Constructive derandomization of query algorithms
我们给出了有效的确定性算法转换成确定性的随机查询算法。我们首先给出一个算法，作为输入的随机$q$ -查询算法$R$与描述长度$N$和参数$\varepsilon$，运行在时间$\mathrm{poly}(N) \cdot 2^{O(q/\varepsilon)}$，并返回一个确定性的$O(q/\varepsilon)$ -查询算法$D$，$\varepsilon$ -近似的$R$的接受概率。这些参数接近最优：运行时$N + 2^{Ω(q/\varepsilon)}$和查询复杂度$Ω(q/\varepsilon)$是必需的。接下来，我们给出了算法的实例优化和在线版本的问题：$\circ$实例优化：构建一个确定性的$q^\star_R$查询算法$D$，其中$q^\star_R$是最小的查询复杂度的任何确定性算法，$\varepsilon$ -近似$R$。$\circ$在线：在时间$\mathrm{poly}(N,q,1/\varepsilon)$上确定性地近似特定输入$\underline{x}$的$R$的接受概率，而不完全构建$D$。应用我们为这些扩展开发的技术，我们构造了与布尔函数的确定性，随机化和量子查询复杂性相关的经典结果（Nisan，STOC 1989; Beals等人，FOCS 1998）。这对图灵机的计算模型有直接的影响：全决策问题的次线性时间算法可以通过次指数时间预处理…
2019-12-06 cs.CC cs.DS
Multivariate to Bivariate Reduction for Noncommutative Polynomial Factorization
基于Bergman的一个定理，我们证明了多元非交换多项式分解是确定性多项式时间可约化为二元非交换多项式的分解.更确切地说，我们证明了以下内容：（1）在白盒设置中，<X>给定域F（有限域或有理数）上F中的n元非交换多项式f作为算术电路（或代数分支程序），计算f的完全因式分解是确定性多项式时间可约化为F<x，y>中的非交换二元多项式g的白盒因式分解;约简将f变换为g的电路（分别为）。ABP对于g），并且给定g的完全因式分解，约简在多项式时间内恢复f的完全因式分解。我们也得到了类似的确定性多项式时间减少在黑盒设置。(2)此外，我们证明了在有理数域上，4 × 4矩阵的二元线性矩阵分解至少和无平方整数的分解一样困难。这表明将非交换多项式分解简化为线性矩阵分解（如我们最近的工作[AJ 22]所做的那样）即使在二元情况下也不太可能在有理数领域取得成功。相比之下，有理数上的3 x 3矩阵的多元线性矩阵分解是在多项式时间内。
2023-03-10 cs.CC
PFCS: Prime Factorization Cache System for Deterministic Data Relationship Discovery
PFCS利用质因数分解的数学唯一性，通过为数据元素分配唯一质数并将关系表示为合数，实现零假阳性的确定性数据关系发现，在数据库、ML和HPC负载中平均性能提升6.2倍、命中率98.9%、功耗降低38%。
2025-07-05 cs.CC cs.DB
On the Hierarchies for Deterministic, Nondeterministic and Probabilistic Ordered Read-k-times Branching Programs
本文研究确定性、非确定性和概率性k-OBDD的计算层次，提出函数描述与通信复杂性下界技术，将相关层次扩展至k=o(n/log n)，并覆盖多种宽度情形。
2016-12-19 cs.CC
Deterministic Factorization of Sparse Polynomials with Bounded Individual Degree
本文研究稀疏多项式的确定性因式分解问题。我们表明，如果$f \in \mathbb{F}[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$是一个多项式的$s$单项式，其变量的个别程度由$d$界定，那么$f$可以确定性地分解在时间$s^{\mathrm{poly}(d) \log n}$。在我们的工作之前，这类多项式已知的唯一有效的因子分解算法是随机的，除了$d=1$和$d=2$的情况外，只有指数时间确定性因子分解算法是已知的。在我们的证明中的一个重要组成部分是一个准多项式的稀疏约束有限的个人程度的稀疏多项式的因素。特别是，我们表明，如果$f$是$s$ -稀疏多项式的$n$变量，其变量的个别程度由$d$界定，那么$f$的每个因素的稀疏性由$s^{O({d^2\log{n}})}$界定。这是$d>2$因子稀疏性的第一个非平凡界。我们的稀疏边界使用凸几何的技术，如牛顿多面体理论和经典Carathéodory定理的近似版本。我们的工作地址，并部分回答了冯楚尔Gathen和Kaltofen（JCSS 1985）谁问是否准多项式的限制持有稀疏多项式的因子的稀疏性的问题。
