Typical random 3-SAT formulae and the satisfiability threshold
本文提出了一种新的结构（或句法）方法来估计随机3-SAT公式的可满足性阈值。我们证明了它的效率，在获得一个跳跃从以前的上限，降低到4.506。该方法与其它技术结合得很好，也适用于其它问题，如随机图的3-着色性。
2002-11-26 cs.CC cs.DM
The Connectivity of Boolean Satisfiability: Dichotomies for Formulas and Circuits
对于布尔可满足性问题，解空间的结构由解图表征，其中顶点是解，并且两个解连通当且仅当它们在一个变量上不同。2006年，Gopalan等人研究了CSP的解图的连通性和相关的复杂性问题，主要是基于对可满足性算法和可满足性阈值的研究。他们证明了连通分量的直径和st-连通性问题的复杂性的二分法，并为连通性问题建立了一个二分法。最近，我们能够建立切除术[arXiv：1312.4524]。在这里，我们认为可满足性问题的布尔电路和命题公式，使用门，分别定义的连接问题。连接词，从一组固定的布尔函数。我们得到的直径和两个连通性问题的二分法：一方面，直径是线性的变量的数量，这两个问题是在P，而在另一边，直径可以是指数，和问题是PSPACE-完全的。对于部分量化的公式，我们显示了类似的二分法。
2015-10-25 cs.CC cs.LO
A Satisfiability Algorithm for AC$^0$
我们考虑的问题，有效地枚举满意的分配给$\AC^0$电路。我们给出了一个零误差随机算法，它以$\AC^0$电路作为输入，并构造了一组限制，这些限制划分$\{0,1\}^n$，使得在每个限制下电路的值是常数。令$d$表示电路的深度，$cn$表示门的数量。该算法在时间$|C| 2^{n(1-μ_{c.d})}$中运行，其中$|C|$是概率至少为$1-2^{-n}$的$μ_{c,d} \ge 1/\bigO[\lg c + d \lg d]^{d-1}$的电路的大小。在此基础上，我们得到了$\AC^0$电路可满足性和计数解的改进指数时间算法。此外，我们还得到了具有奇偶校验的$\AC^0$电路的相关性的一个改进的界。作为我们分析的一个重要组成部分，我们扩展了哈斯塔德开关引理，以处理多个$\kcnf$和$\kdnf$。
2011-07-15 cs.CC cs.LO
What makes normalized weighted satisfiability tractable
We consider the weighted antimonotone and the weighted monotone satisfiability problems on normalized circuits of depth at most $t \geq 2$ , abbreviated { \sc wsat $^-[t]$ } and { \sc wsat $^+[t]$ }, respectively. These problems model the weighted satisfiability of antimonotone and monotone propositional formulas (including weighted anitmonoone/monotone { \sc cnf-sat}) in a natural way, and serve as the canonical problems in the definition of the parameterized complexity hierarchy. We characterize the parameterized complexity of { \sc wsat $^-[t]$ } and { \sc wsat $^+[t]$ } with respect to the…
2011-12-05 cs.CC
The Power of Choice for Random Satisfiability
我们认为Achlioptas过程的k-SAT公式。我们创建了一个半随机公式，n个变量和m个条款，其中每个条款是一个选择，在线，两个或多个均匀随机条款。我们的目标是延迟可满足性/不可满足性的转换，保持公式可满足的密度m/n超过可满足性阈值α_k的随机k-SAT。我们表明，三个选择足以提高阈值为任何k >= 3，两个选择足以为所有3 <= k <= 25。我们还表明，两个选择足以降低所有k >= 3的阈值，使公式在低于alpha_k的密度下不可满足。
2012-11-30 cs.CC math.CO
The Security of Hardware-Based Omega(n^2) Cryptographic One-Way Functions: Beyond Satisfiability and P=NP
我们提出了一类基于硬件的密码单向函数，在实践中，将很难逆转，即使P=NP和线性时间可满足性算法存在。此类函数使用基于硬件的组件，该组件具有omega（n^2）大小的电路和omega（n^2）运行时间。
2016-10-23 cs.CC cs.CR
The Satisfiability Threshold for Non-Uniform Random 2-SAT
