Lower Bound for General Circuits Computing Clique Function
Weimin Chen
我们证明了计算团函数的一般电路的指数下界，并在此确认NP！= P.
We prove an exponential lower bound for general circuits computing the clique function and hereby confirm that NP != P.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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CLIQUE as an AND of Polynomial-Sized Monotone Constant-Depth Circuits
本文证明了在 n 顶点图上计算 k-CLIQUE 需要至少 2^{n/4k} 个单调常深度多项式规模电路的 AND，并为此提出了一个新的单调单侧切换引理。
A Solution of the P versus NP Problem based on specific property of clique function
电路下界是重要的，因为据信NP中的问题的超多项式电路下界意味着P！= NP. Razborov用逼近的方法证明了单调电路的超多项式下界。通过扩展这种方法，研究人员已经证明了几个不同函数的单调网络复杂性的指数下界。但是到目前为止，还没有人能够证明NP中任意布尔函数的非单调复杂度的非线性下界。本文通过将标准电路中的每个“非”门等价地替换为常数1，证明了非单调网络与单调网络相比具有相同或更高的计算团函数的下界.这表明团函数的非单调网络复杂度是超多项式，这意味着P！= NP.
Computing Cliques is Intractable
类P实际上是NP的一个真子类。我们研究了Hamming空间2^[n]的拓扑性质，其中[n]={1，2，.，n}。与发达国家的理论，我们表明：（i）一个与Erdos和Rado的向日葵引理密切相关的定理，并且在大多数情况下要求更强的陈述，（ii）一种新的方法来证明团问题的指数单调电路复杂性，（iii）NC \ne NP通过具有多对数深度的布尔电路计算团的不可能性，基于（ii）的构造，以及（iv）基于（iii）的构造，通过团问题的指数电路复杂性得到P \ne NP。项（i）导致在某些集合族中存在具有小核心的向日葵，这不是向日葵引理的明显结果。在（iv）中，我们证明了计算团函数CLIQUE_{n,k}（k=n^{1/4}）的任何布尔电路都具有n的大小指数。因此，我们也将P/poly与NP分开。Razborov和Rudich给出了强有力的证据，证明没有自然的证据可以证明布尔函数的指数电路复杂性。我们确认（iii）和（iv）的证明不是自然的。
Hardness of clique approximation for monotone circuits
本研究结合向日葵猜想突破成果，改进了单调电路近似团问题的下界至$2^{\u000btildeΩ(\u221an)}$，并构造了对应显式电路，阐明了可与随机图区分的最大团规模的电路复杂度分界。
Poising on Ariadne's thread: An algorithm for computing a maximum clique in polynomial time
在本文中，我们提出了一个多项式时间算法的最大团问题，其中意味着P = NP。我们的算法是基于这个问题的连续博弈论表示，其核心在于一个离散时间动力系统。我们的动力系统的规则依赖于一个参数，使得如果这个参数等于最大团大小，我们的动力系统的迭代保证收敛到最大团。
On monotone circuits with local oracles and clique lower bounds
我们研究单调电路与本地预言[K.，2016]，即，包含附加输入$y_i = y_i(\vec{x})$的电路，其可以对输入串$\vec{x}$执行非结构化计算。设$μ\in [0,1]$是回路的局部性，一个限制预言函数$y_i(\vec{x})$的组合强度的参数，而$U_{n,k}, V_{n,k} \subseteq \{0,1\}^m$分别是$k$ -团的集合和完全$(k-1)$ -分图的集合（类似于[Razborov，1985]）.我们的结果可以非正式地表述如下。1.对于一个适当的扩展深度$2$单调电路与当地的神谕，我们表明，最小的电路分离$U_{n,3}$（三角形）和$V_{n,3}$（完全二分图）的大小经历了两个阶段的转变，根据$μ$。2.对于$5 \leq k(n) \leq n^{1/4}$，任意深度，和$μ\leq 1/50$，我们证明了单调的电路规模的复杂性分离集$U_{n,k}$和$V_{n,k}$是$n^{Θ(\sqrt{k})}$，在一定的限制性假设下，当地的oracle门。第二个结果是关于带限制神谕的单调电路的，它推广了Alon和Boppana（1987）关于$k$ -团的单调电路规模复杂度的指数下界，并提供了一个匹配的上界.
