Dichotomy for Digraph Homomorphism Problems
我们考虑从一个输入有向图$G$到一个固定有向图$H$的同态问题。我们表明，如果$H$承认一个弱的接近多态$ϕ$，然后决定是否$G$承认一个同态$H$（HOM（$H$））是多项式时间可解？这给出了Feder和Vardi [29]的二分法猜想（现在的二分法定理）的证明。我们的方法是组合的，它比Bulatov [9]和Zhuk [46]在2017年发现的两种算法更简单。我们已经实现了我们的算法，并显示了一些实验结果。
2020-08-09 cs.CC cs.DS
The Dichotomy of List Homomorphisms for Digraphs
约束满足问题的二分法猜想已经由Andrei Bulatov在保守问题（或者等价地，列表同态问题）中得到了验证。这种二分法的一个较早的例子，对于无向图的列表同态，在易处理和难处理的情况之间有一个优雅的结构区别。这样的结构特征是不存在的Bulatov的分类，和Bulatov问是否可以找到一个。我们提供了一个答案的情况下，有向图;该技术将适用于更广泛的背景。我们引入的关键概念是一个有向图asteroidal三元组（DAT）。这种二分法的形式如下。如果有向图H有DAT，则H的列表同态问题是NP-完全的;无DAT的有向图H有多项式时间可解的列表同态问题。无DAT图可以在多项式时间内识别。
2010-04-20 cs.CC math.CO
Entrywise Logarithmic Matrix Algebra and Dichotomy of Planar Graph Homomorphisms
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文通过逐项对数矩阵代数与平面边小工具，对非负权重平面图同态计数问题给出三分复杂度分类，核心证明正定矩阵情形，并区分FKT可解与#P-困难情形。
2026-10-28 cs.CC
Planar Graph Homomorphisms: A Dichotomy and a Barrier from Quantum Groups
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了平面图同态计数问题的复杂性，证明了当平面边装置能分离顶点对时，问题要么多项式时间可解，要么#P难，并揭示了量子自同构群理论在平面设置中的应用及不可判定性。
2026-01-30 cs.CC
A Dichotomy for Planar Graph Homomorphisms with Nonnegative Weights
Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）
本文为带非负权重的平面图同态计数问题建立了完整复杂性二分法，并刻画了保持可处理性的顶点权重，通过熵延拓和距离几何证明，所有结果已在 Lean 4 中形式化验证。
2026-10-06 cs.CC
Dichotomy for Graph Homomorphisms with Complex Values on Bounded Degree Graphs
图同态的复杂性一直是一个深入研究的课题[11，12，4，42，21，17，6，20]。图同态的配分函数$Z_{\mathbf A}(\cdot)$由$\mathbb C$上的对称矩阵$\mathbf A$定义.证明了文[6]的复杂性二分法推广到有界度图。更准确地说，我们证明了，无论是$G \mapsto Z_{\mathbf A}(G)$是可计算的多项式时间的每一个$G$，或一些$Δ> 0$是P-硬（简单）图$G$的最大程度$Δ(G) \le Δ$。这种二分法的$\mathbf A$上的易处理性准则是明确的，并且可以在多项式时间内以$\mathbf A$的大小来确定。我们还表明，二分法是有效的，无论是P-时间算法，或减少从#SAT到，$Z_{\mathbf A}(\cdot)$可以构建从$\mathbf A$，在各自的情况下。
2020-04-14 cs.CC math.CO
Note on "The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions"
Focke，Goldberg和Rumivnnovel（arXiv 2017）证明了从一个没有循环的大型输入图G到一个可能有循环的固定图H的满射同态计数问题的复杂性二分法。本文给出了一个较弱结果的简短证明：即我们只证明了更一般的G有环问题的P-硬度。我们的证明是Lovász（2012）的一个强大框架的应用，它类似于Curticapean，Dell和Marx（STOC 2017）的证明，他们研究了“对偶”问题，其中模式图G很小，主图H是输入。独立地，Chen（arXiv 2017）使用Lovász的框架证明了一个复杂性二分法，用于计算固定有限结构的满射同态。
2017-10-04 cs.CC
A Dichotomy Theorem for General Minimum Cost Homomorphism Problem
Linköping University（林雪平大学）
在约束满足问题（$CSP$）中，目标是找到一个值的分配给一组受指定约束的变量。在最小代价同态问题（$MinHom$）中，另外为每个变量$v$和值$a$给定权重$c_{va}$，并且目标是找到使$\sum_{v} c_{vf(v)}$最小化的变量的分配$f$。令$MinHom(Γ)$表示由允许约束的谓词集参数化的$MinHom$问题。$MinHom(Γ)$与许多研究得很好的组合优化问题相关，并且可以在例如国防物流和机器学习中找到具体应用。我们表明，$MinHom(Γ)$可以通过使用类似于用于CSP的代数方法进行研究。借助于代数技术，我们分类的计算复杂性的$MinHom(Γ)$的所有选择的$Γ$。我们的结果解决了一个一般的二分法猜想，以前只解决了某些类别的有向图，[古廷，地狱，拉菲，杨，欧洲J。组合数学，2008年]。
2010-04-04 cs.CC cs.LG
Minimum Cost Homomorphisms with Constrained Costs
最小费用同态问题可以看作是列表同态问题的推广。他们还扩展了两个著名的图着色问题：最小色和问题和最佳成本色划分问题。在这两个问题中，成本函数都满足一个额外的约束：对于输入图的每个顶点，使用特定颜色的成本都是相同的。我们研究最小费用同态问题的成本函数约束有这个属性。显然，当标准的最小费用同态问题是多项式时，那么具有约束费用的问题也是多项式。我们期望当标准的最小代价同态问题是NP-完全的时候，这同样适用。我们证明，这是树$H$的情况下：我们得到一个二分法的最小约束成本同态问题，符合标准的最小成本同态问题的二分法。对于一般图$H$，我们证明了一个部分二分法：当$H$是真区间图时，问题是多项式的;当$H$不是弦二部图时，问题是NP-完全的.