命题可满足性是计算机科学中最基本的问题之一。它的最坏情况困难是计算复杂性理论的核心，例如NP-困难和（强）指数时间假设。然而，在实践中，SAT实例通常可以有效地解决。这种矛盾的行为已经引起了人们对SAT平均情况分析的兴趣，并引发了复杂的严格和非严格技术的发展，用于分析随机结构。尽管有很长的研究和实质性的进展，大多数关于随机SAT的理论工作都假设变量均匀分布。相比之下，真实世界的实例经常在变量出现时表现出很大的波动。这可以通过变量的非均匀分布来建模，这可能导致分布更接近工业SAT实例。本文研究了具有$n$变量和$m$子句的非均匀随机$2$-SAT的可满足性阈值，以及具有任意概率分布的$(p_i)_{i\in[n]}$和n个变量上的$p_1 \ge p_2 \ge \ldots \ge p_n > 0$的可满足性阈值。我们证明了$p_1^2=Θ(\sum_{i=1}^n p_i^2)$的渐近可满足性阈值是在$m=Θ( (1-\sum_{i=1}^n p_i^2)/(p_1\cdot(\sum_{i=2}^n p_i^2)^{1/2}) )$，它是粗糙的。对于$p_1^2=o(\sum_{i=1}^n p_i^2)$，我们表明，有一个尖锐的可满足性阈值在$m=(\sum_{i=1}^n p_i^2)^{-1}$。这一结果推广了Chvatal和Reed [FOCS 1992]和Goerdt…
2022-08-31 cs.CC cs.DM
Satisfiability Threshold for Power Law Random 2-SAT in Configuration Model
随机可满足性问题已经被深入研究了几十年。由于多种原因，本研究的重点主要集中在模型上，在该模型中，实例从一组满足某些明确条件（如固定密度或子句发生的概率）的公式中随机均匀抽样。然而，一些非均匀分布也相当有趣。在本文中，我们考虑随机2-SAT问题，其中的实例是从广泛的非均匀分布。我们选择的随机SAT模型是所谓的配置模型，由每个变量的度（或出现次数）的分布$ξ$给出。然后，为了生成公式，从$ξ$中对每个变量的度进行采样，生成该变量的若干个\emph{clones}。然后，通过在克隆集上选择一个随机划分为2元集并随机分配文字的极性来创建2-子句。在这里，我们考虑的配置模型的幂律分布$ξ$的随机2-SAT问题。更准确地说，我们假设$ξ$是这样的，它的右尾$F_ξ(x)$满足条件$W\ell^{-α}\le F_ξ(\ell)\le V\ell^{-α}$的一些常数$V,W$。主要目的是研究依赖于参数$α,V,W$的可满足性阈值现象。我们证明了一个可满足性阈值的存在，并确定由一个简单的关系之间的第一和第二时刻的$ξ$。
2019-05-13 cs.CC cs.DM
The Connectivity of Boolean Satisfiability: Computational and Structural Dichotomies
布尔可满足性问题是研究复杂性、算法、数学和阈值现象的重要基准。最近的工作，可满足性的阈值已集中在结构和连通性的解决方案空间。受这项工作的启发，我们研究了布尔可满足性问题的解空间的结构和连通性相关的性质，并在Schaefer的框架下建立了各种二分法。在结构方面，我们得到的二分法的超立方体的子图，可以引起的解决方案的布尔公式，以及直径的连通组件的解决方案空间。在计算方面，我们建立二分法定理的复杂性的连接性和st-连接性问题的图形的解决方案的布尔公式。我们的研究结果断言，计算二分法的棘手的一面是PSPACE-完全的，而易处理的一面-这包括但不限于所有问题的多项式时间算法的可满足性-是在P的ST-连接问题，并在coNP的连接问题。对于PSPACE完备的情况，组件的直径可以是指数的，而在所有其他情况下，它是线性的;因此，小直径和连通性问题的易处理性是显着一致的。我们的结果的关键是一个可表达性定理表明，在易处理的情况下，由解空间诱导的子图具有一定的良好的结构性质，而在棘手的情况下，子图可以是任意的。
2007-10-03 cs.CC
Bounds on the Satisfiability Threshold for Power Law Distributed Random SAT
命题可满足性是计算机科学中最基本的问题之一。SAT的最坏情况困难性是计算复杂性理论的核心。SAT的平均情况分析引发了复杂的严格和非严格的技术来分析随机结构的发展。尽管长期的研究和实质性的进展，几乎所有的理论工作随机SAT假设一个均匀分布的变量。相比之下，真实世界的实例经常在变量出现时表现出很大的波动。这可以通过变量的无标度分布来建模，这导致分布更接近工业SAT实例。我们研究了n个变量上的随机k-SAT，$m=Θ(n)$子句，以及变量出现指数为$β$的幂律分布。我们在$β=(2k-1)/(k-1)$处观察到一个可满足性阈值。这个阈值是严格的，因为对于任何常数$\varepsilon>0$，具有$β\le(2k-1)/(k-1)-\varepsilon$的实例都是以高概率（w. h. p.）不可满足的。对于$β\geq(2k-1)/(k-1)+\varepsilon$，这幅图让人想起了统一的情形：对于足够小的常量子句-变量比率$m/n$，实例是可满足的;当比率$m/n$依赖于$β$时，它们是不可满足的。
2017-06-26 cs.CC cs.DM
Bounds on the quantum satisfiability threshold
量子k-SAT是决定是否存在垂直于一组向量的n量子比特状态的问题，其中每个向量位于k量子比特的希尔伯特空间中。等价地，问题是决定特定类型的局部哈密顿量是否具有能量为零的基态。我们考虑随机量子k-SAT公式与n个变量和m = αn条款，并询问在什么值的α这些公式不再是可满足的。我们证明了随机量子3-SAT的阈值至多为3.594。相比之下，统计物理学的令人信服的论据表明，经典的3-SAT阈值是α \approx 4.267。对于较大的k，我们表明，量子阈值是一个常数因子小于经典的。我们的边界工作，通过确定的通用秩的满足子空间的某些小工具，然后使用微分方程的技术来分析各种算法，分区超图到这些小工具的集合。我们使用微分方程建立上界的可满足性阈值似乎是新颖的，我们的技术可以适用于各种经典问题。
