发表机构
University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
机构由 AI 辅助整理，请以论文原文为准。AI 中文总结
本文通过逐项对数矩阵代数与平面边小工具，对非负权重平面图同态计数问题给出三分复杂度分类，核心证明正定矩阵情形，并区分FKT可解与#P-困难情形。
AI 中文摘要
我们证明了具有非负权重的平面图同态计数问题的复杂度分类。对于具有非负元素的实对称矩阵 $M$，问题 $\PlGH(M)$ 要么（1）在所有图上都是多项式时间可计算的，要么（2）在一般情况下是 #P-困难的但在平面图上是多项式时间可计算的，要么（3）在平面图上是 #P-困难的。此外，（2）中的 $\PlGH(M)$ 恰好包含那些涉及使用全息变换的 FKT 算法来计数平面完美匹配的多项式时间可计算问题。该二分类通过取所有可由 $M$ 实现的矩阵的逐项对数，利用平面边小工具和多项式插值，形成一个（中心化的）对数矩阵代数（一个带有双线性乘法的向量空间）来实现。当前版本为第一部分，其中包含逐项正定矩阵和正定矩阵的二分类证明，这是非负矩阵二分类的核心。第二部分包含从逐项正定矩阵和正定矩阵到非负矩阵的扩展。
英文摘要
We prove a complexity classification of counting planar graph homomorphisms with non-negative weights. For a real symmetric matrix $M$ with non-negative entries, the problem $\PlGH(M)$ is either (1) P-time computable over all graphs, or (2) \#P-hard in general but P-time computable over planar graphs, or (3) \#P-hard over planar graphs. Furthermore, $\PlGH(M)$ in (2) consists of precisely those that involve the P-time FKT algorithm to count planar perfect matchings with a holographic transformation. The dichotomy is achieved by forming a (centered) logarithmic matrix algebra (a vector space with bilinear multiplication) by taking entrywise logarithms of all realizable matrices from $M$ using planar edge gadgets and polynomial interpolation. The current version is part I, which contains the proof for the dichotomy of entrywise positive and positive definite matrices, which is at the core of the dichotomy for non-negative matrices. Part II contains the extension from entrywise positive and positive definite matrices to non-negative matrices.
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