A dichotomy for bounded degree graph homomorphisms with nonnegative weights
我们考虑了由对称矩阵$A$定义的加权图同态的计数复杂性。每个对称矩阵$A$定义一个图同态函数$Z_A(\cdot)$，也称为分区函数。Dyer和Greenhill [10]对对称$\{0, 1\}$ -矩阵$A$建立了复杂性二分法$Z_A(\cdot)$，并进一步证明了它的#P-硬度部分对有界度图也成立. Bulatov和Grohe [4]将Dyer-Greenhill二分法推广到非负对称矩阵$A$上。然而，他们的硬度证明需要图的任意大的程度，以及是否有界的程度部分的Dyer-Greenhill二分法可以扩展一直是一个开放的问题15年。我们解决了这个公开的问题，并证明了非负对称$A$，无论是$Z_A(G)$是在多项式时间的所有图$G$，或它是#P-困难的有界度（和简单）图$G$。我们进一步扩展的复杂性二分法，包括非负的顶点权重。此外，我们证明了Goldberg等人[12]对$Z_A(\cdot)$的二分法的#P-硬度部分也适用于简单图，其中$A$是任何实对称矩阵。
2020-02-05 cs.CC
Homomorphisms are indeed a good basis for counting: Three fixed-template dichotomy theorems, for the price of one
许多自然的组合量可以通过计算固定关系结构的同态的数量来表示。例如，无向图$G$的3-着色数等于从$G$到$3$ -团的同态数。在这种设置中，接收同态的结构通常被称为模板;我们使用术语模板函数来指代从结构到自然数的函数，该函数可定义为固定模板的同态的数量。有文献研究模板函数的复杂性。目前的工作是有关模板函数的计数问题，相对于各种固定的模板，两种特殊类型的同态：满射同态和我们所称的凝聚的数量。在这篇文章中，我们解释了如何计数满射同态到一个固定的模板是多项式时间等价于计算一个线性组合的模板函数;我们也表明了这对任何问题的计数凝聚到一个固定的模板。通过一个定理，计算这样一个线性组合的复杂性的特点，我们展示了如何一个已知的二分法的模板函数可以用来推断二分法计数满同态固定模板，同样的二分法计数凝聚固定模板。我们的研究受到Curticapean，Dell和Marx（STOC 2017）的图形主题框架的强烈启发，基于该框架，并且可以被视为该框架的对偶;该框架反过来又基于Lovász（2012）的工作。
2017-09-30 cs.CC
Graph Homomorphisms with Complex Values: A Dichotomy Theorem
图的同态是近年来研究的热点。给定一个m × m对称矩阵A，图同态函数定义为\[Z_A (G) = \sum_{f:V->[m]} \prod_{(u,v)\in E} A_{f(u),f(v)}, \]，其中G =（V，E）是任意无向图.函数Z_A可以编码许多有趣的图形属性，包括计算顶点覆盖和k-着色。本文研究了具有代数复值的任意对称矩阵A的Z_A的计算复杂性。基于Dyer和Greenhill，Bulatov和Grohe的工作，特别是Goldberg，Grohe，Jerrum和Thurley最近的漂亮工作，我们证明了这个问题的一个完整的二分法定理。我们证明了Z_A是多项式时间可计算的或#P-hard的，这显式地依赖于矩阵A。我们进一步证明了A上的易处理性准则是多项式时间可判定的。
2011-10-07 cs.CC
The complexity of frugal digraph homomorphisms
University of Victoria（维多利亚大学）；Vancouver Island University（温哥华岛大学）
本文研究有向图节俭同态的计算复杂性，对于t≥2给出了基于结构性质的二分法定理。
2026-05-22 cs.CC math.CO
A Dichotomy Theorem for Homomorphism Polynomials
本文给出了多项式求值复杂性的一个二分法定理。我们将每个图H关联到一个多项式，该多项式对与H同态的固定大小的所有图进行编码。我们表明，这个家庭是可计算的算术电路在恒定的深度，如果H有一个循环或没有边缘，它是困难的，否则（即，完成VNP，与#P相关的算术类）。我们还证明了截消元有理域上的硬度，截消元是Bürgisser定义的一个多项式，已知如果VP不等于VNP，则它在两个元素的域中既不是VP也不是VNP完全的（VP是一类可计算的多项式）通过多项式大小的算术电路）。
2012-10-29 cs.CC
Entrywise Logarithmic Matrix Algebra and Dichotomy of Planar Graph Homomorphisms
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文通过逐项对数矩阵代数与平面边小工具，对非负权重平面图同态计数问题给出三分复杂度分类，核心证明正定矩阵情形，并区分FKT可解与#P-困难情形。
2026-10-28 cs.CC
Planar Graph Homomorphisms: A Dichotomy and a Barrier from Quantum Groups
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文研究了平面图同态计数问题的复杂性，证明了当平面边装置能分离顶点对时，问题要么多项式时间可解，要么#P难，并揭示了量子自同构群理论在平面设置中的应用及不可判定性。
2026-01-30 cs.CC
A Dichotomy for Planar Graph Homomorphisms with Nonnegative Weights
Institute of Software, Chinese Academy of Sciences（中国科学院软件研究所）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）
