Expansions of pseudofinite structures and circuit and proof complexity
我将描述一个一般的模型理论的任务，以构造伪有限结构的展开式，并讨论几个与计算复杂性特别相关的例子。然后，我将提出一个特定的情况下，找到一个合适的扩展将意味着，假设一个单向置换存在，计算类NP是不封闭的补充。
2015-05-01 cs.CC math.LO
Logical Characterization of Algebraic Circuit Classes over Integral Domains
本文给出了Cucker和Meer引入的实数域上代数回路的一种适应性构造，并推广了任意无穷整环上的$\mathrm{AC}_{\mathbb{R}}$和$\mathrm{NC}_{\mathbb{R}}$ -类.我们给出了一个定理的风格Immerman定理表明，这些适应形式主义，决定由电路的恒定深度和多项式的大小是相同的集定义的一个适当的适应一阶逻辑。此外，我们还讨论了Durand，Haak和Vollmer的守护谓词逻辑的推广，并给出了$\mathrm{AC}_{R}$和$\mathrm{NC}_{R}$层次的刻画。这些推广也适用于布尔型$\mathrm{AC}$和$\mathrm{NC}$层次结构。此外，我们引入了一种形式主义，能够比较一些上述的复杂性类与不同的基础积分域。
2023-02-27 cs.CC
Simple Hard Instances for Low-Depth Algebraic Proofs
我们证明了超多项式下界上的命题证明系统的大小与恒深代数电路在零特征领域。具体而言，我们表明，子集和变量$\sum_{i,j,k,\ell\in[n]} z_{ijk\ell}x_ix_j x_k x_\ell - β=0$，布尔变量，没有多项式大小的IPS反驳反驳的反驳是多线性的，并作为常数深度电路。Andrews和Forbes（STOC'22）最近建立了一个恒定深度的IPS下界，但他们的硬实例本身没有小的恒定深度电路，而我们的实例已经可以用小的深度2电路计算。我们的论点依赖于最近的突破下界对恒定深度代数电路Limaye，Srinivasan和Tavenas（FOCS'21）的功能下界框架福布斯，Shpilka，Tzameret和Wigderson（TOC'21），并可能是独立的利益。具体地说，我们构造了一个多项式$f$可计算的小规模的恒定深度的电路，这样的多线性多项式计算$1/f$布尔值和其适当的集合多线性投影是很难的恒定深度的电路。
2022-05-15 cs.CC
Constant-depth circuits for polynomial GCD over any characteristic
本文证明了在任意足够大的域上，无论特征如何，两个单变量多项式的GCD均可由常数深度和多项式大小的代数电路计算，扩展了已有结果并加强了小特征域下的封闭性。
2025-06-29 cs.CC
Deterministic factorization of constant-depth algebraic circuits in subexponential time
本文提出次指数时间确定性算法，可对有理数域上常数深度代数电路进行完整因式分解，并首次确定性分解稀疏多项式。
2025-06-14 cs.CC cs.DS
Proofs, Circuits, and Communication
我们调查下界的复杂性理论，已通过新发现的命题证明复杂性，布尔电路复杂性，查询/通信复杂性之间的相互联系。我们主张总搜索问题（TFNP）的理论作为这些连接的统一语言，并讨论如何从这个角度提出了一个整体方案，进一步研究。
2022-02-17 cs.CC
First-Order Reasoning and Efficient Semi-Algebraic Proofs
半代数证明系统，如平方和（Sum-of-Squares，SoS），由于其与近似算法的关系，近年来引起了人们的广泛关注：常次数半代数证明可以为重要的NP-难优化问题提供多项式时间近似算法的最优解。出于需要允许一个更精简和统一的框架与SoS证明比限制性命题水平的工作，我们开始了系统的一阶逻辑调查的代数和半代数证明系统的推理可能。具体来说，我们开发了一阶理论，以精确的方式捕获常次数代数和半代数证明系统：在我们的理论中可证明的某种形式的每个陈述分别转化为一族常次数多项式微积分或SoS反驳;并且使用反射原理，反之亦然。这将代数和半代数证明系统置于有界算术的既定框架中，同时提供与通常的命题逻辑系统有很大不同的系统相对应的理论。我们给出的例子，我们的半代数理论如何证明声明，如鸽子洞原则，我们提供了一个代数和半代数理论之间的分离，我们描述了最初的尝试，以超越这些理论，通过引入扩展，使用不等式符号，确定沿途的扩展导致的范围外的恒定度SoS。此外，我们证明了命题证明的新结果，特别是扩展Berkholz的动态静态模拟多项式演算（PC）的SoS PC与激进的规则。