Monotone Circuit Lower Bounds from Robust Sunflowers
鲁棒向日葵是组合向日葵的推广，在单调电路复杂性、DNF稀疏化、随机性提取器以及Erdens-Rado向日葵猜想的最新进展中有应用。Alweiss、Lovett、Wu和Zhang最近的突破给出了排除健壮向日葵的$w$ -集系统的最大尺寸的改进的界。在本文中，我们使用这个结果得到一个$\exp(n^{1/2-o(1)})$下界的单调电路大小的显式$n$变量单调函数，提高以前最好的已知$\exp(n^{1/3-o(1)})$由于Andreev和Harnik和拉兹。我们还显示了一个$\exp(Ω(n))$下界的单调算术电路的大小的相关多项式。最后，我们引入了一个强大的candle-sunflowers的概念，并使用这个证明$n^{Ω(k)}$下界的单调电路大小的CLIQUE功能的所有$k \le n^{1/3-o(1)}$，加强了阿隆和Boppana的界限。
On Lev Gordeev's "On P Versus NP"
在论文“On P versus NP”中，列夫·戈尔杰耶夫试图将成功证明单调电路指数下界的近似方法扩展到德摩根正规（DMN）电路的情况。正如拉兹博罗夫证明单调电路的指数下界一样，戈尔杰耶夫的工作集中在NP完全问题CLIQUE上。如果成功地证明了CLIQUE的指数DMN电路下界，Gordeev将证明P $\neq$ NP。然而，我们证明了戈尔杰耶夫在引理12中犯了一个关键性的错误。这个错误来自于仅对正电路输入进行近似运算。此外，我们认为，努力扩展DMN电路的近似方法将需要近似否定的输入。
An Alternative Proof of the Exponential Monotone Complexity of the Clique Function
1985年，Razborov发现了团问题的单调电路复杂性是超多项式的证明。Alon和Boppana将该结果改进为单调回路C的指数下界exp（Ω（n / \log n）^{1/3}）），以计算大小为（1/4）（n / log n）^{2/3}的团，其中n是图中的顶点数。这两个证明是基于近似方法和Erdos和Rado的向日葵引理。有兴趣进一步推广的证明方案。在本文中，我们提出了一种新的方法来显示指数单调复杂性。与标准方法不同，它动态地构造了一个反例：假设一个次指数大小的单调回路C来计算k-团c，一个算法在C的根处构造的析取范式中找到一个不包含c的边集t。我们称之为转变。证明表明，t是不相交的边缘集z的删除没有留下k-团。我们探讨了布尔电路计算的集合论性质。我们通过寻找汉明空间2^{[n]}的拓扑性质来发展一个理论，其中[n]={1，2，.，n}。给出了一个与向日葵引理密切相关的结构定理，并在大多数情况下给出了更强的证明。该理论为上述移位方法奠定了基础。它还表明，在一个家庭的集，这不是一个明显的结果向日葵引理的小核心向日葵的存在。最后指出，新方法可应用于一般电路中计算由于t和z的动态选择而引起的团，并可改进Alon-Boppana界exp（Ω（n / \log n）^{1/3}））.