2014-09-18 cond-mat.stat-mech cs.CC quant-ph
Even faster algorithms for CSAT over~supernilpotent algebras
本文给出了求解超幂零代数上回路可满足性问题的两个算法。第一种算法是确定性的，比Aichinger提出的最快算法快。第二种是具有线性时间复杂度的概率算法。应用前一个算法到有限群提供了时间复杂度，通常低于以前最好的（由Földvári给出）和应用后者导致的推论，即电路满足性问题的组G是易于处理的概率线性时间，如果G是幂零的或NP-完全的，如果G未能是幂零的。通过将超幂零代数上的多项式方程转化为有限域上的有界次数多项式方程，得到了这些结果。
2020-02-20 cs.CC
Threshold values of Random K-SAT from the cavity method
利用\cite{mezard:parisi:zecchina:02,mezard:zecchina:02}的腔方程，我们导出了随机$K$ -可满足性问题中每个变量子句数目的各种阈值，将以前的结果推广到$K \ge 4$ .我们还给出了一个解析解的方程，和一些封闭的表达式，这些阈值，在大$K$周围的扩展。还计算了解的稳定性。对于任何$K$，可满足性阈值被发现是在稳定区域的解决方案，这增加了进一步的信用的猜想，这种计算给出了确切的可满足性阈值。
2005-02-24 cond-mat.dis-nn cs.CC cs.DM
Circuits and Backdoors: Five Shades of the SETH
本文将强指数时间假设（SETH）的多种合理弱化形式整合为五个稳固性递增的等价类层级结构，并通过独立集等非SAT问题的特征示例展示了该框架在结构性分类基于SETH下界方面的适用性。
2025-10-13 cs.CC
Efficient Analog Circuits for Boolean Satisfiability
NP完全问题的有效解决方案将使科学和工业都受益匪浅。然而，这样的问题在基于冯·诺依曼体系结构的数字计算机上是难以处理的，因此产生了对解决这样的问题的替代解决方案的需要。最近，提出了确定性连续时间动力系统（CTDS）（Nat.Phys. { \bf 7}（12），966（2011））以解决代表性NP完全问题，布尔可满足性（SAT）。该求解器显示了多项式模拟时间复杂性，即使是最难的基准$k$ -SAT（$k \geq 3$）公式，但通过指数驱动的辅助变量的能量成本。本文提出了一种新的模拟硬件SAT求解器，AC-SAT，实现CTDS通过纳入新的，模拟电路设计思想。AC-SAT旨在用作协处理器，并可编程以处理不同的问题规格。这是特别有效的解决硬$k$ -SAT问题的情况下，是具有挑战性的算法在数字机器上运行。此外，凭借其模块化设计，AC-SAT可以很容易地扩展到解决更大规模的问题，而电路的大小与变量的数量和条款的数量的乘积线性增长。该电路基于32 nm CMOS工艺进行了设计和仿真。SPICE模拟结果显示，与数字计算机上的最先进的SAT求解器相比，即使是最难的3-SAT问题，$\sim$ 10 $^4$的加速因子。例如，对于具有$N=50$变量和$M=212$子句的难题，在几个$ns$到几百个$ns$内找到解决方案。
2018-02-11 cs.CC cs.ET physics.ins-det
Robust Satisfiability of Systems of Equations
本文研究非线性方程组的\emph{robust satisfiability}问题，即对于给定的有限单纯复形$K$和$α>0$上的连续函数$f:\,K\to\mathbb{R}^n$，是否每个函数$g:\,K\to\mathbb{R}^n$使得$\|g-f\|_\infty \leq α$在$K$中有根.通过将映射的扩张问题归结为球面扩张问题，我们证明了对于每一个固定的$n$，在假设$\dim K \le 2n-3$的条件下，这个问题在多项式时间内是可判定的.这是对\emph{topological degree}先前计算应用以及数值和区间分析中相关概念的实质性扩展。通过逆约化，我们证明了当$\dim K\ge 2n-2$，其中的阈值来自同伦理论中的\emph{stable range}时，该问题是不可判定的。为了使我们的论述清晰，我们将重点放在$f$为分段线性时的设置上。这类函数可以逼近一般的连续函数，从而得到了在其他可能情况下的逼近方案和鲁棒可满足性的不可判定性。
2014-02-04 cs.CC
Completely inapproximable monotone and antimonotone parameterized problems
本文证明了单调或反单调电路的加权电路可满足性不存在具有任意逼近比函数$ρ$的固定参数易处理的近似算法，除非$FPT\neq W[1]$ .特别是，没有这样的fpt近似算法意味着这些问题没有多项式时间近似算法与任何非平凡函数$ρ$的比率$ρ(OPT)$。
2017-11-10 cs.CC
Lower Bounds Against Sparse Symmetric Functions of ACC Circuits: Expanding the Reach of $\#$SAT Algorithms