2018-08-20 cs.CC math.AC
Pseudodeterministic Constructions in Subexponential Time
我们研究伪确定性构造，即，在大多数计算路径上输出相同解的随机算法。我们无条件地建立，有一个无限序列$\{p_n\}_{n \in \mathbb{N}}$的增加素数和随机算法$A$运行在预期的次指数时间，使每个$n$，在输入$1^{|p_n|}$，$A$输出$p_n$概率$1$。换句话说，我们的结果提供了一个伪确定性的结构素数在次指数时间，工程无限频繁。这个结果来自于一个关于伪确定性构造的更一般的定理。如果对于足够大的$n$，$|Q \cap \{0,1\}^n| \geq γ2^n$，则属性$Q \subseteq \{0,1\}^{*}$是$γ$密集的。我们证明了对于每个$c > 0$，至少有下列之一成立：（1）存在一个集合族$\{H_n\}$，$H_n \subseteq \{0,1\}^n$的伪确定多项式时间构造，使得对于每个$(1/n^c)$ -稠密性质$Q \in \mathsf{DTIME}(n^c)$和每个足够大的$n$，$H_n \cap Q \neq \emptyset$ ;或（2）存在集合族$\{H'_n\}$的确定性次指数时间构造，$H'_n \subseteq \{0,1\}^n$，使得对于每个$(1/n^c)$密集属性$Q \in \mathsf{DTIME}(n^c)$和对于$n$的无穷多个值，$H'_n \cap Q \neq \emptyset$。…
2016-12-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Towards Deterministic Algorithms for Constant-Depth Factors of Constant-Depth Circuits
本文提出确定性次指数时间算法，利用伪结式及相关去随机化结果，枚举常数深度电路可计算的多元多项式不可约因子。
2024-03-04 cs.CC cs.DS
Polynomial Representations of Threshold Functions and Algorithmic Applications
我们设计了新的多项式，用于表示三种不同状态下的阈值函数：低次数的概率多项式，其需要比以前的构造少得多的随机性，具有“好”阈值行为和次数几乎与概率多项式一样低的多项式阈值函数（PTF），以及概率PTF的新概念，其中我们结合上述技术以实现具有类似“好”阈值行为的甚至更低的程度。利用这些多项式结构，我们设计了各种问题的更快的算法：$\bullet$离线汉明最近（和Furminent）邻居：给定$d=c\log n$的$d$维汉明空间中的$n$红色和$n$蓝色点，我们可以在随机时间$n^{2-1/O(\sqrt{c}\log^{2/3}c)}$或确定性时间$n^{2-1/O(c\log^2c)}$中为每个红色点找到（精确）最近（或最远）蓝色邻居。这些也导致更快的MAX-SAT算法稀疏CNF。$\bullet$离线近似最近（和最远）邻居：给定$\bullet$维$\ell_1$或欧几里德空间中的$n$红色和$n$蓝色点，我们可以在随机时间内找到$dn+n^{2-Ω(ε^{1/3}/\log(1/ε))}$附近的每个红色点的$(1+ε)$近似最近（或最远）蓝色邻居.具有线性阈值函数的电路的$\bullet$ SAT算法和下限：我们给出了$AC^0[m]\circ LTF\circ LTF$电路的可满足性算法，该电路在底层具有次二次数量的线性阈值门，在其他层具有次指数数量的门，该算法在确定性$2…
2016-08-15 cs.CC cs.DS
Lower Bounds for Matrix Factorization