本文为带非负权重的平面图同态计数问题建立了完整复杂性二分法，并刻画了保持可处理性的顶点权重，通过熵延拓和距离几何证明，所有结果已在 Lean 4 中形式化验证。
2026-10-06 cs.CC
A Dichotomy Theorem for General Minimum Cost Homomorphism Problem
Linköping University（林雪平大学）
在约束满足问题（$CSP$）中，目标是找到一个值的分配给一组受指定约束的变量。在最小代价同态问题（$MinHom$）中，另外为每个变量$v$和值$a$给定权重$c_{va}$，并且目标是找到使$\sum_{v} c_{vf(v)}$最小化的变量的分配$f$。令$MinHom(Γ)$表示由允许约束的谓词集参数化的$MinHom$问题。$MinHom(Γ)$与许多研究得很好的组合优化问题相关，并且可以在例如国防物流和机器学习中找到具体应用。我们表明，$MinHom(Γ)$可以通过使用类似于用于CSP的代数方法进行研究。借助于代数技术，我们分类的计算复杂性的$MinHom(Γ)$的所有选择的$Γ$。我们的结果解决了一个一般的二分法猜想，以前只解决了某些类别的有向图，[古廷，地狱，拉菲，杨，欧洲J。组合数学，2008年]。
2010-04-04 cs.CC cs.LG
Counting Homomorphisms to Square-Free Graphs, Modulo 2
本文研究了从一个输入图到一个固定无向图的同态的计数问题HomsTo $H$，模2，$H$ .模计数的一个特征是，与精确（非模）计数相比，取消使更广泛的实例类别变得易于处理，因此可以产生微妙的二分法定理。我们证明了以下二分法：对于任何不包含4-循环的$H$，HomsTo $H$要么是多项式时间的，要么是$\oplus P$ -完备的。这证实了Faben和Jerrum的一个猜想，这个猜想以前只适用于树和一类树宽为2的图，称为仙人掌图。我们证实了猜想的一类丰富的图，包括图的无界树宽。特别是，我们专注于无平方图，这是没有4-圈的图。这些图经常出现在组合数学中，例如与强完美图定理和某些图形算法有关。以前的二分法定理要求图是树状的，以便在证明中可以利用树状分解。我们证明了猜想更丰富的一类图，通过采用更一般的方法。
2015-08-26 cs.CC math.CO
The Dichotomy of Evaluating Homomorphism-Closed Queries on Probabilistic Graphs
本文针对概率图上的同态封闭查询，证明了无界查询的评估是#P难的，并结合有界查询的已有分类，给出了完整的数据复杂度二分类，涵盖多种查询片段。
2022-01-06 cs.CC cs.DB cs.DS
The complexity of parity graph homomorphism: an initial investigation
给定一个图G，我们研究确定从G到另一个固定图H的同态数的奇偶性问题。我们猜想，这个问题表现出复杂性二分法，使所有的奇偶图同态问题是多项式时间可解或parityP-完全，并提供了一个简单的情况下，简化的特征。我们证明了该猜想是真实的限制的情况下，图H是一棵树，并提供了一些工具，可能是有用的进一步调查的奇偶图同态问题，和其他模的同态计数的问题。
2013-09-16 cs.CC math.CO
A complexity dichotomy for hypergraph partition functions
研究了从$r$ -一致超图$G$到对称$r$ -元关系$H$的同态计数的复杂性.我们给出了一个二分法定理$r>2$，显示为$H$这个问题是在FP和为$H$它是#P-完全的。这推广了Dyer和Greenhill（2000）关于$r=2$情形的定理，它对应于计数图同态。我们的二分法定理扩展到关系$H$是加权的情况，目标是计算\emph{partition function}，这是同态的权重之和。这个问题的动机是统计物理学，它产生于计算粒子模型的配分函数，其中$r$位点的某些组合对称地相互作用。在加权情况下，我们的二分法定理推广了Bulatov和Grohe（2005）关于图的结果，其中$r=2$。当$r=2$时，二分法的多项式时间情况简单地对应于秩1权重。令人惊讶的是，对于所有的$r>2$，二分法的多项式时间情况具有更多的结构。事实证明，权重必须叠加在由阿贝尔群上的方程的解定义的组合结构上。我们的结果也给出了一个二分法密切相关的约束满足问题。
2010-01-01 cs.CC cs.DM
Note on "The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions"
Focke，Goldberg和Rumivnnovel（arXiv 2017）证明了从一个没有循环的大型输入图G到一个可能有循环的固定图H的满射同态计数问题的复杂性二分法。本文给出了一个较弱结果的简短证明：即我们只证明了更一般的G有环问题的P-硬度。我们的证明是Lovász（2012）的一个强大框架的应用，它类似于Curticapean，Dell和Marx（STOC 2017）的证明，他们研究了“对偶”问题，其中模式图G很小，主图H是输入。独立地，Chen（arXiv 2017）使用Lovász的框架证明了一个复杂性二分法，用于计算固定有限结构的满射同态。
2017-10-04 cs.CC
A topological proof of the Hell-Nešetřil dichotomy
该研究结合拓扑组合学与约束满足问题的代数方法，基于Lovász的思路给出了图同态问题二分性结论Hell-Nešetřil定理的全新证明。
2025-01-10 cs.CC math.AT math.CO
Extensions of the Minimum Cost Homomorphism Problem