我们继续利用电路可满足性算法证明电路下界的程序。到目前为止，这个程序已经产生了几个具体的结果，证明功能在$\text{Quasi-NP} = \text{NTIME}[n^{(\log n)^{O(1)}}]$和$\text{NEXP}$没有小电路从各种电路类${\cal C}$，通过显示${\cal C}$承认非平凡的可满足性和/或$\#$ SAT算法击败穷举搜索的一个小数额。本文给出了电路类${\mathcal C}$的非平凡$\#$ SAT算法的一个新的强下界结果。假设一个对称布尔函数$f(x_1,\ldots,x_n)$是稀疏的，如果它输出$1$对$\sum_i x_i$的$O(1)$值。我们发现，对于每一个稀疏的$f$，并为所有“典型的”${\cal C}$，更快的$\#$ SAT算法的${\cal C}$电路实际上意味着对电路类$f \circ {\cal C}$，这可能是强于${\cal C}$本身的下限。特别是：在$2^n/n^k$时间内运行的$n^k$ -大小的${\cal C}$ -电路的$\#$ SAT算法（对于所有$k$）意味着$\text{NEXP}$不具有多项式大小的$f \circ {\cal C}$ -电路。在$2^{n-n^ε}$时间内运行的$2^{n^ε}$大小的${\cal C}$电路的$\#$ SAT算法（对于某些$ε> 0$）意味着$\te…
2020-01-21 cs.CC
On the Satisfiability of Quantum Circuits of Small Treewidth
近三十年来，人们已经知道，许多$\mathrm{NP}$困难的优化问题可以在多项式时间内解决时，限制到结构的恒定树宽。在这项工作中，我们提供了这样的结果的量子设置的第一个扩展。我们表明，给定一个量子电路$C$与$n$未初始化的输入，$\mathit{poly}(n)$门，和树宽$t$，可以在时间计算$(\frac{n}δ)^{\exp(O(t))}$一个经典的分配$y\in \{0,1\}^n$，最大限度地提高$C$的接受概率的$δ$添加剂因子。特别是，我们的算法运行在多项式时间，如果$t$是常数和$1/poly(n) < δ< 1$。对于$t$的无限制值，已知该问题对于复杂性类$\mathrm{QCMA}$（MA的量子推广）是完全的。相比之下，我们表明，同样的问题是$\mathrm{NP}$ -完整的，如果$t=O(\log n)$，即使当$δ$是恒定的。另一方面，我们证明了给定一个$n$输入量子电路$C$的树宽为$t=O(\log n)$，而$δ<1/2$为常数，则确定是否存在一个量子态$\mid\!φ\rangle \in (\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$使得$C\mid\!φ\rangle$的接受概率大于$1-δ$，或者对于每个这样的态$\mid\!φ\rangle$，$C\mid\!φ\rangle$的接受概率小于$δ$是$\mathrm{QMA}$…
2016-02-07 cs.CC quant-ph
Bounds on Thresholds Related to Maximum Satisfiability of Regular Random Formulas
我们考虑由Boufkhad，Dubois，Interian和Selman提出的合取范式（CNF）公式生成的正则平衡模型。我们说一个公式是$p$ -满足的，如果有一个真值分配满足$1-2^{-k}+p 2^{-k}$分数子句。使用一阶矩方法，我们确定上界的阈值子句密度，使没有$p$ -满意的分配与高概率高于此上限。用二阶矩法求下界有两个方面。第一方面是，给定任何$p \in (0,1)$和$k$，评估阈值的下限。这种评价是数字性质的。第二方面是对于足够大的$k$，导出作为$p$的函数的下限。我们解决的第一个方面，并使用二阶矩方法评估的下限上的$p$满足阈值。我们观察到，作为$k$增加的下限似乎收敛到渐近导出的公式生成的Achlioptas，Naor，和佩雷斯的统一模型的下限。
2010-04-14 cs.CC cs.DM cs.IT
A Superpolynomial Lower Bound on the Size of Uniform Non-constant-depth Threshold Circuits for the Permanent
我们表明，永久不能计算DLOGTIME-均匀的阈值或算术电路的深度O（日志日志n）和多项式的大小。
2009-02-11 cs.CC
Complexity of Modular Circuits
我们研究如何计算与模块化电路的复杂性取决于电路的深度和他们使用的模的素分解。特别是我们的建设深度为2的次指数电路的AND帮助我们分类（模指数时间假设）模块化电路方面的复杂性，他们的满足。我们还研究了这种复杂性和实现AND的模块化电路的大小之间的精确相关性。另一方面，示出了AND可以由深度为2的多项式大小的概率模块电路（具有O（log n）随机位）计算，提供了不能去随机化的概率计算模型。我们应用我们的方法来确定（模ETH）的复杂性求解方程组的对称性的正多边形与奇数边。这些群体形成了一个范例，其余的一些情况下，在表征有限群体方面的复杂性，他们的方程求解。
2021-06-05 cs.CC
The threshold for SDP-refutation of random regular NAE-3SAT
与它的表亲3SAT不同，NAE-3SAT（不全等于3SAT）问题具有这样的性质：当约束密度是一个大常数（具有高概率）时，谱/SDP算法可以有效地反驳随机实例。但是，这些方法是否在“可满足性阈值”之上立即工作，或者仍然存在一系列约束密度，对于这些约束密度，随机NAE-3SAT实例是不可满足的，但很难反驳？我们表明，后者的情况下占上风，至少在随机定期的情况下，基于SDP的反驳。更准确地说，尽管NAE-3SAT的随机$d$ -正则实例一旦被$d \geq 8$证明是不可满足的（whp），我们建立了以下关于有效反驳的尖锐阈值结果：如果$d < 13.5$，那么基本SDP，即使用三角不等式扩充，也无法反驳可满足性（whp），如果$d > 13.5$，那么即使是最基本的谱算法也能反驳可满足性~（whp）。