研究了不能表示为几个稀疏矩阵乘积的显式矩阵族的构造问题。除了作为一个自然的数学问题本身，这个问题出现在各种化身在计算机科学;最重要的是在下界的上下文中代数电路计算线性变换，矩阵刚度和数据结构下界。我们首先表明，对于每一个常数$d$，一个确定性的建设在次指数时间的一个家庭$\{M_n\}$的$n \times n$矩阵，不能表示为一个产品$M_n = A_1 \cdots A_d$的总稀疏性的$A_1,\ldots,A_d$小于$n^{1+1/(2d)}$。换句话说，计算线性变换$M_n\cdot x$的任何深度- $d$线性电路的大小至少为$n^{1+Ω(1/d)}$ .这改进了这个问题的先前最佳下界，该下界几乎不是超线性的，并且是通过基于对超级集中器的研究的长时间研究获得的（尽管以构建这些矩阵所需的时间的爆破为代价）。然后，我们概述了一种方法，通过一定的去随机化问题证明改进的下界，并使用这种方法来证明自然特殊情况下，推广了许多常见的矩阵分解的渐近最优二次下界。
2019-04-02 cs.CC
Closure under factorization from a result of Furstenberg
本文基于 Furstenberg 关于二元多项式幂级数根的结果，证明了代数公式和常数深度电路在因子分解下的封闭性，并为代数模型封闭性、命中集生成器扩展及电路因子分解算法提供了更简证明与更强界限。
2025-06-29 cs.CC
Matrix Polynomial Factorization via Higman Linearization
为了继续我们最近关于非交换多项式分解的工作，我们考虑多项式矩阵的因式分解问题，并给出下列结果。(1)给定一个满秩$d\times d$矩阵$M$作为输入，其元素$M_{ij}$是自由非交换环$\mathbb{F}_q\langle x_1,x_2,\ldots,x_n \rangle$中的多项式，其中每个$M_{ij}$由大小至多为$s$的非交换算术公式给出，我们给出了一个随机算法，该算法在$d,s, n$和$\log_2q$中以时间多项式运行，将$M$的因子分解计算为矩阵乘积$M=M_1M_2\cdots M_r$，其中每个$d\times d$矩阵因子$M_i$是不可约的（在明确定义的意义上），并且每个$M_i$的条目是$\mathbb{F}_q \langle x_1,x_2,\ldots,x_n \rangle$中的多项式，其作为代数分支程序输出。我们还得到了一个确定性的算法，在$poly(d,n,s,q)$运行的问题。(2)A特殊情况是其元素是$\mathbb{F}[x]$中的单变量多项式的矩阵的有效因式分解。当$\mathbb{F}$是有限域时，上述结果适用。当$\mathbb{F}$是有理数域时，我们得到了问题的确定性多项式时间算法。
2022-03-31 cs.CC
An Efficient Quantum Factoring Algorithm
本文提出一种高效量子因式分解算法，通过独立运行包含$\tilde{O}(n^{3/2})$个门的量子电路$\sqrt{n}+4$次并结合多项式时间经典后处理来分解$n$位整数，其正确性依赖于数论启发式假设。
2024-01-07 cs.CC quant-ph
Efficient Identity Testing and Polynomial Factorization over Non-associative Free Rings
本文研究非结合、非交换自由多项式环$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$上的算术计算.在此之前，Hrubes，Wigderson和Yehudayoff [HWY 10]考虑了非关联算术计算，他们给出了下界并证明了完备性结果。我们考虑多项式恒等式检验（PIT）和多项式分解在$\mathbb{F}\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，并显示以下结果。(1)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，我们给出了判定$f$是否为同零多项式的确定性$poly(n,s,d)$算法.我们的结果是通过对Raz-Shpilka [RS 05]的PIT算法进行适当的调整来获得的。(2)给定一个大小为$s$的运算电路$C$计算一个次数为$d$的多项式$f\in \mathbb{F} \{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，当$poly(n,s,d)$.在特征$p$的有限域上，我们的算法在时间$poly(n,s,d,p)$上运行。
2017-07-06 cs.CC