假设$D$是一个有限集合，$R$是从$D$到自然数的函数的有限集合。最小$R$ -成本同态问题（$MinHom_R$）的实例是一组变量$V$，其受到指定约束以及用于$v \in V$和$r \in R$的每个组合的正权重$c_{vr}$.目的是找到一个函数$f:V \rightarrow D$，使得$f$满足所有约束，并且$\sum_{v \in V} \sum_{r \in R} c_{vr}r(f(v))$最小化。这个问题统一了众所周知的优化问题，如最小成本同态问题和最大解问题，这使得它成为优化问题的有价值CSP框架的计算有趣的片段。我们通过{ \em constraint languages}参数化$MinHom_R\left(Γ\right)$，即设置约束中允许的关系的$Γ$。一个约束语言被称为{ \em conservative}，如果每一个一元关系是它的成员;这样的约束语言在理解约束问题的结构中起着重要的作用。$MinHom_R$的二分法猜想如下：如果$Γ$是一个约束语言，那么$MinHom_R\left(Γ\right)$要么是多项式时间可解的，要么是NP完全的。对于$MinHom$的二分法结果最近已经得到[Takhanov，STACS，2010]，本文的目标是将该结果扩展到具有保守约束语言的$MinHom_R$的情况。对于任意的$R$这个问题仍然是开放的，但假设一定…
2012-10-08 cs.CC
Subexponential algorithms for variants of homomorphism problem in string graphs
我们考虑了从具有$n$顶点的曲线（弦图）的交图到固定图$H$的加权同态的复杂性。我们提供了一个完整的二分法的问题：如果$H$没有两个顶点共享两个共同的邻居，那么这个问题可以解决的时间$2^{O(n^{2/3} \log n)}$，否则没有算法工作的时间$2^{o(n)}$，即使在相交图的部分，除非ETH失败。这推广了有关几何求交图计算问题复杂性的几个已知结果。然后我们考虑了图同态问题的两个变体，称为局部单射同态和局部双射同态，其中我们要求同态在每个顶点的邻域上是单射或双射的。我们表明，对于每个目标图$H$，这两个问题总是可以解决的时间$2^{O(\sqrt{n} \log n)}$在字符串图。对于以类似方式定义的局部满同态，情况似乎更复杂。我们证明了最大度为2的简单连通图$H$的二分法。如果$H$同构于$P_3$或$C_4$，则从具有$n$顶点的字符串图到$H$的局部满射同态的存在性可以在时间$2^{O(n^{2/3} \log^{3/2} n)}$上判定，否则问题不能在时间$2^{o(n)}$上求解，除非ETH失败。作为副产品，我们得到了几个结果有关的复杂性变种的同态问题的$P_t$ -free图。特别地，我们得到了加权同态的二分法，类似于弦图的二分法。
2019-06-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Minimum Cost Homomorphisms to Semicomplete Bipartite Digraphs
对于有向图$D$和$H$，如果$uv\in A(D)$蕴涵$f(u)f(v)\in A(H).$，则映射$f: V(D)\dom V(H)$是$D$到$H$的同态。此外，如果每个顶点$u \in V(D)$与代价$c_i(u), i \in V(H)$相关联，则同态$f$的代价是$\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$。对于每个固定有向图$H$，我们有{ \em最小代价同态问题} $H$。问题是，对于一个输入图$D$与成本$c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$，是否存在一个同态$D$到$H$，如果存在，找到一个最小的成本。最小费用同态问题包含（或相关）许多研究良好的优化问题。本文描述了半完全多部有向图$H$的最小费用同态问题的二分法。这解决了一个开放的问题，从早期的文件。为了得到本文的二分法，我们引入并研究了有向图的$k$-Min-Max序这一新概念。
2006-08-25 cs.CC cs.DM
Counting Homomorphisms to Trees Modulo a Prime
许多重要的图论概念可以编码为计数图同态问题，例如统计物理中的配分函数，特别是独立集和着色。在这篇文章中，我们研究了$\#_p\mathsf{H}$ OMS $\mathsf{T}$ O $H$的复杂性，从输入图到图$H$模素数$p$的图同态计数问题。Dyer和Greenhill证明了一个二分法，说明非模计数图同态的易处理性取决于输入图的结构。由于取消现象的普遍存在，非模计数中许多难以处理的情况在模计数中变得容易处理。然而，在随后的研究计数模$2$的影响，结构的$H$上的易处理性，被证明是持久的，产生类似的二分法。我们的主要结果表明，对于每一棵树$H$和每一个素数$p$，问题$\#_p\mathsf{H}$ OMS $\mathsf{T}$ O $H$是多项式时间可计算的或$\#_p\mathsf{P}$ -完全的.这解决了Faben和Jerrum在模2计数时对每个图$H$陈述这种二分法的猜想。为了证明这个结果，我们研究了同态的结构性质。作为一个重要的过渡，这项研究产生了一个二分法的问题的加权计数独立集的二分图模一些素数$p$。我们的结果是第一次表明，这样的二分法不仅适用于1位功能的模~2的情况下，但所有素数$p$的模计数功能。
2018-04-22 cs.CC cs.DM
A dichotomy theorem for $Γ$-switchable $H$-colouring on $m$-edge coloured graphs
研究 $m$-边着色图上通过切换操作实现到固定图 $H$ 的颜色保持同态的存在性，并在 $\Gamma$ 传递时给出二分定理。
2025-01-22 cs.CC math.CO
Counting Restricted Homomorphisms via Möbius Inversion over Matroid Lattices