2016-08-22 cs.CC math.CO
Extensions of the Minimum Cost Homomorphism Problem
假设$D$是一个有限集合，$R$是从$D$到自然数的函数的有限集合。最小$R$ -成本同态问题（$MinHom_R$）的实例是一组变量$V$，其受到指定约束以及用于$v \in V$和$r \in R$的每个组合的正权重$c_{vr}$.目的是找到一个函数$f:V \rightarrow D$，使得$f$满足所有约束，并且$\sum_{v \in V} \sum_{r \in R} c_{vr}r(f(v))$最小化。这个问题统一了众所周知的优化问题，如最小成本同态问题和最大解问题，这使得它成为优化问题的有价值CSP框架的计算有趣的片段。我们通过{ \em constraint languages}参数化$MinHom_R\left(Γ\right)$，即设置约束中允许的关系的$Γ$。一个约束语言被称为{ \em conservative}，如果每一个一元关系是它的成员;这样的约束语言在理解约束问题的结构中起着重要的作用。$MinHom_R$的二分法猜想如下：如果$Γ$是一个约束语言，那么$MinHom_R\left(Γ\right)$要么是多项式时间可解的，要么是NP完全的。对于$MinHom$的二分法结果最近已经得到[Takhanov，STACS，2010]，本文的目标是将该结果扩展到具有保守约束语言的$MinHom_R$的情况。对于任意的$R$这个问题仍然是开放的，但假设一定…
2012-10-08 cs.CC
The Dichotomy of Evaluating Homomorphism-Closed Queries on Probabilistic Graphs
本文针对概率图上的同态封闭查询，证明了无界查询的评估是#P难的，并结合有界查询的已有分类，给出了完整的数据复杂度二分类，涵盖多种查询片段。
2022-01-06 cs.CC cs.DB cs.DS
A complexity dichotomy for hypergraph partition functions
研究了从$r$ -一致超图$G$到对称$r$ -元关系$H$的同态计数的复杂性.我们给出了一个二分法定理$r>2$，显示为$H$这个问题是在FP和为$H$它是#P-完全的。这推广了Dyer和Greenhill（2000）关于$r=2$情形的定理，它对应于计数图同态。我们的二分法定理扩展到关系$H$是加权的情况，目标是计算\emph{partition function}，这是同态的权重之和。这个问题的动机是统计物理学，它产生于计算粒子模型的配分函数，其中$r$位点的某些组合对称地相互作用。在加权情况下，我们的二分法定理推广了Bulatov和Grohe（2005）关于图的结果，其中$r=2$。当$r=2$时，二分法的多项式时间情况简单地对应于秩1权重。令人惊讶的是，对于所有的$r>2$，二分法的多项式时间情况具有更多的结构。事实证明，权重必须叠加在由阿贝尔群上的方程的解定义的组合结构上。我们的结果也给出了一个二分法密切相关的约束满足问题。
2010-01-01 cs.CC cs.DM
The complexity of frugal digraph homomorphisms
University of Victoria（维多利亚大学）；Vancouver Island University（温哥华岛大学）
本文研究有向图节俭同态的计算复杂性，对于t≥2给出了基于结构性质的二分法定理。
2026-05-22 cs.CC math.CO
Counting Restricted Homomorphisms via Möbius Inversion over Matroid Lattices
我们提出了一个参数化计数问题的复杂性分类框架，可以用公式表示为小模式图H_1，...，H_l的系数对应于图拟阵格上的Möbius函数的赋值。这推广了Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的想法，他们使用了Lovász的一个结果，即从图H到图G的子图嵌入的数量可以表示为H的划分格上的总和。在第一步中，我们介绍了我们所谓的图形限制同态，除其他外，推广子图嵌入以及局部内射同态。我们提供了一个完整的参数化的复杂性二分法计数这样的同态，也就是说，我们确定类的模式的问题是固定参数易处理的（FPT），包括一个算法，并证明所有其他的模式类导致#W[1]-困难的问题。证明的主要成分是由于Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的同态线性组合的复杂性分类以及Rota的NBC定理的推论，该定理指出几何格上的莫比乌斯函数的符号仅取决于其参数的秩。我们使用一般定理来分类计数局部内射同态的复杂性，以及同态是内射的r-邻域常数r。此外，我们表明，前者有“真正的”FPT的情况下，通过考虑子图计数问题限制在两侧的树。最后，我们表明，二分法计数图形限制同态容易扩展到所谓的线性组合。
2017-06-26 cs.CC
Polynomial and analytic methods for classifying complexity of planar graph homomorphisms