Exact Matching and Top-k Perfect Matching Parameterized by Neighborhood Diversity or Bandwidth
本文研究膨胀图场景下的精确匹配（EM）与Top-k完美匹配（TkPM）问题，提出了以k和邻域多样性为参数的FPT算法及近似方案，并针对带宽有界原型开发了适配EM的递归亚指数时间算法。
2025-10-14 cs.CC cs.DS
Trading GRH for algebra: algorithms for factoring polynomials and related structures
在本文中，我们开发的技术，消除了需要的广义黎曼假设（GRH）从各种（几乎所有）已知的结果确定性多项式分解有限域。我们的主要结果表明，给定有限域k上的n次多项式f（x），我们可以在确定性poly（n^{ \log n}，\log |k|）时间“中找到”f（x）的一个非平凡因子“或”k[x]/（f（x））的一个n阶非平凡自同构“.这个主要工具导致了各种新的GRH自由的结果，其中最引人注目的是：（1）给定有限域上的非交换代数，我们可以找到一个零因子在确定性次指数时间。(2)给定一个正整数r，使得|r或r至少有两个不同的奇素因子。有一个确定性的多项式时间算法来寻找有限域上的r次分圆多项式的非平凡因子。在Lenstra（1991）关于构造有限域之间的同构的开创性工作之后，本文进一步将经典的Galois理论构造如分圆扩张、Kummer扩张、Teichmuller子群推广到具有自同构的交换半单代数的情形.这些一般化的结构有助于消除对GRH的依赖。
2009-02-08 cs.CC cs.SC
Complexity of Modular Circuits
我们研究如何计算与模块化电路的复杂性取决于电路的深度和他们使用的模的素分解。特别是我们的建设深度为2的次指数电路的AND帮助我们分类（模指数时间假设）模块化电路方面的复杂性，他们的满足。我们还研究了这种复杂性和实现AND的模块化电路的大小之间的精确相关性。另一方面，示出了AND可以由深度为2的多项式大小的概率模块电路（具有O（log n）随机位）计算，提供了不能去随机化的概率计算模型。我们应用我们的方法来确定（模ETH）的复杂性求解方程组的对称性的正多边形与奇数边。这些群体形成了一个范例，其余的一些情况下，在表征有限群体方面的复杂性，他们的方程求解。
2021-06-05 cs.CC
Deterministic list decoding of Reed-Solomon codes
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文提出了一种确定性算法，可在多项式时间内对Reed-Solomon码进行列表解码，解决了传统方法在确定性和时间复杂度上的不足。
2026-03-24 cs.CC cs.IT math.IT
A number-theoretic conjecture implying faster algorithms for polynomial factorization and integer factorization
本文针对有限域一元多项式因式分解的3/2指数壁垒，提出基于数论猜想的新策略，可优化多项式因式分解指数，还能降低确定性整数因式分解算法的指数。
2025-11-13 cs.CC cs.DS math.NT
Deterministic factoring with oracles
我们重新审视整数因式分解的问题与数论预言，包括一个众所周知的问题：我们可以因子一个整数$N$无条件，在确定性多项式时间，给定的欧拉totient $$Φ$(N)$? We show that this can be done, under certain size conditions on the prime factors of N. The key technique is lattice basis reduction using the LLL algorithm. Among our results, we show for example that if $N$ is a squarefree integer with a prime factor $p > $\sqrt$ N$ , then we can recover p in deterministic polynomial time given $$ Φ $(N)$的值。我们还阐明了类似的问题，卡迈克尔的功能，和秩序的预言，是在肖尔的量子因式分解算法。
2021-08-13 cs.CC math.NT