2021-05-18 cs.CC cs.LO
A PSPACE Construction of a Hitting Set for the Closure of Small Algebraic Circuits
在本文中，我们研究的复杂性，构建一个打击集的封闭VP，一类多项式，可以无限小近似多项式计算的多项式大小的代数电路，在实数或复数。具体来说，我们表明，有一个PSPACE算法，给定n，s，r在一元输出一组n元组的大小poly（n，s，r）的有理数，与poly（n，s，r）位的复杂性，击中所有n变量多项式的度r的大小S代数电路的限制。以前，我们知道这样大小的随机集是一个命中集，但是一个被证明有效的构造只在EXPSPACE（或EXPH，假设广义黎曼假设）中才知道。作为一个推论，我们得到的主机的其他代数问题，如Noether规范化引理，也可以解决在PSPACE确定性，在早期只有随机算法和EXPSPACE算法（或EXPH假设广义黎曼假设）是已知的。证明依赖于一个新的概念，一个强大的命中集，这是一组输入，使得任何非零多项式，可以计算的多项式大小的代数电路，评估一个不太小的值，至少有一个元素的集合。证明这种鲁棒碰集的存在性是证明中的主要技术难点。我们的证明使用反浓度的结果多项式，基本工具从代数几何和存在理论的实数。
2017-12-28 cs.CC math.AG
Arithmetic Circuits with Locally Low Algebraic Rank
近年来，有一系列的活动证明了均匀深度4算术电路的下界，这使我们非常接近于隐含$\textsf{VP} \neq \textsf{VNP}$的语句。它是开放的，如果这些技术可以超越同质性，在本文中，我们在这个方向上取得了一些进展，考虑深度4电路的低代数秩，这是一个自然的扩展同质深度4电路。深度4电路是$N$变量、次数$n$多项式$P$的表示，即\[ P = \sum_{i = 1}^T Q_{i1}\cdot Q_{i2}\cdot \cdots \cdot Q_{it} \; , \]，其中$Q_{ij}$由它们的单项展开给出.同质性为每个$i \in [T]$添加约束，即$\sum_{j} \operatorname{deg}(Q_{ij}) = n$。我们研究的扩展，其中，对于每个$i \in [T]$，多项式的集合$\{Q_{i1}, Q_{i2}, \ldots ,Q_{it}\}$的代数秩至多是一些参数$k$。对于$k = n$，这些电路是均匀深度4电路类的推广，其中特别是$t \leq n$（因此是$k \leq n$）。我们研究了这类电路的下界和多项式恒等式检验，并证明了以下结果。我们显示了一个$\exp{(Ω(\sqrt{n}\log N))}$下界，这样的电路的显式$N$变量度$n$多项式家庭时，$k \leq n$。当每个$Q_{ij}$和$k$的次数至多为$\…
2018-06-15 cs.CC
A Note on Semi-Algebraic Proofs and Gaussian Elimination over Prime Fields
在本说明中，我们表明，不可满足的线性方程组与一个常数的变量，每个方程在素有限域的多项式大小的常数度半代数证明的不可满足性。这些证明操纵变量范围在$\{0,1\}$的实数上的多项式不等式。这个上界是要放在与已知的事实，即某些显式系统的线性方程在两个元素的领域，这种反驳需要线性度和指数大小，如果他们被限制在所谓的静态半代数证明，甚至树状半代数和平方和证明。我们的上界是一个或多或少的直接翻译的论点，由于格里戈里耶夫，赫希和Pasechnik（莫斯科数学杂志，2002年）谁做了它的一个家庭的线性系统的兴趣在命题证明的复杂性。我们指出，他们的方法是更一般的，可以被认为是模拟高斯消除。
2015-02-13 cs.CC cs.LO
Simple circuit simulations of classical and quantum Turing machines
我们构造可逆布尔电路有效地模拟可逆图灵机。电路和仿真证明都相当简单。然后，我们给出了一个相当简单的推广电路和模拟证明的量子情况。
2021-11-21 cs.CC cs.LO math-ph
On the intrinsic complexity of elimination problems in effective Algebraic Geometry