本文引入多项式与解析方法处理平面图同态复杂性分类，分离出由matchgates张量积表示的P时间可处理矩阵，并证明了$4 \ imes 4$矩阵的复杂性二分法，表明Valiant的holographic algorithm在该设定下具有通用性。
2024-12-22 cs.CC
Minimum Cost Homomorphisms to Semicomplete Bipartite Digraphs
对于有向图$D$和$H$，如果$uv\in A(D)$蕴涵$f(u)f(v)\in A(H).$，则映射$f: V(D)\dom V(H)$是$D$到$H$的同态。此外，如果每个顶点$u \in V(D)$与代价$c_i(u), i \in V(H)$相关联，则同态$f$的代价是$\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$。对于每个固定有向图$H$，我们有{ \em最小代价同态问题} $H$。问题是，对于一个输入图$D$与成本$c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$，是否存在一个同态$D$到$H$，如果存在，找到一个最小的成本。最小费用同态问题包含（或相关）许多研究良好的优化问题。本文描述了半完全多部有向图$H$的最小费用同态问题的二分法。这解决了一个开放的问题，从早期的文件。为了得到本文的二分法，我们引入并研究了有向图的$k$-Min-Max序这一新概念。
2006-08-25 cs.CC cs.DM
The complexity of counting planar graph homomorphisms of domain size 3
我们证明了一个计算域大小为3的平面图同态的复杂性二分定理。给定任意3 × 3实值对称矩阵$H$定义了平面图$G \mapsto Z_H(G)$的一个图同态，我们根据矩阵$H$对该问题的计算复杂性进行了完全分类.我们证明了对于每一个$H$，问题是多项式时间可计算的或P-困难的。P-时间可计算的情况包括那些P-时间可计算的一般图（一个完整的分类是已知的）或可计算的Valiant的全息算法通过匹配门。我们还证明了几个关于平面图同态的一般域大小$q$的结果。证明主要使用分析论证。
2023-02-16 cs.CC
Counting Homomorphisms to Trees Modulo a Prime
许多重要的图论概念可以编码为计数图同态问题，例如统计物理中的配分函数，特别是独立集和着色。在这篇文章中，我们研究了$\#_p\mathsf{H}$ OMS $\mathsf{T}$ O $H$的复杂性，从输入图到图$H$模素数$p$的图同态计数问题。Dyer和Greenhill证明了一个二分法，说明非模计数图同态的易处理性取决于输入图的结构。由于取消现象的普遍存在，非模计数中许多难以处理的情况在模计数中变得容易处理。然而，在随后的研究计数模$2$的影响，结构的$H$上的易处理性，被证明是持久的，产生类似的二分法。我们的主要结果表明，对于每一棵树$H$和每一个素数$p$，问题$\#_p\mathsf{H}$ OMS $\mathsf{T}$ O $H$是多项式时间可计算的或$\#_p\mathsf{P}$ -完全的.这解决了Faben和Jerrum在模2计数时对每个图$H$陈述这种二分法的猜想。为了证明这个结果，我们研究了同态的结构性质。作为一个重要的过渡，这项研究产生了一个二分法的问题的加权计数独立集的二分图模一些素数$p$。我们的结果是第一次表明，这样的二分法不仅适用于1位功能的模~2的情况下，但所有素数$p$的模计数功能。
2018-04-22 cs.CC cs.DM
Non-negative Weighted #CSPs: An Effective Complexity Dichotomy
证明了所有非负加权计数约束满足问题的复杂性二分法。这盖了一长串的重要结果计数问题，包括未加权和加权图同态和著名的二分法定理未加权#CSP。我们的二分法定理给出了一个简洁的易处理性标准。如果约束函数的集合F满足该准则，则由F定义的计数CSP问题在多项式时间内可解;如果不满足该准则，则该问题是#P-hard的。我们还证明了F是否满足准则的问题在NP中是可判定的。令人惊讶的是，我们的易处理性标准比以前的标准更简单的限制类的问题，虽然专门为这些情况下，他们在逻辑上是等价的。我们的证明主要使用线性代数，并代表了一个偏离泛代数，近年来占主导地位的方法。
2010-12-27 cs.CC
A Dichotomy Theorem for Polynomial Evaluation
一个计数问题的二分法定理，由于Credilu和赫尔曼指出，或任何nite集合S的逻辑关系，计数问题#SAT（S）是在FP，或#P-完全。本文给出了多项式求值的一个二分法。也就是说，我们表明，对于一个给定的集合S，要么存在一个VNP-完全的家庭的多项式相关联的S，或相关的家庭的多项式都在VP。我们给出了一个简洁的特征集S，产生“容易”和“硬”多项式。我们还证明了几个问题，这是已知的#P-完全下的图灵约化下，事实上是#P-完全下的许多-1约化。
2009-12-15 cs.CC
Subexponential algorithms for variants of homomorphism problem in string graphs
