从3-可满足性公式的一个解到解簇：冻结变量和熵

对抗可满足性问题

Adversarial Satisfiability Problem

我们研究对抗性可满足性问题，其中对手可以选择是否在条款中否定变量，以使所得公式不可满足。这是一个对抗性优化问题的一般类的情况下，经常出现在实践中，并在算法上比标准的优化问题更难。我们利用腔方法计算了负构形随机可满足性问题中熵的大偏差。我们的结论是，在热力学极限的最佳策略的对手可以采取的是非常接近简单地平衡的次数，每个变量是，而不是否定。我们还进行了数值研究的问题，并发现，有很强的前渐近效应，这是由于这样一个事实，即小尺寸的指数和阶乘增长是很难区分的。

可满足性问题的数值解空间分析

Numerical Solution-Space Analysis of Satisfiability Problems

利用数值模拟研究了3-SAT问题的解空间结构随控制参数α（子句数与变量数之比）的变化规律.为此，必须以均匀权重对解空间进行采样。它在这里示出，标准的随机本地搜索（SLS）算法，如“ASAT”和“MCMCMCMC”（也称为“并行回火”）表现出采样偏差。然而，无偏样本的解决方案，可以获得使用“弹道网络的方法”，这是在这里介绍。它是“弹道搜索”方法的推广，并产生解空间的簇结构。作为应用，利用反卫星武器加弹道组网生成了3-SAT实例的解。数值结果与先前的分析预测的一个简单的解决方案的空间结构的小值的α和过渡到一个集群阶段在α_c ~ 3.86，其中的解决方案空间分裂成几个不可忽略的集群是兼容的。此外，在热力学极限下，当α值接近SATUNSAT跃迁α_s ~ 4.267时，总是存在没有任何冻结变量的簇。这可以解释为什么一些SLS算法能够解决接近SAT-UNSAT转换的非常大的3-SAT实例。

Beyond the storage capacity: data driven satisfiability transition

Data structure has a dramatic impact on the properties of neural networks, yet its significance in the established theoretical frameworks is poorly understood. Here we compute the Vapnik-Chervonenkis entropy of a kernel machine operating on data grouped into equally labelled subsets. At variance with the unstructured scenario, entropy is non-monotonic in the size of the training set, and displays an additional critical point besides the storage capacity. Remarkably, the same behavior occurs in margin classifiers even with randomly labelled data, as is elucidated by identifying the synaptic vol…

随机k-可满足性中的解簇与复本对称性破缺

Clusters of solutions and replica symmetry breaking in random k-satisfiability

通过腔方法研究随机k-可满足性公式的解集。众所周知，对于子句变量比的区间，这分解成指数数量的纯状态（簇）。我们细化基本上这张照片：（一）确定的聚类过渡的精确位置;（二）发现第二个“冷凝”相变的结构中的解决方案设置为k大于或等于4。这两个结果都是由计算纯态内熵的大偏差率得到的。从技术的角度来看，我们的主要贡献是一个简化版本的腔形式主义的特殊值的Parisi复本对称性破缺参数m（特别是通过对应树重建问题的m=1）和新的大k扩展。

Maximally flexible solutions of a random $K$-satisfiability formula

Random $K$-satisfiability ($K$-SAT) is a paradigmatic model system for studying phase transitions in constraint satisfaction problems and for developing empirical algorithms. The statistical properties of the random $K$-SAT solution space have been extensively investigated, but most earlier efforts focused on solutions that are typical. Here we consider maximally flexible solutions which satisfy all the constraints only using the minimum number of variables. Such atypical solutions have high internal entropy because they contain a maximum number of null variables which are completely free to c…

随机3-可满足性问题的$T \to 0$平均场种群动力学方法

$T \to 0$ mean-field population dynamics approach for the random 3-satisfiability problem

在过去的十年中，随机3-可满足性（3-SAT）问题中的相变现象已经被统计物理方法所研究。本文利用平均场第一步复制对称破缺腔理论在温度极限$T\to 0$下研究了随机3-SAT问题。允许空腔理论的重新加权参数$y$与具有固定比率$r=y / β$的逆温度$β$一起接近无穷大。针对系统的可满足构型空间，利用重要抽样技术进行了广泛的群体动力学模拟，得到了不同$r$值下零能团簇的熵密度$s(r)$和复杂度$Σ(r)$.我们证明了种群动力学在不同的初始条件下可以达到不同的不动点。通过了解$s(r)$和$Σ(r)$随$r$的变化趋势，我们可以判断在给定的$r$值下某种类型的初始条件是否合适。这项工作补充和证实了其他几个非常近期的理论研究的结果。