多项式的算术电路评估他们的代表是一种替代数据结构，允许在多项式方程求解相当大的进展，在过去的十五年。我们提出了一个基于电路的计算模型，它捕获了所有已知的符号消除算法在有效的代数几何，并显示在这个复杂性模型消除的内在指数复杂性字符。
2012-04-25 cs.CC
Polynomial-time Solvable #CSP Problems via Algebraic Models and Pfaffian Circuits
一个普夫兰电路是一个张量收缩网络，其中的边缘被标记为基地的变化，以这样一种方式，一个非常特定的组合属性集得到满足。通过将基的允许变化建模为多项式方程的系统，然后通过计算求解，我们能够通过Pfronan电路评估定理（L. Valiant的Holant定理）。我们提出了两种不同的0/1变量模型，一个是可能的基础上的同质变化，和一个是可能的基础上的异构变化。我们列举了一系列的1，2，3，和4-arity门/cogate表示的约束，并定义了一类约束，这是可能的假设下的一个“桥”之间的两个特定的变化基地。我们讨论的问题，平面性的Pfronan电路，并展示可能的方向在代数计算设计Pfronan张量收缩网络片段，可以模拟交换门/cogate。最后，我们发展的概念，可分解的门/cogate，并讨论了计算的好处，这个定义。
2013-11-16 cs.CC cs.DS math.AC
Lower Bounds in Algebraic Complexity via Symmetry and Homomorphism Polynomials
IT-Universitetet i København（哥本哈根信息技术大学）；University of Cambridge（剑桥大学）
本文通过引入对称代数复杂性类，证明了对称代数电路的下界，并扩展了同态多项式在复杂性类中的完整性和下界分析。
2026-01-14 cs.CC cs.DM cs.LO
Towards an algebraic natural proofs barrier via polynomial identity testing
我们观察到，某种代数证明-它基本上涵盖了所有已知的代数电路下界的日期-不能用来证明下界对VP当且仅当我们所谓的简洁击中集存在VP。这类似于布尔电路复杂性中的Razborov-Rudich自然证明障碍，因为我们在去随机化假设下排除了一大类下界技术。我们还讨论了这个代数自然证明障碍，几何复杂性理论和（代数）证明复杂性之间的联系。
2017-01-06 cs.CC math.AG
A Casual Tour Around a Circuit Complexity Bound
我将讨论最近的证明，复杂性类NEXP（非确定性指数时间）缺乏多项式大小的非均匀ACC电路。这个证明将从试图发现它的人的角度来描述。
2011-11-04 cs.CC
Sublogarithmic uniform Boolean proof nets
使用证明即程序的对应关系，Terui能够比较两种并行计算模型：布尔电路和乘法线性逻辑的证明网。莫格比尔等al.给出了一个对数空间转换，使我们能够比较它们作为统一复杂性类的计算能力。本文提出了一种新的翻译AC0和集中在一个更简单的限制概念的一致布尔证明网。然后，我们可以对恒定深度的电路进行编码，并比较对数空间下的复杂度类，这是以前的翻译无法达到的。
2012-01-05 cs.CC cs.LO
Circuit Lower Bounds, Help Functions, and the Remote Point Problem
我们调查的权力代数分支程序（ABP）增强帮助多项式，和恒定深度的布尔电路增强帮助功能。我们将这两个模型中证明显式下界的问题与远程点问题（由Alon、Panigrahy和Yekhanin（RANDOM '09）引入）联系起来。更确切地说，证明下界的ABP与帮助多项式有关的远程点问题w.r.t.的秩度量，并为帮助功能的恒定深度电路，它是有关的远程点问题w.r.t.海明度量。对于代数分支程序的帮助多项式与一定程度的限制，我们显示指数大小的下界显式多项式。
2009-11-23 cs.CC
Derandomization from Algebraic Hardness