我们考虑了从具有$n$顶点的曲线（弦图）的交图到固定图$H$的加权同态的复杂性。我们提供了一个完整的二分法的问题：如果$H$没有两个顶点共享两个共同的邻居，那么这个问题可以解决的时间$2^{O(n^{2/3} \log n)}$，否则没有算法工作的时间$2^{o(n)}$，即使在相交图的部分，除非ETH失败。这推广了有关几何求交图计算问题复杂性的几个已知结果。然后我们考虑了图同态问题的两个变体，称为局部单射同态和局部双射同态，其中我们要求同态在每个顶点的邻域上是单射或双射的。我们表明，对于每个目标图$H$，这两个问题总是可以解决的时间$2^{O(\sqrt{n} \log n)}$在字符串图。对于以类似方式定义的局部满同态，情况似乎更复杂。我们证明了最大度为2的简单连通图$H$的二分法。如果$H$同构于$P_3$或$C_4$，则从具有$n$顶点的字符串图到$H$的局部满射同态的存在性可以在时间$2^{O(n^{2/3} \log^{3/2} n)}$上判定，否则问题不能在时间$2^{o(n)}$上求解，除非ETH失败。作为副产品，我们得到了几个结果有关的复杂性变种的同态问题的$P_t$ -free图。特别地，我们得到了加权同态的二分法，类似于弦图的二分法。
2019-06-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Dichotomy for Holant* Problems with a Function on Domain Size 3
Holant问题是研究计数问题算法复杂性的一般框架。计数约束满足问题和图同态都是其特例。以往关于Holant问题的所有结果都是在布尔域上得到的。本文给出了区域大小为$>2$的Holant问题的第一二分法.我们发现意想不到的听话家庭的计数问题，通过新的多项式时间算法。本文还提出了在尺寸为$>2$的域中的全息约化。这是我们的主要算法技术，并用于易于处理的家庭和硬度降低。二分法定理如下：对于任何区域大小为3的复值对称函数${\bf F}$，我们给出了一个关于${\bf F}$的显式准则，使得如果${\bf F}$满足该准则，则问题${\rm Holant}^*({\bf F})$在多项式时间内可计算，否则${\rm Holant}^*({\bf F})$是#P-困难的。
2012-07-10 cs.CC
Counting Homomorphisms to Square-Free Graphs, Modulo 2
本文研究了从一个输入图到一个固定无向图的同态的计数问题HomsTo $H$，模2，$H$ .模计数的一个特征是，与精确（非模）计数相比，取消使更广泛的实例类别变得易于处理，因此可以产生微妙的二分法定理。我们证明了以下二分法：对于任何不包含4-循环的$H$，HomsTo $H$要么是多项式时间的，要么是$\oplus P$ -完备的。这证实了Faben和Jerrum的一个猜想，这个猜想以前只适用于树和一类树宽为2的图，称为仙人掌图。我们证实了猜想的一类丰富的图，包括图的无界树宽。特别是，我们专注于无平方图，这是没有4-圈的图。这些图经常出现在组合数学中，例如与强完美图定理和某些图形算法有关。以前的二分法定理要求图是树状的，以便在证明中可以利用树状分解。我们证明了猜想更丰富的一类图，通过采用更一般的方法。
2015-08-26 cs.CC math.CO
The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation
给定一个图G，我们研究确定从G到另一个固定图H的同态数的奇偶性问题。我们猜想，这个问题表现出复杂性二分法，使所有的奇偶图同态问题是多项式时间可解或parityP-完全，并提供了一个简单的情况下，简化的特征。我们证明了该猜想是真实的限制的情况下，图H是一棵树，并提供了一些工具，可能是有用的进一步调查的奇偶图同态问题，和其他模的同态计数的问题。
2013-09-16 cs.CC math.CO
A topological proof of the Hell-Nešetřil dichotomy
该研究结合拓扑组合学与约束满足问题的代数方法，基于Lovász的思路给出了图同态问题二分性结论Hell-Nešetřil定理的全新证明。
2025-01-10 cs.CC math.AT math.CO
The Complexity of Counting Edge Colorings and a Dichotomy for Some Higher Domain Holant Problems
我们表明，一个有效的版本的西格尔定理的整数解的有限性和应用的基本伽罗瓦理论的一些Holant问题的复杂性分类的关键成分。这些Holant问题，记为Holant（f），由对称三元函数f定义，f在k >= 3个域元素的任何置换下都是不变的。证明了Holant（f）具有复杂性二分法.这种二分法甚至在仅限于平面图时也成立。这个结果的一个特例是，当k >= 3时，平面3-正则图上的计数边k-染色是P-困难的。事实上，我们证明了计数边k-染色是P-困难的平面r-正则图的所有k >= r >= 3。该问题是多项式时间可计算的所有其他参数设置。Holant（f）二分性定理的证明依赖于特定多项式p（x，y）有一个显式列出的整数解的有限集，以及某些特定多项式的Galois群的确定。在这个过程中，我们还遇到了Tutte多项式，中间图，欧拉划分，Puietrix系列，以及多项式根（对数）的某种格条件。
2014-04-15 cs.CC
Dichotomy for orderings?