2018-04-14 cs.CC cs.DM cs.DS
The Parameterized Complexity of Quantum Verification
本文研究以非 Clifford 门数量为参数的 QMA 问题复杂度，证明参数化量子电路可满足性问题存在运行时间随非 Clifford 门数指数增长、随系统规模多项式增长的经典算法，并给出 T 计数下界及量子非恒等性检验的参数化复杂度分析。
2022-02-16 cs.CC quant-ph
Multiparty Karchmer-Wigderson Games and Threshold Circuits
我们提出了一个概括的Karchmer-Wigderson通信游戏的多方设置。我们的推广原来是紧密相连的电路组成的阈值门。这使我们能够获得新的明确的结构，这样的电路的几个功能。特别是，我们提供了一个显式（多项式时间可计算）的对数深度单调公式的多数函数，仅由3位的择多门和变量。这解决了Cohen等人的一个猜想（CHTTO 2013）。
2020-02-18 cs.CC
Pairs of SAT Assignment in Random Boolean Formulae
我们调查的几何性质的随机K-可满足性问题使用的概念x-可满足性：一个公式是x-可满足的，如果存在两个SAT分配不同的Nx变量。我们证明了存在一个尖锐的阈值作为子句密度的函数，这个属性。对于足够大的K，我们证明了存在一个区域的子句密度，低于可满足性阈值，其中SAT分配之间的汉明距离的景观经历了一个间隙：SAT分配对存在于小x，和周围x=1/2，但它们不存在于中间值的x。这一结果是一致的聚类方案，这是在最近的启发式分析的可满足性，使用统计物理分析（空腔方法），其算法（调查传播算法）的核心。该方法使用基本的概率参数（一阶矩和二阶矩方法），并可能是有用的，在其他问题的计算和物理感兴趣的类似现象出现。
2007-09-19 cond-mat.dis-nn cs.CC
Bounds on Threshold of Regular Random $k$-SAT
我们考虑了Boufkhad等人提出的合取范式公式生成的正则模型。我们推导出一个上界的可满足性阈值和NAE可满足性阈值的定期随机$k$-SAT的任何$k \geq 3$。我们表明，这些边界匹配的公式生成的统一模型与相应的边界。通过对满足赋值的个数应用二阶矩方法，我们得到了阈值的下界。对于大的$k$，我们注意到，所获得的下限阈值的一个定期随机公式收敛到下界的均匀模型。因此，我们回答了在\cite{AcM06}中提出的关于二阶矩法对规则随机公式的性能的问题。
2010-04-23 cs.CC cs.IT math.CO
On the satisfiability of random $3$-SAT formulas with $k$-wise independent clauses
该研究探讨随机$3$-SAT公式在子句满足$k$元独立性而非完全独立时的可满足性阈值，旨在为不同参数$n$、$m$、$k$下的公式可满足性提供一般性结论。
2024-11-06 cs.CC cs.DM math.CO
Toward Super-Polynomial Size Lower Bounds for Depth-Two Threshold Circuits
$\textsf{TC}^0$是一类具有常数深度、多项式大小的多数门电路，其超多项式大小下界的证明是复杂性理论中一个著名的公开问题。一个主要的前沿是证明$\textsf{NEXP}$不具有多尺寸$\textsf{THR} \circ \textsf{THR}$电路（具有线性阈值门的深度为2的电路）。近年来，R. Williams提出了一个通过改进算法证明电路下界的程序。在本文中，遵循Williams的框架，我们证明了上述前沿问题可以通过为以下几个基本问题设计稍快的算法来解决：1。$\textsf{$ \ell_2 $-Furthest-Pair}$的剃须膏。多对数$d$的$\mathbb{R}^d$中$\textsf{$ \ell_2 $-Furthest-Pair}$的$n^2 \textrm{poly}(d) / \log^{ω(1)} n$时间算法意味着$\textsf{NEXP}$没有多项式大小的$\textsf{THR} \circ \textsf{THR}$电路。这同样适用于Hopcroft问题，$\textsf{Bichrom.-$ \ell_2 $-Closest-Pair}$和$\textsf{Max-IP}$。2.用于近似$\textsf{Bichrom.-$ \ell_2 $-Closest-Pair}$的剃齿刀。用于$(1+1/\log^{ω(1)} n)$…
2018-05-27 cs.CC
Boolean Satisfiability using Noise Based Logic
在本文中，我们提出了一种新的算法来解决布尔可满足性（SAT）问题，使用基于噪声的逻辑（NBL）。与名称所暗示的相反，NBL不是一个随机/模糊逻辑系统。实际上，它是一个完全确定性的逻辑系统。NBL的一个关键特性是，它允许我们将许多输入向量的叠加同时应用于SAT实例，从而绕过了传统方法中求解SAT的关键限制和假设。通过利用NBL的叠加特性，我们的基于NBL的SAT算法可以确定一个实例是否SAT或不是在一个单一的操作。可以通过迭代地执行SAT检查操作多达n次来找到令人满意的解决方案，其中n是SAT实例中的变量的数量。虽然本文不关注基于NBL的SAT引擎的实现，但可以使用模拟电路（宽带放大器、加法器和乘法器）、FPGA或ASIC来构思这样的引擎。此外，我们还讨论了我们的方法，它可以适用于NBL一般的可扩展性。本文所描述的基于NBL的SAT引擎已经在软件中进行了仿真验证。