命中集生成器（HSG）是多项式映射$G:\mathbb{F}^k \to \mathbb{F}^n$，使得对于足够小的电路大小和次数的所有$n$变量多项式$C$，如果$C$非零，则$C\circ G$非零。在本文中，我们给出了一个新的构造这样的HSG假设我们有一个显式多项式的足够的硬度。形式上，我们证明了以下任何域的特征零：设$k\in \mathbb{N}$和$δ> 0$是任意常数。假设$\{P_d\}_{d\in \mathbb{N}}$是$k$变量多项式的显式族，使得$\operatorname{deg} P_d = d$和$P_d$需要大小为$d^δ$的代数电路。然后，有明确的击中集的多项式大小的$\mathsf{VP}$。这是第一个HSG在代数设置，产生一个完整的去随机化多项式身份测试（PIT）的一般电路从一个合适的代数硬度假设。作为直接结果，我们表明，即使从可由小型电路计算的低个体次数的常变量多项式的“平凡”显式指数大小的击中集中保存一个点，也意味着PIT的确定性多项式时间算法。更准确地说，我们证明了以下几点：设$k\in \mathbb{N}$和$δ> 0$是任意常数。假设对于每一个足够大的$s$，对于可由$s^δ$电路大小计算的单个次数$s$的$k$变量多项式类，存在大小至多为$((s+1)^k - 1)$的显式命中集。然后有一个明确的击中集的大小$\operato…
2020-06-26 cs.CC cs.SC
Semi-Algebraic Proofs, IPS Lower Bounds and the $τ$-Conjecture: Can a Natural Number be Negative?
我们介绍了二进制值的原则，这是一个简单的子集和的情况下表示，一个自然数写在二进制不能是负的，有关它的证明和代数复杂性的中心问题。我们证明了这个实例的理想证明系统（IPS）反驳大小的条件超多项式下界，基于Shub和Smale关于计算因子难度的着名假设，其中IPS是Grochow和Pitassi（2018）引入的强代数证明系统。相反，我们表明，这种情况下短IPS反驳桥梁足够强大的代数和半代数证明系统之间的差距。我们的研究结果扩展到了Forbes et al.（2016）中介绍的完全IPS范例，其中使用受限代数电路下界获得了IPS子系统的下界，并证明了二进制值原理捕获了半代数推理的优势，对于足够强大的系统。具体来说，我们展示了以下内容：（摘要在文档中继续。
2019-11-15 cs.CC
Top-Down Lower Bounds for Depth-Four Circuits
本文提出自顶向下下界方法，利用鲁棒向日葵和块不可预测性，为奇偶校验函数需要指数级规模的深度4电路这一经典结论提供了新证明。
2024-05-02 cs.CC
A constructive proof presenting languages in $Σ_2^P$ that cannot be decided by circuit families of size $n^k$
据我所知，在我最初设计这个结果的时候（1998年），这是第一个建设性的证明，对于任何整数$k$，在$Σ_2^P$中有一种语言不能被大小为$n^k$的逻辑电路族模拟。然而，这个结果以前被证明是非建设性的：参见Cai和Watanabe [CW08]以获得关于这个问题历史的更多信息。这个构造性证明是基于构造一个从可满足性问题导出的语言$Γ$和一个由交替图灵机定义的语言$Λ_k$。我们发现，工会的$Γ$和$Λ_k$不能模拟电路的大小$n^k$。
2014-09-17 cs.CC
Learning algorithms from circuit lower bounds
University of Oxford（牛津大学）
我们重新审视已知的有效的学习算法的建设性电路下界，如破坏伪随机发生器或有效的见证算法，发现错误的小电路试图计算硬函数的各种概念。作为我们的主要结果，我们证明，如果它是可能的，以一种特定的互动方式，许多p-大小的电路试图解决困难的问题，错误的有效地找到，那么p-大小的电路可以PAC学习均匀分布的成员查询的次指数大小的电路。相反的含义也成立。这为学习算法提供了一个新的刻画，并扩展了Razborov和Rudich的自然证明屏障。该证明基于Krajíček（2010）提出的利用Nisan-Wigderson生成器的方法，并用于分析有界算术中电路下界的复杂性。从电路下界构造学习算法的一个有趣结果是Oliveira和Santhanam（2016）的学习加速。我们提出了这种现象的另一种证明，并讨论了它推进硬度放大计划的潜力。
2020-12-28 cs.CC cs.CR cs.LG
AC^0[p]-Frege Cannot Efficiently Prove that Constant-Depth Algebraic Circuit Lower Bounds are Hard
本文证明表达“常深度代数电路下界难以证明”的 DNF 公式族在 AC0[p]-Frege 中无多项式大小证明，并给出其为恒真式的证据及深度放大与必要性结论。
2025-09-20 cs.CC