Critique of Boyu Sima's Proof that ${\rm P}\neq{\rm NP}$
我们回顾和评论了司马博宇的论文“A solution of the P versus NP problem based on specific property of clique function”（arXiv：1911.00722），该论文声称通过消除团函数的非单调电路复杂性和单调电路复杂性之间的差距来证明${\rm P}\neq{\rm NP}$.我们首先描述司马的论点，然后我们描述它失败的地方和原因。最后，我们给出了一个简单的例子，清楚地表明了失败。
Sharp Thresholds Imply Circuit Lower Bounds: from random 2-SAT to Planted Clique
该研究证明布尔函数尖锐阈值蕴含平均情形有界深度电路下界，给出逆命题，并在k-团、随机2-SAT、植入k-团等场景推导出新的指数级电路规模下界。
Some lower bounds in parameterized ${\rm AC}^0$
我们通过与经典${\rm AC}^0$相对应的参数化类证明了参数化问题的一些下界。除其他外，我们得出这样一个下界的所有FPT近似的参数化集团的问题和参数化停机问题，这最近变成了链接问题的计算复杂性，描述的复杂性，和证明理论。为了证明第一个下界，我们证明了一个强${\rm AC}^0$版本的种植集团猜想：${\rm AC}^0$ -电路渐近几乎肯定不能区分一个随机图和这个图与随机种植集团的任何大小$\le n^ξ$（其中$0 \le ξ< 1$）。
Complexity lower bounds for succinct binary structures of bounded clique-width with restrictions
本文研究了具有受限团宽的简洁二元结构的复杂性下界，提出了一种扩展框架，允许多个二元关系并限制新符号的解释，证明了某些问题的NP难、coNP难或P难性。
Depth Lower Bounds against Circuits with Sparse Orientation
我们研究深度下界对非单调电路，参数化的一个新的措施的非单调性：一个功能的方向$f$是特征向量的最小尺寸的一组否定的变量需要在任何DeMorgan电路计算$f$。我们证明了在任何电路$C$中的深度和方向向量的权重/结构之间的权衡结果，该电路计算$n$顶点图上的团函数。我们证明，如果$C$是深度$d$和每个门计算的布尔函数的方向的权重最多$w$（在输入$C$方面），那么$d \times w$必须是$Ω(n)$。特别地，如果权重是$o(\frac{n}{\log^k n})$，则$C$必须具有深度$ω(\log^k n)$。我们证明了我们的一般技术的障碍。然而，使用团函数和Karchmer-Wigderson框架（Karchmer和Wigderson，1988）的特定属性，我们超越了限制，并在权重限制不那么严格时获得下界。然后，我们研究的深度下界时的方向向量的结构受到限制。渐近改进我们的结果（在限制设置），分离NP NC。作为我们的主要工具，我们推广的Karchmer-Wigderson游戏的单调功能的工作的非单调电路参数化的重量/结构的方向。我们还证明了结构的结果，方向和证明之间的连接数量的否定和重量的方向计算一个函数。
Towards a complexity theory for the congested clique
分布式计算的拥挤团模型作为一种密集连接的分布式系统的模型已经受到关注。虽然在上界方面已经取得了重大进展，但在拥塞集团的下界方面我们却几乎没有;事实上，现在知道证明明确的拥塞集团下界和证明电路下界一样困难。在这项工作中，我们使用各种更传统的复杂性理论的工具，以建立一个更清晰的图片的复杂性景观的拥挤的集团：--非确定性和超越：我们介绍了非确定性拥挤的集团模型（类似于NP），并表明有一个自然的典型问题的家庭，捕捉所有的问题可解决的恒定时间与非确定性算法。我们进一步推广这些概念，通过引入常数轮决策层次（类似于多项式层次）。--非构造性下界：我们将先前的非均匀计数参数提升为一种通用技术，用于证明拥塞集团的非构造性均匀下界。特别是，我们证明了一个时间层次定理的拥挤集团，有决策问题的基本上所有的复杂性，无论是在确定性和不确定性的设置。--细粒度的复杂性：我们绘制了拥挤集团模型中各种自然问题之间的关系，认为基于约简的复杂性理论目前为我们提供了一个相当好的拥挤集团复杂性景观的图片。
Circuit Lower Bounds for the p-Spin Optimization Problem