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Eötvös Lóránd University（罗兰大学）；Department of Applied Mathematics (KAM) and Computer Science Institute (IUUK), Charles University（查理大学应用数学系（KAM）和计算机科学研究所（IUUK））
本文研究了顺序问题的二元性，证明了由有限禁止有序子图定义的顺序问题具有NP类的全部威力，并推翻了关于此类问题存在二元性的猜想。
2026-01-08 cs.CC
Holant* Dichotomy on Domain Size 3: A Geometric Perspective
本文针对定义域大小为 3 的任意对称实值约束函数集合，证明了 Holant 问题的首个复杂性二分定理，并揭示张量分解几何在判据中的核心作用。
2025-04-18 cs.CC
Graph Homomorphism Polynomials: Algorithms and Complexity
我们研究同态多项式，这是多项式，枚举所有同态从模式图$H$到$n$ -顶点图。这些多项式最近受到了很多关注，因为它们在计算和检测图模式的几个新算法中起着至关重要的作用，并且还用于获得代数复杂性类$\mathsf{VBP}$、$\mathsf{VP}$和$\mathsf{VNP}$的完备自然多项式族。我们发现，在单调设置，公式的复杂性，ABP复杂性，电路复杂性的多项式族的确切特征分别由树深，路径宽度，树宽的模式图。此外，我们建立了一个单一的，统一的框架，使用我们的表征，收集几个已知的结果，通过不同的方法独立获得。例如，我们达到超多项式分离电路，ABPs，和公式在单调设置，其中多项式家庭分离类都对应于充分研究的组合问题。此外，我们的证明重新发现这些模型之间的细粒度分离的常次数多项式。此外，产生新的空间-时间有效的算法的几个模式检测和计数问题的表征。
2020-11-16 cs.CC
Complexity of the list homomorphism problem in hereditary graph classes
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。对于固定图$H$，在列表同态问题中，记为LHom（$H$），我们给出一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个列表$L(v) \subseteq V(H)$ .我们问是否存在从$G$到$H$的同态$f$，其中$f(v) \in L(v)$对每个$v \in V(G)$。Feder，Hell和Huang [JGT~2003]证明了当$H$是双弧图时，LHom（$H$）是多项式时间可解的，否则是NP-完全的.我们感兴趣的LHom（$H$）问题的复杂性排除一些固定的图$F$作为一个诱导子图。已知如果$F$是连通的，并且不是一条路，也不是一个细分的爪，那么对于每个非双弧图，LHom（$H$）问题是NP完全的，并且不能在次指数时间内解决，除非ETH失败。我们考虑连通图$F$的其余情况。如果$F$是一条路径，我们展示了一个完整的二分法。我们定义了一类捕食图，证明了如果$H$不是捕食图，则对于每一个固定的$t$，LHom（$H$）问题可以在$P_t$ -free图中在拟多项式时间内得到解决.另一方面，如果$H$是捕食的，则存在$t$，使得LHom（$H$）不能在$P_t$ -free图的次指数时间内求解.如果$F$是一个细分的爪，我们在两个重要的情况下显示了完全二分法：对于$H$是非自反的（即，没有环），并且对于自反的$H$（即…
2022-02-03 cs.CC
Conservative constraint satisfaction re-revisited
保守约束满足问题是一般约束满足问题的一个重要特例，其中每个变量的允许值可以任意地加以限制。这类问题在图同态中得到了很好的研究。Bulatov在2003年证明了一个二分法定理，该定理描述了保守的CSP在多项式时间内可解，并证明了其余的CSP是NP-完全的。然而，它的证明是相当长和技术性的。Barto在2011年提出了一个基于吸收亚宇宙技术的更短的证明。本文给出了保守CSP二分性定理的一个初等证明。
2014-08-16 cs.CC
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
2026-03-16 cs.CC
Preprocessing of Min Ones Problems: A Dichotomy
一个参数化问题由一个经典问题和一个额外的组成部分，即所谓的参数。这种观点允许预处理的正式定义：给定一个参数化实例（I，k），多项式核化计算大小和参数由k中的多项式限定的等价实例（I '，k'）。我们给出了最小一个约束满足问题的完整分类，即，Min Ones SAT（r），相对于允许或不允许多项式核化（除非NP \subseteq coNP/poly）。为此，我们引入了可合并性的概念。如果约束语言Γ的所有关系都是可合并的，那么基于非零闭核的向日葵核化的新变体适用。我们得到了一个具有O（k^{d+1}）个变量和多项式总大小的核，其中d是Γ中约束的最大元数，与一般性较低且可以说较简单的d-命中集问题的O（k^{d-1}）个顶点的界相比，这是很好的。否则，在Γ中任何不可合并的关系允许我们构造一个对数成本选择公式，即，一个n元选择公式，具有O（log n）真局部变量。由此我们可以使用Bodlaender等人以及Fortnow和Santhanam最近的结果来构造我们的下界，证明没有多项式核化，除非NP \subseteq coNP/poly和多项式层次崩溃到第三层。
2009-10-23 cs.CC