Closure of VP under taking factors: a short and simple proof
本文对Kaltofen [Kal86，Kal87，Kal89]的一个经典结果给出了一个简短的、几乎完全自含的证明，证明了如果$n$变次数$d$多项式$f$可以由大小为$s$的算术电路计算，那么它的每个因子都可以由大小至多为$\textsf{poly}\left(s, n, d\right)$的算术电路计算.然而，与Kaltofen的论点，我们的证明并没有直接给出一个有效的算法来计算电路的$f$的因素。
2019-04-19 cs.CC
A hitting set construction, with application to arithmetic circuit lower bounds
多项式同一性测试算法必须确定给定的输入多项式是否完全等于0。给出了一元多项式$\sum_{j=0}^t c_j X^{α_j} (a + b X)^{β_j}$的确定性黑盒恒等式检验算法。从我们的算法中，我们推导出一个指数下界表示的多项式，如$\prod_{i=1}^{2^n} (X^i-1)$在这种形式下。已经证明，这些多项式很难用一般的算术电路来计算。我们的结果表明，“从去随机化的硬度”的方法是可行的，为一类受限制的算术电路的下界。证明是基于代数数论的技术，更确切地说，是基于代数数的高度函数的性质。
2009-12-08 cs.CC
Learning algorithms versus automatability of Frege systems
University of Oxford（牛津大学）
我们连接学习算法和算法自动证明搜索命题证明系统：对于每一个足够强，良好的命题证明系统$P$，我们证明以下语句是等价的，1。可证明的学习：$P$有效地证明了均匀分布上的次指数规模电路在成员查询下是可学习的。2.可证明的自动化能力：$P$有效地证明了$P$是可自动化的非均匀电路上的命题公式表示的p-大小电路下界。在这里，$P$是足够强大和良好的行为，如果我。三. holds：I. $P$ p-模拟了Jeanábek的系统$WF$（它通过满射弱鸽子洞原理加强了扩展弗雷格系统$EF$）; II. $P$满足标准证明系统的一些基本性质，这些证明系统p-模拟$WF$ ; III. $P$有效地证明了对于某些布尔函数$h$，$h$对于次指数规模的电路是平均困难的。例如，如果III。对于$P=WF$成立，则第1项和第2项对于$P=WF$是等效的。如果存在一个函数$h\in NE\cap coNE$，它对于大小为$2^{n/4}$的电路平均来说是困难的，对于每个足够大的$n$，则存在一个满足性质I的显式命题证明系统$P$。三、即第1项和第2项的等价性适用于$P$。
2021-11-20 cs.CC cs.LG cs.LO
Natural Proofs Versus Derandomization
我们研究自然证明，去随机化，并证明“弱”电路下界，如${\sf NEXP} \not\subset {\sf TC^0}$的问题之间的联系。自然证明有三个属性：它们是建设性的（一个有效的算法$A$嵌入其中），具有大规模（$A$接受大部分字符串），是有用的（$A$拒绝所有字符串是小电路的真值表）。“自然化”的强电路下界与目前的密码学理解相矛盾，但绝大多数已知的电路下界证明都是自然化的。因此，了解如何追求非自然证明是当务之急。一些启发式的论点说，构造性应该是可以规避的：大是许多证明技术所固有的，可能是我们目前薄弱的技术产生了构造性。我们证明：$\bullet$构造性是不可避免的，即使是$\sf NEXP$下界。非正式地，我们证明了所有“典型”的非均匀电路类${\cal C}$，${\sf NEXP} \not\subset {\cal C}$当且仅当有一个多项式时间的算法区分一些功能从所有功能可计算的${\cal C}$ -电路。因此，${\sf NEXP} \not\subset {\cal C}$等同于表现出对${\cal C}$有用的构造性质。$\bullet$没有$\sf P$ --对${\cal C}$有用的自然属性当且仅当随机化指数时间可以使用来自${\cal C}$的电路的真值表作为随机种子来“去随机化”。因此，证明不存在$\sf P$ -自然属性的任务本质上是一个去随机…
2015-07-21 cs.CC
Complexity of linear circuits and geometry
我们使用代数几何来研究矩阵的刚性，更一般地说，计算矩阵向量积的复杂性，继续库马尔等发起的研究。我们（一）展示了许多非显而易见的方程测试（边界）刚性，（二）计算度的品种相关的刚性，（三）描述代数簇相关的家庭的矩阵，预计有超线性刚度，和（四）证明结果的理想和程度的锥感兴趣的是在自己的权利。