On Identity Testing and Noncommutative Rank Computation over the Free Skew Field
自由斜域上有理公式的恒等式检验问题有效地归结为计算矩阵的秩，矩阵的元素是关于非交换变量\cite{HW15}的线性多项式。该秩计算问题具有确定性多项式时间白盒算法\cite{GGOW16, IQS18}和黑盒设置中的随机多项式时间算法\cite{DM17}。在本文中，我们提出了一种新的方法，有效的去随机化的\emph{black-box} RIT。此外，我们还得到了自由斜域上矩阵秩的计算结果，并为一类新的有理表达式构造了有效的线性束表示。更准确地说，我们显示了以下结果：1。在严格假设$k\times k$矩阵代数的每个多项式恒等式的ABP（代数分支程序）复杂性为$2^{Ω(k)}$ \cite{BW05}的条件下，得到了几乎一般情况下RIT的一个次指数时间黑箱算法.这可以被看作是第一个有理公式的“硬度隐含去随机化”型定理。2.我们证明了在自由体上任何矩阵的非交换秩都可以在确定性多项式时间内计算，该矩阵的元素具有小的线性束表示。在此之前，一个有效的秩计算只知道与非交换公式作为条目\cite{GGOW20}的矩阵。作为我们算法的特殊情况，我们得到了第一个确定性的多项式时间算法的秩计算矩阵的条目是非交换ABPs或有理公式。3.受Bergman \cite{Ber76}定义的启发，我们定义了一个包含非交换ABPs和有理公式的新类.我们得到了这个类的多项式大小的线性铅笔表示。作为一个副产品，…
2022-09-11 cs.CC
Consequences of Polylogarithmic Membership Comparability for SAT
该研究探讨多对数成员可比性对SAT的影响，通过成员比较器推导PH坍缩、时间复杂度界等结论，构造相对化谕示明确极限，并拓展弱优势等相关机制的推论。
2026-09-28 cs.CC
On Factorization of Sparse Polynomials of Bounded Individual Degree
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出了一种多项式时间算法，用于稀疏多项式因式分解，并改进了现有算法的时间复杂度。
2026-03-08 cs.CC
Some Closure Results for Polynomial Factorization and Applications
在80年代的一系列开创性结果中，Kaltofen证明了复杂性类VP在取因子下是封闭的。在这种情况下，一个自然的问题是要理解，如果其他自然类的多元多项式，例如，算术公式，代数分支程序，有界深度算术电路或类VNP，是封闭的采取因素。本文证明了多项式的次数至多为$\log^a n$的所有因子都有深度至多为$O(k + a)$的Poly（n）规模的$k$回路.这部分回答了Shpilka-Yehudayoff的问题，并应用于有界深度算术电路的硬度-随机性权衡。更准确地说，这表明，一个超多项式下界有界深度算术电路，为一个家庭的显式多项式的次数多$(\log n)$意味着确定性的次指数时间算法多项式身份测试（PIT）有界深度算术电路。这与Dvir等人的一个美丽的结果是无法比拟的，其中，他们表明，对于任何显式多项式族（潜在的高次数），恒定深度算术电路的超多项式下限意味着有界个体次数的有界深度电路的次指数时间确定性PIT。因此，我们删除了[DSY 09]中的“有界个体度”条件，代价是加强了对低次多项式的硬度假设。作为我们的技术的直接应用，我们还证明了复杂性类VNP在取因子下是封闭的，从而证实了Bürgisser的一个猜想，并得到了这一事实的另一个证明（首先由Dutta等人证明）。如果次数至多为$d$的多项式$Q$除以可由大小为$s$的公式计算的多项式$P$，则$Q$具有大小至多为poly $(s, …
2018-03-15 cs.CC
Computing the multilinear factors of lacunary polynomials without heights
给出了数域上多元缺项多项式的多线性因子的确定性算法。它的复杂性是$\ell^n$中的多项式，其中$\ell$是输入多项式的缺项大小，而$n$是其变量的数量，即特别是其次数的对数的多项式。对于$\ell$和$n$中同样的复杂性多项式问题，我们也给出了一个随机算法.在其他特征零域和大特征有限域上，我们的算法计算了至少有三个多元多项式单项式的多线性因子。提供了下限来解释我们的算法的局限性。作为副产品，我们还为不承认任何多项式的多项式族设计了多项式时间确定性多项式同一性测试。我们的结果是基于所谓的间隙定理，减少高次分解的重复低次分解。虽然以前的算法使用间隙定理表示的系数的高度，我们的间隙定理只依赖于多项式的指数。这使得我们的算法更基本和通用，在大多数情况下更快。