2011-10-04 cs.CC cs.DS
Quantified Derandomization of Linear Threshold Circuits
当前复杂性理论中的一个突出挑战是试图证明$TC^0$的下界，$TC^0$是一类具有多数门的常数深度、多项式大小的电路。依赖于Williams（2013）的结果，证明这样的下界的吸引人的方法是构造$TC^0$的非平凡去随机化算法。在这项工作中，我们向后一个目标迈出了第一步，证明了第一个积极的成果，关于深度$d>2$的$TC^0$电路的去随机化。我们的第一个主要结果是一个量化的去随机算法的$TC^0$电路的超线性数量的电线。具体来说，我们构建了一个算法，得到作为输入的$TC^0$电路$C$在$n$输入位与深度$d$和$n^{1+\exp(-d)}$线，运行在几乎多项式时间，并区分$C$拒绝最多$2^{n^{1-1/5d}}$输入的情况下，$C$接受最多$2^{n^{1-1/5d}}$输入的情况。事实上，即使当电路$C$是线性阈值电路而不仅仅是$TC^0$电路（即，$C$是具有线性阈值门的电路，其比多数门强）。我们的第二个主要结果是，即使是适度的改进，我们的量化去随机化算法将产生一个非平凡的算法，所有的$TC^0$的标准去随机化，并因此意味着$NEXP\not\subseteq TC^0$。具体地，如果存在量化的去随机化算法，其得到具有深度$d$和$n^{1+O(1/d)}$导线的$TC^0$电路作为输入（而不是$n^{1+\exp(-d)}$线），在最多$2^{n^{\exp(-d)}…
2017-11-06 cs.CC
Algorithms versus Circuit Lower Bounds
不同的技术已被用来证明几个转移定理的形式“非平凡算法的电路类C产量电路下界对C”。在这次调查中，我们重新审视了其中的许多结果。我们讨论如何电路下界可以从去随机化，压缩，学习和可满足性算法。我们还涵盖了电路下界和有用的属性之间的连接，一个概念，原来是基本的背景下，这些转移定理。在此过程中，我们获得了一些新的结果，简化了几个证明，并显示了涉及不同框架的连接。我们希望，我们的介绍将作为一个独立的介绍，为那些有兴趣在这一领域进行研究。
2013-09-01 cs.CC cs.DM cs.DS
From one solution of a 3-satisfiability formula to a solution cluster: Frozen variables and entropy
一个3-SAT公式的解可以扩展成一个簇，所有其他的解都可以通过一系列的单自旋翻转从这个簇中得到。溶液团簇中的一些变量被冻结到相同的自旋值，这是由两种不同的机制之一引起的：冻结核的形成和长程挫折。虽然冻结核是由一个局部白化算法，长期挫折是很难跟踪，他们使熵的信念传播（BP）算法无法收敛。为了使BP达到固定点，在迭代期间外部固定一小部分变量（根据白化算法选择）的自旋值。从计算的熵值，我们推断，对于一个大的随机3-SAT公式，约束密度接近可满足性阈值，调查传播或walksat算法得到的解决方案既不属于最占主导地位的集群的公式，也不属于最丰富的集群。这项工作表明，一个单一的解决方案集群的随机3-SAT公式可能有进一步的社区结构。
2009-03-17 cond-mat.dis-nn cs.CC
Survey propagation: an algorithm for satisfiability
研究了由$N$布尔变量上的完全$K$文字的$M$子句所形成的随机生成公式的可满足性.对于给定的$N$值，已知问题在$α=M/N$接近实验阈值$α_c$的情况下最困难，该实验阈值将几乎所有公式均为SAT的区域与所有公式均为UNSAT的区域分开。最近的统计物理分析的结果表明，困难是与存在的聚簇现象的解决方案时，$α$接近（但小于）$α_c$。我们引入了一种新的类型的消息传递算法，它允许有效地找到一个满意的分配的变量在困难的区域。该算法是迭代的，由两个主要部分组成。第一个是一个消息传递过程，它概括了通常的方法，如求和产品或信念传播：它传递的消息是对普通消息集群的调查。第二部分使用从调查中获得的详细概率信息，以确定变量并简化问题。最后，剩下的简化问题通过传统的启发式算法来解决。
2006-04-04 cond-mat.stat-mech cs.CC
Super-Linear Gate and Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-Two and Depth-Three Threshold Circuits
为了正式理解神经计算的能力，我们首先需要破解两层和三层阈值电路的前沿，这是一种令人惊讶的难以分析的机制。我们证明了第一个超线性门下界和第一个超二次线下界的深度为2的线性阈值电路的任意权重，和深度为3的多数电路计算一个显式函数。$\bullet$我们证明了，对于所有的$ε\gg \sqrt{\log(n)/n}$，线性时间可计算的Andreev函数不能计算$(1/2+ε)$分数的$n$位输入的深度2线性阈值电路的$o(ε^3 n^{3/2}/\log^3 n)$门，也不能计算与$o(ε^{3} n^{5/2}/\log^{7/2} n)$线。这为阈值电路建立了一个平均情况下的“大小层次”，因为Andreev函数可以通过$o(n^3)$线性阈值门的均匀深度2电路和$O(n)$多数门的均匀深度3电路来计算。$\bullet$我们提出了一个新的功能，在$P$的基础上小偏置集，我们证明了不能计算的多数表决的深度为2的线性阈值电路与$o(n^{3/2}/\log^3 n)$门，也与$o(n^{5/2}/\log^{7/2}n)$线。$\bullet$我们给出了紧密的平均情况下（门和线）复杂性计算奇偶校验与深度两个阈值电路的结果，答案原来是相同的深度两个多数电路。关键是线性阈值函数的一个新的随机约束引理。我们的主要分析工具是加法组合学中的Littlewood-Offord引理。