我们提出了一个参数化计数问题的复杂性分类框架，可以用公式表示为小模式图H_1，...，H_l的系数对应于图拟阵格上的Möbius函数的赋值。这推广了Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的想法，他们使用了Lovász的一个结果，即从图H到图G的子图嵌入的数量可以表示为H的划分格上的总和。在第一步中，我们介绍了我们所谓的图形限制同态，除其他外，推广子图嵌入以及局部内射同态。我们提供了一个完整的参数化的复杂性二分法计数这样的同态，也就是说，我们确定类的模式的问题是固定参数易处理的（FPT），包括一个算法，并证明所有其他的模式类导致#W[1]-困难的问题。证明的主要成分是由于Curticapean，Dell和Marx [STOC 17]的同态线性组合的复杂性分类以及Rota的NBC定理的推论，该定理指出几何格上的莫比乌斯函数的符号仅取决于其参数的秩。我们使用一般定理来分类计数局部内射同态的复杂性，以及同态是内射的r-邻域常数r。此外，我们表明，前者有“真正的”FPT的情况下，通过考虑子图计数问题限制在两侧的树。最后，我们表明，二分法计数图形限制同态容易扩展到所谓的线性组合。
2017-06-26 cs.CC
Polynomial and analytic methods for classifying complexity of planar graph homomorphisms
本文引入多项式与解析方法处理平面图同态复杂性分类，分离出由matchgates张量积表示的P时间可处理矩阵，并证明了$4 \ imes 4$矩阵的复杂性二分法，表明Valiant的holographic algorithm在该设定下具有通用性。
2024-12-22 cs.CC
Complexity of Correspondence Homomorphisms
对应同态既是标准同态的推广，也是对应染色的推广。对于固定的目标图$H$，问题是决定输入图$G$（其中每个边由$V(H)$的一对置换标记）是否允许与标签“对应”的$H$的同态，在下面解释的意义上。我们将这个问题的复杂性归类为固定图$H$的函数。事实证明，存在二分法-每个问题都是多项式时间可解的或NP完全的。虽然大多数图$H$产生NP完全问题，但也有一些有趣的情况，图$H$的问题可以通过高斯消去法解决。我们还分类的复杂性类似的对应{ \em列表同态}的问题，也是一个{ \em二分版本}的两个问题的复杂性。我们强调当$H$是自反的情况下的证明，但是，为了记录在案，我们在附录中包括了其余证明的粗略草图。
2018-03-28 cs.CC cs.DM math.CO
The complexity of counting planar graph homomorphisms of domain size 3
我们证明了一个计算域大小为3的平面图同态的复杂性二分定理。给定任意3 × 3实值对称矩阵$H$定义了平面图$G \mapsto Z_H(G)$的一个图同态，我们根据矩阵$H$对该问题的计算复杂性进行了完全分类.我们证明了对于每一个$H$，问题是多项式时间可计算的或P-困难的。P-时间可计算的情况包括那些P-时间可计算的一般图（一个完整的分类是已知的）或可计算的Valiant的全息算法通过匹配门。我们还证明了几个关于平面图同态的一般域大小$q$的结果。证明主要使用分析论证。
2023-02-16 cs.CC
Homomorphism reconfiguration via homotopy
对于固定图H，我们考虑以下问题：给定一个图G和G的两个H-染色，即从G到H的同态，可以通过每次改变一种颜色将一个转换（重新配置）为另一个，始终保持H-染色。这与在Hom（G，H）复形中找到一条路是一样的。对于H=K_k，这是寻找k-着色之间的路径的问题，Cereceda等人在2011年证明了k<=3时在P中，否则是PSPACE完全的。我们推广了这个二分法的积极的一面，提供了一个算法，解决了问题的多项式时间的任何H没有C_4子图。这给出了一个大类的约束，其中找到解决方案的约束满足问题是NP-完全的，但在解决方案空间中找到路径是P.该算法使用的表征可能的重新配置序列（路径在Hom（G，H）），其主要部分是一个纯粹的拓扑条件描述的代数条款的基本广群的H视为一个拓扑空间。
2017-03-24 cs.CC math.CO
Locally Constrained Homomorphisms on Graphs of Bounded Treewidth and Bounded Degree
一个从图G到图H的同态是局部双射、满射或内射的，如果它对G的每个顶点的邻域的限制分别是双射、满射或内射。我们证明了测试一个给定的图G是否允许一个同态到一个给定的图H，是局部双射，满射，或内射，分别是NP-完全的问题，即使当G的路宽至多5，4，或2，分别，或当G和H都有最大程度3。我们补充这些硬度的结果表明，这三个问题是多项式时间可解的，如果G有界树宽，此外G或H有界最大程度。
2014-08-28 cs.CC cs.DM math.CO
Non-negative Weighted #CSPs: An Effective Complexity Dichotomy
证明了所有非负加权计数约束满足问题的复杂性二分法。这盖了一长串的重要结果计数问题，包括未加权和加权图同态和著名的二分法定理未加权#CSP。我们的二分法定理给出了一个简洁的易处理性标准。如果约束函数的集合F满足该准则，则由F定义的计数CSP问题在多项式时间内可解;如果不满足该准则，则该问题是#P-hard的。我们还证明了F是否满足准则的问题在NP中是可判定的。令人惊讶的是，我们的易处理性标准比以前的标准更简单的限制类的问题，虽然专门为这些情况下，他们在逻辑上是等价的。我们的证明主要使用线性代数，并代表了一个偏离泛代数，近年来占主导地位的方法。
2010-12-27 cs.CC
The Complexity of Counting Homomorphisms to Cactus Graphs Modulo 2