A Proof of the CSP Dichotomy Conjecture
许多自然组合问题可以表示为约束满足问题。这类问题通常是NP完全的，但对约束形式的某些限制可以确保可处理性。对约束满足问题的感兴趣子类进行参数化的标准方法是通过有限约束语言。主要的问题是分类那些子类是可解的多项式时间和那些是NP-完全的。证明了如果一个约束语言具有弱近似多态性，则相应的约束满足问题是易处理的，否则它是NP-完全的。本文给出了一个在多项式时间内求解具有弱近似多态性的约束语言的约束满足问题的算法，证明了猜想的其余部分。
2020-10-02 cs.CC
Computing list homomorphisms in geometric intersection graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有环的固定图。在列表同态问题中，记为\textsc{LHom}（$H$），其实例是图$G$，其每个顶点都具有$V(H)$的一个子集，称为列表.我们询问是否存在从$G$到$H$的同态，使得来自$G$的每个顶点映射到来自其列表的顶点。我们研究的复杂性的\textsc{LHom}（$H$）问题的各种几何对象的相交图。特别是，我们有兴趣回答的问题是什么图$H$和什么类型的几何对象，\textsc{LHom}（$H$）的问题可以解决时间次指数的顶点数的实例。我们完全解决了这个问题的字符串图，即，平面上连续曲线的交图。非常令人惊讶的是，事实证明，二分法与排除固定路径作为导出子图的图的类似二分法完全一致[Okrasa，Rzewski，STACS 2021]。然后，我们把注意力转向弦图的子类，定义为胖对象的交叉点。我们观察到，在这样的类中的次指数时间算法的（不）存在与$H$中的最大自反团的大小$\mathrm{mrc}(H)$密切相关，即，成对相邻顶点的最大数量，每个顶点都有一个循环。我们研究的最大值的$\mathrm{mrc}(H)$，保证存在一个次指数时间算法的\textsc{LHom}（$H$）相交图（i）凸脂肪对象，（ii）脂肪相似大小的对象，和（iii）磁盘。在前两种情况下，我们得到最佳的结果，通过匹…
2022-02-17 cs.CC cs.DS
Generalisations of Matrix Partitions : Complexity and Obstructions
本文将矩阵划分问题推广到关系结构，证明其与三图同态P时间等价，并研究了二分性、有限障碍与有限对偶性的关系，同时证明树上的矩阵划分同态判定是NP完全的，揭示了其与CSP在可处理性上的显著差异。
2024-06-04 cs.CC
Complexity of Correspondence Homomorphisms
对应同态既是标准同态的推广，也是对应染色的推广。对于固定的目标图$H$，问题是决定输入图$G$（其中每个边由$V(H)$的一对置换标记）是否允许与标签“对应”的$H$的同态，在下面解释的意义上。我们将这个问题的复杂性归类为固定图$H$的函数。事实证明，存在二分法-每个问题都是多项式时间可解的或NP完全的。虽然大多数图$H$产生NP完全问题，但也有一些有趣的情况，图$H$的问题可以通过高斯消去法解决。我们还分类的复杂性类似的对应{ \em列表同态}的问题，也是一个{ \em二分版本}的两个问题的复杂性。我们强调当$H$是自反的情况下的证明，但是，为了记录在案，我们在附录中包括了其余证明的粗略草图。
2018-03-28 cs.CC cs.DM math.CO
A dichotomy theorem for $Γ$-switchable $H$-colouring on $m$-edge coloured graphs
研究 $m$-边着色图上通过切换操作实现到固定图 $H$ 的颜色保持同态的存在性，并在 $\Gamma$ 传递时给出二分定理。
2025-01-22 cs.CC math.CO
The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions
从图G到图H的同态是从G的顶点到H的顶点的保持边的函数。一个同态是满射的，如果它使用H的所有顶点，它是一个压缩的，如果它使用H的所有顶点和H的所有非循环边。Hell和Nesetril给出了判定从输入图G到固定图H是否存在同态的复杂性的完整刻画。一个完整的特征是不知道满同态或紧，虽然有许多有趣的结果。Dyer和Greenhill给出了从输入图G到固定图H的同态计数复杂性的完整刻画。本文给出了从一个输入图G到一个固定图H的满射同态的计数复杂性的一个完整的刻画，同时也给出了从一个输入图G到一个固定图H的紧致的计数复杂性的一个完整的刻画.在附录中，我们使用我们的特征指出一个二分法的各自的近似计数问题的复杂性（在连接的情况下）。
2019-04-09 cs.CC cs.DM
A complexity dichotomy for partition functions with mixed signs
配分函数，也称为同态函数，形成了一个丰富的图形不变量家族，其中包含组合不变量，例如k-着色的数量或图形的独立集的数量，以及统计物理学的某些“自旋玻璃”模型（如伊辛模型）的配分函数。基于Dyer，Greenhill和Bulatov，Grohe的早期工作，我们完全分类了配分函数的计算复杂性。我们的主要结果是一个二分法定理，说明每个配分函数是在多项式时间或#P-完全可计算的。用实元素对称矩阵描述了配分函数，并证明了在多项式时间内，给定的配分函数是在多项式时间内还是#P-完全的，都可以用矩阵来判定.虽然在一般情况下，这是非常复杂的，以明确的代数或组合描述的听话的情况下，分区功能所描述的阿达玛矩阵-这些原来是中央在我们的证明-我们得到一个简单的代数听话的标准，这说，听话的情况下是那些“代表”的二次多项式在外地GF（2）。
2009-05-05 cs.CC cs.DM
Homomorphism reconfiguration via homotopy