2015-11-24 cs.CC cs.NE
Focused Local Search for Random 3-Satisfiability
解决NP完全优化问题的局部搜索算法可以被视为在“能量景观”中移动的随机过程，最终找到最优解。对于随机3-可满足性问题，将局部移动集中在目前未满足的子句上的启发式方法是非常有效的：对于一个给定的子句与变量之比$α$足够远地低于临界可满足性阈值$α_c \approx 4.27$，解的时间只在变量的数量上线性增长。我们提出的数值结果的行为三个集中的局部搜索算法，特别是考虑到一个集中的简单的大都会动态的变化的特点。我们估计该算法的“温度”参数$η$的最佳值，使其线性时间制度尽可能接近$α_c$。对于众所周知的WalkSAT算法和研究较少但性能非常好的聚焦记录到记录旅行方法，也执行类似的参数优化。我们观察到，与适当的参数选择，这些算法的线性时间制度似乎扩展到比$α> 4.2$ -远比迄今为止一般假设。我们讨论的算法的解决方案时间的统计，其性能的过程中的“白化”，并提出了一些示意图上的形状，他们的计算相图。
2005-01-28 cond-mat.stat-mech cs.CC
On the hardness of cloning and connections to representation theory
本文研究克隆量子线路可满足性见证的计算困难性，基于量子计算与表示论的联系，推导出关于隐藏子空间极大纠缠态克隆算法的猜想，在BQP不包含NP的假设下证明了不存在克隆见证的高效算法。
2024-11-18 cs.CC quant-ph
New algorithms and lower bounds for circuits with linear threshold gates
令$ACC \circ THR$为一类恒定深度电路，由AND、OR和MOD $m$门（对于某些恒定$m > 1$）组成，底层门计算任意线性阈值函数。这类电路可以被看作是$ACC$（我们知道非平凡下限）和深度2线性阈值电路（非平凡下限保持开放）之间的“中点”。我们给出了一个算法来评估一个任意对称函数的$2^{n^{o(1)}}$ $ACC \circ THR$电路的大小$2^{n^{o(1)}}$，在所有可能的输入，在$2^n \cdot poly(n)$时间。由此产生若干后果：$\bullet$对次指数大小的$ACC \circ THR$电路的满意分配的数量可以在$2^{n-n^{\varepsilon}}$时间内计算（其中$\varepsilon > 0$取决于电路的深度和模数）。$\bullet$ $NEXP$没有准多项式大小的$ACC \circ THR$电路，$NEXP$也没有准多项式大小的$ACC \circ SYM$电路。甚至对于$AND \circ OR \circ THR$电路，也不知道非平凡的大小下限。$\bullet$每一个带有$n$布尔变量和$s$线性约束的0 - 1整数线性规划都有很高的概率在$2^{n-Ω(n/((\log M)(\log s)^{5}))}\cdot poly(s,n,M)$时间内可解，其中$M$上限限制了系数的位复杂度。(For例如，具…
2014-01-10 cs.CC cs.DS
Average-Hard Attention Transformers are Constant-Depth Uniform Threshold Circuits
Umeå University（于默奥大学）；Department of Computing Science（计算机科学系）
该研究拓展了平均硬注意力Transformer与常数深度阈值电路的关联结论，证明其对应的电路结果也可扩展为均匀电路，完善了Transformer的计算复杂度理论分析。
2023-08-21 cs.CC cs.CL cs.LG
A Fixed-Parameter Algorithm for Random Instances of Weighted d-CNF Satisfiability
University of British Columbia Okanagan（不列颠哥伦比亚大学奥肯那根分校）
研究了加权$d$ -CNF可满足性问题（加权$d$ -SAT）的随机情形，这是一个一般的W[1]-完全问题.该问题的随机实例由固定参数$k$和随机$d$-CNF公式$\weicnf{n}{p}{k, d}$组成，该公式如下生成：对于$d$变量的每个子集，以概率$p$，从包含至少一个否定字面值的$2^d - 1$子句中均匀随机地选择$d$变量上的子句。我们证明了加权$d$ -SAT的随机实例可以在$O(k^2n + n^{O(1)})$ -时间内以高概率求解，表明在这种实例分布下的加权$d$ -SAT的典型实例是固定参数可处理的。该结果也适用于模型$\weicnf{n}{p}{k,d}(d')$的随机实例，其中禁止包含小于$d' (1 < d' < d)$否定字面值的子句，以及在随机模型的参数$p(n)$的一定范围内的加权$d$-SAT的重整化（小型化）版本的随机实例。这一点，加上我们以前的结果的阈值行为和分辨率复杂性的$\weicnf{n}{p}{k, d}$不可满足的实例，提供了一个几乎完整的表征加权$d$ -SAT的随机实例的典型情况下的行为。
