，这是长期公认的涵盖和抽象的几乎所有已知的算术下界到目前为止，包括最近令人印象深刻的成功。秩方法（或称秩方法）在代数几何中也被广泛用于证明张量秩和对称张量秩下界。我们的主要结果是这些方法的障碍。特别地，1.秩方法不能证明比$Ω_d (n^{\lfloor d/2 \rfloor})$更好的任何$d$维张量的边$n$的张量秩的下界。(In特别是，他们不能证明超线性，甚至$>8n$张量秩下界的任何三维张量。）2.秩方法不能证明$Ω_d (n^{\lfloor d/2 \rfloor})$对任何$n$ -变量多项式次数$d$的Waring秩。(In特别是，他们无法在更强的模型上证明这样的下限，包括深度3电路。
2017-10-26 cs.CC
On the Hardness of the Determinant: Sum of Regular Set-Multilinear Circuits
本文研究了一类集多线性回路计算可换行列式多项式的计算复杂性，我们称之为正则集多线性回路。正则集多线性电路是对它们可以计算多项式的阶数有限制的交换电路。一个正则电路可以看作是由Hrubes，Wigderson和Yehudayoff定义的有序电路的交换模拟[HWY 10]。证明了如果可交换行列式多项式在许多正则集-多线性回路之和中有小表示，则可交换永久多项式也有小算术回路.
2021-09-21 cs.CC
Algebraic Pseudorandomness in $VNC^0$
本文研究 $VNC^0$ 可计算的击中集生成器，给出无条件及条件构造以击中常数深度算术电路、算术公式和算术分支程序，并由此推导出几何理想证明系统子系统的下界，核心创新在于用电路复杂度下界替代次数下界来保证正确性。
2025-05-15 cs.CC
Secret Sharing on Superconcentrator
Fudan University（复旦大学）
研究基于超 concentrator 的秘密共享方案的算术电路复杂度，通过图论性质和信息不等式推导出上界和下界。
2026-02-27 cs.CC cs.CR cs.IT
A Quadratic Lower Bound for Noncommutative Circuits
The Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India（金奈数学科学研究所）；Homi Bhabha National Institute, Training School Complex,Anushakti Nagar, Mumbai, India（霍米·巴巴国立学院）
该研究证明了非交换算术电路计算回文多项式时的大小下界为Ω(nd)，当d=n时得到Ω(n²)的下界，方法基于并改进了之前的工作。
2026-11-06 cs.CC
A Note on Polynomial Identity Testing for Depth-3 Circuits
令$C$为深度3算术电路，其大小至多为$s$，计算多项式$ f \in \mathbb{F}[x_1,\ldots, x_n] $（其中$\mathbb{F}$ = $\mathbb{Q}$或$\mathbb{C}$），并且$C$的乘积门的扇入由$d$界定。给出了一个确定性多项式恒等式检验算法，用于及时检验是否为$f\equiv 0$.
2018-05-20 cs.CC
The Limited Power of Powering: Polynomial Identity Testing and a Depth-four Lower Bound for the Permanent
多项式恒等式检验和算术电路下界是代数复杂性理论中的两个核心问题。有趣的是，这些问题实际上是相关的。本文的作者之一最近提出了一个“真正的τ-猜想”，这是受这种联系的启发。实τ-猜想指出稀疏一元多项式的乘积之和的实根的个数应该是多项式有界的。它意味着计算永久多项式的算术电路的大小的超多项式下界。本文证明了实τ-猜想对一类有限的稀疏多项式乘积和成立。这一结果产生了一个限制类的深度-4电路的下界：我们表明，多项式大小的电路从这个类不能计算永久的，我们也给出了一个确定性的多项式身份测试算法为同一类电路。
2011-07-07 cs.CC
The Complete Extended Euclidean Scheme Is Not in Piecewise Arithmetic $\mathrm{AC}^0$
该研究证明特征零域上首一单元多项式对的完整扩展欧几里得方案等相关问题，无法由多项式规模、常深度分段算术电路计算，给出了对应下界结论。
2026-08-04 cs.CC
Limitations of sum of products of Read-Once Polynomials
我们研究的多项式计算的深度两个电路建立在只读一次多项式（ROP）和深度三语法多线性公式的限制。我们证明了一个指数下界的大小的$ΣΠ^{[N^{1/30}]}$算术电路建立在语法多线性$ΣΠΣ^{[N^{8/15}]}$算术电路计算产品的变量不相交的线性形式上的$N$变量。我们扩展的结果的情况下，$ΣΠ^{[N^{1/30}]}$算术电路建立在无限深度的ROP，在适当的子公式中的变量的数量与$+$门作为父有界的$N^{1/2+1/30}$。我们表明，同样的下限持有永久多项式。最后，我们得到了一个指数下界的总和的ROP计算多项式在${\sf VP}$定义的Raz和Yehudayoff。我们的结果表明，一类公式的无界深度指数大小的下界对永久和可以被看作是一个指数的改进，多线性公式大小的下界Raz给出的一个子类的多线性和非多线性公式。我们的证明技术是建立在一个开发的拉兹和后来扩展的库马尔等。等人的\cite{KMS13}，并且基于随机分区下的ROP的非平凡分析。此外，我们的研究结果表现出Raz \cite{Raz04a}引入的下界技术的优势和局限性。
2015-12-11 cs.CC
Monotone Complexity of Spanning Tree Polynomial Re-visited
我们证明了两个结果，揭示了新的单调复杂性的生成树多项式，一个经典的多项式的代数复杂性和超越。首先，我们证明了具有$n$变量并定义在常度扩展图上的生成树多项式具有单调的算术复杂度$2^{Ω(n)}$。这产生了VP中多项式的单调算术电路复杂度的第一个强指数下界。在此结果之前，强指数大小单调下界仅为VNP中的显式多项式所知（Gashkov-Sergeev'12，Raz-Yehudayoff'11，Srinivasan'20，Cavalar-Kumar-Rossman'20，Hrubes-Yehudayoff'21）。最近，Hrubes'20发起了一个程序，通过证明$ε\in (0,1)$的特定值范围内的单调算术电路的$ε$敏感下界来证明一般算术电路的下界。我们考虑了定义在完全图上$n$顶点上的生成树多项式$ST_{n}$，证明了定义在$n^2$变量上的多项式$F_{n-1,n} - ε\cdot ST_{n}$和$F_{n-1,n} + ε\cdot ST_{n}$，如果$ε\geq 2^{-Ω(n)}$和$F_{n-1,n} = \prod_{i=2}^n (x_{i,1} +\cdots + x_{i,n})$是完备集多线性多项式，则具有单调电路复杂度$2^{Ω(n)}$.这提供了第一个$ε$敏感的指数下界为家庭的多项式内VP。途中，我们考虑了一个问题，在2方，最佳分区通信的复杂性，…
2021-09-14 cs.CC
Derandomizing Polynomial Identity over Finite Fields Implies Super-Polynomial Circuit Lower Bounds for NEXP
我们表明，去随机化多项式身份测试在任意有限域意味着NEXP没有多项式大小的布尔电路。换句话说，对于任何大小为q的有限域F（q），$PIT_q\in NSUBEXP\Rightarrow NEXP\not\subseteq P/poly$，其中$PIT_q$是F（q）上的多项式恒等式测试问题，NSUBEXP是语言的非确定性子时间类。我们的结果是在合同Kabanets和Impagliazzo的现有定理，去随机化的多项式身份测试在整数环Z意味着NEXP确实有多项式大小的布尔电路或永久在Z上没有多项式大小的算术电路。
2013-11-11 cs.CC