从图G到图H的同态是从V（G）到V（H）保持边的函数。数学和计算机科学中出现的许多组合结构可以自然地表示为图同态和图同态的加权和。本文研究了模2同态计数的复杂性。模计数的复杂性是由Papadimitriou和Zachos介绍的，它是由Valiant开创的，他着名地介绍了一个问题，其中模7计数很容易，但模2计数很难处理。模计数为研究同态问题的结构提供了丰富的背景。在这种情况下，图H的结构对问题的复杂性有很大的影响。因此，我们的方法是图论的。我们给出了仙人掌图类的一个完全解，仙人掌图是指每条边至多属于一个圈的连通图。仙人掌图出现在许多应用中，例如无线传感器网络的建模和基因组的比较。我们表明，对于某些仙人掌图H，计数同态到H模2可以在多项式时间。对于每一个其他固定的仙人掌图H，这个问题是完全的复杂性类奇偶校验-P，这是一个广泛的复杂性类，其中每个问题的多项式层次可以减少（使用随机减少）。确定哪个H导致易处理的问题可以在多项式时间内完成。我们的结果建立在Faben和Jerrum的工作之上，他们对H是树的情况给出了二分法。
2014-04-25 cs.CC math.CO
Complexity of Counting CSP with Complex Weights
本文对具有复权重的计数约束满足问题（简称#CSP）给出了一个复杂性二分法。为此，我们给出了三个条件，其易处理性。设F是复值函数的有限集合，证明了当满足这三个条件时，#CSP（F）是多项式时间可解的，否则是#P-难的.我们的复杂性二分法推广了计数问题的一系列重要结果：（a）图同态的计数问题是F中存在单个对称二元函数的特殊情况，（b）有向图同态的计数问题是F中存在单个不一定对称二元函数的特殊情况;以及（c）#CSP的标准形式是当F中的所有函数都取{0，1}中的值时。
2011-11-10 cs.CC
Space complexity of list H-colouring: a dichotomy
约束满足问题（CSP）的二分法猜想指出每个CSP都在P中或者是NP完全的（Feder-Vardi，1993）。它已被证明为保守问题（也称为列表同态问题）由A。Bulatov（2003年）。我们通过证明对于有向图模板H，每个保守的CSP，记为LHOM（H），在对数空间中是可解的或者对于NL是困难的来增强这个结果。更确切地说，我们引入了一个有向图结构，我们称之为循环N，并证明了以下二分法：如果H不包含循环N，那么LHOM（H）允许一个对数空间算法，否则LHOM（H）对于NL是困难的。我们的算法通过基于辅助有向图的新分解以复杂的方式减少列表，结合Reingold算法的无向可达性（2005）的重复应用。我们还证明了这个二分法的代数版本：没有循环N的有向图正是那些承认有限链的多态性满足Hagemann-Mitschke身份。这证实了Larose和Tesson（2007）对LHOM（H）的一个猜想。此外，我们证明了循环N的存在性可以在H的大小的时间多项式中确定。
2013-08-01 cs.CC cs.DM math.CO
Dichotomy Theorems for Alternation-Bounded Quantified Boolean Formulas
1978年，Schaefer证明了他著名的广义可满足性问题的二分法。他定义了无限多的命题可满足性问题，表明所有这些问题要么在P或NP-完全，并给出了一个简单的标准，以确定这两种情况下举行。根据拉德纳定理，这个结果是令人惊讶的，拉德纳定理意味着在P和NP完全之间有无限多的复杂性类（假设P不等于NP）。Schaefer还提出了一个量化的广义布尔公式的二分法定理，但这一定理最近才被Creamou、Khanna和Sudan证明，并由Dalmau独立证明：确定量化的布尔公式的真值要么是PSPACE-完全的，要么是P中的。在其不受限制的形式，这些问题是典型的问题完成的多项式层次的水平。本文证明了交替有界量化广义布尔公式的二分法，证明了这些问题是$Σ_i^p$ -完全的或在P中的，并给出了判定哪种情况成立的简单准则.这是第一个结果，获得二分法的无限数量的类一次。
2004-06-02 cs.CC cs.LO
Constraint Satisfaction Problems over Finitely Bounded Homogeneous Structures: a Dichotomy between FO and L-hard
Faculty of Mathematics and Computer Science, Jagiellonian University（雅盖隆大学数学与计算机科学学院）
本文证明了有限有界同构模型完全核心的第一阶扩展的CSP要么可由一阶定义（非均匀AC$^0$），要么在第一阶约简下为L难。该结果是Bodirsky-Pinsker猜想范围内最一般的复杂性二元性。
2026-07-16 cs.CC cs.LO
On the reduction of the CSP dichotomy conjecture to digraphs
一般关系结构上的约束满足问题可以在多项式时间内化为有向图问题。我们提出了一个简单的变种，这样的减少，并用它来表明，代数二分法猜想是等价的限制有向图和多项式减少可以在对数空间。我们还表明，我们的减少保持有界宽度属性，即，局部一致性方法。我们讨论进一步的算法性能，保存和相关的开放问题。
2013-08-02 cs.CC math.CO
A Dense Weisfeiler-Leman Algorithm for Deciding Bounded-Cliquewidth Homomorphism Indistinguishability
IT University Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）；University of Regensburg（雷根斯堡大学）；TU Dresden（德累斯顿工业大学）
本文提出稠密Weisfeiler-Leman算法，首次判定有界团宽稠密图类上的同态不可区分性，还证明CMSO₁定义的有界团宽图类的同态不可区分性可在随机指数时间内判定，有界线性团宽图类的该问题为PSPACE完全。
2026-08-14 cs.CC cs.LO math.CO
Dichotomy for orderings?