2008-06-28 cs.AI cs.CC cs.DS
Order-to-chaos transition in the hardness of random Boolean satisfiability problems
瞬态混沌是一种普遍存在的现象，其特征在于相空间轨迹的动力学朝着流体、化学反应和凝聚态系统等不同物理系统中的稳态吸引子演化。在这里，我们表明，瞬态混沌也出现在某些有效的算法的动态搜索解决方案的约束满足问题，包括调度，电路设计，布线，数据库问题，甚至数独。特别是，我们提出了一个研究的硬度出现在布尔可满足性（$k$ -SAT），一类典型的约束满足问题，通过使用一个模拟确定性算法的基础上的常微分方程组。通过逃逸率$κ$定义了问题的困难度，$κ$是动力系统瞬态混沌的一个不变测度，它表示了轨迹接近解的速率，我们证明了对于给定的约束密度和固定数目的布尔变量$N$，随机$k$ -SAT系综中公式的困难度有很大的变化，可近似为对数正态分布。我们还表明，当增加密度的约束$α$，硬度出现通过二阶相变在$α_χ$在随机3-SAT系综的动力学轨迹成为瞬态混沌。在4-SAT中也发现了类似的行为，然而，对于2-SAT不发生这种转变。这种行为也意味着一种新型的瞬态混沌，其中逃逸率与临界参数$κ\sim N^{B|α- α_χ|^{1-γ}}$和$0< γ< 1$具有指数-代数关系。我们表明，过渡所产生的亚稳态盆地的外观在解空间中的约束$α$的密度增加。
2016-04-20 cond-mat.stat-mech cs.CC
The Kesten-Stigum Reconstruction Bound Is Tight for Roughly Symmetric Binary Channels
我们建立了准确的阈值重建问题的二进制非对称信道上的b叉树，只要不对称是足够小的。这是大约十年来获得的第一个准确的重建阈值。我们讨论了我们的结果的影响，Glauber动力学，系统发育重建，和所谓的“副本对称性破缺”的自旋玻璃和随机可满足性问题。
2006-04-17 cs.CC math.PR q-bio.PE
Unconditionally separating noisy $\mathsf{QNC}^0$ from bounded polynomial threshold circuits of constant depth
本文无条件证明了常深度并行量子计算优于建模神经网络的多项式规模偏置阈值电路，发现了一类在素数维qudits上常深度可解但经典困难的任务，且该量子优势对噪声具有鲁棒性。
2025-09-17 cs.CC quant-ph
Saturated Transformers are Constant-Depth Threshold Circuits
Allen Institute for AI（艾伦人工智能研究所）；New York University（纽约大学）；University of Washington（华盛顿大学）
Transformers已经成为许多NLP问题的标准神经网络架构，激发了对它们在形式语言方面的能力的理论分析。最近的研究表明，具有硬注意力的Transformers在功率方面非常有限（Hahn，2020），因为它们可以通过恒定深度的AND/OR电路来模拟（Hao等人，2021）。然而，硬注意是一个强有力的假设，这可能会使这些结果在实践中的相关性复杂化。在这项工作中，我们分析了Transformers的电路复杂性饱和的注意力：硬注意力的概括，更紧密地捕捉到在实际Transformers中学习的注意力模式。我们首先表明，饱和Transformers超越已知的限制硬注意力Transformers。然后，我们证明了饱和Transformers的浮点值可以模拟的恒定深度的阈值电路，给类$\mathsf{TC}^0$作为上界的形式语言，他们承认。
2022-04-11 cs.CC cs.CL cs.LG
Sharp Thresholds Imply Circuit Lower Bounds: from random 2-SAT to Planted Clique
该研究证明布尔函数尖锐阈值蕴含平均情形有界深度电路下界，给出逆命题，并在k-团、随机2-SAT、植入k-团等场景推导出新的指数级电路规模下界。
2024-07-16 cs.CC math.PR math.ST
Exponential Lower Bounds for Threshold Circuits of Sub-Linear Depth and Energy
Yamagata University（山形大学）
本文研究了阈值电路及神经网络模型的计算能力，基于大小、深度、权重和能量四个复杂度度量，证明了通信矩阵秩的上界不等式，并由此得出在能量和权重足够小时亚线性深度阈值电路大小的指数下界。
2023-06-28 cs.CC cs.CV cs.LG
New Algorithms and Hardness Results for Robust Satisfiability of (Promise) CSPs
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；TU Graz（格拉茨工业大学）；Simons Institute and UC Berkeley（西蒙斯研究所和加州大学伯克利分校）；University of Chicago（芝加哥大学）；University of Oxford（牛津大学）
本文提出了针对承诺CSPs鲁棒可满足性的新算法，并在UGC假设下证明了相关结果。
2026-02-10 cs.CC cs.DS cs.LO