2015-03-10 cs.CC math.AG
Improved Monotone Circuit Depth Upper Bound for Directed Graph Reachability
证明了有向图的可达性问题（传递闭包）可以用深度为（1/2+o（1））（log n）^2的单调扇入2布尔回路来解决，其中n是节点数.这改进了先前已知的上界（1+o（1））（log n）^2。这个证明是非构造性的，但我们给出了上界（7/8+o（1））（log n）^2的构造性证明。
2008-09-22 cs.CC
Algebraic Independence and Blackbox Identity Testing
代数独立性是交换代数中的一个高级概念，它将线性多项式的独立性推广到更高的次数。多项式{f_1，.，f_m} \subset \F [x_1，.，x_n]称为代数无关的，如果不存在非零多项式F使得F（f_1，...，f_m）= 0。超越度，trdeg{f_1，.，f_m}是集合中代数无关多项式的最大个数r。在本文中，我们设计了黑箱和有效的线性映射，使变量的数量从n减少到r，但保持trdeg{f（f_i）}_i = r，假设f_i的稀疏和小的r。我们应用这些基本映射来解决黑盒身份测试的几种情况：（1）给定多项式次数电路C和稀疏多项式f_1，.，f_m与trdeg r，我们可以测试黑盒D：= C（f_1，...，f_m）在poly（size（D））中为零。(2)将spsp_δ（k，s，n）电路C定义为\sum_{i=1}^k \prod_{j=1}^s f_{i,j}的形式，其中f_{i,j}是次数至多为δ的稀疏n变量多项式。对于k = 2，我们给出了一个poly（snδ）^{δ^2}时间黑盒恒等式检验. (3)对于一般的深度4电路，我们定义了秩的概念。假设最小简单spsp_δ（k，s，n）恒等式存在秩界R，给出了spsp_δ（k，s，n）电路的poly（snRδ）^{Rkδ^2}时间黑盒恒等式检验.这部分地概括了深度3至深度4电路的现有技术。trdeg的概念最适合大或零特征，但我们也给…
2011-02-14 cs.CC math.AC
Supercritical Tradeoffs for Monotone Circuits
本文首次在超临界区域证明单调电路的规模-深度权衡，通过构造括号公式并借助证明复杂性方法，展示拟多项式规模与多项式深度之间的指数级差距。
2024-11-21 cs.CC
Investigating the Power of Circuits with $MOD_6$ Gates
本文研究了具有MOD $_{6}$门的布尔电路的幂。首先，我们介绍了计算复杂性的一些基本概念，并描述了我们研究问题复杂性的标准模型。然后，我们定义模型的布尔电路，等同于一个有限的一类电路的代数模型，并提出了一些结果，从这个代数工作。
2018-10-12 cs.CC
A Short Note on Improved Logic Circuits in a Hexagonal Minesweeper
本文的目的是提出一个先进的版本的PP-硬度证明扫雷邦德。改进包括改进扫雷舰的六边形扫雷舰“逻辑电路”配置。为了做到这一点，我在扫雷中展示了逻辑上的不确定性，具有讽刺意味的是，它允许使用一些布尔运算符。现有的六边形逻辑电路不能清楚地区分真假信号的事实需要六边形导线的改进形式。我介绍了新形式的逻辑电路，例如“非”门、“与”门、“或”门、曲线和电线分配器。此外，这些新的逻辑电路补充了Bondt关于扫雷艇PP-困难性的证明，给出了一个新的图形。
2016-02-01 cs.CC
A Quadratic Lower Bound for Noncommutative Circuits
The Institute of Mathematical Sciences, Chennai, India（金奈数学科学研究所）；Homi Bhabha National Institute, Training School Complex,Anushakti Nagar, Mumbai, India（霍米·巴巴国立学院）
该研究证明了非交换算术电路计算回文多项式时的大小下界为Ω(nd)，当d=n时得到Ω(n²)的下界，方法基于并改进了之前的工作。
2026-11-06 cs.CC
Proof Systems Based on Structured Circuits
Technische Universität Ilmenau（伊尔梅瑙工业大学）
本文研究了基于结构电路的证明系统，展示了其在处理不可满足CNF时的更优性，并探讨了不同推导规则对系统强度的影响，提出了一种sat-to-unsat提升定理。