2020-04-21 cs.CC cs.SC
Near-Inverse-Linear Barriers for Explicit Affine Witness Isolation
该研究针对显式仿射见证隔离，通过随机变换的成功保证推导NP⊆P/poly等复杂度坍缩结论，明确了仿射分量数量与成功保证的关联条件。
2026-10-09 cs.CC
Reconstruction Algorithms for Low-Rank Tensors and Depth-3 Multilinear Circuits
Rutgers University（罗格斯大学）；Boston College（波士顿学院）
我们给出了几类深度- $3$算术电路的新的有效的黑盒重构算法。因此，我们获得了第一个有效的算法，用于计算张量秩和寻找最佳张量分解作为秩一张量的总和时，输入是一个常数秩张量。更具体地说，我们为以下类别提供了高效的学习算法，这些算法在一般域上以随机多项式时间运行，在实数和复数上以确定性多项式时间运行：（1）集多线性深度-恒定顶部扇入的$3$电路（$ΣΠΣ\{\sqcup_j X_j\}(k)$电路）。作为我们的算法的结果，我们得到了第一个多项式时间算法的张量秩计算和最佳张量分解的常秩张量。这个结果对任何$d$的$d$维张量都成立，但即使对$d=3$也很有趣。(2)许多线性形式（$Σ\wedgeΣ$电路）的幂和。作为结果，我们得到了第一个多项式时间算法的张量秩计算和最佳张量分解的常秩对称张量。(3)恒定顶部扇入的多线性深度3电路（多线性$ΣΠΣ(k)$电路）。我们的算法适用于所有领域的特征0或足够大的特征。在我们的工作之前，已知的唯一有效算法是多项式大小的有限域（见。Karnin-Shpilka 09 '）。在我们的工作之前，对于也在大/无限域上工作的$ΣΠΣ(k)$电路的子类，已知的唯一多项式时间甚至亚指数时间算法（确定性或随机化）是用于顶部扇入$k$至多为$2$时的设置（参见Sinha 16“和Sinha 20”）。
2021-05-04 cs.CC cs.LG
Polynomial-time solution of prime factorization and NP-hard problems with digital memcomputing machines
我们介绍了一类数字机器，我们命名为数字记忆计算机（DMMs）能够解决广泛的问题，包括非确定性多项式（NP）的多项式资源（在时间，空间和能量）。具有这种能力的抽象DMM必须满足其实际实现的一组兼容的数学约束。我们最初证明这一点，通过引入这些机器的复杂性类。然后，我们与动力系统理论联系起来。这导致了多资源可解析性的物理约束集。一旦数学要求进行了评估，我们提出了一个实用的方案来解决上述问题的基础上的新概念的自组织逻辑门和电路（SOLC）。这些是逻辑门和电路，能够接受来自任何端子的输入信号，而不区分传统的输入和输出端子。他们可以通过自组织成他们的解决方案来解决布尔问题。它们可以用具有存储器（例如忆阻器）的电路元件和/或标准MOS技术来制造。使用泛函分析的工具，我们在数学上证明了多资源可解性的以下约束：i）SOLC具有全局吸引子; ii）它们唯一的平衡点是要解决的问题的解; iii）系统以指数方式快速收敛到解; iv）平衡收敛速率最多与输入大小成多项式比例。最后，我们提供的参数，周期轨道和奇怪的吸引子不能共存的平衡。作为例子，我们展示了如何解决素分解和NP-困难版本的子集和问题。由于DMM将整数映射为整数，因此它们对噪声具有鲁棒性，因此是可扩展的。最后，我们讨论了DMM实现的影响，通过SOLC的NP=P问题有关…
2016-04-22 cond-mat.mes-hall cs.CC cs.ET
Deterministic identity testing paradigms for bounded top-fanin depth-4 circuits
本文研究有界顶扇入深度4电路的确定性PIT，利用对数导数与幂级数改造顶层门，首次给出Σ^{[k]}ΠΣ∧的多项式时间算法及两类电路的拟多项式黑盒算法。
2023-04-22 cs.CC cs.SC math.AC
An Almost Optimal Rank Bound for Depth-3 Identities