对于固定图H，我们考虑以下问题：给定一个图G和G的两个H-染色，即从G到H的同态，可以通过每次改变一种颜色将一个转换（重新配置）为另一个，始终保持H-染色。这与在Hom（G，H）复形中找到一条路是一样的。对于H=K_k，这是寻找k-着色之间的路径的问题，Cereceda等人在2011年证明了k<=3时在P中，否则是PSPACE完全的。我们推广了这个二分法的积极的一面，提供了一个算法，解决了问题的多项式时间的任何H没有C_4子图。这给出了一个大类的约束，其中找到解决方案的约束满足问题是NP-完全的，但在解决方案空间中找到路径是P.该算法使用的表征可能的重新配置序列（路径在Hom（G，H）），其主要部分是一个纯粹的拓扑条件描述的代数条款的基本广群的H视为一个拓扑空间。
2017-03-24 cs.CC math.CO
On the reduction of the CSP dichotomy conjecture to digraphs
一般关系结构上的约束满足问题可以在多项式时间内化为有向图问题。我们提出了一个简单的变种，这样的减少，并用它来表明，代数二分法猜想是等价的限制有向图和多项式减少可以在对数空间。我们还表明，我们的减少保持有界宽度属性，即，局部一致性方法。我们讨论进一步的算法性能，保存和相关的开放问题。
2013-08-02 cs.CC math.CO
Monotone Bounded Depth Formula Complexity of Graph Homomorphism Polynomials
Indian Institute of Technology Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）
研究通过袋状消除树定义了图同态和着色同构多项式的单调有界深度公式复杂度，证明其复杂度为Θ(n^{λ_Δ(H)})，并建立了单调电路与公式间的分离及深度层次。
2026-06-22 cs.CC
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
Homomorphisms Are a Good Basis for Counting Small Subgraphs
我们引入图模参数，一类图参数，只依赖于常数大小的诱导子图的频率。Lovász的经典著作表明，许多有趣的量具有这种形式，包括，对于固定图$H$，输入图$G$中的$H$ -副本（诱导或未诱导）的数量，以及从$H$到$G$的同态的数量。使用的框架图模参数，我们得到更快的算法计算子图副本的固定图$H$在主机图$G$：对于图$H$的$k$边缘，我们展示了如何计算子图副本的$H$在时间$k^{O(k)}\cdot n^{0.174k + o(k)}$一个令人惊讶的简单算法。这改进了先前已知的运行时间，例如用于$k$边缘匹配的$O(n^{0.91k + c})$时间或用于$k$循环的$O(n^{0.46k + c})$时间。此外，我们证明了一个一般的复杂性二分法评估图的主题参数：给定一类$\mathcal C$等参数，我们考虑的问题，评估$f\in \mathcal C$输入图$G$，参数化的诱导子图的数量，$f$依赖。对于每一个递归可排类$\mathcal C$，我们证明了上述问题是FPT或#W[1]-困难的，并给出了明确的二分法准则.这使我们能够恢复已知的二分法计数子图，诱导子图，同态在一个统一的和简化的方式，以及改进的下界。最后，我们将图的模体参数扩展到着色子图，并证明了一个复杂度分解：对于顶点着色图$H$和$G$，其中$H$来自一个固定的类$\mathcal H$，我们要计数$G$中的保…
2017-05-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Monotone Bounded-Depth Complexity of Homomorphism Polynomials
本文研究了同态多项式和彩色子图多项式的单调有界深度电路复杂度，提出图参数层次$\mathrm{tw}_Δ(H)$并证明了最优深度层次定理。
2025-05-28 cs.CC cs.DM
The Complexity of Counting Homomorphisms to Cactus Graphs Modulo 2
从图G到图H的同态是从V（G）到V（H）保持边的函数。数学和计算机科学中出现的许多组合结构可以自然地表示为图同态和图同态的加权和。本文研究了模2同态计数的复杂性。模计数的复杂性是由Papadimitriou和Zachos介绍的，它是由Valiant开创的，他着名地介绍了一个问题，其中模7计数很容易，但模2计数很难处理。模计数为研究同态问题的结构提供了丰富的背景。在这种情况下，图H的结构对问题的复杂性有很大的影响。因此，我们的方法是图论的。我们给出了仙人掌图类的一个完全解，仙人掌图是指每条边至多属于一个圈的连通图。仙人掌图出现在许多应用中，例如无线传感器网络的建模和基因组的比较。我们表明，对于某些仙人掌图H，计数同态到H模2可以在多项式时间。对于每一个其他固定的仙人掌图H，这个问题是完全的复杂性类奇偶校验-P，这是一个广泛的复杂性类，其中每个问题的多项式层次可以减少（使用随机减少）。确定哪个H导致易处理的问题可以在多项式时间内完成。我们的结果建立在Faben和Jerrum的工作之上，他们对H是树的情况给出了二分法。
2014-04-25 cs.CC math.CO
On Counting (Quantum-)Graph Homomorphisms in Finite Fields of Prime Order