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与创新网络阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Eötvös Lóránd University（罗兰大学）；Department of Applied Mathematics (KAM) and Computer Science Institute (IUUK), Charles University（查理大学应用数学系（KAM）和计算机科学研究所（IUUK））
本文研究了顺序问题的二元性，证明了由有限禁止有序子图定义的顺序问题具有NP类的全部威力，并推翻了关于此类问题存在二元性的猜想。
2026-01-08 cs.CC
Holant* Dichotomy on Domain Size 3: A Geometric Perspective
本文针对定义域大小为 3 的任意对称实值约束函数集合，证明了 Holant 问题的首个复杂性二分定理，并揭示张量分解几何在判据中的核心作用。
2025-04-18 cs.CC
Complexity of the list homomorphism problem in hereditary graph classes
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。对于固定图$H$，在列表同态问题中，记为LHom（$H$），我们给出一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个列表$L(v) \subseteq V(H)$ .我们问是否存在从$G$到$H$的同态$f$，其中$f(v) \in L(v)$对每个$v \in V(G)$。Feder，Hell和Huang [JGT~2003]证明了当$H$是双弧图时，LHom（$H$）是多项式时间可解的，否则是NP-完全的.我们感兴趣的LHom（$H$）问题的复杂性排除一些固定的图$F$作为一个诱导子图。已知如果$F$是连通的，并且不是一条路，也不是一个细分的爪，那么对于每个非双弧图，LHom（$H$）问题是NP完全的，并且不能在次指数时间内解决，除非ETH失败。我们考虑连通图$F$的其余情况。如果$F$是一条路径，我们展示了一个完整的二分法。我们定义了一类捕食图，证明了如果$H$不是捕食图，则对于每一个固定的$t$，LHom（$H$）问题可以在$P_t$ -free图中在拟多项式时间内得到解决.另一方面，如果$H$是捕食的，则存在$t$，使得LHom（$H$）不能在$P_t$ -free图的次指数时间内求解.如果$F$是一个细分的爪，我们在两个重要的情况下显示了完全二分法：对于$H$是非自反的（即，没有环），并且对于自反的$H$（即…
2022-02-03 cs.CC
Computing list homomorphisms in geometric intersection graphs
从图$G$到图$H$的同态是从$V(G)$到$V(H)$的边保持映射。设$H$是一个可能有环的固定图。在列表同态问题中，记为\textsc{LHom}（$H$），其实例是图$G$，其每个顶点都具有$V(H)$的一个子集，称为列表.我们询问是否存在从$G$到$H$的同态，使得来自$G$的每个顶点映射到来自其列表的顶点。我们研究的复杂性的\textsc{LHom}（$H$）问题的各种几何对象的相交图。特别是，我们有兴趣回答的问题是什么图$H$和什么类型的几何对象，\textsc{LHom}（$H$）的问题可以解决时间次指数的顶点数的实例。我们完全解决了这个问题的字符串图，即，平面上连续曲线的交图。非常令人惊讶的是，事实证明，二分法与排除固定路径作为导出子图的图的类似二分法完全一致[Okrasa，Rzewski，STACS 2021]。然后，我们把注意力转向弦图的子类，定义为胖对象的交叉点。我们观察到，在这样的类中的次指数时间算法的（不）存在与$H$中的最大自反团的大小$\mathrm{mrc}(H)$密切相关，即，成对相邻顶点的最大数量，每个顶点都有一个循环。我们研究的最大值的$\mathrm{mrc}(H)$，保证存在一个次指数时间算法的\textsc{LHom}（$H$）相交图（i）凸脂肪对象，（ii）脂肪相似大小的对象，和（iii）磁盘。在前两种情况下，我们得到最佳的结果，通过匹…
2022-02-17 cs.CC cs.DS
Near-Linear Time Homomorphism Counting in Bounded Degeneracy Graphs: The Barrier of Long Induced Cycles
在输入图$G$中计算恒定大小模式图$H$的同态是一个基本的计算问题。在对输入$G$和模式$H$的各种约束下，研究这个问题的复杂性有着丰富的历史。考虑到这个问题的重要性和现代输入的大尺寸，我们研究了近线性时间算法的可能性。我们专注于输入图有界退化的情况下，一个普遍研究和实际相关类同态计数。从以前的工作中得知，对于某些类的$H$，$H$ -同态可以在近线性时间内精确计数有界退化图。我们能否精确地描述模式$H$的特征，从而使近线性时间算法成为可能？我们完全解决了这个问题，发现了一个干净的二分法使用细粒度的复杂性。令$m$表示$G$中的边的数目。我们证明如下：如果$H$中的最大诱导圈的长度不超过$5$，则存在一个计算有界退化图中$H$ -同态的$O(m\log m)$算法.如果$H$中最大的诱导循环的长度至少为$6$，那么（假设标准的细粒度复杂度模型）存在一个常数$γ> 0$，这样就不存在计算$H$ -同态的$o(m^{1+γ})$时间算法。
2020-11-19 cs.CC cs.DS
The Complexity of Counting Surjective Homomorphisms and Compactions