我们证明了一个简单的、最小的和零的深度为3的回路（在任何域上）的秩至多为k^3 \log d。以前已知的最佳秩界是2^{O（k^2）}（\log d）^{k-2}，由Dvir和Shpilka（STOC 2005）提出。这几乎解决了Dvir和Shpilka首先提出的秩问题（因为我们还提供了秩Ω（k \log d）的简单和最小的恒等式）。我们的秩界显著改进了Karnin和Shpilka（CCC 2008）对深度3电路的最著名的确定性黑盒身份测试（对k的依赖性呈指数下降）。我们的技术还揭示了非零深度3电路的因式分解模式，最引人注目的是：一个简单的，最小的和非零深度3电路（在任何领域）的线性因子的秩最多是k^3 \log d。这项工作的新特点是一个新的概念之间的映射集的线性形式，称为“理想匹配”，用于研究深度3电路。我们证明有趣的结构结果深度3身份使用这些技术。我们相信，这些可以导致这些电路的确定性多项式时间身份测试的目标。
2008-11-19 cs.CC
Recovery Reductions, Conjectures, and Barriers
本文提出随机噪声模型下的恢复归约，证明对SLNP$^S$类及正交向量、奇偶k团问题存在最优参数的确定性多项式时间恢复归约，并指出其绕过了Bogdanov-Trevisan障碍。
2025-09-08 cs.CC
Sums of products of polynomials in few variables : lower bounds and polynomial identity testing
我们研究的复杂性表示多项式的产品在几个变量的多项式之和。更确切地说，我们研究的形式$$P = \sum_{i = 1}^T \prod_{j = 1}^d Q_{ij}$$，使每个$Q_{ij}$是一个任意的多项式，取决于最$s$变量的表示。我们证明了以下结果。1.在特征为零的域上，对于每个常数$μ$，使得$0 \leq μ< 1$，我们给出多项式$\{P_{N}\}$的显式族，其中$P_{N}$在$N = n^{O(1)}$变量中具有$n$度，使得上述类型的$P_{N}$与$s = N^μ$的任何表示都需要$Td \geq n^{Ω(\sqrt{n})}$。这加强了Kayal和Saha [KS 14 a]最近的结果，该结果显示了几个变量的线性形式乘积和模型的相似下界。已知下限指数的任何渐近改进（即使对于$s = \sqrt{n}$）将分离VP和VNP[KS 14 a]。2.当$T$和$P$中每个变量的个体度至多为$\log^{O(1)} N$和$s \leq N^μ$时，对由上述模型计算的电路，我们得到了一个确定性的次指数时间黑盒多项式恒等式测试（PIT）算法.当$s < \log^{O(1)} N$。PIT算法是通过将我们的下限与[DSY 09，KI 04]中开发的硬度-随机性权衡相结合来获得的。据我们所知，这是该模型的第一个非平凡PIT算法（即使对于$s=2$的情况），也是第…
2015-04-23 cs.CC
Factoring Polynomials over Finite Fields with Linear Galois Groups: An Additive Combinatorics Approach
令$\tilde{f}(X)\in\mathbb{Z}[X]$是次数$n$多项式，使得$f(X):=\tilde{f}(X)\bmod p$分解为$\mathbb{F}_p$上的$n$不同线性因子。研究了在给定$\tilde{f}(X)$的情况下，确定性地将$f(X)$分解到$\mathbb{F}_p$上的问题.在广义Riemann假设（GRH）下，给出了一个改进的确定性算法，该算法在$\tilde{f}(X)$的Galois群与$\tilde{f}(X)$的根的集合$S$上的线性群$G\leq \mathrm{GL}(V)$（置换同构）的情况下，计算$f(X)$的完全因式分解，其中$V$是有限域$\mathbb{F}$上的有限维向量空间，$S$与$V$的子集相同.特别是当$|S|=|V|^{Ω(1)}$时，该算法在$n^{\log n/(\log\log\log\log n)^{1/3}}$中运行时间多项式和输入的大小，改进了Evdokimov的算法。我们的结果也适用于一般的伽罗瓦群$G$时，结合作者最近的算法。为了证明我们的主要结果，我们引入了一个家庭的对象称为线性$m$ -计划，并减少分解$f(X)$的问题，这些对象的组合问题。然后，我们应用添加剂组合学的技术，以获得一个改进的界限。我们的技术可能是独立的利益。
2020-08-04 cs.CC math.NT