研究了素数阶有限域$\mathbb{Z}_p$中从输入图$G$到固定（量子）图$\bar{H}$的同态个数的计算问题。图$H$的子问题是由Faben和Jerrum [ToC'15]介绍的，其复杂性受到越来越多的研究文章的影响，例如Focke，Goldberg，Roth和Zivnovel [SIDMA'21]的工作以及Bulatov和Kazeminia [STOC'22]的工作，继本文的会议版本之后。我们的贡献是三方面的。首先，我们将量子图的研究引入到模计数同态的研究中。我们表明，量子图$\bar{H}$的复杂性崩溃的复杂性标准，发现在1维：图。其次，为了证明棘手的情况下，我们建立了一个进一步的减少研究的二分图。最后，我们建立了一个二分法的所有二部（$K_{3,3}\backslash\{e\}$，${domino}$）-免费的图，通过一个彻底的结构研究，结合本地和全球的参数。这一结果包含了所有已知的素数模的二部图的所有结果，并显着地扩展了它们。即使对于$p$等于$2$的子问题，这也建立了新的结果。
2022-08-18 cs.CC cs.DM
Lower Bounds in Algebraic Complexity via Symmetry and Homomorphism Polynomials
IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文通过引入对称代数复杂性类，证明了对称代数电路的下界，并扩展了同态多项式在复杂性类中的完整性和下界分析。
2026-01-14 cs.CC cs.DM cs.LO
Enumerating Homomorphisms
关系结构的同态问题是表示约束满足问题和数据库理论中各种问题的抽象方法。同态问题的决策版本在文献中得到了很多关注;特别是，变量和约束的图论结构影响问题复杂性的方式得到了深入研究。在这里，我们从类似的角度研究了具有多项式延迟的所有解的枚举问题。事实证明，枚举问题的行为与决策版本非常不同。我们给出的证据表明，这是不可能的，可以得到类似的决定版本的表征结果。然而，我们展示了非平凡的情况下，枚举可以与多项式延迟。
2009-02-07 cs.CC cs.LO
Homomorphism Indistinguishability, Multiplicity Automata Equivalence, and Polynomial Identity Testing
University of Antwerp（安特卫普大学）；IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）
本文研究了同态不可区分性与多重自动机等价性问题，证明了其复杂度为C_L完全，并展示了算法在特定图类上的最优性。
2026-09-07 cs.CC cs.DM cs.DS
A Turing Kernelization Dichotomy for Structural Parameterizations of $\mathcal{F}$-Minor-Free Deletion
对于一个固定的有限图族$\mathcal{F}$，$\mathcal{F}$ -Minor-Free删除问题以一个图$G$和一个整数$\ell$作为输入，并询问是否存在一个大小至多为$\ell$的集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$是$\mathcal{F}$ -minor-free的。对于$\mathcal{F}=\{K_2\}$和$\mathcal{F}=\{K_3\}$，这分别编码顶点覆盖和反馈顶点集。当参数化的反馈顶点数$G$这两个问题是已知的承认多项式核化。对于任何包含平面图但不包含森林的$\mathcal{F}$，也存在这样的多项式核化。本文证明了以反馈顶点数为参数的$\mathcal{F}$ -Minor-Free Deletion对于$\mathcal{F} = \{P_3\}$是MK[2]-难的.这排除了假设$NP \subseteq coNP/poly$的多项式核的存在，并且也给出了该问题不允许多项式图灵核的证据。我们的硬度结果推广到任何$\mathcal{F}$不包含一个$P_3$ -subgraph-free图，作为参数的顶点删除距离树宽$mintw(\mathcal{F})$，其中$mintw(\mathcal{F})$表示的最小树宽的图在$\mathcal{F}$。对于另一种情况，其中$\mathcal{F}$包含一个$P_3$ -子…
2019-07-16 cs.CC cs.DS
A dichotomy theorem for nonuniform CSPs simplified
在非均匀约束满足问题CSP（G）中，其中G是有限集合A上的关系集合，目标是使用来自G的关系找到对服从施加在指定变量集合上的约束的变量的值的分配。非一致CSP的二分法猜想指出，对于每个约束语言G，问题CSP（G）要么在多项式时间内可解，要么是NP-完全的。它是由Feder和Vardi在他们1993年的开创性论文中提出的。本文证明了二分猜想。
2020-07-16 cs.CC cs.LO
The Parameterised Complexity of Temporal Motif Counting, and a Lovász-Style Isomorphism Theorem
Indian Institute of Technology Palakkad（印度理工学院帕拉卡德分校）；School of Computing Science, University of Glasgow（格拉斯哥大学计算科学学院）；School of Electronic Engineering and Computer Science, Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院电子工程与计算机科学系）
研究小时间模式到大型时间图同态计数的参数复杂性，证明时间Lovász定理，引入toadwidth度量，给出全序时间模式同态计数的参数复杂性二分法及可处理性标准。
2026-07-10 cs.CC cs.DM