从图G到图H的同态是从G的顶点到H的顶点的保持边的函数。一个同态是满射的，如果它使用H的所有顶点，它是一个压缩的，如果它使用H的所有顶点和H的所有非循环边。Hell和Nesetril给出了判定从输入图G到固定图H是否存在同态的复杂性的完整刻画。一个完整的特征是不知道满同态或紧，虽然有许多有趣的结果。Dyer和Greenhill给出了从输入图G到固定图H的同态计数复杂性的完整刻画。本文给出了从一个输入图G到一个固定图H的满射同态的计数复杂性的一个完整的刻画，同时也给出了从一个输入图G到一个固定图H的紧致的计数复杂性的一个完整的刻画.在附录中，我们使用我们的特征指出一个二分法的各自的近似计数问题的复杂性（在连接的情况下）。
2019-04-09 cs.CC cs.DM
A Dichotomy Theorem for the Approximate Counting of Complex-Weighted Bounded-Degree Boolean CSPs
我们确定了近似计算每个复加权布尔约束满足问题（或CSP）的变量分配的总权重的计算复杂性，其中具有任何数量的附加一元（即，arity 1）约束，特别是当输入实例的度由固定常数从上限定时。显然，所有的1次计数CSP都可以在多项式时间内求解。当实例的度大于2时，我们提出了一个二分法定理，将所有允许自由一元约束的计数CSP分为两类。这一分类定理的扩展，复加权问题，较早的结果的近似复杂性的未加权计数布尔CSP的有界程度。我们的定理的证明框架是基于一个理论的签名开发的Valiant的全息算法，可以有效地解决看似棘手的计数CSP。尽管使用任意复杂的重量，我们的分类定理的证明是相当初级和直观的，由于广泛使用的一个新的概念有限的T-构造。相反，对于其余的2度问题，它们与Holant问题一样难以近似，Holant问题是计数CSP的推广。
2012-03-18 cs.CC
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
2026-03-16 cs.CC
Homomorphisms Are a Good Basis for Counting Small Subgraphs
我们引入图模参数，一类图参数，只依赖于常数大小的诱导子图的频率。Lovász的经典著作表明，许多有趣的量具有这种形式，包括，对于固定图$H$，输入图$G$中的$H$ -副本（诱导或未诱导）的数量，以及从$H$到$G$的同态的数量。使用的框架图模参数，我们得到更快的算法计算子图副本的固定图$H$在主机图$G$：对于图$H$的$k$边缘，我们展示了如何计算子图副本的$H$在时间$k^{O(k)}\cdot n^{0.174k + o(k)}$一个令人惊讶的简单算法。这改进了先前已知的运行时间，例如用于$k$边缘匹配的$O(n^{0.91k + c})$时间或用于$k$循环的$O(n^{0.46k + c})$时间。此外，我们证明了一个一般的复杂性二分法评估图的主题参数：给定一类$\mathcal C$等参数，我们考虑的问题，评估$f\in \mathcal C$输入图$G$，参数化的诱导子图的数量，$f$依赖。对于每一个递归可排类$\mathcal C$，我们证明了上述问题是FPT或#W[1]-困难的，并给出了明确的二分法准则.这使我们能够恢复已知的二分法计数子图，诱导子图，同态在一个统一的和简化的方式，以及改进的下界。最后，我们将图的模体参数扩展到着色子图，并证明了一个复杂度分解：对于顶点着色图$H$和$G$，其中$H$来自一个固定的类$\mathcal H$，我们要计数$G$中的保…
2017-05-03 cs.CC cs.DM cs.DS
On the complexity of $\mathbb H$-coloring for special oriented trees
对于固定有向图$\mathbb H$，$\mathbb H$ -着色问题是判定给定的有向图$\mathbb G$是否允许与$\mathbb H$同态的问题. Feder和Vardi的CSP二分法猜想等价于证明，对于任何$\mathbb H$，$\mathbb H$ -着色问题是在P或NP-完全中。我们确认这一二分法为一定类别的定向树，我们称之为特殊的树（推广早期的结果，特别三合会和多边形）。此外，我们证明了每个易处理的特殊定向树都有界宽度，即，相应的$\mathbb H$ -着色问题可通过局部一致性检验来解决。我们的证明依赖于最近的代数工具，即通过指向操作和吸收理论的同余满足半分布性的表征。
2017-10-02 cs.CC cs.DM math.CO
FPT iff PTIME for Homomorphism Problems on Sparse-Incidence and Bounded-Independence Patterns
Institute of Logic and Computation, TU Wien（逻辑与计算研究所，维也纳科技大学）
本研究证明在ETH下，对有界关联退化或有界原始独立数的模式超图，同态问题的固定参数可处理性与多项式时间可解性等价，由分数超树宽刻画，并给出近线性上界及计数坍缩结果。
2026-11-04 cs.CC cs.DB
A complexity dichotomy for partition functions with mixed signs
配分函数，也称为同态函数，形成了一个丰富的图形不变量家族，其中包含组合不变量，例如k-着色的数量或图形的独立集的数量，以及统计物理学的某些“自旋玻璃”模型（如伊辛模型）的配分函数。基于Dyer，Greenhill和Bulatov，Grohe的早期工作，我们完全分类了配分函数的计算复杂性。我们的主要结果是一个二分法定理，说明每个配分函数是在多项式时间或#P-完全可计算的。用实元素对称矩阵描述了配分函数，并证明了在多项式时间内，给定的配分函数是在多项式时间内还是#P-完全的，都可以用矩阵来判定.虽然在一般情况下，这是非常复杂的，以明确的代数或组合描述的听话的情况下，分区功能所描述的阿达玛矩阵-这些原来是中央在我们的证明-我们得到一个简单的代数听话的标准，这说，听话的情况下是那些“代表”的二次多项式在外地GF（2）。
2009-05-05 cs.CC cs.DM
Towards an Isomorphism Dichotomy for Hereditary Graph Classes