考虑了利用低深度电路寻找具有Rademacher耦合的$p$ -自旋模型的近基态的问题。作为作者最近工作的直接延伸[Gamarnik，Jagannath，Wein 2020]，我们建立了任何多尺寸$n$输出电路，其产生具有在某个恒定最优因子内的目标值的自旋分配，随着$n$的增长，必须具有至少$\log n/(2\log\log n)$的深度。这比用于类似组合优化问题的形式为$Ω(\log n/(k(n)\log\log n))$的现有技术的已知状态的界限更强，其中$k(n)$取决于最优性值。例如，对于最大团问题，$k(n)$对应于团大小的平方[Rossman 2010]。同时，我们的结果不太可比，因为在我们的情况下，电路需要产生一个解决方案本身，而不是解决相关的决策问题。在我们早期的工作中，该方法是基于随机$p$自旋模型所表现出的重叠间隙属性（OGP），但电路下限的推导进一步依赖于标准的事实，从傅立叶分析的布尔立方体，特别是线性曼苏尔Nisan定理。据我们所知，这是自旋玻璃理论的方法对电路复杂性产生影响的第一个例子。
Computing Majority by Constant Depth Majority Circuits with Low Fan-in Gates
我们研究了以下计算问题：对于$k$的哪些值，大多数$n$位$\text{MAJ}_n$可以用深度为2的公式计算，该公式的每个门计算至多$k$位的多数函数？相应的计算模型用$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$表示。我们观察到，存在与大多数$n$位具有高相关性的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路的$k$的最小值等于$Θ(n^{1/2})$。然后，我们表明，对于一个随机的$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路计算大多数$n$输入位与高概率为每个输入，$k$的最小值等于$n^{2/3+o(1)}$。我们展示了一个最坏情况的下限：如果一个$\text{MAJ}_k \circ \text{MAJ}_k$电路在所有输入上正确计算出大多数$n$位，则$k\geq n^{13/19+o(1)}$。这个下限超过了随机化电路的最优值，因此对于纯随机化技术是无法达到的。对于深度$3$电路，我们证明了具有$k= O(n^{2/3})$的电路可以在所有输入上正确地计算$\text{MAJ}_n$。
Superlinear Lower Bounds Based on ETH
我们介绍了技术证明超线性条件下界的多项式时间的问题。特别是，我们表明，电路与m门和log（m）的输入（表示为log-CircuitSAT）的CircuitSAT是不可判定的本质线性时间，除非指数时间假设（ETH）是假的，k-团是可判定的本质线性时间在图的大小为所有固定的k。这样的条件下限以前只被证明相对于强指数时间假设（SETH）。因此，我们的研究结果提供了显着的进展，证明无条件的超线性时间复杂度下限自然问题的多项式时间。
A simple encoding of a quantum circuit amplitude as a matrix permanent
本文提出了一种简单的结构，它允许计算一个待编码的量子线路的跃迁幅度，即计算一个矩阵的积和，该矩阵的大小与电路中量子门的数目成正比。这为近似量子线路提供了一些有趣的经典蒙特卡罗算法。
Computing the Tutte Polynomial of Lattice Path Matroids Using Determinantal Circuits
给出了一个计算格路拟阵Tutte多项式的量子启发$O(n^4)$算法，其中$n$是拟阵基集的大小.此外，如果我们在给定的输入上计算Tutte多项式，固定变量的值，这可以改进为$O(n^2)$算术运算。现有的最佳算法是2004年发现的$O(n^5)$，自2003年以来才知道该问题是多项式时间的。从概念上讲，我们的算法使用最近证明的等价类有用的计数问题，如那些出现在模拟量子系统的行列式嵌入计算。
Thermodynamics of computing with circuits
本研究探究电路拓扑对物理耦合的限制如何影响计算的热力学成本，通过计算单门最小额外熵产，分析多门全电路的热力学成本与拓扑的关系，提出了电路热力学成本优化的新问题。
Symmetric Arithmetic Circuits
本文提出对称算术电路模型，证明计算积和式需指数规模，而特征零域上行列式可用多项式规模对称电路计算。
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