2026-06-24 cs.CC
Recursion and proof theoretical characterizations of small circuit classes with modulo counting via discrete differential equations (long version)
本文提出一种隐式复杂度方法，通过离散常微分方程（ODE）刻画多项式大小、常数深度且含模常数计数门的电路所计算的函数，并给出所有FAC0[n]类的统一刻画及相应的一阶有界理论。
2026-05-22 cs.CC
Exponential lower bound via exponential sums
Saarland University（萨尔兰大学）；University of Toronto（多伦多大学）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；National University of Singapore（新加坡国立大学）
本文通过Shub-Smale τ猜想证明了指数和的指数下界，并探讨了参数化复杂性类VW_{nb}^0[P]的fpt下界，以及计数层级的坍塌与τ复杂度的关系。
2026-01-21 cs.CC
A primer on the closure of algebraic complexity classes under factoring
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IIT Kanpur（坎普尔印度理工学院）；ITU Copenhagen（哥本哈根工业大学）
本文综述多项式因式分解中Hensel提升、牛顿迭代和拉格朗日反演等关键技术，分析VP、VNP等代数复杂度类在因式分解下的封闭性，并指出未解决问题。
2026-06-11 cs.CC
On quantum and classical space-bounded processes with algebraic transition amplitudes
我们定义了一类基于量子系统演化和测量的随机过程，并考虑了预测其长期行为的复杂性。结果表明，一类非常一般的决策问题，这些随机过程可以有效地解决经典的空间有界的情况下。我们的主要结果包含以下推论：（1）任何作用于s个量子比特的空间O（s）均匀量子电路族，由以代数数矩阵的典型方式定义的酉门和测量门组成，可以用无界误差空间O（s）普通（即，公平抛硬币）概率图灵机，因此通过空间O（s），深度O（s^2）和大小2^（O（s））的均匀经典（确定性）电路。量子电路不需要以有界误差操作，并且可以具有以s为单位的深度指数。(2)任何运行在空间s中的（无界误差）量子图灵机，具有任意的代数跃迁幅度，允许在其计算期间进行不受限制的测量，并且对运行时间没有限制，都可以用无界误差空间O（s）普通概率图灵机来模拟，因此在空间O（s^2）中是确定性的。
1999-11-16 cs.CC quant-ph
The Switching Lemma shows what the Switching Lemma cannot prove: an unconditional natural-proofs barrier
LASIGE, Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa（里斯本大学科学学院）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文无条件地证明了AC0自然证明无法证明超过2^{n^{7/(d-5)}}的深度-d电路下界，揭示了切换引理本身也无法超越其自身所确立的下界。
2026-06-12 cs.CC
Algebraic Proofs over Noncommutative Formulas
我们研究了代数命题证明系统与非交换公式操作的可能配方。我们观察到，一个简单的公式产生了至少像弗雷格一样强大的系统-产生了一种语义方式来定义一个Cook-Reckhow（即，多项式验证）代数模拟弗雷格证明，不同于[BIKPRS 96，GH 03]。然后，我们转向一个明显较弱的系统，即多项式演算（PC），其中多项式被写为有序公式（PC over ordered formulas，简称）：有序多项式是一个非交换多项式，其中每个单项式中的乘积的顺序都是变量的固定线性顺序;如果由每个子公式计算的多项式是有序的，则代数公式是有序的。我们表明，PC有序公式是严格强于决议，多项式演算和多项式演算与决议（PCR），并承认多项式大小反驳鸽子洞原则和Tseitin的公式。最后，我们提出了一种方法，建立下界PC上的顺序公式证明，和相关的系统，根据非交换公式的下界的性质。这项工作背后的动机是开发技术，将秩参数（类似于代数电路复杂性中使用的）建立命题证明的下限。