在本文中，我们解决了同构问题的复杂性，但大多数的图类特征在于两个禁止诱导子图。为此，我们开发适用于图形的结构和算法分析的新技术。首先，我们通过提供统一各种约简技术的通用框架来开发一种方法来显示图类上同构问题的同构完整性。其次，我们推广的概念的模块分解着色图，允许非标准的分解。我们表明，给定一个合适的分解函子，图同构问题减少到检查着色素图的同构。第三，我们将有界色价和超图同构的技巧推广到有界色大小的超图上。我们说一个着色图的广义色价至多为k，如果在去掉所有大小至多为k的色类中的顶点后，对于每个色类C，每个顶点在C中至多有k个邻居或至多有k个非邻居。我们证明了有界广义色价图的同构可以在多项式时间内求解。
2014-11-07 cs.CC cs.DM cs.DS
Monotone Bounded-Depth Complexity of Homomorphism Polynomials
本文研究了同态多项式和彩色子图多项式的单调有界深度电路复杂度，提出图参数层次$\mathrm{tw}_Δ(H)$并证明了最优深度层次定理。
2025-05-28 cs.CC cs.DM
Generalisations of Matrix Partitions : Complexity and Obstructions
本文将矩阵划分问题推广到关系结构，证明其与三图同态P时间等价，并研究了二分性、有限障碍与有限对偶性的关系，同时证明树上的矩阵划分同态判定是NP完全的，揭示了其与CSP在可处理性上的显著差异。
2024-06-04 cs.CC
On Counting (Quantum-)Graph Homomorphisms in Finite Fields of Prime Order
研究了素数阶有限域$\mathbb{Z}_p$中从输入图$G$到固定（量子）图$\bar{H}$的同态个数的计算问题。图$H$的子问题是由Faben和Jerrum [ToC'15]介绍的，其复杂性受到越来越多的研究文章的影响，例如Focke，Goldberg，Roth和Zivnovel [SIDMA'21]的工作以及Bulatov和Kazeminia [STOC'22]的工作，继本文的会议版本之后。我们的贡献是三方面的。首先，我们将量子图的研究引入到模计数同态的研究中。我们表明，量子图$\bar{H}$的复杂性崩溃的复杂性标准，发现在1维：图。其次，为了证明棘手的情况下，我们建立了一个进一步的减少研究的二分图。最后，我们建立了一个二分法的所有二部（$K_{3,3}\backslash\{e\}$，${domino}$）-免费的图，通过一个彻底的结构研究，结合本地和全球的参数。这一结果包含了所有已知的素数模的二部图的所有结果，并显着地扩展了它们。即使对于$p$等于$2$的子问题，这也建立了新的结果。
2022-08-18 cs.CC cs.DM
Monotone Bounded Depth Formula Complexity of Graph Homomorphism Polynomials
Indian Institute of Technology Gandhinagar（印度理工学院甘地纳加尔分校）
研究通过袋状消除树定义了图同态和着色同构多项式的单调有界深度公式复杂度，证明其复杂度为Θ(n^{λ_Δ(H)})，并建立了单调电路与公式间的分离及深度层次。
2026-06-22 cs.CC
Counting list homomorphisms from graphs of bounded treewidth: tight complexity bounds
这项工作的目标是给出精确的计数复杂性的一个家庭的广义着色问题（列表同态）有界树宽图。给定图$G$、$H$和每个$v\in V(G)$的列表$L(v)\subseteq V(H)$，{ \em列表同态}是保留边的函数$f:V(G)\to V(H)$（即，$uv\in E(G)$意味着$f(u)f(v)\in E(H)$）并遵守列表（即，$f(v)\in L(v))$。标准技术表明，如果$G$是用宽度为$t$的树分解给出的，则列表同态的数量可以在时间上计数$|V(H)|^t\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。我们的主要结果是确定，对于每一个固定的图$H$，有多少基本$|V(H)|$在运行时间可以提高。对于一个连通图$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$如下：如果$H$有一个循环或者是非二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是一个集合$S\subseteq V(H)$的最大尺寸，其中任何两个顶点有不同的邻域;如果$H$是二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是这样一个集合的最大尺寸，它完全在一个二分类中。对于不连通的$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$为$H$的每个连通分量$C$上的$\operatorname{irr}(C)$的最大值。我们发现，对于每个固定的图$H$，列表同态从$…
2021-10-29 cs.CC cs.DS
Graph Homomorphism, Monotone Classes and Bounded Pathwidth
本文将图同态及有界度下的局部约束同态纳入单调图类复杂性二分框架，并给出多项式谱系高层级困难性的列表着色博弈示例。
2025-03-14 cs.CC cs.LO
Smooth approximations and CSPs over finitely bounded homogeneous structures
我们开发了新的机械光滑近似，并应用它来确认CSP二分法猜想的一阶约简的随机锦标赛，各种齐次图，包括随机图，并为扩展的顺序的理性。除了获得这些二分法的结果，我们展示了我们的新证明技术如何允许统一和显着简化以前的结果从文献。对于所有，但最后的结构，我们还描述了这些CSP是可解的局部一致性方法，再次使用相同的机器。
2021-06-07 cs.CC cs.LO math.LO