2010-08-01 cs.CC
From Proof Complexity to Circuit Complexity via Interactive Protocols
本文证明：若隐式扩展弗雷格系统iEF能高效证明标准去随机化假设，则iEF证明长度的超多项式下界可推出#P不在FP/poly中，从而在证明复杂性与电路复杂性之间建立条件性联系。
2024-05-03 cs.CC
Modular composition & polynomial GCD in the border of small, shallow circuits
本文研究了在无限域上多项式模运算和GCD的计算问题，证明其在近线性大小和多项式对数深度的代数电路中可实现。
2026-01-27 cs.CC cs.SC
Time-Optimal Interactive Proofs for Circuit Evaluation
最近，研究人员一直致力于开发实用的通用协议，可验证的计算。这些协议使计算能力弱的验证者能够将计算卸载到强大但不可信的证明者，同时为验证者提供证明者正确执行计算的保证。尽管取得了实质性进展，但现有的实施还不实用。主要的瓶颈通常是证明者返回一个有正确性保证的答案与返回一个没有保证的答案相比所需的额外工作。我们描述了一个强大的交互式证明协议，最初由于Goldwasser，卡莱和Rothblum的改进。Cormode、Mitzenmacher和Thaler展示了如何在时间为O（S log S）的情况下在该协议中实现证明器，其中S是计算感兴趣函数的算术电路的大小。我们的改进适用于电路的布线模式是足够的“规则”，对于这些电路，我们带来的运行时间的证明下降到O（S）。也就是说，我们的证明器可以在保证正确性的情况下评估电路，与评估没有保证的电路相比，工作中只有常数因子爆破。我们认为，我们的改进捕获一个大类的电路，并证明了一些定理形式化。实验上，我们的改进产生了200倍的速度比Cormode等人的实现证明，我们的证明器比简单评估电路的C++程序慢不到10倍。一路上，我们描述了一个特殊用途的协议矩阵乘法，是在其本身的权利感兴趣。我们的最后贡献是针对一般数据并行计算的协议。与以前的工作相比，该协议可以更有效地验证复杂的计算，只要该计算独立地应用于许多数据。
2017-02-08 cs.CC cs.CR cs.DS
Deterministic Algorithms for Low Degree Factors of Constant Depth Circuits
本文针对常数深度代数电路表示的多项式，提出次指数时间确定性算法以输出所有常数次不可约因子及其重数，并在稀疏多项式情形下实现拟多项式时间，核心是基于 PIT 与因式分解及整除性测试之间的细粒度联系。
2023-09-18 cs.CC cs.DS
Complexity Classes and Completeness in Algebraic Geometry
研究了射影簇序列的计算复杂性。我们定义类似的复杂性类P和NP这些和证明NP-完备性的序列称为通用电路结果。这是第一个家庭的紧空间被证明是NP-完全的几何设置。
2016-09-08 cs.CC math.AG
On Algebraic Constructions of Neural Networks with Small Weights
California Institute of Technology（加州理工学院）
神经门根据输入变量的加权和计算函数。神经门的表达能力（它可以计算的不同函数的数量）取决于权重的大小，一般来说，需要大的权重（输入数量的指数）。在电路复杂性理论和神经计算实践中，研究权值大小、电路大小和深度之间的权衡是一个很好的研究课题。我们提出了一种新的方法来研究这些复杂性权衡考虑相关的代数框架。具体地说，给定一个具有任意系数的线性方程，我们想用一个具有更小（甚至是常数）系数的线性方程组来表达它。我们开发的技术是基于Siegel引理的界限，反浓度不等式的存在性结果和扩展的Sylvester型Hadamard矩阵的建设。我们显式地构造一个恒定权重、最佳大小的矩阵来计算EQUALITY函数（检查以二进制表示的两个整数是否相等）。用一个线性方程计算EQUALITY需要指数级大的权重。此外，我们证明了存在最著名的权重大小（线性）矩阵来计算比较函数（比较两个以二进制表示的整数）。在电路复杂性理论的背景下，我们的研究结果提高了最知名的电路大小的重量大小的上限为平等和比较。
2022-05-17 cs.CC cs.DM cs.IT
